CC BY
11APPLICATION OF THE EQUIVALENCE SET METHOD FOR SOLVING MULTICRITERIAL OPTIMIZATION PROBLEMS AND INVERSE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS
Currently, in various fields of science, economics, when planning the development of countries, regions, mineral deposits, solving inverse problems of mathematical physics, in the space industry, etc. it becomes highly important to solve multicriteria problems when it is necessary to find the optimal solution not by one, but simultaneously by several criteria. This paper describes the application of the equivalence set method for solving multicriteria discrete optimization problems and inverse incorrect problems of mathematical physics. A comparison of the proposed method with the method of finding the Pareto optimal solutions and the method of successive concessions is given. The advantages of the equivalence set method are shown in comparison with these well-known methods for solving multicriteria problems.
The multicriteria optimization problems arise when it is necessary to optimize a vector function F (X) = F (x\, x2, ..., xn) of dimension m > 1:
that is, when there are several independent criteria y1 = f1 (xi,..., xn),..., ym = fm (x1,..., xn) by which to find the best solution. In this case, it is necessary to apply more complex methods than in the case of a single criterion. There are various approaches to solving such problems. In this paper, the equivalence set method is considered, its main properties are described, and its advantages are shown in comparison with other methods for solving multicriteria discrete optimization problems.
The essence of this method is cts follows:
1. For each criterion yi (X) the problem of single-criterion optimization is solved and the optimal solution X0,l = 1 ,m is found.
yi (X)
of solutions that are close to optimum by this criterion, that is, differing from the optimal value by no more than a given number Rl > 0, l = 1,m, which we will call tolerance by the corresponding criterion. The found set itself is denoted by Ql (Rl). In the case of maximization, it will be determined as follows:
3. Then a set of solutions is found, which is the intersection of all such sets Qi (Ri) by all criteria yi (X). We denote this set by Q0 (Ri,...,Rm), formally defined as follows:
R. V. Khachaturov
Dorodnievn Computing Centre, FEC CSC EAS, 119333, Moscow, Eussia
Qi (Ri) = {X G D J yi > yi (X) > yi - Ri }
© E. V. Khachaturov, 2019
q0 (ri,...,Rm) — Qi (Ri) .
1=1
The resulting set Q0 (R1,...,Rm) is called the equivalence set (Fig. 1). Any solution from it satisfies all formalized criteria and can be taken by an expert as a final decision. The described method does not have a disadvantage of the method of finding the set of Pareto optimal solutions, since when adding an additional criterion the equivalence set never grows, but, on the contrary, narrows as a rule, which will be formally proved below in Theorem 1.
On example of the problem of self-focusing of plane x-ray pulses in a plasma, it is shown how this method can be used to solve inverse problems of mathematical physics.
Thus, a generalized equivalence set method is obtained that has the following properties:
1) The obtained equivalence set
m
q0 (r1,...,Rm) = p) Ql (Rl) l=1
is always obviously not empty.
2) The equivalence set always contains at least one Pareto-optimal solution. If the equivalence set contains a unique solution, then this solution is Pareto optimal.
3) The search area of the equivalence set is significantly narrowed without loss of any solutions.
It is shown that the determining methods of Q0 (R1,...,Rm) — 0 are regularization methods [10] for
incorrect problems in the pseudometric space of criteria y1,...,ym (even if there are some more informal criteria), and each solution X' e Q0 (R1 ,...,Rm) is a solution to such a problem. Thus, the equivalence set method can be considered a generalization of the regularization method for ill-posed problems in a multidimensional pseudometric space D of several criteria y1,...,ym in the discrete case. This makes it possible to apply the equivalence set method both for solving multicriteria optimization problems and for solving inverse problems of mathematical physics.
Key words: equivalence set method, set of Pareto-optimal solutions, multicriteria problems, discrete optimization, self-focusing, inverse ill-posed problems, regularization method.
References
1. khachaturov R. V. Mnogokriterial'naya optimizatsiva v psevdometricheskom prostranstve kriterivev na primere obshchev modeli deyatel'nosti predprivativa // ZHVM i MF. 2016. V. 56. N 9. P. 1602-1613.
2. khachaturov R. V. Single- and Multiobjective Optimization on the Lattice of Cubes // Computer and Systems Sciences International. 2018. V. 57. N 5. P. 750-758.
3. Podinovskiy V. V., Nogin V. D. Pareto — optimal'nyye resheniva mnogokriterial'nykh zadach. M.: Nauka, 1982.
4. Mas-Collel A., Whinston M. D., Green J. R. Microeconomic theory. N. Y.: Oxford University Press, 1995.
5. Mulen E. Kooperativnove prinvative resheniv: aksiomv i modeli. M.: Mir, 1991.
6. Shtoyyer R. Mnogokriterial'naya optimizatsiva (teoriva, vvchisleniva i prilozheniva). M.: Radio i svvaz', 1992.
7. gljbko M. V., Novikov D. A. Teoriva igr v upravlenii organizatsionnvmi sistemami. M.: Sinteg, 2002.
8. Nogin V. D. Prinvative resheniv vo mnogokriterial'noy srede: kolichestvennvv podkhod. M.: Fizmatlit, 2002.
9. Lotov A. V., Pospelova I. I. Mnogokriterial'nyve zadachi prinvativa resheniv: Uchebnove posobive. M.: MAKS Press, 2008.
10. TlKHONOV A. N., Arsenin V. YA. Metodv resheniva nekorrektnvkh zadach. M.: Nauka, 1979.
11. Elton R. C. X-rav lasers. New York: Acad. Press, 1990.
12. Akhmanov S. A. Sverkhsil'nyye svetovvve polva v nelineynoy optike, fizike plazmv i tekhnike rentgenovskikh istochnikov // Itogi nauki i tekhniki. Sovremennyve problemv lazernov fiziki. M.: VINITI, 1991. T. 4. S. 15-18.
13. Shen I. R. Printsipv nelineynoy optiki. M.: Nauka, 1985.
14. Andreyev A. V., Khachaturov R. V. Samofokusirovka impul'snogo rentgenovskogo izlucheniva v plazme // Vestnik MGU. Seriva 3: Fizika, astronomiya. 1995. T. 36. N 3. S. 25-33.
15. Khachaturov R. V. Vychislitel'nyy metod issledovaniva protsessa samofokusirovki rentgenovskogo izlucheniva v plazme // ZHVM i MF. 1996. T. 36. N 1. S. 103-111.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МНОЖЕСТВА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Описано применение метода множества эквивалентности для решения задач многокритериальной оптимизации и обратных некорректных задач математической физики. Показаны преимущества метода множества эквивалентности по сравнению с другими методами, часто использующимися при решении многокритериальных задач. Сформулированы и доказаны теоремы, отражающие основные свойства метода множества эквивалентности и показывающие соотношение и взаимосвязь множества парето-оптимальных решений и множества эквивалентности. На примере задачи самофокусировки плоских рентгеновских импульсов в плазме описано применение метода множества эквивалентности для решения обратных задач математической физики. Показано, что метод множества эквивалентности можно считать обобщением метода регуляризации для некорректных задач в многомерном псевдометрическом пространстве критериев в дискретном случае.
Ключевые слова: метод множества эквивалентности, множество парето-оптимальных решений, многокритериальные задачи, дискретная оптимизация, самофокусировка, обратные некорректные задачи, метод регуляризации.
