Расчет форм и частот свободных колебаний конструкций методом многоуровневой динамической конденсации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XV 1 9 8 4 № 4'

УДК 539.3

РАСЧЕТ ФОРМ И ЧАСТОТ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ МНОГОУРОВНЕВОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ КОНДЕНСАЦИИ

В. И. Ивантеев, В. Д.. Чубань

Предлагается метод решения неполной проблемы собственных форм и частот свободных колебаний конструкций, названный методом многоуровневой динамической конденсации. Он относится к классу методов, известных как методы синтеза форм подконструкций [1—3]. Излагается теория метода. Приводится пример применения метода, дается сопоставление с численными результатами других методов.

Определение собственных форм и частот колебаний является важной задачей, возникающей практически всегда при исследовании динамических свойств конструкций. В настоящее время для ее решения широкое применение нашел метод конечных элементов (МКЭ), ставший одним из наиболее эффективных и универсальных методов создания упругомассовых моделей конструкций [4].

При применении МКЭ для расчета собственных форм и частот (СФЧ) колебаний задача сводится к решению проблемы собственных значений для системы уравнений высокого порядка 103^-103):

КФ = МФЛ,

л = “ >'1 ^2 . к = ш1 х= 1. 2. • •, К

Хдг_

где N—число обобщенных перемещений упругомас-

совой модели конструкции;

— угловая частота 5-го тона свободных колебаний;

А — спектральная Л^ХА^ матрица собственных значений;

К — матрица жесткости конструкции;

М—ЛГХЛГ матрица масс конструкции;

6—«Ученые записки» № 4

81

Ф = [Фи Ф2>. . . , Фдг] — матрица, столбцы которой являются собственными векторами системы (1), т. е. собственными формами колебаний конструкции. Матрицы К и М являются симметричными и положительно определенными (при наличии у конструкции движений твердого тела К является положительно полуопределенной матрицей), т. е.

(/(£/, [/)>0 (Ми,и)> О

для любого вектора ифО, поэтому система (1) имеет действительный спектр собственных значений:

О < X, < Х2 < . . . < Хлг.

Собственные векторы Фь Фг, ..., Флг обладают свойством ортогональности в нормах К и М и могут быть нормированы по обобщенной массе:

Ф*А:Ф = Л, Ф*МФ = Е. (2)

Нормированные таким образом собственные формы колебаний называются модами системы. В дальнейшем будем считать, что условия (2) выполнены.

В большинстве прикладных задач обычно бывает достаточно ограничиться определением основных, низших тонов конструкции. В связи с этим ниже будем рассматривать только неполную проблему собственных значений, состоящую в определении п<^Ы (п~ Ш'-т- 102) первых СФЧ конструкции. Уравнение для неполной проблемы СФЧ запи-

Л =

аналогичном (1):

КФ = МФА,

>-2

, Х5 =(«?, 5=1,2

п

(3)

где Ф — Д^Хч — матрица; А — пХп — матрица.

Большое число неизвестных перемещений в конечно-элементной модели конструкции предъявляет определенные требования к методам расчета СФЧ. Необходимо, чтобы метод расчета допускал эффективную реализацию на ЭВМ и поэтому учитывал особенности проблемы, в частности, малозаполненную структуру матриц К и М, малость числа определяемых тонов по сравнению с размерностью задачи (я<СЛ^). Кроме того, при оценке методов расчета СФЧ следует учитывать современное состояние МКЭ, характерное тем, что в настоящее время МКЭ повсеместно используется в варианте метода подконструкций [5].

Рассмотрим методы, получившие наибольшее распространение для решения неполной проблемы СФЧ свободных колебаний конструкции при использовании МКЭ. Такими методами являются метод одновременных итераций в подпространстве и метод статической конденсации.

