CC BY
15
изменения, которые претерпевает система в случае трансформации особенностей в системах с дисперсией погонных параметров.
Список литературы: 1. Гора Н.Н. Уравнения процесса формирования многокомпонентных смесей // АСУ и приборы автоматики. 2006. Вып. 133. 2. ГораН.Н., ВовкА.В. Вывод системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс обработки многокомпонентной смеси // Вестник НТУ ХПИ, тематический выпуск «Информатика и моделирование», В23, 2006. С. 19-28. 3. Дикарев В.А., Мельников А.Ф. Анализ высокочастотных сигналов в неоднородных линиях с учетом скин-эффекта / В кн. : Методы и средства преобразования сигналов. Тезисы докладов Всесоюзной конференции. Рига, 1976. С. 182-185.
Поступила в редколлегию 27.02.2008 Дикарев Вадим Анатолиевич, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61164, Харьков, пр. Ленина, 66, кв. 21, тел. 343-57-03.
Подгорбунский Никита Сергеевич, стажёр-исследователь кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61195, Харьков, ул. Метростроителей, 15, кв. 23, тел. 716-02-70.
Агапова Ирина Степановна, канд. техн. наук, доцент кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика, теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.. 70-21-436.
УДК 519.632
С.В. КОЛОСОВА, С.Н.МАРЧЕНКО, М.В.СИДОРОВ
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КВАЗИФУНКЦИЙ ГРИНА К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Рассматривается применение метода квазифункций Грина к решению краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений в областях сложной геометрии. Метод позволяет краевой задаче поставить в соответствие эквивалентное интегральное уравнение, решив которое точными или приближенными методами можно получить соответственно точное или приближенное решение краевой задачи.
1. Введение
В современной науке наблюдается большой интерес к процессам, происходящим в нелинейных средах. Математическими моделями таких процессов являются нелинейные краевые задачи математической физики. В связи с этим первостепенное значение приобретают методы конструктивного решения нелинейных краевых задач.
К таким методам относится, например, метод функций Грина. Однако необходимая для его построения функция Грина зачастую имеет достаточно сложный вид и практически может быть построена лишь для узкого класса областей. Возможен другой путь, а именно: построение функций, близких в некотором смысле к функциям Грина - квазифункций Грина.
2. Постановка задачи
Целью работы является изучение возможности использования метода квазифункций Грина при решении краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений в сложных областях.
Рассмотрим краевую задачу
Au = f(x,u) Vx=(xj,x2) е Q с R2 , u|да = 0 ,
о
для которой, следуя методике В. Л. Рвачева [1], мы получили эквивалентное на W2(ü) интегральное уравнение
u(x) = -J G2 (x,S) • f(iußM +1 uß) • K(x,^№
а а , (1)
где к(х 4) =
2П
q(x,4), G2(x, 4) = -1 (1п- - q(x,4)),
2п г
q(x, 4) = -- 1п(г2 + 4ю(х)ю(4)), г = ||х - 4|| = ^^ )2 +(х2 )2
. П.. ,11 /,„ с ч2 .
ю = 0 - нормализованное до первого порядка уравнение границы дО., ю > 0 Ух еП ,
о .
W 2(П) - пространство функций, равных нулю на дО и имеющих квадратично суммируемые в П обобщенные производные первого порядка.
В магнитной гидродинамике вызывает интерес задача с f(х, и) = -е-и [2]. В этом случае соответствующее интегральное уравнение имеет вид:
и(х) =| G2(х, 4) • е-и(4)d4 и(4) • К(х,4)d4 . (2)
П П
Интегральные уравнения (1) и (2) являются нелинейными. Ниже мы предлагаем некоторые методы решения таких уравнений.