Введение. В этой работе описано применение метода множества эквивалентности для решения многокритериальных задач дискретной оптимизации и обратных некорректных задач математической физики. Приведено сравнение предложенного метода с методом поиска множества Парето-оптимальных решений и методом последовательных уступок. Показаны преимущества метода множества эквивалентности по сравнению с этими известными методами решения многокритериальных задач.
Как известно, задачи многокритериальной оптимизации [1-9] возникают, когда необходимо оптимизировать векторную функцию ^ (X) = ^ [х\, х2, ..., хп) размерноети т > 1:
т. е. когда существуют несколько независимых критериев у1 = ¡1 (х1,..., хп),..., ут = ¡т (х1,..., хп), по которым нужно найти наилучшее решение. В этом случае необходимо применять более сложные методы, чем в случае одного критерия. Существуют различные подходы к решению таких задач. В этой работе будет рассмотрен метод множества
Р. В. Хачатуров
ВЦ им. А. А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН, 119333, Москва, Россия
УДК 519.7
эквивалентности [1, 2], описаны основные его свойства и показаны его преимущества по сравнению с другими методами решения многокритериальных задач дискретной оптимизации,
1. Метод нахождения множества эквивалентных решений (метод множества эквивалентности) по нескольким критериям. Суть этого метода заключается в следующем:
1, По каждому критерию уг (X) решается задача однокритериальной оптимизации и находится оптимальное решение Х0,1 = 1 ,т ,
2, По каждому критерию уг (X) в многомерном псевдометрическом пространстве критериев [1, 2] находится множество решений, близких к оптимальному по этому критерию, т, е, отличающихся от оптимального значения не более чем на заданное число Яг > 0, I = 1,т, которое назовем допуском по соответствующему критерию. Само найденное множество обозначим через Пг (Яг). В случае максимизации оно будет определено следующим образом:
3, Затем находится множество решений, являющееся пересечением всех таких множеств по всем критериям уг (X). Обозначим это множество через П0 (Я1г..,Ят), формально определяемое следующим образом:
Применение этого метода на примерах решения конкретных многокритериальных задач подробно описано в работах [1, 2].
Полученное множество П0 (Я1,...,Ят) (1) называется множеством эквивалентности (рис, 1), Любое решение из него удовлетворяет всем формализованным критериям и может быть принято экспертом в качестве окончательного решения. Описанный метод не имеет недостатка метода нахождения множества оптимальных по Парето решений, поскольку при добавлении дополнительного критерия множество эквивалентности никогда не растет, а наоборот, как правило, сужается [1], что будет формально доказано ниже в теореме 1,
Заметим, что методы, определяющие П0 (Я1,...,Ят) = 0, являются методами регуляризации [10] для некорректных задач в псевдометрическом пространстве [1, 2], а решение X' = (х1, Х2, ..., Хг) € П0 (Я1,...,Ят) — решением такой некорректной задачи, В самом деле, наличие нескольких формализованных критериев уг (X), X € Д, I = 1,т позволяет на множестве Д определить т функций расстояния между двумя элементами X' € Д и
Пг (Яг) = {X € Д | уг ^0) > уг (X) > уг ^0) - Яг} .
т
(1)
г=1
X'' е Д
Рг (X 'Д'' ) = | у г (X') - уг (X '')| , I = 1,т.
Эти функции обладают следующими свойствами:
Рг ^Д) = 0,
Рг (ДУ) > 0,
Рг (ДУ) = Рг (УД),
Рг (ДУ) + Рг (УД) > Рг ДД) ,
ДУД € Д I = 1,т.
Рис. 1. Иллюстрация нахождения множества эквивалентных решений (^1 )
многокритериальной задачи
Введенные нами функции являются псевдометриками, а множество Б с такой метрикой называется псевдометрическим пространством. В отличие от метрического пространства, условие р (Х,У) = 0 может выполняться также и для некоторых X = У.
Поэтому в нашем случае для любых X', X" Е (^ , — ) будет выполнено условие устойчивости типа Тихоновских условий для устойчивых задач [10]:
Р (X', X") < Яг, I = 1т.
Таким образом, методы, определяющие множество (Я1 ,...,Дт), можно считать методами регуляризации для некорректных задач в многомерном псевдометрическом пространстве Б при наличии нескольких критериев.
Теорема 1. При увеличении числа критериев множество эквивалентности
(Я1 ,...,Дт) не расширяется пли сужается.
Доказательство. По определению (1) множество эквивалентности является пересечением всех множеств оптимальных и близких к оптимальным решений по каждому критерию У1, I = 1,т, поэтому при добавлении еще одного критерия ут+1 (X) с допуском Ят+1 новое множество эквивалентности (Д1 ,...,Ят+1) будет определяться следующим образом:
^0 ,...,^т+1) = ^0 г-Дт) П ^т+1 (^т+1) .
Отсюда следует, что ^о (#1 ,...,Ят+1) Я ^о (#1 ,...,Ят)•
Теорема 1 доказана.
Отметим, что на практике при добавлении новых критериев множество эквивалентности (Д1 ,...,Дт), как правило, быстро сужается (рис. 1). Следует отметить также, что геометрическая форма множеств оптимальных и близких к оптимальным решений ) ,...,^т (^т) в пространстве искомых начальных (входных) параметров может быть самой разнообразной [1].
Вследствие вышесказанного при решении реальных задач из полученного описанным методом множества эквивалентности (1) эксперт может выбирать решения, удовлетворяющие не только формализованным критериям, но и неформализованным, основанным на его опыте и интуиции, при этом гарантированно не упуская наилучшее решение, которое при любом количестве дополнительных критериев никогда не окажется вне найденного множества П0 (Я1 ,...,Ят) (в отличие от множества Парето, которое, как правило, растет при увеличении количества критериев [1]),
2. Обобщенный метод множества эквивалентности. В этом разделе будут описаны алгоритмы, обеспечивающие заведомую непустоту множества эквивалентности, сужение области его поиска и возможность решения многокритериальных задач без поиска оптимальных решений по каждому из критериев,
2.1. Обеспечение заведомой пепустоты, множества эквивалентности. Важным вопросом при нахождении множества эквивалентности П0 (Я1,...,Ят) является способ определения значений допусков Яг > 0, I = 1,т по каждому из критериев так, чтобы множество эквивалентности П0 (Я1,...,Ят) было заведомо не пусто. Предлагаемый ниже метод позволяет решить эту задачу при любом количестве выходных параметров (критериев)
уг (X).
т
получим т решений X0, I = 1,т, Выберем некоторую точку X € Д исходя из условия наименьшего ереднеквадратичеекого отклонения значений критериев задачи уг (X), I = 1,т, в этой точке X от значений критериев задачи уг (X), / = 1,т, в найденных точках X0, I = 1,т, Для этого надо решить задачу минимизации следующей функции д (X):
д (X) = ш1п
у1 ' хед
\
т
т (X) - уг (X))2
т г=1
где Д п-мерная область допустимых значений входных параметров. Заметим, что при таком способе определения начальной общей точки X € Д неявным образом подразумевается, что все критерии задачи равноправны. Вообще, метод множества эквивалентности не нуждается в каком-либо изначальном ранжировании критериев (как это необходимо, например, для метода последовательных уступок). Важность критерия естественным образом определяется величиной соответствующего допуска — чем меньше допуск, тем важнее критерий. Поэтому, если необходимо распределить критерии по степени важности, то можно просто ввести соответствующее масштабирование единиц измерения и использовать тот же способ определения начальной общей точки.