1. Метод одновременных итераций в подпространстве собственных векторов. В основе метода лежит процесс одновременных итераций в

подпространстве п первых собственных векторов системы уравнений (1) [6—9]. Алгоритм метода формулируется следующим образом:

задаются п линейно независимых векторов Ф1:0), Фг0*, . . . , Фл\ образующих начальное приближение к искомым собственным формам колебаний Ф1( Ф2, . . . , Ф„. Пусть определена (г—1)-я итерация, т. е. получена матрица размерностью NX п-

Ф(г-!)= [Ф^, Ф(2Г_1),

Ф(Г:)].

Тогда г-я итерация получается в результате следующих шагов алгоритма:

1) формируется матрица инерционных сил размерностью ЛгХл:

= М Ф('-1>;

2) решается система линейных алгебраических уравнений для правых частей

в итоге определяется матрица размерностью Л^Хи;

3) строятся матрицы /ге<г> и размерностью пХп, энергетически эквивалентные матрицам М и К в подпространстве собственных векторов:

(4)

/Я« = **<')

к(г) = х*(п

4) решается полная проблема собственных значений:

А«*') = т^х^ Л<г>,

— матрица собственных векторов системы размерностью п X п\ Л<г> — диагональная матрица собственных чисел размерностью «Хл,

5) проводится ортогонализация векторов Х\, Х£ , • • •, Х„ в нормах К и М, в результате получается г-е приближение к модам уравнения (3):

Ф(г) __ х<г) х(г> £(г>,

где

О

V <¡2

¿('Ч = х*^т^х^.

В работе [6] показано, что при г-»оо:

Ф

«■)

Ф.

х^-*Е, 5=1,2,

п.

(5)

Свойства (5) позволяют контролировать точность определения СФЧ в ходе итерационного процесса. Метод одновременных итераций в подпространстве обладает хорошей сходимостью: для вектора Ф^г)

на г-н итерации обеспечивается подавление вкладов от остальных тонов с коэффициентом •

При расчете СФЧ свободной конструкции возникают трудности, связанные с вырождением матрицы К. В этом случае существует эффективный прием, заключающийся в замене задачи (3) эквивалентной:

(/С+^о М)Ф3 = (\ + Х0)МФ$, 5=1, 2

в которой новая матрица жесткости К+КоМ уже невырождена. Величина Х0 определяет сдвиг по спектру всех собственных значений.

2. Метод статической конденсации. Метод статической конденсации матрицы масс широко известен как приближенный метод определения СФЧ свободных колебаний конструкции [4, 5]. Предпосылкой применения этого метода послужило стремление значительно понизить размерность проблемы. С этой целью все узлы конечно-элементной модели разделяются на две части: ведущие узлы, или узлы конденсации, и внутренние узлы. В соответствии с этим вектор перемещений можно представить в виде:

ие

где и1 — N1 — вектор перемещений внутренних узлов; ие — Ne — вектор перемещений узлов конденсации,

Ne — число обобщенных перемещений внутренних узлов и узлов конденсации соответственно.

Для установления связи между перемещениями узлов конденсации ие и перемещениями внутренних узлов и % используются статические формы деформации, которые получаются из уравнения равновесия внутренних узлов, при условии, что эти узлы не нагружены:

К и и і + Кіе 11е = 0;

отсюда

и 1=— Кп1 к1е ие.

Полный вектор перемещений конструкции представляется в виде:

и,

и =

= Л5ие:

(6)

где Ая —

КТ? К,

1е

Д^х Ne матрица-проектор.

Используя преобразование (6), можно получить выражения для конденсированных матриц жесткости и масс конструкции в переменных ие путем конгруэнтного преобразования [10]:

К„ = А&

Кеі \ Кее

А3=-Кее-КеіКГГКіе\

(7)

м.

А\

М„\М1е

Ме,[ Мее

А3 = Мее + Ке1Кй1 МиКЛгК

1е

-Ке1КТ? М1е-Ме1КиХК1е.

Если предположить, что кинетическая энергия конструкции приближенно определяется перемещениями узлов согласно (6), то задачу определения СФЧ конструкции можно свести к проблеме собственных значений для системы уравнений:

кееие^,мееие.

При этом полные собственные формы колебаний всех узлов конструкции восстанавливаются с помощью соотношения (6).