3. Метод замены интеграла конечной суммой
Если в уравнении (1) заменить интегралы с помощью некоторой кубатурной формулы с узловыми точками 4(-') еП, кубатурными коэффициентами Aj, Bj и остатками гп, рп, суммами
£^(х,4а)Ж4а),и(4а)))+гп ^к(х,4«)и(4а))+Рп j=l ' j=l то получим уравнение
и(х) = -£^2(х,4 а)Ж4 а),и(4 а))) + £^К(х,4 а))и(4 «) + гп +Рп
j=1 j=1
Поскольку кубатурные остатки гп, рп неизвестны и в случае сходимости кубатурного процесса они при достаточном количестве узлов могут стать как угодно малыми, то ими пренебрегают и получают приближенное решение
и (х) = -£ AjG2(x,4 (-'))Г (4(-'),1й (4 (j))) + £ BjK(x,4(j))U (4а)) (3)
j=1 j=1
Как видим, гй (х) выражается через свои же значения в узловых точках. Для определения неизвестных и(4('')) придаем переменной х значения х(1), которые независимо от 4(-') пробегают множество координат узловых точек, и, таким образом, в соответствии с (3) получаем систему нелинейных алгебраических уравнений
и (х(1)) = -£ AjG2( х(1), 4 (-') (4 а),и (4а))) + £ BjK(x(l), 4(-'))йд (4 (j)), 1 = 1,...,п . (4) .¡=1 И
Если эта система имеет единственное решение, то, найдя и (4('')) и подставив их в (3), получим приближенное решение и(х).
Несмотря на то, что данный метод конструктивно чрезвычайно прост, для достижения нужной точности приходится использовать кубатурные формулы с большим количеством узлов. Тогда возникают трудности, связанные с решением системы (4), состоящей из достаточно большого числа уравнений [3].
Для уравнения (2) в случае использования кубатурной формулы прямоугольников система (3) принимает вид:
^ _. . „„V , т ^(п\ и и
и(х(1)) = (G2(х(1),4(1))е-и(4 ^ + G2(х(1),4(2))е-и(4 ^ +... + G2(х(1),4(п))е-и(4 • Н!Н2
- (и (4(1)) • К(х(1), 4(1)) +...+и (4(п)) • К(х(1), 4(п))) • нн
2'
и (х(п)) = (G 2 (х(п), 4 (1))е-и (4(1)) + G 2 (х(п), 4 (2))е-и (4(2)) +. + G 2 (х(п), 4 (п))е-и ^ • Н—Н2 + +(и (4(1)) • К(х(п), 4(1)) +... + и (4(п)) • К(х(п), 4(п)) )• Н—Н,
где х(1) = (х—Й,х<к))еП , 4(1) = ^к))еО, 1 = 1,...,п, j = 1,...,п, к = 1,...,п.
В табл. 1 приведены результаты решения системы (5) для прямоугольной области
О = {(X!,х2)|0 <х— <а,0 <х2 <ь}, а = —, Ь = — ,
где ю(х) = 2х— (а - х—) + 4х2(Ь - х2)(2х— (а - х—))2 + (4х2(Ь - х2))2 и п = 703 .
Таблица 1
0,25 0 0 0 0 0 0 0
0,2 0 0,00549 0,00639 0,00639 0,00639 0,00549 0
0,15 0 0,00539 0,00694 0,00720 0,00694 0,00539 0
0,1 0 0,00539 0,00694 0,00720 0,00694 0,00539 0
0,05 0 0,00549 0,00639 0,00639 0,00639 0,00549 0
0 0 0 0 0 0 0 0
х2 /х— 0 0,1 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5
График приближеного решения П поивсдсн на оис. 1.
Рис. 1.
4. Метод последовательных приближений
Напомним процедуру обычного метода последовательных приближений [4]. Рассмотрим операторное уравнение
Вх = Р . (6)
Представим уравнение (6) в виде
Ах + (В-А)х = Р; Ах + Сх = Р,
где А - некоторый линейный оператор достаточно простого строения, а С = В - А.
В качестве первого приближения х— к решению уравнения (6) берем решение уравнения
Ах— = Р,
причем оператор А выбран так, что это уравнение решается достаточно просто.
Если это решение подставить в исходное уравнение, то разность между правой и левой частями уравнений будет А2 = Р - Ах— - Сх—, т. е. погрешность первого приближения «вызывается» наличием неуравновешенности Д2.
Для устранения неуравновешенности поправку §2 к первому приближению определяют из уравнения А52 = А2 и в качестве второго приближения к истинному решению принимают х2 = х— +62 .