Можно также напрямую ввести соответствующие веса для каждого из критериев в функцию д (X) для определения X € Д Тогда задача минимизации будет выглядеть следующим образом:
д (X
Ш1П
хед
\
т
£(*г (уг (X) - уг (X)))
г=1
где аг — вес критерия уг (X), I = 1, т.
В дальнейших рассуждениях без ограничения общности будем полагать, что решается задача максимизации по всем критериям. Тогда значения допусков Яг > 0, I = 1,т , по
1
2
каждому из критериев уг (X) определяются исходя из условия, что получаемые множества решений 0г (Яг), близких к оптимальному по каждому критерию, включают в себя найденную точку X € Б, т. е.
Яг = уг №) - уг (X) , I =
Все полученные с такими значениями допусков Яг множества оптимальных и близких к оптимальным решений 0г (Яг), I = 1,т
0г (Яг) = {X € Б | уг (X) < у (X) < уг (X) + Яг = уг ^0) = угтах } , (2)
где
утах = ш|х уг (X),
будут включать в себя точку X, поэтому и искомое множество эквивалентности 00 (Я1,...,Ят) заведомо не будет пустым, так как всегда будет включать в себя хотя бы одну эту точку X,
В качестве такой ,, общей" точки X € Б на практике может быть выбрана любая точка в пространстве входных параметров
Х1, х2, хп,
которая по тем или иным соображениям эксперта-проектировщика является приемлемой с точки зрения критериев задачи
уъ у2, ут .
Однако описанный выше метод позволяет формализовать и полностью автоматизировать этот процесс принятия решения по определению начальной и общей для всех множеств 0г (Яг) , I = 1,т точки X € Б,
2.2. Решение многокритериальных задач без поиска оптимальных решений по каждому из критериев. Важно отметить, что метод множества эквивалентности позволяет полностью отказаться от поиска оптимальных решений по каждому из критериев при решении многокритериальных задач оптимизации,
()
лемую точку X € Б, вычислить значения критериев уг (X) , I = 1,т в этой точке и задать любые желаемые допуски Яг,/ = 1,шпо каждому из критериев в сторону их улучшения.
Таким образом, мы получаем интервалы допустимых значений каждого из критериев задачи. Затем для каждого из критериев находим соответствующее множество решений 0г (Яг), I = 17т:
0г (Яг) = {X € Б|уг (X) < уг (X) < уг (X) + Яг } (3)
и после этого — множество эквивалентности 00 (Я1,...,Ят) (1), которое заведомо не будет пусто, так как будет содержать по крайней мере одну точку X € 00 (Я1,...,Ят) € Б,
Таким образом, в этом случае мы вообще не ищем оптимальные решения по каждому из критериев у1, у2, ..., ут, а только задаем приемлемые или желаемые интервалы значений для каждого из них. Полученное множество эквивалентности 00 (Я1,...,Ят) будет содержать все решения поставленной многокритериальной задачи.
2.3. Быстрый алгоритм поиска множества эквивалентности. Когда заведомо известно, что искомое множество эквивалентности не пусто, так как выбрана общая для всех множеств Пг (Яг) , / = 1,т точка X € Д и определены соответствующие допуски Яг, I = 1, т (см, разд. 2,1), его поиск можно существенно ускорить за счет сужения области поиска. Для этого разработан следующий алгоритм нахождения множества эквивалентности,
1, По первому критерию у1 (X) (X € Д) находится соответствующее множество решений П1 (Я1) (X € П1 (Я1)).
2, По второму критерию у2 (X) (X € П1 (Я1)) находится соответствующее множество решений П2 (Я2) С П1 (Я1) (X € П2 (Я2)),
3, По /-му критерию уг (X) (X € Пг-1 (Яг-1)) находится соответствующее множество решений Пг (Яг) С Пг-1 (Яг-1) (X € Пг (Яг)),
4, Так повторяется до / = т.
Таким образом, все найденные в результате применения этого быстрого алгоритма множества Пг (Яг) , / = 1,т , будут последовательно включены друг в друга:
Пт (Я ) С П т1 (Я т1 ) С ... С П (Я1) € Д .
Очевидно, что последнее найденное при помощи этого алгоритма множество будет являться искомым множеством эквивалентности:
т
Пт (Ят) = п0 (я1 ,...,Ят) = Р| Пг (Яг) .
г=1
Такой подход существенно сужает область поиска множеств Пг (Яг), / = 1,т и, как показали многочисленные вычислительные эксперименты, значительно ускоряет процесс решения многокритериальных задач дискретной оптимизации,
т
критериев задачи, а множества Пг (Яг), / = 1,т можно всегда искать во всей области X € Д и потом уже искать их общее пересечение, так как все допуски Яг, / = 1, т определены заранее и не зависят друг от друга (в отличие от метода последовательных уступок, например). Но если найдено одно из множеств Пг (Яг), то нет смысла искать Пг+1 (Яг+1) вне Пг (Яг), так как для нахождения множества эквивалентности П0 (Я1,...,Ят) необходимо найти лишь пересечение всех множеств Пг (Яг),/ = 1,т, Поэтому описанный в этом разделе быстрый алгоритм естественен и не приводит к потере каких-либо решений.
Отметим также, что этот ускоренный алгоритм можно применять как в случае, когда находятся оптимальные и близкие к оптимальным решения по всем критериям Яг, / = 1,т (см, разд. 2,1), так и в случае, когда в качестве начальной общей точки выбирается произвольная точка X € Д (см, разд. 2,2),
Кроме того, можно скомбинировать алгоритмы, описанные в разд. 2,1 и 2,2, — найти лишь к (1 < к < т) оптимальных решений X0, / = 1,к, определить по ним начальную общую точку X € Д и соответствующие допуски Яг, / = 1,к, как это описано в разд. 2.1:
д (X = ш1п V1 Й=1 (уг (^) - уг ^))2,
Яг = уг ^0) - уг (X) , / = Ix
Допуски по оставшимся m — k критериям определить, как это описано в разд. 2,2, и применить быстрый алгоритм поиска множества эквивалентности, предложенный в текущем разд. 2,3,
3. Преимущества метода множества эквивалентности по сравнению с методом последовательных уступок. Еще одним распространенным методом решения многокритериальных задач дискретной оптимизации является метод последовательных уступок, В этом разделе будут показаны преимущества и принципиальные отличия метода множества эквивалентности по сравнению с методом последовательных уступок. Сначала кратко опишем этот метод,
3.1. Метод последовательных уступок. Метод последовательных уступок решения многокритериальных задач применяется в случае, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убывающей важности. Предположим, что все критерии Zb ... ,Zm рассматриваемой задачи максимизируются и пронумерованы в порядке убывания их важности, Вначале определяется максимальное значение Z0 (первого по важности критерия в области X £ D), решив задачу
Z1 (X) ^ max, X £ D.
