Оценка вектора состояния высокодинамичных потребителей спутниковых радионавигационных систем с использованием расширенного фильтра Калмана Текст научной статьи по специальности «Физика»

Х.М. Абдалла, В.В. Кирюшкин,

ВУНЦ ВВС «Военно- кандидат технических на

воздушная академия ук, доцент, ВУНЦ ВВС

им. проф. Н.Е. Жуковского «Военно-воздушная акаде-и Ю.А. Гагарина» мия им. проф. Н.Е. Жуков-

(г. Воронеж) ского и ЮА. Гагарина»

(г. Воронеж)

ОЦЕНКА ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ ВЫСОКОДИНАМИЧНЫХ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ СПУТНИКОВЫХ РАДИОНАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАСШИРЕННОГО ФИЛЬТРА

КАЛМАНА

ESTIMATION OF STATE VECTOR OF MANEUVERING USERS OF GLOBAL NAVIGATION SATELLITE SYSTEMS BY EXTENDED

KALMAN FILTER

Исследована оценка вектора состояния высокодинамичного летательного аппарата на этапе маневра, получаемая на выходе некогерентного двухэтапного приемника сигналов спутниковых радионавигационных систем (СРНС), использующего в качестве сглаживающего фильтра вторичной обработки расширенный фильтр Калма-на, реализующий модель Зингера третьего порядка.

The accuracy of estimation of maneuvering aircraft state vector is analyzed. Our approach in this work based on the extended Kalman filter with third order dynamic model of R.A. Singer and the global navigation satellite systems measurements.

Введение

Одной из основных тактико-технических характеристик аппаратуры потребителей (АП) спутниковых радионавигационных систем (СРНС) летательных аппаратов является точность определения вектора состояния. Во многом точность оценки, получаемой на выходе АП СРНС, зависит от принципов построения самой АП, т.е. от принципов обработки сигналов СРНС и решения навигационной задачи [1, 2].

Полет летательного аппарата представляет собой совокупность множества этапов, таких как: взлет, набор высоты, полет по маршруту, выход в заданный район, посадка и др., но наиболее критичным этапом является этап маневра летательного аппарата, поскольку именно на этом этапе потребителю необходимо знать точное местоположение, особенно если речь идет о противоракетном маневре. При этом сглаживающие фильтры вторичной обработки АП СРНС, не учитывающие изменение динамики полета в момент маневра, могут характеризоваться увеличением ошибки оценки вектора состояния потребителя.

В настоящей статье исследована оценка вектора состояния высокодинамичного летательного аппарата на этапе маневра, получаемая на выходе некогерентного двухэтапного алгоритма обработки сигналов СРНС, использующего в качестве сглаживающего фильтра вторичной обработки расширенный фильтр Калмана, реализующий модель Зингера третьего порядка [3, 4].

В.И. Костылев,

- доктор физико -

математических наук, профессор, Воронежский государственный университет

Модель навигационных измерений

Примем в качестве исходной прямоугольную геоцентрическую систему координат 0 ХЇ2. Тогда уравнение канала измерения дальности АП СРНС можно представить в виде [4]:

тельного аппарата до /-го навигационного спутника (НС); х, у, г, Ух, Уу, У2 — координаты и составляющие скорости ЛА; хы, уы, , Ухс., Уус., V ^ — координаты и со-

фаз генераторов АП и НС; ^ — погрешность измерения радионавигационного параметра.

Из (1) обобщенное уравнение наблюдения для всех N спутников, находя -щихся в зоне радиовидимости АП, можно представить в виде нелинейного ур авнения:

где Rгj. и w . — N-мерные векторы измерения и погрешностей измерения в ]-й момент времени; q] — вектор состояния летательного аппарата в]-й момент времени , который для высокодинамичного объекта должен учитывать не только координаты и составляющие скорости летательного аппарата, но и составляющие его ускорения:

Линеаризуем выражение (2), в этом случае уравнение наблюдения примет

вид:

летательного аппарата в/-й момент времени.

Модель динамики летательного аппарата

Модель динамики летательного аппарата (ЛА) должна быть достаточно простой, чтобы сократить время на обработку результатов измерений, и в то же время достаточно полной, чтобы учитывать маневренные характеристики ЛА. Таким требованиям удовлетворяют статистические модели, одной из которых является модель Зингера. Поскольку речь идет о высокодинамичном объекте, то целесообразно использовать модель Зингера третьего порядка [3].