Рассматривая изложенные выше методы расчета СФЧ, можно отметить следующие присущие им достоинства и недостатки.

Преимуществом метода одновременных итераций в подпространстве, несомненно, является его точность, поскольку этот метод дает решение непосредственно системы (3), обладая при этом хорошими свойствами сходимости. Однако при расчетах сложных конструкций с большим числом переменных метод требует значительных затрат машинного времени ЭВМ, так как в процессе итераций происходит многократное решение системы уравнений высокого порядка.

Останавливаясь на методе статической конденсации, необходимо подчеркнуть, что метод является приближенным. Это связано по существу с пренебрежением динамическими свойствами конструкции во внутренних узлах конечно-элементной модели. Такое допущение в ряде случаев оказывается довольно грубым. Ясно, что успех применения метода во многом связан с удачным выбором узлов конденсации, который в основном диктуется особенностями распределения масс конструкции и опирается поэтому на большой практический опыт расчетчика.

В то же время привлекательной чертой метода оказывается его экономичность, связанная с понижением размерности проблемы собственных значений.

3. Динамическая конденсация. Статическую конденсацию внутренних степеней свободы (6), (7), (8) можно применить, очевидно, для произвольной части конструкции. Но игнорирование динамических свойств внутренних узлов в силу (6) приводит к чрезмерно грубому моделированию динамических свойств подконструкции в целом, что практически не дает возможности применять метод подконструкций для решения задачи (3) для всей конструкции.

Можно построить более точное по сравнению с (6) преобразование обобщенных перемещений подконструкции [2]. Для этого выразим вектор обобщенных перемещений узлов подконструкции в виде

и1 и.

-А,

(9)

где А о Здесь Ф

ф,

О

-КйхК1е

■ матрица-проектор.

.Е....

ч — N1 X т — матрица собственных форм колебаний внутренних узлов подконструкции при фиксированных узлах конденсации, т. е. решение задачи на собственные значения:

^нф« = ^„ Ф(-Лг,

где Qi — вектор дополнительных обобщенных перемещений, который по смыслу записи (9), будем называть вектором обобщенных амплитуд колебаний внутренних узлов подконструкции; т — число столбцов в матрице Фг, соответствует числу выбранных собственных форм колебаний внутренних узлов подконструкции.

Преобразование (9) состоит из двух частей. Первая часть является разложением внутренних перемещений по собственным формам Фг свободных колебаний внутренних узлов при фиксированных узлах конденсации ие = 0. Число т, а также набор собственных векторов Фг характеризует полноту учета динамических свойств внутренних узлов подконструкции.

При т = 0 уравнение (9) переходит в (6), т. е. т = 0 соответствует статической конденсации подконструкции.

При т = Ыг уравнение (9) представляет собой просто замену одних переменных другими с сохранением общего числа обобщенных перемещений, т. е. полный учет динамических свойств внутренних узлов конструкции.

Наиболее интересен случай 1 <т<сА^.

В этом случае число обобщенных перемещений в подконструкции резко уменьшается, в то же время удержание первых нескольких тонов в матрице Ф; дает возможность существенно точнее учесть динамические свойства внутренних степеней свободы исходной конструкции. Вторая часть преобразования (9), как и в методе статической конденсации, представляет собой разложение по статическим формам перемещений.

Используя матрицу-проектор Ав преобразования (9), получим выражения для конденсированных матриц жесткости и масс подконструкции в результате конгруэнтного преобразования аналогично (7) и (8) на обобщенных перемещениях Ие—(

К=АоКАв-.

М=*АвМА0

Л/1

о! кее

Е

М

еч

м.

(10)

(11)

где Мед = Ме1Ф1-Ке1Кц1МпФ1.

Конденсированные матрицы М и К значительно точнее учитывают динамические свойства подконструкции по сравнению с результатами статической конденсации. Поэтому процесс исключения внутренних неизвестных подконструкции с помощью преобразования (9), приводящий к выражениям (10) — (11) для матриц М и К, будем называть динамической конденсацией подконструкции*.