Затем назначается, исходя из практических соображений и принятой точности, величина допустимого отклонения > 0 (экономически оправданной уступки) критерия Z1 и отыскивается максимальное значение второго критерия Z2 при условии, что значение первого должно отклоняться от максимального не более чем на величину допустимой уступки, т, е, решается задача
Z2 (X) ^ max , Zi (X) > Z0 — ¿i, X £ D.
Снова назначается величина уступки ¿2 > 0 по второму критерию, которая вместе с первой используется при нахождении условного экстремума третьего частного критерия, и т.д. Наконец, выявляется экстремальное значение последнего по важности критерия Zm при условии, что значение каждого из первых m — 1 частных критериев отличается от экстремального не более чем на величину допустимой уступки. Получаемое на последнем этапе решение считается оптимальным. Для него также может быть задана соответствующая уступка > 0, чтобы определить множество близких к этому „оптимальному" решений.
Существенным недостатком метода последовательных уступок является то, что решение, полученное этим методом, и все множество близких к нему решений могут оказаться неоптимальными по Парето [3, 6],
3.2. Основные отличия метода множества эквивалентности от метода последовательных уступок. Перечислим эти отличия,
1, Главным различием этих двух методов является то, что в методе множества эквивалентности все критерии абсолютно равноценны. Нет никакой необходимости упорядочивать их по значимости (что является отдельной и далеко не всегда выполнимой задачей), как это в обязательном порядке делается в методе последовательных уступок.
2, Множества оптимальных и близких к оптимальным решений Пг (Яг) ,/ = 1,т по всем критериям задачи в методе множества эквивалентности определяются независимо друг от друга во всей области X € Д в соответствии с заранее заданными допусками Яг,/ = 1,т, В методе множества эквивалентности абсолютно не важен порядок нахождения множеств Пг (Яг),/ = 1,т, и последовательность их пересечения — результирующее множество эквивалентности от этого не зависит. При этом его заведомую непустоту обеспечивает алгоритм, описанный в разд. 2,1,
3, Существенное и принципиальное отличие метода множества эквивалентности от метода последовательных уступок заключается в том, что начальная точка X в методе множества эквивалентности всегда является общей для всех множеств Пг (Яг),/ = 1,т, т. е, заведомо входит во все эти множества, А в методе последовательных уступок начальная точка (оптимум по первому, „самому важному" критерию) может быть утрачена уже на втором шаге алгоритма, как и вторая точка (максимум по второму критерию) на третьем шаге алгоритма и т, д, вплоть до последнего шага. Это является существенным недостатком метода последовательных уступок, которого нет у метода множества эквивалентности,
4, Важнейший недостаток метода последовательных уступок состоит в том, что множество решений, полученных этим методом, может не содержать ни одного оптимального по Парето решения [3], А множество эквивалентности всегда содержит хотя бы одно парето-оптимальное решение, что будет доказано в следующем разд. 4,
4- Соотношение и взаимосвязь множества эквивалентности и множества оптимальных по Парето решений. Сначала сформулируем и докажем теорему, описывающую важное свойство множества эквивалентности и его пространственную структуру.
Теорема 2 (о вложенности множеств эквивалентности). Если точка X'' € Д не хуже по всем критериям, чем точка X' € Д т. е, выполнено
уг (X') < уг (X") < утах
Яг (X') = угтах - уг (X'), Яг (X'') = угтах - уг (X'') ,
и
где Яг (X'') < Яг (X') , / = 1,т, то для соответствующих множеств эквивалентности справедливо
П (Я1 (X'') ,...,Ят (X'')) С П0 (Я1 (X') ,...,Ят (X')) . т
уг ( т - 1)
уг = уГх - Яг, / = 1,т .
Поэтому если уг (X') < уг (X''), то соответствующие множества эквивалентности П0 (Я1 (X') ,...,Ят (X')) и П0 (Я1 (X'') ,...,Ят (X'')) ограничены снизу (т - 1)-мерными гиперплоскостями (рис, 2) :
Рис.2. Характерное расположение множества Парето (зеленый цвет), множеств (Я1) (желтый цвет), (^2) (красный цвет) и множества эквивалентности ^о (^1 ,В>2) (синий цвет)
уг (X') = угтах - Яг (X')
и
уг (X'') = угтах - Яг (X''),
где Яг (X'') < Яг (X') , I = 1т . Поэтому
00 (Я1 (X'') ,...,Ят (X'')) С 00 (Я1 (X') ,...,Ят (X')) .
Теорема 2 доказана.
Пусть Р (у1 ,...,ут) — множество оптимальных по Парето решений, определенное традиционным способом [3]:
Р (у1 ,...,ут) = {Л € Б | не существует В € Б : уг (В) > уг (А), I = 1,т} .
Теорема 3. Множество эквивалентности 00 (Я1 ,...,Ят) содержит хотя бы одно решение, оптимальное по Парето.
Доказательство. В соответствии с определением Р (у1 ,...,ут) для любого X' € 00 (Я1 ,...,Ят) найдется хотя бы одна точка X'' € Б, оптимальная по Парето X'' € Р (у1 ,...,ут) такая, что уг (X'') > уг (X'), I = 1,т.
Но это означает, что X'' соответствует меньшим либо равным значениям допусков Я1 ,...,Ят по всем критериям, чем X', и, следовательно, в соответствии с теоремой 2
Х^" € ^0 (я1 ,...,Ят) .
Теорема 3 доказана.
Следствие из теоремы 3, Если множество эквивалентности содержит единственное решение, то это решение оптимально по Парето,
Теорема 4, Если в методе множества эквивалентности в качестве начальной общей точки X € Д взять единственное оптимальное решение по любому из критериев, то полученное множество эквивалентности всегда будет содержать хотя бы одно парето-оптимальное решение, даже если по остальным критериям оптимальные решения не ищутся, а соответствующие им множества Пг (Яг) задаются по формуле (3) из разд. 2,2,
Доказательство, По определению множеств Пг (Яг) начальная точка X всегда входит в результирующее множество эквивалентности
т
X € ^0 (Я1,...,Ят) = П ^г (Яг) .
г=1
При этом единственная оптимальная по одному из критериев точка всегда является и парето-оптимальной. Теорема 4 доказана.
Рис, 2 на примере двухкритериальной задачи оптимизации иллюстрирует характерное пространственное расположение и соотношение множества Парето, множеств (Я1), (Я2), онтимадьных и близких к оптимальным решений по критериям у1; у2 соответственно и множества эквивалентности П0 (Я1,Я2), Эти множества изображены следующими цветами:
— множество парето-оптимальных решений — зеленым (жирная кривая, ограничивающая область значений критериев справа);
— множество оптимальных и близких к оптимальным решений по первому критерию (Я1) — желтым (закрашенная область справа внизу);
— множество оптимальных и близких к оптимальным решений по второму критерию (Я2) — красным (закрашенная область слева вверху);
— множество эквивалентности П0 (Я1,Я2) — синим (пересечение этих двух закрашенных областей).