Рассмотрим особенности данной модели и вывод на ее основе уравнения состояния объекта применительно к одной координате х. Данная модель основана на представлении процесса изменения координат как нестационарного случайного процесса, вторая производная которого для ускорения а ($) имеет корреляционную функцию вида:

истинное значение дальности от лета-

(1)

ставляющие скорости і- го НС; дг^ — поправка к дальности из-за расхождения

(2)

(3)

О, = Г х., V., г., V ., V ., V . 1 — вектор состояния НС в /-й момент времени.

^- / І Сі ' * СІ ' Сі ■' ХСІ ' уСІ ■' ХСі Iа «у а

(5)

где Оа — дисперсия ускорения ЛА, а — величина, обратная постоянной времени маневра (ширина спектра траекторных флуктуаций).

Величина а характеризует маневренные свойства ЛА, так например, для медленного («ленивого») поворота, характерного для больших самолетов, а» 1/60, для уклоняющего маневра, характерного для самолетов оперативнотактической авиации, а» 1/20, для траекторных нестабильностей ЛА, вызванных атмосферной турбулентностью, а» 1 [3].

Согласно модели Зингера, дисперсия ускорения Оатакже зависит от типа ЛА и может быть вычислена следующим образом [3]: а„

3

[1 + 4 Ртах - Р0 I

(6)

где ртх — вероятность совершения маневра с максимальной интенсивностью; р0 — вероятность совершения полета без маневра; а тах — максимальное значение ускорения.

Используя выражение для корреляционной функции ка (г), можно выразить производную ускорения методом Винера- Колмогорова [5]:

а (?) = -аа ()+ п(), (7)

где п (?) — параметрический шум, представляющий собой белый гауссовский

шум с корреляционной функцией

&2 (г) = 2аа13(т), (8)

где д(т) — символ Кронекера.

При сделанных предположениях линеаризованное уравнение движения

ЛА в прямоугольной системе координат можно представить в виде:

¿1 (?) = Fq (?) + Сп (?), (9)

где

Ч (і)

•( і)

Vx (і)

а (і).

— вектор состояния (для одной координаты х);

'0 1 0 "

Г = 0 0 1 — матрица динамики вектора состояния объекта;

0 0 -а

' 0"

о = 0 — матрица, определяющая воздействие параметрических

1

на вектор состояния объекта.

Соответствующее уравнение движения ЛА в дискретном виде с шагом дискретизации Т для (/+1)-го момента времени будет иметь вид:

Ч / +1 = ф (Т,а) Ч / + и /, (10)

где Ф (Т,а) — переходная матрица состояния ЛА; и — неучитываемые воздействия (возмущения траектории ЛА) в дискретном виде на/-й момент времени.

Исходя из модели (9), уравнение движения (10) можно записать в виде:

q(? + Т) = evтq(?)+ [ е*'+г г)Сп(г)ёг, (11)

**?

а выражения для переходной матрицы и возмущения могут быть представлены соответственно следующим образом:

Ф (? ,а) = егТ,

и . = ^ 1Т е*[(/+1)Т-гСп (г)Г.

Можно доказать [3], что:

1 Т — Г-1 + аТ+е~аг~\ а21 ]

ф (Т,а)= 0 1 а Г1 -е-аГ]

0 0

(12)

е

-аТ

(13)

При условии малости аТ матрица Ф(Т,а) может быть приведена к матрице Ньютона:

1

Ф (Т,а) =

1 Т -Т2

2

0 1 Т

0 0 1

(14)

Из уравнения (12), учитывая, что п (?) — аддитивный белый гауссов шум и Е |^ы.и.^ J = 0 при всех к ф 0, можно сделать вывод, что и . представляет собой аддитивный дискретный белый гауссов шум вектора состояния с ковариационной матрицей и [3]:

V V V

11 21 31

^2 V22 V32

(15)

где

2а5

2а3Т3

1 - е-2а + 2аТ +------------2а2Т2 - 4аТе

3

= у21 = ——— [е■ 2аТ+1 - 2е~а + 2оТе- 2аТ + а2Т2]

2а

= у31 =[1 - е-2а - 2аТе~°],

2а

= [4е- 3 - е~2а + 2аТ],

22 2а3

1 Г -2аТ . і -аТІ = У32 = Т7Г [е + 1 - 2е ]

2а

= 1. [1 -е-2аТ].

2а

Алгоритм расширенного фильтра Калмана

1

=

Запишем уравнения оптимального линейного фильтра (расширенного фильтра Калмана) на основе линеаризованной системы уравнений (4) и (10) для вектора состояния (3).