4. Многоуровневый метод динамической конденсации. Подконструкции, полученные методом динамической конденсации, в свою очередь могут объединяться в более крупные подконструкции следующего уровня по правилам формирования ансамбля в методе конечных элементов. Схема построения ансамбля с внутренними обобщенными

* Применяемый в данной работе термин «динамическая конденсация» по названию формально совпадает с термином, использованном в [11], где он по существу означает статическую конденсацию динамической матрицы жесткости К — ю2 М. Авторы выражают благодарность А. Н. Солдаткину, обратившему на это их внимание.

неизвестными, в частном случае ансамбля конечных элементов, изложена в [4].

Применяя эту схему, можно построить матрицу жесткости и масс объединенной совокупности под конструкций:

0 0 ' Е Мр1 Мре

К = 0 Ки К,е ; М = м1р ми Ми

1. 0 Кв1 Кее\ меР Ме1 мее

где индексами р, ¿, е отмечены величины, относящиеся к обобщенным амплитудам ансамбля объединяемых подконструкций, внутренним узлам и узлам конденсации для подконструкции соответственно.

Метод динамической конденсации (9), (10), (11) можно обобщить на этот самый общий случай подконструкции. Он основывается на следующем представлении набора обобщенных перемещений подконструкции через конденсированный набор обобщенных перемещений

ие-Я:

'<*р~

и1

и.

= А

м

(12)

где

О*

<Зр — вектор обобщенных амплитуд ансамбля объединенных подконструкций;

0/ — вектор обобщенных амплитуд у'-й объединенной подконструкции, / = 1, 2, , к,

% 0

Ам= Фг -кп1 Ки

0 Е

Ам — матрица-проектор;

и1 — вектор обобщенных перемещений внутренних узлов подконструкции;

ие— вектор обобщенных перемещений внешних узлов подконструкции;

<3 — вектор обобщенных амплитуд подконструкции;

Фр> Ф( — матрицы, столбцы которых образуют собственные вектора, состоящие из обобщенных амплитуд и обобщенных узловых перемещений подконструкции при фиксированных узлах конденсации.

Матрицы Фр, Ф,- получаются из решения неполной проблемы собственных значений для системы уравнений:

Л

К и

ф„ Л ГФП1

р = Ми р

Ф г. а ф

А.

(13)

где

Л

к и

Глр 0 ' II ' Е і Мр>

0 Ки\ [мір Миі

Л„ =

А1

Л2

Л*

Л; — диагональная спектральная матрица /-й объединенной под-конструкции, / = 1, 2,.. ., й.

Неполная проблема собственных значений для системы уравнений (13) решается методом одновременных итераций в подпространстве. Изложим модификацию алгоритма метода применительно к системе (13).

Задаются п пар линейно независимых векторов

(<е О, о... •, К0), ФЭД.

образующих начальное приближение к собственным векторам внутренних колебаний подконструкции.

Предположим, что определена (г—1)-я итерация, т. е. получены матрицы:

ф('-і) _ Гф(/-і) ф(/-1) ф(*—і»! .

-- I *1 ) *^2 > * * * У 1П ] ’

Ф Г1) = К

(Л-1)

ф»-1) р-1 і

<-1}] •

Тогда г-я итерация проводится следующим образом:

1) строятся матрицы инерционных сил:

М1р Ф<Г1} + Ми ФГ-1) :

= Ф^-1» + Мр1 Ф^_1) ;

2) решаются системы линейных алгебраических уравнений:

К а XV = Р[Г1)\ АР Х(р = Г{;~1) ;

3) определяются матрицы & и т в подпространстве собственных векторов:

4) решается полная проблема собственных значений:

= тУ'1 А<г),

ХМ О

Л«') —

о к(пг>

где Х^г) —я-е собственное значение подконструкции на г-й итерации;

л л

5) определяются ортогональные в нормах матриц Ка и Мц собственные вектора:

ФV = Х\Т) х(г) 0(г\ Ф(? = Х\гр\ Л(г)

где

О«)

V №

При г->оо итерационный метод сходится, т. е.