Оценим скорость роста числа элементов множества Парето при увеличении числа критериев задачи. Прежде всего заметим, что множество парето-оптимальных решений всегда принадлежит (т - 1)-мерной гиперповерхности, проходящей через точки максимумов всех критериев у5"ах,..., утах в т-мерном пространстве критериев, как это видно на рис, 2, 3, В зависимости от конкретного вида оптимизируемых функций, парето-оптимальные решения могут быть распределены либо по всей этой гиперповерхности, либо по определенным ее частям (рис, 3), Поэтому число элементов множества Парето, как правило, растет пропорционально (т - 1)-мерному объему этой гиперповерхности
ЛГ 1)
V(т-1) ~ а ,
где а — характерный линейный размер множества всех возможных значений критериев
у1,. . . ,ут-а
менения всех критериев:
R2 = 1.02 R3 = 1.01
EkviPar = 12
EkviSet = 18
Pareto = 900
Рис.3. ЗБ-пример расположения множества Парето (зеленый цвет), множеств ^ (Я1) (желтый цвет), (^2) (красный цвет), (Я3) (синий цвет) и множества эквивалентности ) (фиолетовый
цвет)
где ymin = min y (X).
Это означает, что число элементов множества Парето в m-мерном пространстве критериев при увеличении числа этих критериев растет, как правило, со скоростью геометрической прогрессии (экспоненциально) и при m > n может включить в себя все точки области определения задачи X £ D. При этом число элементов множества эквивалентности не растет никогда, а наоборот, в большинстве случаев быстро убывает при увеличении числа критериев (теорема 1), что иллюстрируют рис. 2, 3.
На рис. 3, полученном в результате вычислений по специально разработанной компьютерной программе, видно взаимное расположение множества Парето, множеств оптимальных и близких к оптимальным решений ^ (R1), (R2) (R3) и множества эквивалентности (R1 ,R2,R3) при m = 3.
Элементы этих множеств изображены следующими цветами:
— множество парето-оптимальных решений — зеленым (жирные точки, принадлежащие поверхности, ограничивающей область значений критериев);
— множество оптимальных и близких к оптимальным решений по первому критерию
(R1) — желтым (множество точек, заполняющих объем слева внизу);
— множество оптимальных и близких к оптимальным решений по второму критерию
(R2) — красным (множество точек, заполняющих объем справа внизу);
— множество оптимальных и близких к оптимальным решений по второму критерию
(R3) — синим (множество точек, заполняющих объем справа вверху);
— множество эквивалентности (R1 ,R2 ,R3) — фиолетовым (пересечение этих трех множеств в середине рисунка).
a =
m (ymax - ymln) х... х (ymax - cln),
Начальная общая точка для множества эквивалентности X € Д найденная при помощи алгоритма из разд. 2, изображена фиолетовым кружком с голубой границей. Общее число элементов множества всех возможных значений критериев в данном случае равно 27000, число элементов множества Парето — 900, число элементов множества эквивалентности — 18, При этом 12 из них являются и парето-оптимальными (фиолетовые с зеленым центром),
5. Применение метода множества эквивалентности для решения обратных некорректных задач математической физики.
4- Математическая модель самофокусировки плоских рентгеновских импульсов в плазме. Самофокусировку рентгеновского импульса при его прохождении через плазму вызывает действие пондеромоторных сил, вытесняющих свободные электроны плазмы из области высокой интенсивности импульса, в сочетании с отрицательной диэлектрической проницаемостью плазмы для рентгеновского излучения, так как его несущая частота больше плазменной [11-13]. Коротко опишем физическую и математическую модели исследуемого процесса.
Пусть на границу плазмы (* = 0), находящейся в области г > 0, падает импульс рентгеновского излучения следующего вида:
Л(ж,г,*) = А (ж,*,*) е(х"-ш4),
где А (ж,*,*) — медленно меняющаяся амплитуда импульса, г — мнимая единица, ш — несущая частота импульса, х ~ волновой вектор, а его абсолютное значение ш/А — волновое число или пространственная частота.
Считая, что медленно меняющаяся амплитуда А (ж,*,*) удовлетворяет условиям
|ЗА/3*|< х |А|, |ЗА/3*|< ш |А|,
получаем для нее следующее уравнение [14]:
2
ЗА ЗА . с — + с— — г— 3* 3* 2ш
32 А
+ X2 (г - 1) А
0, (*)
Зж2
где диэлектрическая проницаемость г определяется выражением
4пе2
г =1--т-тп (ж,г,*);
тш (ш - «7)
здесь п (ж,*,*) — плотность свободных электронов, е и т — заряд и масса электрона, 7 — эффективная частота соударений.
Для простоты изложения здесь и далее мы полагаем, что постоянная диэлектрическая
с
х
в плазме. Считая, что продольный пространственный размер импульса = стр, где тр — длительность импульса, много больше поперечного размера: ^ будем описывать движение электронов плазмы в одномерном квазигидродинамическом приближении. При малых длительностях рентгеновского импульса движением ионов плазмы можно пренебречь, В этом случае уравнения движения плазмы имеют вид [14, 15]
,'дУ 2&Тдп е2 д |А|: т — + V— =--^--еЕ — 1 1
д£ дж у п дж 4тс2 дж '
I + дХ ("V ) = 0, М
дЕ 4пе .
-гг" =--(" - "о) ,
дж е0
где по — равновесное значение плотности электронов, ае0- низкочастотная диэлектрическая проницаемость, V (ж,г,£) — скорость свободных электронов плазмы, Е (ж,г,£) — кулоновекое поле.
При выводе (**) мы полагали, что электронная температура не меняется, а давление Р совпадает с давлением идеального газа электронов:
Р = 2&Гп.
Последний член в правой части первого уравнения (**) есть пондеромоторная сила:
Р = —ди/дж,
где пондеромоторный потенциал и (ж,г,£) определяется выражением
е2 2
и(х,г,^) = 4тс2 |А.
Система уравнений (*), (**) представляет собой замкнутую систему уравнений в частных производных гиперболического типа для четырех переменных А (ж,г,£), п (ж,г,£), V (ж,г,£) и Е (ж,г,£).
Введем следующую нормировку координат и неизвестных функций:
¿' = ¿/тр, г' = г/ (стр), ж' = ж/^,
где тр- даительность падающего импульса, а ¿ - его поперечный размер;
V' = ^о, п' = п/по, Е' = Е/Ео, А' = А/Ао,
где
/2£Т 4пепо^ /4пс/о
Ко = у-, по = п (ж,г,0) , Е = -, Ао
т ..........ео V ш2
В этом случае система уравнений (*), (**) примет вид (штрихи у безразмерных переменных здесь и далее будем опускать):
# + дА — ^
#4 — ^пА
Уж2
0,
п (I + «V%) = — а§П — п(вЕ + 7^2) , (4)
§ = —а (Vр + п^) ,
Уг V Уж Уж / '
7Г = 1 — п.