Аналогичным образом определяются «неуравновешенность второго приближения», новая поправка к решению и т.д.
Применение этой процедуры к нелинейному интегральному уравнению (2) позволило свести его к последовательности линейных интегральных уравнений
ит(х) - | ит(4)К(х, 4№ = | G2(x,4)еит-1(4^4 т = 2 3 (7)
П П ' '"''
где положили и-(х) = 0 .
Уравнения (7) мы решаем методом Бубнова-Галеркина [5], что позволяет получить результат в аналитическом виде.
Приближенное решение каждого из уравнений ищем в виде
ит(х)=£<%( х), к=1
что приводит к следующим системам уравнений относительно ст, к = 1,..., п , т = 2,3,...:
£ с к
к=1
£ ст
к=1
| фк(х^(хМх -11 К(х, 4 ^(4 )Фк(4да
ПП
= Л G2(x,4)фj(x)d4dx, j = 1,...,п,
(8)
ПП
|фк(х)ф j(x)dx -Л К(х, 4)фj(4 )Фк(4да
П ПП
= 11 G2(х,4)е-ит-1(%(x)d4dx, j = 1,...,п,т = 3,4,...,
ПП
где {фк (х)} - координатная последовательность.
Решив (8) при т = 4, П = {(х1,х2)|0 <х1 <а,0 <х2 <Ь}, а = —, Ь = -
фк(х) =ю(Х1,Х2) • Р^ - 1) • ¡нЦ2 - 1), 1 + j = 0,1,.,п , Р.(х) ^ТГ(х2-1)1,
211! dx1
ю(х) = 2х1 • (а - х1) + 4х2 • (Ь - х2) (2х1 • (а - х1))2 + (4х2 • (Ь - х2))2 получим приближенное решение уравнения (2) в виде
и4 (х) = 1,83834х4 + х3 (-1,83 832 - 0,000068х2) - 0,0603474^(1 - 2х1 )2х2 + (1 - 4х
+х^ (0,33888 + х2 (-1,96969 + 7,87905х 2) + 0,919168^(1 - 2х1)2 х;2 + (1 - 4х 2 )2 х2) + +х1 (-0,0001359(-0,300904 + х2 )(0,0509086 + х2 )(28981,5 + х 2) -
\2 2 . 2) х2 +
-0,459575^(1 - 2х1 )2 х^2 + (1 - 4х 2 )2 х
ч 2 2
0,000034х
- 2х1 )2 х2
2 + (1 - 4х 2 )2 х 2) +
+х2 (0,0603474 - 0,52528^(1 - 2х1 )2 х;2 + (1 - 4х 2 )2 х2 + +х2 (0,283891 + х2 (-4,20231 + 8,40475х 2) + 2,10119^(1 - 2х1 )2 х2 + (1 - 4х 2)2 х2)).
График приближеного решения и4 приведен на рис. 2.
о.оое
0.004
о.оог
о
Рис. 2.
5. Сравнение результатов
Сравнение результатов, полученных обоими методами, представлено в табл. 2 (и -
результат, полученный с помощью метода замены интеграла конечной суммой, и4 - с помощью метода последовательных приближений).
Таблица 2
х1 х 2 и 6 и4
0,05 0,1 0,00157 0,00159
0,05 0,15 0,00157 0,00159
0,2 0,05 0,00627 0,00639
0,2 0,2 0,00627 0,00639
0,25 0,125 0,07185 0,00720
0,35 0,05 0,00627 0,00639
0,35 0,15 0,00620 0,00629
0,45 0,1 0,00157 0,00159
0,45 0,15 0,00157 0,00159
Результаты, полученные нами при а = 0,5; Ь = 0,25 с помощью метода последовательных приближений и6(0,25; 0,125) = 0,007191 и с помощью метода замены интеграла конечной суммой и(0,25;0,125) = 0,007201, довольно хорошо совпадают с результатом Беллмана Р. и Калабы Р. [2] в соответствующей точке и(0,25; 0,125) = 0,007071.
