Применение итерационных методов к решению эллиптических краевых задач с экспоненциальной нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.95 : 517.988

ПРИМЕНЕНИЕ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

КОЛОСОВА С.В., СИДОРОВ М.В.____________

Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения с экспоненциальной нелинейностью. С помощью функции Грина и квазифункции Грина эта задача заменяется эквивалентными интегральными уравнениями, для которых предлагаются и обосновываются численные методы.

1. Постановка задачи

В современной науке наблюдается большой интерес к процессам, происходящим в нелинейных средах. Математическими моделями таких процессов обычно являются нелинейные краевые задачи математической физики. Для их конструктивного решения необходимо построение численных методов.

Целью работы является рассмотрение некоторых подходов к построению последовательных приближений к положительному решению краевой задачи вида

: u в Q, (1)

1эп = 0. (2)

Задача (1), (2) возникает, например, при математическом моделировании течения проводящей среды в цилиндре с непроницаемыми стенками [ 1 ] и математическом моделировании теплового самовоспламенения химически активной смеси газов в сосуде [7].

2. Построение двусторонних приближений

Известно [2], что задача (1), (2) в классе непрерывных функций эквивалентна интегральному уравнению

u(x) = J G(x, s)e-u(s)ds , (3)

Q

где G(x,s) - функция Грина оператора Лапласа -Д для первой краевой задачи в области Q , x = (Х1, ..., xn), s = (S1, ..., sn).

На конусе K неотрицательных в C(Q) функций введем в рассмотрение нелинейное операторное уравнение u = Tu , где

Tu = J G(x, s)e-u(s)ds

Q

Рассмотрим некоторые свойства оператора T:

- оператор T антитонный на конусе K, т. е. для всех

u, v є K , таких, что u < v, выполняется Tu > Tv. Сопутствующим [4] оператору T является оператор

T (v,w) = J G(x, s)e-w(s)ds ;

Q

- существует инвариантный для оператора T конусный отрезок < vq, u0 > такой, что

T < v0,u0 >c< v0,u0 > ,

здесь vq (x) = 0, u0 (x) = J G(x, s)ds .

Q

Конусный отрезок < vq , uq > является также сильно инвариантным, так как выполняются неравенства

T(vo,uo) > vo> T(uo,vo) < u0 ;

- оператор T вполне непрерывен на K [4], следовательно, конус K является нормальным;

- оператор T псевдовогнутый [4] на K, т.е. существуют положительные числа а, в , такие, что для всех

v, wє K (v, w Ф0)

au0 < T(v,w) < Pu0 (4)

и для всех v,w є K(uo) и любого тє (0; 1) выполняется неравенство

T ^ tv, — w

Имеет место признак псевдовогнутости [4]: для всех v,wє K (v, w Ф0)

Ф(у^) = T(v,w)- T(v,w)v + Tw (v,w)w > 0. (6)

Здесь 'Tv (v,w), Tw (v,w) - производные Фреше.

В нашем случае (6) принимает вид:

Ф(v,w)h(x) = [1-w(x)] J G(x, s)e-w(s)h(s)ds .

Q

> —T(v,w).

(5)

При условии ||u0(x)||C(Q)

J G(x, s)ds

Q

< 1, чего

C(Q)

можно всегда достичь, применив к области Q преобразование сжатия, имеем 1 - w(x) > 0, так как

w(x) є< 0, uq >, и, следовательно, условие (6) выполняется;

28

РИ, 2013, № 3

- оператор T u0 -псевдовогнутый на K(u0). следовательно [4], для всех v,w є K(u0) и любого хє (0; 1) существует n(v,w, т) > 0 такая, что

T ^ TV,1 wj > [1+n(v,w,x)]xrT(v,w). (7)

Здесь и ранее K(uo) означат множество uo-ограниченных элементов u є K , т.е. таких элементов u є K , для которых a(u)uo < u < b(u)uo , a, b > 0 .

Используя (4) и (5), приходим к выводу, что в нашем случае неравенство (7) принимает вид

ции Грина в замкнутом виде возможно лишь для некоторых конкретных достаточно простых областей. Нами предлагается приближенный метод решения задачи (1), (2), основанный на использовании квазифункции Г рина, которая строится с помощью конструктивного аппарата теории R-функций.