Уж
Система уравнений (4) дополняется следующими начальными:
А (ж, г > 0, Ь = 0) = 0, V (ж, г > 0, Ь = 0) = 0, Е (ж, г > 0, Ь = 0) = 0, п (ж, г > 0, г = 0) = 1,
(5)
и граничными условиями:
(6)
Е (ж,г,Ь) = 0 V (ж,г,Ь) = 0
где А (ж,г,Ь) — медленно меняющаяся амплитуда импульса, п (ж,г,Ь) — плотность свободных электронов плазмы, Е (ж,г,Ь) — кулоновское поле, V (ж,г,Ь) — скорость свободных электронов плазмы, а, в, 7, V — обобщенные параметры системы, г — мнимая единица. Система уравнений (4), (5), (6) записана в безразмерных нормированных величинах, Штрихи над ними опущены для простоты записи. Обобщенные параметры модели а, в, 7, V имеют вид
ное значение концентрации свободных электронов, ео — низкочастотная диэлектрическая
е т с
вакууме, /о — максимальная интенсивность входного импульса,
5.2. Результаты вычислительных экспериментов. Нелинейная система (4) дифференциальных уравнений в частных производных с начальными и граничными условиями (5), (6) была решена разностным методом, подробно описанным в работе [15]. Так как система (4) является квазилинейной относительно медленно меняющейся амплитуды А (ж,г,Ь), то применение предлагаемого разностного метода решения является обоснованным. Это было также подтверждено многочисленными вычислительными экспериментами при различных значениях параметров задачи и сравнением их результатов с результатами соответствующих физических экспериментов, что показало хорошее соответствие построенной математической модели самофокусировки плоских рентгеновских импульсов в плазме реальному процессу и высокую точность предлагаемого вычислительного метода решения, С целью выяснения зависимости поведения решения задачи (4)-(6) от параметров (а,в,тА^) определения их оптимальных с точки зрения фокусировки импульса значений, а также практической проверки целесообразности применения предложенного вычислительного метода для решения такого рода задач был проведен ряд численных экспериментов на ЭВМ, В результате была показана возможность самофокусировки рентгеновского импульса в плазме при реально достижимых значениях параметров, найдены условия наиболее яркого проявления эффекта. Сравнение полученных результатов с реальными физическими экспериментами показало высокую точность предлагаемой математической модели и метода решения соответствующей задачи. Рассматривались пикосекундные рентгеновские импульсы, В ходе многочисленных вычислительных экспериментов были рассмотрены различные значения обобщенных параметров задачи а, в, 7, V. В абсолютных величинах длительность импульса тр выбиралась в диапазоне от 0,5 до 10 пнкосекунд (10-12 секунды), линейная несущая частота рентгеновского импульса V — в диапазоне от
а
(7)
плазменная частота, ш — несущая частота импульса, по — началь-
Рис.4 (а). Иллюстрация динамики интенсивности импульса I (я,г,£) по мере его продвижения в плазме при £ = £0 = 2.0 и следующих значениях параметров задачи: а = 1.0, в = 1.0, 7 = 0.25, 5 = 0.1, V = 300
Рис.4 (Ь). Иллюстрация динамики интенсивности импульса I (я,г,£) по мере его продвижения в плазме при £ = £1 =2.9 и следующих значениях параметров задачи: а = 1.0, в = 1.0, 7 = 0.25, 5 = 0.1, V = 300
Рис.4 (с). Иллюстрация динамики интенсивности импульса I (я,г,£) по мере его продвижения в плазме при £ = £2 = 3.1 и следующих значениях параметров задачи: а = 1.0, в = 1.0, 7 = 0.25, 5 = 0.1, V = 300
Рис.4 ((1). Иллюстрация динамики интенсивности импульса I (я,г,£) по мере его продвижения в плазме при £ = ¿з = 3.4 и следующих значениях параметров задачи: а = 1.0, в = 1.0, 7 = 0.25, 5 = 0.1, V = 300
5 • 1017 до 5 • 1019, что соответствует диапазону изменения цикли ческой частоты и = 2п v от п • 1018 до п • 1020. Таким образом, длительность импульса была больше времени одного колебания волны рентгеновского излучения приблизительно в 10000 — 10000000 раз.
На рис. 4, а-е, показана пространственная динамика интенсивности импульса I(x,z,t) по мере его продвижения в плазме в различные моменты времени:
t = t0 = 2.0 (рис. 4, а, максимальная интенсивность на входе в плазму max I (x, z, t0) = I0 = 1.0) t = t1 = 2.9 (рис. 4, b), t = t2 = 3.1 (рис. 4, с), t = t3 = 3.4 (рис. 4, d), t = t4 = 3.85 (рис. 4, e).
/(Г 7. Л
Рис.4 (е). Иллюстрация динамики интенсивности импульса I (я,г,£) по мере его продвижения в плазме при £ = = 3.85 и следующих значениях параметров задачи: а = 1.0, в = 1.0, 7 = 0.25, 6 = 0.1, V = 300
В данном примере в результате самофокусировки максимальная интенсивность импульса увеличилась более чем в десять раз. При этом брались следующие значения параметров задачи: а = 1.0, в = 1.0, 7 = 0.25, 8 = 0.1, V = 300.
Параметр Б, отвечающий за размер сеток по осп х, выбирался на основе численных экспериментов так, чтобы перенос правых граничных условий из х то в х = Дне сказывался на поведении решения. Рассматривались различные Б Е [2.5, 4.0]. Была также исследована зависимость решения задачи (4)-(6) от обобщенных параметров а,в,Т,8^.
Параметр а = У0тр/б определяет отношение длины, пробегаемой электроном за длительность импульса, к поперечному размеру рентгеновского пучка. Из физических соображений наилучшую самофокусировку следует обкидать при а ^ 1
численные эксперименты. Также выяснилось, что увеличение параметров в и V, отвечающих за влияние кулоновских сил на динамику электронной компоненты плазмы и за величину начальной концентрации свободных электронов, ведет к разбиению рентгеновского импульса на несколько параллельных пучков вдоль осп Этот эффект становится более ярким с увеличением параметра 7, определяющего интенсивность входного импульса и влияние пондеромоторных сил. Подробное описание исследуемого физического процесса дано в работе [14].
Приведем пример, экспериментально подтверждающий асимптотическую устойчи-
8
плывание пучка, из физических соображений обратно пропорционален длине фокусировки, т. е. длине, на которой наступает максимальное сжатие пучка, после чего начинается режим насыщения, во время которого максимальная интенсивность импульса 1тах (£) циклически изменяется, как это видно из графиков на рис. 5 и рис. 6, полученных в результате вычислений.
8
водит к пропорциональному уменьшению длины фокусировки. Такое поведение решения свидетельствует также об асимптотической устойчивости построенной разностной схемы,
8
_I_I_I_I_I_I___I_I_I_I_I_I_
О 10 20 30 Г 0 100 200 300 Г
Рис. 5. Динамика максимальной интенсивности Рис. 6. Динамика максимальной интенсивности импульса при 6 = 0.01 импульса при 6 = 0.001
рис. 6 рассчитывается в десять раз дольше, чем на рис. 5, т. е. для его вычисления надо сделать в десять раз больше шагов по времени £ и глубине Небольшие отличия графиков на рис. 5 и рис. 6 связаны с тем, что чем больше параметр 6, тем меньше длина фокусировки и тем менее плавно свободные электроны плазмы „отслеживают" изменения формы импульса.
С физической точки зрения, проведенные расчеты указывают на возможность использования самофокусировки импульсного рентгеновского излучения в плазме для повышения его интенсивности в широком диапазоне начальных значений параметров плазмы и импульса, а с математической — подтверждают надежность и целесообразность описанного в этой работе вычислительного метода для решения прямых задач такого типа и использования полученных результатов при различных значениях входных параметров для решения обратных задач, о чем будет рассказано в следующем разделе.