6. Выводы
Научная новизна и практическая значимость. Мы впервые применили метод квазифункций Грина к решению конкретных краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений, что дало возможность построить эквивалентное нелинейное интегральное уравнение. Кроме того, мы предложили к решению нелинейного интегрального уравнения применить метод последовательных приближений и перейти от нелинейного интегрального уравнения к последовательности линейных интегральных уравнений. Учитывая обстоятельство, что зачастую сделать вывод о точности полученного решения не представляется возможным, мы предлагаем наряду с методом последовательных приближений для решения нелинейного интегрального уравнения использовать метод замены интеграла конечной суммой.
Список литературы: 1. РвачёвВ. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 2. БеллманР., КалабаР. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968. 185 с. 3. Головач Г. П., Калайда О. Ф. Наближеш методи розв'язування операторних рiвнянь. К.: Вища школа, 1974. 248 с. 4. СвирскийИ.В. Методы типа Бубнова - Галеркина и последовательных приближений. М.: Наука, 1968. 199с. 5. Михлин С.Г., СмолицкийХ.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. 384 с.
Поступила в редколлегию 17.03.2008
Колосова Светлана Васильевна, канд. физ.-мат. наук, доцент, профессор кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: методы решения нелинейных и линейных краевых задач. Увлечения и хобби: искусство и литература. Адрес: Украина, 61099, Харьков, пр. Московский, 254-а, кв. 28, дом. тел. 94-81-42, раб. тел. 70-21-436.
Марченко Светлана Николаевна, ассистент кафедры ВМ ХНАГХ. Научные интересы: методы решения краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений. Увлечения и хобби: театр и литература. Адрес: Украина, 61070, Харьков, ул. Жилярди, 28, моб. тел. 8-095899-97-39.
Сидоров Максим Викторович, ассистент кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: теория R-функций и ее приложения, математическое моделирование, вычислительная математика. Увлечения и хобби: всемирная история, история искусств. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, ХНУРЭ, раб. тел. 70-21-436.
УДК 519.7
А.Н. ГВОЗДИНСКИЙ, А.В. ВЕРТИЙ
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕГУЛИРОВКЕ И УПРАВЛЕНИЮ ДВИЖЕНИЕМ АВТОТРАНСПОРТА В УСЛОВИЯХ МЕГАПОЛИСА
Предлагается новый подход к управлению и регулировке движением автотранспорта, а также модель интеллектуальной транспортной системы, в которой происходит взаимодействие всех элементов и участников движения. Описывается алгоритм поиска оптимального пути в городе с учётом постоянно меняющихся условий.
1. Введение
Проблема ограниченности пропускной способности автодорог наиболее ощутимым образом проявляет себя в так называемых мегаполисах - городах с большим количеством населения и концентрацией жителей. Данная проблема вызывает целый спектр негативных явлений, но наиболее ощутимой из них является проблема автотранспортных пробок - и как следствие - целый комплекс подпроблем, от экологического до социального плана.
В связи с постоянным ростом населения городов данная проблема рано или поздно станет актуальной в большинстве населенных пунктов. В настоящей работе мы будем рассматривать ее лишь в отношении относительно крупных населенных пунктов и для настоящего времени. Результаты рассмотрения данной проблемы будут применимы в перспективе и для других населенных пунктов, в которых она в настоящий момент времени не так остра.
Взаимосвязь автодорог и города очевидна. Основными особенностями данных объектов являются их большой срок службы и высокая стоимость, поэтому указанную проблему нужно решать при сохранении данных объектов в настоящем виде. К тому же, прямолинейное решение проблемы путем строительства магистралей ничего не изменит. Парадоксально, но пробки при этом могут только увеличиться. Именно так произошло в Штутгарте, где власти прокладывали новые и новые дороги, после чего получали новые и новые проблемы. Этот феномен аналитики объясняли тем, что возникала сложная топологическая структура, в которой водителям трудно было ориентироваться, а также возрастало количество перекрестков.
Актуальность исследования определяется тем, что в настоящее время, в связи с резким возрастанием грузовых и пассажирских автопотоков, создание автоматизированных систем управления движением автотранспорта с использованием новейших информационных технологий стаёт насущной научной и практической задачей. 68