Пусть ю(х) = 0 - нормализованное до первого порядка уравнение границы дО области О , т.е. функция ю(х) удовлетворяет следующим условиям:

а) ю(х) > 0 в О ;

б) ю(х) = 0 на дО;

J G(x, s)e О

w(s)

т ds > (1+п)т J G(x, s)e-w(s)ds ,

О

где n(v,w, т)

a

те,

т.е. оператор T является u0 -псев-

довогнутым.

Для уравнения (3) с антитонным оператором T строим итерационный процесс по схеме

u(k+1)(x) = J G(x, s)e-u(k)(s)ds , k = 0,1,2,.... (8) О

Взяв в качестве начального приближения u(0) (х) = 0, получим

u(1) (х) = J G(x, s)ds = u0 (х)

О ’

причем u(0) < u(1) = u0 .

Поскольку оператор T антитонный, то получим u(2) = Tu(1) < u(1) = Tu(0), т.е. u(2) < u(1). Таким образом, u(0) < u(2) < u(1). Снова действуя оператором T,

получим u(0) < u(2) < u(3) < u(1). Продолжая этот процесс, получим

u(0) < u(2) <... <u(2k) <...<u*<

<... < u(2k+1) <... < u(3) < u(1),

где u* є< V0, u0 > - точное решение задачи (1), (2).

Итак, имеет место следующая теорема.

Теорема. Задача (1), (2) в С(О) имеет единственное положительное решение, которое можно построить по схеме (8) с двусторонними приближениями, равномерно сходящимися к решению.

3. Метод квазифункций Г рина

Знание функции Г рина позволяет от нелинейной краевой задачи (1), (2) перейти к эквивалентному интегральному уравнению (3). Однако построение функ-

в) — =1 на дО, где n - внутренняя к дО нормаль. дп

Если граница дО состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых (без точек возврата), каждая из которых допускает аналитическое задание с помощью элементарной функции, то такая ю(х) может быть построена практически для любой О методом .ft-функций в виде элементарной функции [6].

Следуя [6], нами доказано, что решение задачи (1),

о

(2), принадлежащее W 2 (О), также является решением нелинейного интегрального уравнения

uW = J GKB. (х, 4)e u(l)d^ + J u©K^, ^ (9)

о о ’ y

где

G кв.(х> 4) = 2-2П

ln— 9(х, 4) r

1 г 2 1

9(х,4) = -jln r2 +4ю(х)ю(4)

r = |х-4 , K(x,4) = -2пА|9(х,4).

Применяя к интегральному уравнению (9) метод последовательных приближений, сводим его к последовательности линейных интегральных уравнений

u(k) (х) - J u^^K^, 4)d4 =

О

= J G кв.(х, 4)e-u(k-1)(4)d4 (10)

О

k = 2, 3, ..., где положили u(1)^) = 0 .

Приближенное решение уравнения (10) на каждом шаге итерационного процесса предлагается находить методом Бубнова-Г алеркина [3], что позволяет получить результат в аналитическом виде.

Приближенное решение каждого из уравнений (10) ищем в виде

РИ, 2013, № 3

29

иПк)(х) = Е c-k)9i(x) j=i

что приводит к следующей системе линейных алгебраических уравнений относительно cj , j = 1, 2, n,

k = 2, 3,

Scj

(2)

J 9i(x)9j(x)dx - J J K(x, \)9j(4)9i(x)d^dx

n

nn

= J J Gra.(x,^)9i(x)d^dx , i = 1, 2, ..., n;

nn

n

Scj

(k)

J Фі (x)?j (x)dx - J J K(x, ^№M(x)d^dx

n

nn

На рис. 1 приведены поверхность (а) и линии уровня (б) приближения u(3) (x).

(k-1)

= J J Gкв. (x, 4)e Un (l:Vi(x)d^dx

nn

і = 1, 2, ..., n, k = 3, 4, ...,

где {фі (x)} - координатная последовательность.

