Определение собственных частот и форм колебаний пластин из композиционного материала методом итераций в подпространстве Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА МЕТОДОМ ИТЕРАЦИЙ В ПОДПРОСТРАНСТВЕ

С.И. Трушин

Кафедра информатики и прикладной математики Московского государственного строительного университета 129337 Москва, Ярославское шоссе, 26

В работе приведены численные алгоритмы решения задачи о собственных колебаниях однослойных и многослойных пластин. В основу положен вариационно-разностный метод в сочетании с методом итераций в подпространстве. Численные процедуры апробированы на решении ряда тестовых задач. Дан пример расчета квадратной пластинки из композиционного анизотропного материала с низкой сдвиговой жесткостью.

При решении задачи о свободных колебаниях пластин используется вариационный принцип Гамильтона-Остроградского. Рассматривается выражение:

12

5 = , (1)

'/

где Ь =К-П - функция Лагранжа; К - кинетическая энергия; П - потенциальная энергия упругой системы; ^ и 12 - фиксированные моменты времени. В соответствие с данным принципом действительные перемещения системы на отрезке времени между моментами времени / ] и г2 отличаются от всех кинематически возможных перемещений, которые удовлетворяют геометрическим граничным условиям на границе тела и которые заданы в начальный *=/| и конечный /=/2 моменты времени тем, что для действительных перемещений ^5 = 0.

С учетом выражений для кинетической и потенциальной энергий, действие по Гамильтону может быть записано в виде:

где и - вектор, компонентами которого являются функции перемещений; е - вектор, компонентами которого являются функции деформаций; а - вектор, компонентами которого являются функции напряжений; р - вектор внешней распределенной нагрузки; р -плотность материала; V - объем, занимаемый телом; О - поверхность, на которой действует внешняя нагрузка.

Кинематические соотношения теории пластин в декартовой системе координат хь х2, г формулируются, исходя из общих геометрических зависимостей трехмерной теории упругости. Для перехода от трехмерных уравнений к двумерным зависимостям теории оболочек вводятся следующие допущения:

1. Тангенциальные С/* перемещения определяются через соответствующие углы поворота поперечных сечений 0к, а нормальное 11ъ перемещение не зависит от нормальной координаты г.

ик(х1,х2,г)=2вк{х1,х2) из(х1,х2,г)=и3(х1,х2)

где А=1,2.

2. Линейная деформация в поперечном направлении е33 = 0.

Для построения дискретного аналога функции Лагранжа используется вариационноразностный метод. При этом:

-область изменения независимых переменных разбивается на элементарные ячейки; -значения искомой функции и ее производные в каждой ячейке приближенно задаются через значения функции в узловых точках;

-интегралы по ячейкам заменяются приближенными квадратурными формулами; -записывается необходимое условие стационарности скалярной функции векторного аргумента, являющейся дискретным аналогом исходного выражения.

Тогда функция Лагранжа, после применения процедуры вариационно-разностного метода с учетом (3), может быть представлена в виде:

где г - вектор узловых перемещений; К - матрица жесткости (матрица Гессе дискретного аналога потенциальной энергии деформации системы); М - матрица масс; Р - вектор узловых нагрузок. В данной постановке матрица масс включает в себя слагаемые, связанные с углами поворота поперечных сечений пластины.

Для функционала (2) условие стационарности записывается в виде уравнения Эйлера

где ф=( ер, <р2... <р„)т - вектор-столбец амплитуд; <в - частота гармонических колебаний.

Подставив выражение для г(0 в уравнение движения (5), получим задачу на собственные значения:

Решение обобщенной проблемы собственных значений (6) выполняется с помощью метода итераций в подпространстве [1], который включает в себя следующие основные этапы:

1. Вычисление компонент матрицы жесткости К и матрицы масс М.

2. £/)£т - факторизация матрицы К.

3. Формирование матрицы АГ0=[Х1 Х2 ... Я-,] начальной аппроксимации

подпространства собственных векторов (д=тт{2р,р+&), р - число искомых собственных значений и собственных векторов).

4. Переход от подпространства Ек, определяемого векторами Хк, к подпространству

Цг, и) = і1 Мі - гТКг + Ртг,

^ а

дь_±(ді:

дгі Ж ^ дг1,

(4)

(5)

и допускает решения типа

г(() = (ря/ясо/,

или, введя обозначение Х=(02,

К(р = ЛМср

(6)

5. Нахождение проекций операторов К и М на подпространство £к+1:

км=хм‘кхм Мк+1 - Хк+1 М^к+1

6. Решение задачи на собственные значения обобщенным методом Якоби для проекций операторовКиМ:

К к+1 = Мм0Лм

1. Нахождение следующего приближения для собственных векторов:

X

к+1

к+1

8. Проверка сходимости для собственных значений:

<ерз, * = 1,2,...,р,

Xм-X*

к+!

