Применение метода конечных элементов к расчету форм и частот собственных колебаний авиационных конструкций Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XII

19 8 1

№ 2

УДК 629.7.015.4:533.6.013.43:629.7.023

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ К РАСЧЕТУ ФОРМ И ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Т. В. Снисаренко

Изложена методика расчета форм и частот собственных колебаний конструкций, упругомассовые характеристики которых идеализируются с помощью конечных элементов.

Подробно рассмотрен алгоритм решения неполной проблемы собственных значений системы уравнений высокого порядка.

В качестве примера приводится расчет собственных колебаний цилиндрической оболочки.

Метод конечных элементов, широко используемый для решения различных статических задач, находит применение и для расчета динамических характеристик конструкций. В качестве примера можно упомянуть широкоизвестные зарубежные программы МА8Т1?А1\[, АЭКА, ЗЕБАМ-бЭ, БАР и др., которые оснащены возможностью построения как жесткостной, так и упругомассовой модели конструкции.

Настоящая статья посвящена изложению методики расчета форм и частот собственных колебаний конструкций на основе идеализации их упругомассовых характеристик с помощью конечных элементов. Рассмотрена неполная проблема собственных значений, так как большинство использующихся методик определения аэродинамических характеристик авиационных конструкций основано на представлении перемещений упругого летательного аппарата в виде ряда по низшим тонам собственных колебаний свободной конструкции.

1. Задача расчета форм и частот собственных колебаний конструкций математически сводится к определению п наименьших собственных значений и собственных векторов системы уравнений высокого порядка Л,(я« //):

ки = ми л,

(1)

где

А =

0

А,- = со?,

і = 1,2.......N.

<о — угловая частота свободных колебаний; и — матрица, столбцы которой соответствуют формам собственных колебаний; УС —матрица жесткости конструкции; М — массовая матрица конструкции.

Представим спектр собственных чисел уравнения (1) в виде:

ЛГ.

(2)

^1> . . ., ип, . . ., иы.

Заметим, что поскольку матрицы К и М являются симметричными и положительно определенными, то спектр собственных значений образуют действительные числа, а векторы и; и и у ортогональны в нормах К и М, т. е.

(Ми>, 11]) = (Кии (/;) =0, (/, /= 1, 2, . . ., Лг).

Как правило, в большинстве прикладных задач ограничиваются рассмотрением небольшого числа низших собственных частот, я~102. Поэтому числа я и ТУ обычно связаны соотношением

п « ЛЛ (3)

Метод решения неполной проблемы собственных значений должен быть достаточно эффективен и учитывать такие важные особенности проблемы, как малую заполненность матриц К и М, их большую размерность N и малость числа п.

Всем перечисленным требованиям наиболее полно удовлетворяют методы, в основе которых заложена идея одновременной итерации в и-мерном подпространстве первых п собственных форм [2—4]. Эти методы в сущности являются обобщением классического степенного метода с исчерпыванием.

Пусть заданы п линейно независимых векторов (У®, £/£..........Vп> которые

являются начальными приближениями первых п собственных форм Щ-, и3, . . ., Vп.

Предположим, что найдена I-я итерация для векторов 11{, 1112.......и‘п, которые

образуют матрицу размерностью Л^Хи:

и1=[и[. и‘2,..и‘].

Алгоритм нахождения (I 4- 1)-й итерации для этих векторов можно кратко представить в следующем виде.

1. Построим матрицу /=’,'+1 размерностью МХп:

р‘+1 = ми1.

2. Определим матрицу Х1+г размерностью УУХи из следующего соотношения:

кх1+1 =р1+1>

что соответствует решению системы линейных уравнений для п правых частей.

3. Построим матрицы т1^1 и &1+1 размерностью пу^п, являющиеся энергетическими эквивалентами матриц М и К соответственно в и-мерном подпространстве:

т‘+1 = АТг+1т МХ1+[, к1+1 = Х1+1т КХ1+\

4. Нормируем матрицы т‘ + г и &‘+1 согласно соотношениям:

т‘+1 = 0‘+1 т‘+г Д‘+\ \

6г+1 = £)«+! &Ж о1+х,

где

В'

0

После этого на главной диагонали матрицы т1+1 будет стоять 1.

кі-И хі+1 =

ті+1 хі+1 Аі+1,

(4)

где х‘+1 — матрица размерностью лХн, составленная из столбцов — собственных векторов единичной длины уравнения (4), А1+1—матрица собственных чисел уравнения (4) размерностью пХп.

6. Ортогонализуем векторы Х1^1, Х‘2+1.......X^“1 в нормах АГ и Ж:

^'+1==Д'Жу+1.

Построение (г+1)-й итерации для векторов • • ■ •> &^+1закончено.

Можно доказать, что при I со имеют место соотношения:

и\

■и5,

Е.