4. Результаты вычислительного эксперимента

Вычислительный эксперимент в задаче (1), (2) был проведен для двух областей: круга радиуса R и прямоугольника со сторонами a и b.

Для случая, когда область n представляет собой круг радиуса R, функция Грина и квазифункция Грина задачи (1), (2) совпадают. Кроме того, для R = 1 известно [5] точное решение задачи из C(Q):

u* (x) = ln(8k) - ln(1 - kp2 )2 , где p = ^/Xf+xf, k = 5-2n/6.

В таблице 1 приведены значения u(2)(x), u(3)(x) и u* (x) на луче ф = 0 при различных значениях p (p, ф - полярные координаты точки x = (x1,x2)).

Как видно из табл. 1, точное решение u* (x) задачи (1), (2) на луче ф = 0 заключено в «вилку», образованную функциями u(2)(x) и u(3) (x). Норма разности между приближениями u(2) (x) и u(3) (x) составила

u(2)(x) - uw(x)

(3)(

C(n)

= 0,62 10

-2

Таблица 1

p 0 0,1 0,2 0,3 0,4

u(3) 0,21392 0,21181 0,20570 0,19561 0,18121

* u 0,21299 0,21097 0,20489 0,19472 0,18040

u(2) 0,20777 0,20574 0,19988 0,19019 0,17633

p 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

u(3) 0,16231 0,13956 0,11200 0,07961 0,04239

* u 0,16183 0,13890 0,11146 0,07931 0,04225

u(2) 0,15812 0,13614 0,10942 0,07790 0,04156

а

б

Рис. 1

Для случая, когда область n представляет собой прямоугольник со сторонами a и b , функция Грина не совпадает с квазифункцией Г рина и точное решение задачи (1), (2) неизвестно.

Вычисления были проведены для a = b = 1. В табл. 2

приведены значения u(2)(x) и u(3)(x), построенные _ 1

по схеме (4), при х2 = ~ и различных Х1. Норма разности между приближениями u(2)(x) и u(3)(x) составила

u(2)(x) - u(3) (x)

= 0,13 10-3 .

C(n)

На рис. 2 приведены поверхность (а) и линии уровня (б) приближения u24)(x) .

Как видно, полученные обоими методами приближенные решения хорошо согласуются.

30

РИ, 2013, № 3

Таблица 2

5. Заключение

Х1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

u(3) 0,02800 0,04738 0,06043 0,06756 0,07004

u(2) 0,02797 0,04731 0,06033 0,06744 0,06991

x1 0,6 0,7 0,8 0,9

u(3) 0,06756 0,06043 0,04738 0,02800

u(2) 0,06744 0,06033 0,04731 0,02797

а

В работе исследована возможность построения приближенных методов решения задачи (1), (2). Один из методов основан на использовании точной функции Г рина, что позволяет получить двусторонние приближения к решению рассматриваемой задачи. Другой метод применяет квазифункцию Г рина, которая строится, используя конструктивный аппарат теории R- функций, что позволяет приближенно решить задачу (1), (2) в областях практически произвольной геометрии, для которых функция Грина либо неизвестна, либо сложна в построении. Предлагаемые методы могут быть использованы при решении прикладных задач, математическими моделями которых служат краевые задачи для нелинейных эллиптических уравнений.

Литература: 1. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968. 183 с. 2. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 394 с. 3.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с. 4. Опойцев В.И. Обобщение теории монотонных и вогнутых операторов // Труды Моск. ма-тем. общества. 1978. Т. 36. С. 237-273. 5. Полянин А.Д., Зайцев В. Ф. Справочник нелинейные уравнения математической физики: точные решения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 432 с. 6. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 7. Франк-Каменецкий Д.А. Основы макрокинетики. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Интеллект, 2008. 408 с.

Поступила в редколлегию 06.09.2013

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Колосова Светлана Васильевна, канд. физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы математической физики. Увлечения и хобби: театр, искусство и литература. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Сидоров Максим Викторович, канд. физ.-мат. наук, доц. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы, математическая физика, теория R-функций и её приложения, стохастический анализ и его приложения. Увлечения и хобби: всемирная история, история искусств. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

б

Рис. 2

РИ, 2013, № 3

31