Для формирования на (/+1)-й момент времени сглаженной оценки вектора состояния ч* +1 и корреляционной матрицы погрешностей К^ . +1) формируемой оценки на основании оценки ч* и корреляционной матрицы погрешностей К , полученных на/-й момент времени, необходимо выполнить следующие операции [4]:

- на основании модели движения ЛА (10) вычислить экстраполированное

значение вектора оцениваемых параметров Ч/ + на (/+1)- й момент времени:

Ч/ + = ф (Т,а)ч *; (16)

- вычислить ковариационную матрицу погрешностей, характеризующую точность предсказания вектора Ч. + :

К,( /«)= ф (Т>а) к,ф (Т а)7 + и /; (17)

- рассчитать коэффициент усиления фильтра Калмана 8 +1:

8/+1 = К/СТ+ [С.>+1К*.1)СТн + (18)

где W/. +1 = Е W/.+1W/г+1 J — ковариационная матрица шумов измерений, С+ — матрица

наблюдения, рассчитанная из точки экстраполированного значения вектора состояния;

- вычислить скорректированное значение (сглаженную оценку) вектора оцениваемых параметров ч* +1 на (/+1)-й момент времени:

Ч/ +1 = Ч/+1 + 8/+1 _(у +1) -^(у +1) (Ч/+1, 0/+1)_ , (19)

где Ки(/+1) - Nмерный вектор измерения псевдодальностей до спутников на (/+1)- й момент времени;

(/■+1) («1 /+1, Qj+l ) = ки; (Чу,Оу ) + С; * («1 у+1 - Чу) — X- мерный вектор псевдодаль-

ностей, рассчитанный на основе модели измерения (4) для экстраполированного значения вектора состояния ЛА Ч/+1 и известного значения вектора состояния навигационных спутников О/+1;

- вычислить ковариационную матрицу К^. +1) погрешностей, характеризующую точность сформированной сглаженной оценки вектора состояния ЛА Ч / +1:

К,(/+1) = [1 - в/ +1С/+1 ] К/ ["- 8/+1С/+1 ]Т + . (20)

После каждого нового измерения цикл вычислений повторяется.

Исследование оценки вектора состояния ЛА на этапе маневра

Исследование оценки вектора состояния было проведено на основе обработки данных траектории и параметров полета высокодинамичного самолета типа МиГ-29. Истинная траектория и параметры полета самолета, с которыми впоследствии сравнивалась полученная оценка вектора состояния ЛА, были сформированы в результате моделирования в среде авиасимулятора БН^веаг. Траектория включает в себя этапы с интенсивным маневром. Для краткости рассмотрим параметры движения ЛА только по одной координате Х. На рис. 1 показана истинная траектория ЛА по оси Х, а также динамика изменения скорости и ускорения ЛА по этой оси. Видно, что этап полета с наибольшей интенсивностью маневра приходится на интервал времени 100—120 с, характеризующийся наибольшими значениями ускорения и их резкими изменениями.

500

400

300

200

100

0

-100

-200,

Х х<

г\

/ , ' \

/ / Г V- л

/ VI \ у\_ \

\\/ I/

О

50

100 150 200 250

1 . с

300

350

Рис. 1. Истинная траектория, динамика изменения скорости и ускорения ЛА по оси Х

Для оценки вектора состояния ЛА использовался описанный выше алгоритм расширенного фильтра Калмана.

При этом параметры фильтра были выбраны ах = 0.436 с-1, а Са = 0.6 м/с2, что характерно для этапа полета с малой интенсивностью маневра (интервал 0-50 с). Среднеквадратичное отклонение (СКО) ошибки измерений по каждому каналу было выбрано = 10 м. Считалось, что шкалы времени приемника и спутников синхронны.

Сравнение оценки вектора состояния ЛА по оси Х с истинной траекторией показывает высокую степень точности формируемой оценки, ее количественный показатель приведен на рис. 2.

Рис. 2. Точность формируемой оценки вектора состояния ЛА по оси Х

На рис. 2 показана временная зависимость абсолютной погрешности Ах = х* — х, где х — истинное значение координаты Х ЛА, а также динамика изменения СКО

формируемой оценки по координате Х 2ах, где Ох — элемент формируемой ковариационной матрицы К^. +1) погрешностей.

На рис. 2 видно, что точность формируемой оценки в основном соответствует расчетному уровню: Ах < 2&х, однако на этапах полета с интенсивным маневрированием значение погрешности резко увеличивается и в несколько раз превосходит уровень 2&х. Аналогичная картина наблюдается и для оценки вектора состояния по составляющей скорости ¥х и ускорения ах.

Причиной такого возрастания ошибки может быть несоответствие модели динамики объекта, заложенной в оптимальном линейном фильтре, реальной динамике движения ЛА. При этом радиальное отклонение точки оценки местоположения ЛА от его истинного

положения АЛ =

(х *-х )2 +(у *-у )2 +(г *-г)

12

на этапах интенсивного маневрирова-

ния увеличивается в 2-4 раза и достигает десятков метров (рис. 3).