1, 2, . . п,

(5)

Свойства (5) позволяют в ходе итерации следить за точностью получаемых форм и частот.

Скорость сходимости процесса определяется свойствами спектра собственных частот (2). Для 5-го тона £/*, 5 ■< п, применение (г-(— 1 )-й итерации обеспечивает подавление вкладов от тонов Ип, ип_^1, . . ., с коэффициентами подавления не хуже, чем т- е- наиболее быстро в процессе итера-

ций уточняются самые низкие частоты спектра и соответствующие им формы колебаний.

Заметим, что в частном случае при п= 1 данный метод полностью совпадает с классическим степенным методом, но имеет неоспоримые преимущества по сравнению с ним при я>1. В частности, применение степеннего метода с исчерпыванием для и> 1 может быть затруднено или практически невозможно вследствие ухудшения или потери сходимости метода. Это связано с тем, что для надежного определения 5-го тона необходимо точное знание предыдущих я—1 тонов, и малейшая неточность в их определении может привести к расходимости процесса поиска 5-го тона. Метод одновременных итераций подобных недостатков не имеет.

2. В качестве примера рассмотрим задачу определения форм и частот собственных колебаний тонкой цилиндрической оболочки с жестко закрепленными краями. Отметим, что развитием приближенных методов расчета характеристик собственных колебаний тонких цилиндрических оболочек с различными граничными условиями занимались многие авторы, достаточно подробная библиография по этому вопросу приводится, например, в работе [5].

В качестве объекта расчета нами выбрана оболочка со следующими параметрами*: модуль упругости 19,6-10:0 Н м:; масса оболочки, отнесенная к единице площади срединной поверхности, 7,7-102 кг м2; длина образующей 0,305 м: радиус срединной поверхности 0,076 м: толщина 0,25-Ю~3 м.

Для аппроксимации собственных форм были использованы поликубические лагранжевы изопараметрические конечные элементы с пятью степенями свободы в узле. Мы ограничились рассмотрением форм собственных колебаний, симметричных относительно плоскости симметрии оболочки, проходящей параллельно ее торцам. Расчет произведен для половнны конструкции, торец оболочки жестко защемлен, а н? плоскости симметрии поставлены соответствующие граничные условия. Число элементов в окружном направлении 20. число элементов вдоль образующей оболочки 5, общее число неизвестных в задаче достигло ~ 5000.

* Этот пример наряду с другими подробно рассмотрен в [1, 5), что дает нам возможность сопоставить результаты расчета с решениями, подученными другими авторами, а также с результатами эксперимента.

В таблице* сопоставлены расчетные значения частот собственных колебаний /1т при различном числе волн т в окружном направлении с результатами работ [I, 5, 6]. Достигнуто хорошее совпадение частот и соответствующих форм собственных колебаний с точным решением [1].

Расчетные значения частот собственных колебаний flm в Гц при числе волн т

~~ ~~~~~ т Результаты работ ___ 3 4 5 6 7 8 9

Точное значение [1] 1140 755 574 533 593 717 881

По Рэлею — Ритцу [1] 1284 794 595 545 599 720 883

По работе [5] 1220 796 594 541 595 718 883

По работе [6] 1431 872 629 565 617 739 905

Эксперимент [5] — 700 (545) (559) 525 (587) (598) 720 885

Расчет по методу конечного элемента 1168 769 579 538 608 753 950

/іглточн ~/l«. э I п/ 2,39 1,85 0,87 0,93 2,52 5,0 7,8

f Jim точн 1

Предлагаемая методика расчета форм и частот собственных колебаний конструкций реализована в рамках комплекса программ „Система-4“, разработанного А. Б. Кудряшовым, В. Д. Чубанем, Ю. А. Шевченко и автором.

* Первые пять строк таблицы взяты из работы [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Швейко Ю. Ю., Гаврилов Ю. В., Брусиловский А. Д. Доклады инженерно-технической конференции МЭИ. М., Изд-во МЭИ, 1965.

2. J е n n i n g s А., О гг D. R. L. Application of the simultaneous

iteration method to undamped vibration problems. Int. Journal for Num.

Meth. in Eng.“, vol. 3, 1971.

3. Corr B. R., Jennings A. Implementation of simultaneous iteration ior vibration analysis. „Computers and Structures", vol. 3, 1973.

4. Bathe K.-J., Wilson E. Solution methods for eigenvalue problems in structural mechanis. „Int. J. for Num. Meth. in Eng.“, vol. 6, 1973.

5. Weingarten V. I. Free vibration of thin cylindrical shells. ,AIAA“ J., vol. 2, N 4, 1964.

6. A rn о 1 d R. N.. Warburton G. B. The flexural vibration of

thin cylinders. Proceedings of Institute Mechanical Engineers. London, 1957, vol. 167, N 1.

Рукопись поступила 291X11 1978 г.