где ерь - заданная точность нахождения собственных значений.

9. Проверка, позволяющая убедиться в том, что ни одно из собственных значений не пропущено. Для этого выполняется сдвиг К-\*М на величину диапазона ц и проводится ЬБЬ факторизация матрицы со сдвигом. Число отрицательных элементов в диагональной матрице О должно быть равно числу собственных значений, меньших ц.

В качестве одной из тестовых задач рассмотрена квадратная пластинка шарнирно опертая по контуру. Для расчета приняты следующие исходные данные: длина стороны квадратной пластинки а=1м; толщина А=0,01 м; модуль упругости £=2,МО11 Н/м2; коэффициент Пуассона у=0,3; плотность материала р=7,85 103 Н сек2/м4. На пластинку накладывалась разностная сетка 16X16, при этом шаг сетки составлял 0,625-Ю'1 м.

В таблице 1 приведены собственные круговые частоты колебаний при различном количестве полуволн т и и, образующихся вдоль сторон пластинки. Для каждой комбинации т и п в числителе дано значение, полученное путем аналитического решения дифференциального уравнения свободных колебаний [2], в знаменателе — полученное в данной работе.

Таблица 1 _____________________

п т

1 2 3

1 308,40 771,20 1542,5

310,40 777,90 1566,7

2 771,20 1234,0 2005,2

777,90 1258,8 . 2102,2

3 1542,5 2005,2 2776,4

1566,7 2102,2 2803,3

Рассмотрена задача о свободных колебаниях квадратной пластинки из композиционного анизотропного материала с низкой сдвиговой жесткостью (углепластика).

Исходные данные для расчета следующие: длина стороны квадратной пластинки а=0,15м; толщина й=0,3510'2 м; модули упругости и сдвига £,=0,6393-10п Н/м2 , Е2=0,5786 10й Н/м2 , 012=С13=С23=0,3'1010 Н/м2; коэффициенты Пуассона у|2=0, 15 , у21=0,1657; плотность материала р=0,14144-104 Н-сек2/м4. Пластинка жестко закреплена в четырех точках, отстоящих от кромок на 0,9375-Ю'2 м. На пластинку накладывалась разностная сетка 16X16, при этом шаг сетки составлял 0,9375* 10'2 м.

В таблице 2 приведены собственные частоты колебаний для первых четырех форм.

Таблица 2

Круговая частота

©і со2 СОз со4

4343,0 6895,5 7151,9 8985,9

На рис. 1, 2 приведены формы колебаний, соответствующие собственным частотам Ш] и

со2 -

Описанный алгоритм реализован в виде программы, написанной на алгоритмическом языке Фортран с использованием РоПгап Ро\уег81а1юп, и позволяющей определять собственные частоты и формы колебаний кольцевых и прямоугольных пластин, цилиндрических и конических оболочек переменной толщины из многослойного. композиционного материала с низкой сдвиговой жесткостью.

о

Рис 1. Первая форма собственных колебаний

Рис 2. Вторая форма собственных колебаний

ЛИТЕРАТУРА

1. Bathe К. -J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Englewood Cliffs. Prentice-Hall, 1982. - 735 p.

2. Филин А.П. Элементы теории оболочек. - Л.: Стройиздат, 1987. -384 с.

COMPUTING EIGENVALUES AND EIGENVECTORS OF COMPOSITE PLATES BY SUBSPACE

ITERATION METHOD

S.I. Trushin

Department of Computer Science and Applied Mathematics Moscow State University of Civil Engineering Jaroslavscoe Shosse, 26, Moscow 129337, RUSSIA

This article describes numerical procedures for solution of the eigenprobiem in the theory of multilayered ortotropic plates and shells. The finite difference energy method of discretization and subspace iteration method are used for computing eigenvalues and eigenvectors. Some test problems were solved with the help of the proposed numerical algorithms. This theory of shells and numerical methods are used for investigation of dynamic behavior of composite plate with lattice structure.

Трушин Сергей Иванович родился в 1951г., окончил Саратовский политехнический институт с 1974 доктор технических наук, профессор кафедры информатики и прикладной математики московского государственного строительного университета. Автор более 50 научных статей

Trushin Sergey Ivanovich (b. 1951) graduated from Saratov polytechnic institute in 1974 doctor of engineering science, professor of department of computer science and applied mathematics of the Moscow state building university. Author more 50 scientific publications