Рис. 3. Радиальное отклонение точки оценки местоположения ЛА от его истинного

положения

Для подтверждения высказанного предположения аналогичные исследования были проведены для различных значений параметров ах,ау,аг, характеризующих ширину спектра траекторных изменений по соответствующим осям, и определены их оптимальные значения. При этом в качестве критерия оптимальности был выбран минимум интегральной абсолютной радиальной погрешности:

АЛХ= £ |"( х*(*)-х (* ))2 +(у*( *)-у (* ))2 +(г * (*)-г (*))

12

Ж .

(21)

где *к — конечное время полета самолета.

Зависимость АЛх(а) показана на рис. 4. Полученная зависимость обладает достаточно высокой крутизной, что свидетельствует о сильном влиянии параметра фильтра на точность формируемой оценки вектора состояния, а наличие минимума указывает на значение а, оптимальное для данной динамики полета самолета.

Поскольку значение дисперсии ускорения (У2а также зависит от типа ЛА, то целесообразно оценить влияние и этого параметра на работу фильтра. На рис. 5

2

2

показана зависимость интегральной абсолютной радиальной погрешности от О а. Резкие изменения этой функции наблюдаются на участке значений Оа = 0 - 0,5 м/с2, которые вообще нехарактерны для высокодинамичного самолета, а далее функ -ция АЯЪ (оа) практически не изменяется. Такое поведение функции говорит о необходимости адекватного выбора интервала значений СКО ускорений, характерного для определенного класса самолета, а точное знание его значения некритично.

После определения значений а и Оа, оптимальных для данной динамики полета самолета, повторно были проведены исследования точности формируемой оценки вектора состояния ЛА, результаты которых в виде радиального отклонения точки оценки местоположения ЛА от его истинного положения представлены на рис. 6. Сравнение этого рисунка с рис. 3 показывает, что при правильном выборе параметров фильтра точность формируемой оценки вектора состояния ЛА на критичных этапах его полета с интенсивным маневрированием повышается в 2-3 раза, однако при этом увеличивается погрешность оценки на остальных этапах полета.

Интегральная радиальная ошибка для разных величин а

2740

а

Рис. 4. Зависимость интегральной абсолютной радиальной погрешности

от параметра фильтра

Рис. 5. Зависимость интегральной абсолютной радиальной погрешности

от СКО ускорения

Радиальная ошибка 401----------1--------1---------1---------1---------1---------г

0 50 100 150 200 250 300 350

1, с

Рис. 6. Радиальное отклонение точки оценки местоположения ЛА от его истинного положения для оптимальных параметров фильтра

Заключение

Таким образом, путем обработки данных траектории и параметров полета высокодинамичного самолета типа МиГ-29 исследована оценка вектора состояния ЛА, получаемая на выходе некогерентного двухэтапного алгоритма обработки сигналов СРНС, использующего в качестве сглаживающего фильтра вторичной обработки расширенный фильтр Калмана, реализующий модель Зингера третьего порядка. В работе показано, что точность формируемой оценки вектора состояния в основном соответствует расчетному уровню, однако на этапах полета с интенсивным маневрированием значение погрешности резко увеличивается и в несколько раз превосходит 2о.

Причиной такого возрастания ошибки является несоответствие модели динамики объекта, заложенной в оптимальном линейном фильтре, реальной динамике движения ЛА. При оптимальном выборе параметров фильтра точность формируемой оценки вектора состояния ЛА на критичных этапах его полета с интенсивным маневрированием повышается в 2-3 раза, однако при этом увеличивается погрешность оценки на остальных этапах полета.

Кроме того, можно утверждать, что, поскольку интенсивность маневрирования в процессе полета ЛА меняется, то не существует одной модели, удовлетворяющей динамике ЛА на всех этапах полета. Для получения наилучших результатов оценивания вектора состояния ЛА требуется адаптировать параметры модели движения ЛА для каждого этапа полета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Перов А. И. Оптимальный прием и обработка сигналов в спутниковых радионавигационных системах // Радиотехника. — 2004. — №7. — С. 30—36.

2. Харисов В.И., Яковлев А.И., Глущенко А. Г. Оптимальная фильтрация координат подвижного объекта // Радиотехника и электроника. — 1998. — №10. — Т. 29. — С.27—35.

3. Singer R.A. Estimating Optimal Tracking Filter Performance for Manned Maneuvering Targets // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. — 1970. — V. AES-6. — №4. — P. 473—783.

4. Сетевые спутниковые радионавигационные системы / под ред. В.С. Шеб-шаевича. — М.: Радио и связь, 1993. — 408 с.

5. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. — New York: Wiley, 1949.