ФУ

и

(г)

Ф

Р’

хг, Л'

.(г)

Конденсированные матрицы масс и жесткости /С и М получаются при исключении внутренних узловых перемещений [){ и обобщенных амплитуд (¡)р при помощи конгруэнтного преобразования:

К = АмКАм = А1=Ам1\/1Ам

А І о

0 \Ке\

Е

ме9 Мее\

где

Мед = Ф, - к* кїї1 Ми Ф, + Мер Ф„ - Ке1 Кйх М1р Фр

Процесс построения подконструкций все более высокого уровня продолжается до тех пор, пока в итоге не происходит объединение подконструкций в целую конструкцию, являющуюся объектом исследования, причем на каждом уровне, для каждой подконструкции решается неполная проблема собственных значений. В итоге ее решения находятся приближенные собственные частоты колебаний подконструкции, закрепленной в узлах конденсации. Собственные формы колебаний в узлах конечных элементов, моделирующих конструкцию, для подконструкции любого уровня восстанавливаются с помощью последова-

тельного применения преобразований (9), (12) в порядке, обратном процессу объединения подконструкций, т. е. от объединяющей подкон-струкции к объединяемым.

Метод многоуровневой динамической конденсации по существу является обобщением метода статической конденсации и метода одновременной итерации в подпространстве на случай многоуровневого метода подконструкций, так как эти методы являются предельными вариантами метода многоуровневой динамической конденсации.

Метод сочетает возможности метода одновременных итераций в подпространстве по точности получаемых результатов с экономичностью метода статической конденсации.

Достоинством метода является возможность получения большого числа полезной информации о динамических свойствах отдельных частей конструкции.

Важным качеством является ясный физический смысл динамической конденсации, особенно ценный при практическом использовании метода. Это наглядно проявляется при выборе т-числа собственных тонов, которые необходимо удерживать при динамической конденсации подконструкции. При решении этого вопроса следует руководствоваться частотным диапазоном тонов конструкции, представляющих интерес, который, как правило, бывает априори известен.

Если требуется определить 5-й тон конструкции, то при проведении динамической конденсации /-й подконструкции необходимо учитывать т тонов этой подконструкции, удовлетворяющие условию

1, 2, . . . , т, (14)

где константа с зависит от требуемой точности результатов.

Как показывает приведенный ниже пример, практически можно принимать с = 2-7-3, в каждом конкретном случае выбор с может быть обоснован анализом обобщенных амплитуд С}, определяющих вклад парциальных форм подконструкций в собственные тона колебаний конструкции.

В случае, когда все тона подконструкции не удовлетворяют условию (14), подконструкцию можно конденсировать статически, т. е. появляется возможность учитывать, либо не учитывать собственные динамические свойства отдельных подконструкций.

5. Пример применения метода многоуровневой динамической конденсации. Для иллюстрации изложенного выше метода расчета СФЧ конструкций методом многоуровневой динамической конденсации рассмотрим задачу определения собственных форм и частот продольных колебаний стержня постоянного сечения:

ЕЕ----= ш2(лм;

дх* г

и (I) = 0, и'х (0) = 0, х£ [0, /],

где и — продольные перемещения стержня; ЕЙ — продольная жесткость стержня; ц -т- погонная масса стержня.

В качестве объекта расчета был рассмотрен стержень со следующими безразмерными характеристиками:

ЕИ = 25200, ц = 0,009975, 1 = 4.

Конечно-элементная модель стержня состояла из 38 конечных элементов, работающих на растяжение — сжатие, с линейной аппроксимацией поля перемещений. Стержень рассматривался как конструкция, со-

стоящая из двух подконструкций (рис. 1). Была проведена динамическая конденсация этих подконструкдий с т = Ъ и одним узлом конденсации для каждой из подконструкций (на рис. 1 узлы конденсации отмечены значком □, остальные узлы — значком #). Формы колебаний внутренних узлов подконструкций также показаны на рис. 1. После этого были определены первые 5 тонов свободных колебаний стержня методом многоуровневой динамической конденсации. Для сопоставления полученных результатов независимо была решена задача о колебаниях стержня методом одновременных итераций; найденные при этом формы и частоты рассматривались как точные для дискретной модели стержня.