6. Применение метода множества эквивалентности для решения обратных задач определения начальных параметров плазмы и импульса по характеристикам прошедшего через нее рентгеновского импульса. Решение такого рода обратных задач представляет особый интерес, поскольку позволяет дать ответы сразу на два важных вопроса:
— Какими были начальные параметры плазмы, если рентгеновский импульс на выходе из нее имеет определенные (измеренные) характеристики?
— Какими должны быть начальные параметры плазмы и импульса, чтобы рентгеновский импульс на выходе из нее имел желаемые характеристики?
Для решения этих задач будем применять метод множества эквивалентности [1, 2] по одному или нескольким критериям. Для определения критериев могут быть использованы следующие характеристики выходного импульса:
— Объемная форма нмпульеа (по интенсивности) на выходе из плазмы в определенный момент времени;
— Объемная форма импульса (по интенсивности) на выходе из плазмы в несколько различных моментов времени;
— Динамика максимальной интенсивности импульса на выходе из плазмы за определенный промежуток времени.
Формально соответствующие критерии можно записать следующим образом:
Л (I (Р,х,^1 )) = Ел>г е Е II (Р,х,^1 ) - 1° (Р°,х,^1 )|
■/х,г € Е
F2 (/ (P,x,z,t2)) = ЕX*€E |1 (P,x,z,t2) - /0 (P°,x,z,i2)j ,
Fn (/ (P,x,z,ira)) = Ex,z e E |1 (P,x,z,tn) - I0 (P0,x,z,t„)| , Fn+1 (/max (P,t)) = EtET |/max (P,t) — /max0 (P0,t)| .
Здесь используются следующие обозначения:
P = (p1 ,p2,...,ps) _ набор из s интересующих нас исходных параметров плазмы и импульса, Например, это могут быть все пять обобщенных параметров (7) системы (4)-(6), Тогда P = Или в него могут входить, например, начальная концентрация сво-
бодных электронов плазмы n0, низкочастотная диэлектрическая проницаемоеть плазмы е0 и несущая частота входного импульса ш, В этом случае P = (п0,е0,ш), а значения обобщенных параметров системы (4)-(6) будут вычислены в соответствии со значениями п0,е0,ш по формулам (7);
P0 = (Pi,P0,...,P0) _ искомый набор из s значений интересующих нас исходных параметров плазмы и импульса;
Е — пространственная область определения (вычисления и измерения) функции интенсивности импульса / (P,x,z,tn) в момент времени t = tn;
/ (P,x,z,tn) — вычисляемая в результате решения прямой задачи для каждого набора значений параметров P функция интенсивности импульса в области x,z G Ев момент времени t = tn (рис, 4);
/0 (P0,x,z,tn) — эталонная (измеренная или желаемая) функция интенсивности импульса для искомого набора значений параметров P0 в облас ти x,z G Ев момент времени t = tn
T — промежуток времени, на котором определяется (измеряется) максимальная интенсивность рентгеновского импульса;
/max (P,t) — вычисляемая в результате решения прямой задачи для каждого набора значений параметров P функция максимальной интенсивности импульса в области t G T (рис, 5, 6);
/max0 (P0 ,t) — эталонная (измеренная или желаемая) функция максимальной интенсивности импульса для искомого набора значений параметров P0 в области t G T,
Для решения обратной задачи определения начальных параметров плазмы необходимо минимизировать все эти n+1 функционала. Другими словами — решить многокритериальную задачу минимизации по n +1 критерию. Решать эту задачу будем методом множества эквивалентности [1, 2]. Опишем поэтапно алгоритм применения этого метода для решения данной задачи:
1) По каждому из интересующих нас начальных параметров плазмы и импульса (на отрезке от минимально возможного значения этого параметра a^ до максимально возможного значения Ь) вводим регулярную сетку
шг = рТ = а-г + ^ • кг : ^ = 0,1,... кг - ^
Ьг
где Ьг — число точек сетки для г-ого входного параметра, Нг — соответствующий шаг этой сетки, г = 1,...,^,
И общую сетку в ^-мерном пространстве всех рассматриваемых параметров
= X х ... х ^ = {(а1 + • Н1,а2 + • Н2,...,а8 + ^ • Н8) : ^'г = 0,... ,¿¿1;
2) В каждом узле этой сетки решаем прямую задачу (4)-(6) описанным численным методом и вычисляем соответствующие значения I (Р, ж,г,£га);
3) Для каждого критерия Рг, I = 1,...,п + 1 решаем задачу минимизации и находим соответствующий набор начальных параметров Р0,
4) Для каждого из этих критериев определяем не только оптимальные решения, но и множество решений, близких к оптимальному (т, е, отличающихся от оптимального значения не более, чем на заданное число Кг > 0, I = 1,...,п + 1). Для каждого значения I определяем множество Пг (Кг), которое является множеством всех оптимальных и близких к оптимальному решений Р0 = (р?,р2,...,Р0) е Пг (Кг) то критерию Рг,
5) Находим множество, являющееся пересечением всех множеств Пг (Кг)
п+1
По (К1,...,Кп+1) = Р) П (Кг)
г=1
Множество П0 (К1,...,Кга+1) называется множеством эквивалентности с точки зрения всех критериев, так как все его элементы принадлежат одновременно всем множествам Пг (Кг) и являются оптимальными и близкими к оптимальным решениями по всем критериям, Любой набор начальных параметров, принадлежащий этому множеству,
Р0 = (р°,р0,...,р0) е П (К1,...,Кга+1)
является решением задачи.
Обозначим число элементов множества П0 (К1,...,Кга+1) через г, г > 0, Возможны два случая:
1) П0 (К1,...,Кга+1) = 0, т. е ,г> 0.В этом случае в качестве решения обратной задачи может быть взято любое Р0 = (р?,р2,...,р°°) е П0 (К1 ,...,Кга+1), при этом оценка точности решения по каждому критерию Рг, I = 1,...,п+1 будет определяться компонентами вектора
(к1,...,Кга+1)-
2) П0 (К1,...,Кга+1) = 0, т. е, г = 0, В этом случае надо изменить одно или несколько значений Кг, повторить расчеты по определению новых множеств Пг (Кг) и получить соответствующее им множество эквивалентности П0 (К1,...,Кга+1),
Методы, определяющие множество эквивалентности П0 (К1 ,...,Кга+1) = 0, являются методами регуляризации [10] для некорректных обратных задач в псевдометрическом пространстве критериев [1, 2] (даже при наличии неформализованных критериев), а каждое решение Р0 = (р,р2,...,Р°) е П0 (К1,...,Кга+1) — решением такой некорректной задачи,
В самом деле, наличие п + 1 формализованного критерия Рг(Р), Р е Р, I = 1,..., п + 1 позволяет на множестве Р определить п+1 функцию расстояния между двумя элементами Р' € Р и Р'' € Р:
Д (Р',Р'') = |Д (Р') - Д (Р'')| , I = 1,...,п + 1.
Эти функции обладают следующими свойствами:
Д (Х,Х) = 0, Д (Х,У) > 0, Д (Х,У) = Д* (У,Х), Д (Х,У) + Д (У,£) > Д (Х,£), Х,У,£ е Б, I = 1,...,п +1.