В таблице представлены частоты колебаний внутренних узлов подконструкций, о)1, (о|, в=1, 2, . .., 5, полученные при динамиче-

ской конденсации подконструкций, частоты колебаний ш*, 5=1, 2,... , 5 дискретной модели стержня, найденные методом одновременной итерации, а также частоты сое, 5=1, 2,..., 5 и относительные погрешности 6*, я= 1, 2,..., 5, найденные с помощью метода многоуровневой динамической конденсации. Видно, что относительная погрешность определения частот с помощью предлагаемого в работе метода не превышает 0,1%.

Номер тона 1 2 3 4 5

О)1 1248,7 3754,6 6286,2 8860,8 11496,0

(О2 2499,5 5016,2 7567,1 10170,0 12841,0

СО* 624,22 1873,7 3126,4 4384,5 5650,0

со 624,22 1873,9 3127.4 4387,3 5656,4

СО — ш* 5- .100% <й* 0,0 0,011 0,032 0,064 0,11

На рис. 2 показаны модули о( эобщенных амплитуд и ог.

5=1, 2,..., 5 для каждого из найденных тонов колебаний стержня методом многоуровневой динамической конденсации. Хорошо видно, что заметный вклад в собственный тон колебаний конструкции дают те собственные формы колебаний внутренних узлов подконструкций частоты которых удовлетворяют условию (14). Отметим, что для определения собственных частот конструкции было достаточно ограничиться учетом только первых трех тонов колебаний внутренних узлов каждой подконструкции.

IQI чоо -w

| Q\*20 10 -

ш*1000

10-

ш xWOO

10 -

шу.1000

10 -

шхШ

Рис. 2

В настоящее время метод многоуровневой динамической конденсации в полном объеме реализован на ЭВМ на базе математического обеспечения МКЭ в многоуровневом методе подконструкций.

В заключение авторы выражают глубокую признательность А. Б. Кудряшову за большую помощь в реализации алгоритма многоуровневой динамической конденсации на ЭВМ.

1. Hurty W. С. Dynamic analysis of structural systems using component modes. — AIAA J., 1965, 3.

2. С r a i g R. R., Bampton М. С. C. Coupling of structures for dynamic analysis.—AIAA J., 1968, 6.

3. В e n f i e 1 d W. A., H r u d a R. F. Vibration analysis of structures

by component mode substitution. — AIAA J., 1971, 9.

4. Зенкевич О. С. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975.

5. Е g е 1 a n d О., А г а 1 d s е n Р. О. SESAM-69 — a general purpose

finite element method program. — Int. J. Computers and Structures, 1974, 4.

6. Jennings A., Orr D. R. L. Application of the simultaneous iteration method to undamped vibration problems. — Iut. J. Num. Meth. Eng., 1971, 3.

7. Кудряшов А. Б., Снисаренко Т. В., Чу бань В. Д.,

Шевченко Ю. А. Основные теоретические принципы построения ком-

плекса программ «СИСТЕМА-4» по расчету на прочность конструкций летательных аппаратов методом конечных элементов. — Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2099.

8. Снисаренко Т. В. Применение метода конечных элементов к

расчету форм и частот собственных колебаний авиационных конструкций.— Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII, № 2.

9. Агапов В. П., Вронский Г. В., Ильичев В. Д.,

Стрелин А. В. Исследование напряженного состояния и усталостной прочности пространственных подкрепленных оболочечных конструкций при внешнем аэродинамическом воздействии акустического типа. — Труды ЦАГИ, 1982, вып. 2123.

10. Аргирис Дж. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем (сборник статей).—JL: Судпромгиз, 1961.

11. Leung Y.-T. An accurate method of dynamic condensation in structural analysis. — Int. J. Num. Meth. Eng., 1978, vol. 12.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 17/XfI 1983 г.