Введенные нами функции являются псевдо метриками, а множество Б с такой метрикой называется псевдометрическим пространством, В отличие от метрического пространства, условие Д* (Х,У) = 0 может выполняться также и для некоторых X = У,
Поэтому в нашем случае для любых Р', Р'' е (Д1,...,Дга+1) будут выполняться условия устойчивости типа Тихоновских условий для устойчивых задач [10]:
Таким образом, метод множества эквивалентности можно считать обобщением метода регуляризации для некорректных задач в многомерном псевдометрическом пространстве Б при наличии нескольких критериев. Это позволяет применять метод множества эквивалентности как для решения задач многокритериальной оптимизации [1, 2], так и для решения обратных задач математической физики [14, 15], как показано в этой статье.
Описанный метод не имеет недостатка метода нахождения множества эффективных по Парето решений, поскольку при добавлении дополнительного критерия множество эквивалентности не растет, а наоборот сужается [1,2] (рис, 7), Поэтому при решении реальных задач из полученного этим методом множества эквивалентности экспертом могут выбираться решения, удовлетворяющие не только формализованным критериям, но и неформализованным, основанным на опыте и интуиции эксперта, при этом гарантированно не упуская наилучшее решение, которое при любом количестве критериев всегда будет находиться внутри найденного множества
Какое именно решение из множества эквивалентности выбрать — решает эксперт-исследователь, исходя из его опыта, неформализованных критериев и конкретных целей. Нередко бывает, что эксперт выбирает сразу несколько наборов начальных параметров из полученного множества эквивалентных решений. Например, чтобы проверить и сравнить возможность и удобство их реализации на практике. Важно отметить, что число критериев зависит от конкретных целей исследования процесса самофокусировки. Например, если цель заключается не в том, чтобы восстановить начальные параметры плазмы по измеренным характеристикам прошедшего через нее рентгеновского импульса, а только в том, чтобы определить такие значения начальных параметров плазмы и импульса, при которых импульс в результате процесса самофокусировки достигнет желаемой интенсивности, то достаточно найти множество решений, удовлетворяющее хотя бы одному из п + 1 критериев, В этом случае нет необходимости искать пересечение п+1 множества эквивалентных
Д (Р', Р'') < Д1, I = 1,...,п + 1.
п+1
()
решений для всех критериев. При этом остается возможность найти несколько разных наборов начальных параметров плазмы и импульса (решив обратную задачу по одному или нескольким критериям независимо друг от друга), при которых достигается желаемая интенсивность импульса после самофокусировки, и выбрать из них наиболее подходящие с точки зрения практического применения в различных конкретных условиях. Отметим также, что многочисленные вычислительные эксперименты показали, что для восстановления начальных параметров плазмы по измеренным характеристикам прошедшего через нее рентгеновского импульса вполне достаточно найти множество эквивалентности для трех-четырех критериев, то есть решить обратную задачу при п = 2, 3.
Заключение. Получен обобщенный метод множества эквивалентности, обладающий следующими свойствами:
Искомое множество эквивалентности
т
^0 (Д1 ,...,Дт) = (Д*)
1=1
всегда заведомо не пусто.
— Множество эквивалентности всегда содержит хотя бы одно парето-оптимальное решение. Если множество эквивалентности содержит единственное решение, то это решение оптимально по Парето.
— Область поиска множества эквивалентности существенно сужена без потерь каких-либо решений.
Методы, определяющие (Д1,...,Дт) = 0, являются методами регуляризации [10] для некорректных задач в псевдометрическом пространстве критериев у1 ,...,ут (даже при
наличии неформализованных критериев), а каждое решение X' Е (R) _ решением такой задачи. Таким образом, метод множества эквивалентности можно считать обобщением метода регуляризации для некорректных задач в многомерном псевдометрическом пространстве D при наличии нескольких критериев в дискретном случае. Это позволяет применять метод множества эквивалентности как для решения задач многокритериальной оптимизации, так и для решения обратных задач математической физики.
Список литературы
1. Хачатуров Р. В. Многокритериальная оптимизация в псевдометрическом пространстве критериев на примере общей модели деятельности предприятия // ЖВМ и МФ. 2016. Т. 56. № 9. С. 1602-1613.
2. Khachaturov R. V. Single- and Multiobjective Optimization on the Lattice of Cubes // Computer and Systems Sciences International. 2018. V. 57. № 5. P. 750-758.
3. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.
4. Mas-Collel A., Whinston М. D., Green J. R. Microeconomic theory. N.Y.: Oxford University Press, 1995.
5. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М.: Мир, 1991.
6. ШтоЙЕР Р. Многокритериальная оптимизация (теория, вычисления и приложения). М.: Радио и связь, 1992.
7. Губко М. В., Новиков Д. А. Теория игр в управлении организационными системами. М.: Синтег, 2002.
8. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. М.: Физматлит, 2002.
9. Лотов A.B., поспелова И. И. Многокритериальные задачи принятия решений: Учебное пособие. М.: МАКС Пресс, 2008.
10. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
11. Elton R. С. X-ray lasers. New York: Acad. Press, 1990.
12. Axmahob С. А. Сверхсильные световые поля в нелинейной оптике, физике плазмы и технике рентгеновских источников // Итоги науки и техники. Современные проблемы лазерной физики. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 4. С. 15-18.
13. Шен И. Р. Принципы нелинейной оптики. М.: Наука, 1985.
14. Андреев А. В., Хачатуров Р. В. Самофокусировка импульсного рентгеновского излучения в плазме. // Вестник МГУ. Серия 3: Физика, астрономия. 1995. Т. 36. № 3. С. 25-33.
15. Хачатуров Р. В. Вычислительный метод исследования процесса самофокусировки рентгеновского излучения в плазме // ЖВМ и МФ. 1996. Т. 36. № 1. С. 103-111.
ковского (РАКЦ). E-mail: rv_khach@yahoo.ie, tel.: 8-916-978-55-19.
Хачатуров Рубен Владимирович родился в 1969 году в Москве. В 1992 году закончил МГУ им. М. В. Ломоносова, факультет ВМК (кафедра математической физики) по специальности „Математика. Прикладная математика". В 1996 году защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Несколько лет работал и
Управление"
Хачатуров Рубен Владимирович — канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Вычислительного Центра им. А. А. Дородницына Федерального исследовательского центра „Информатика и РАН, член-корреспондент Россий-
ской Академии Космонавтики им. К. Э. Циол-
преподавал в МГУ им. М. В. Ломоносова, а также в университетах Испании и Мексики. Область научных интересов: общая математика, математическое моделирование, многокритериальные задачи, вычислительные методы, математическая физика, космология. Является автором и соавтором более 50 научных публикаций.
Khachaturov Ruben Vladimirovich PI I.I), in mathematics and physics, Senior Researcher at Dorodnicvn Computing Centre, FRC CSC RAS, corresponding member of the Russian Academy of Cosmonautics named after K. E. Tsiolkovskv.
Khachaturov Ruben Vladimirovich was
born in 1969 in Moscow. In 1992 he graduated from Lomonosov Moscow State University, faculty of the VMK (Department of Mathematical Physics). In 1996 he defended his thesis for Ph.D. degree in mathematics and physics. For several years he worked and taught at Lomonosov Moscow State University and at universities in Spain and Mexico. Research interests: general mathematics, mathematical modeling, multicriteria problems, computational methods, mathematical physics, cosmology. He is the author and co-author of more than 50 scientific publications.
Дата поступления — 12.10.2019
