CC BY
22ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Аннотация
Актуальность исследуемой проблемы обусловлена необходимостью развития и совершенствования у студентов навыка применения изученных математических методов к решению конкретных технических задач, которые встречаются в процессе научно-производственной практики. В процессе работы над решением проблемы повышения надежности специализированных транспортных контейнеров студенты вместе с наставниками применяли метод конечных элементов. Результаты изучения теоретических источников и опытно-экспериментальной работы позволяют говорить об эффективности применения такого метода, например, при проектировании специализированных контейнеров. Актуальность исследуемой проблемы обусловлена также и необходимостью формирования и развития профессиональной и математической культуры будущего инженера. Содержание статьи будет интересным преподавателям, студентам, старшеклассникам.
Ключевые слова
метод конечных элементов, проектирование транспортных контейнеров
АВТОРЫ
Вергазова Ольга Бухтияровна,
кандидат философских наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва olga.aika@yandex.ru
Королев Евгений Алексеевич,
студент 5 курса приборостроительного факультета ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва evgeniy-alex.korolev@yandex.ru
Введение
Специализированные транспортные контейнеры групп должны обеспечивать надежную транспортировку горючего, окислителя и других технологических жидкостей, используемых в работах при заправке космических аппаратов, блоков выведения, разгонных блоков. Современный мир невозможно представить без своевременной и экологически безопасной доставки необходимых в производстве материалов, поэтому создание долговечных и надежных транспортных контейнеров является актуальной и важной задачей. Одной из таких задач является обеспечение безопасной перевозки грузов на стеллажах указанных контейнеров. Все это привело к необходимости решения задачи прочностного расчета кронштейна, обеспечивающего крепление стеллажа. Указанная задача была решена методом конечных элементов (МКЭ).
Методология и результаты исследования
МКЭ имеет глубокие теоретические обоснования и применяется для решения весьма широкого круга современных научных проблем. Например,
- стационарные задачи распространения тепла, диффузии, распределения электрического поля, другие задачи теории поля;
- задачи гидромеханики (течение жидкости в пористой среде);
- задачи механики и прочности, возникающие при проектировании самолётов, ракет и различных пространственных оболочек.
Идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную величину (давление, температура, перемещение и т. д.) можно аппроксимировать дискретной моделью, построенной на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Такие кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области. В общем случае эта величина заранее неизвестна. Однако для построения дискретной модели удобно считать ее известной в каждой внутренней точке области.
Основная концепция метода конечных элементов при построении дискретной модели непрерывной величины состоит в следующем.
1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек, которые называются узловыми (или просто узлами).
2. Значение непрерывной величины в каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена.
3. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами (или конечными элементами). Такие элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.
4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом (или какой-либо другой функцией), который определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется свой многочлен, который подбирается таким образом, чтобы сохранилась непрерывность величины вдоль границ элемента. Такой полином называют ещё функцией элемента.
Например, с помощью метода конечных элементов стало возможным визуальное представление деформации машины при асимметричном ударе. (Рис. 1). Это, несомненно, является очень важным в решении проблемы повышения безопасности и надежности автомобиля.
Рис.1. Визуализация деформации машины при асимметричном ударе методом конечных элементов
Среди ключевых преимуществ МКЭ можно выделить следующие. [1]
1) Свойства материалов смежных конечных элементов могут не совпадать, что позволяет применять МКЭ к сложным телам, состоящим из нескольких материалов.
2) Криволинейная область легко описывается с помощью прямолинейных элементов и может быть описана достаточно точно при использовании криволинейных элементов. Т. е. методом можно пользоваться не только для областей с «удобной» для расчета формой. Размеры элементов могут быть переменными, что позволяет «сгущать» сетку в местах с большими градиентами непрерывной величины или, наоборот, делать сетку более «редкой» в той части области, где непрерывная величина остается (почти) постоянной. (Рис. 2)
3) Можно рассматривать задачи с различными граничными условиями (непрерывные, разрывные, а также смешанные граничные условия).
Рис. 2. Разбиение области на конечные элементы
Эти преимущества позволяют создавать программы для решения широкого круга частных задач, при условии их описания одними и тем же дифференциальными уравнениями.
Как и у любого другого метода, метод конечных элементов имеет свои недостатки, среди которых выделим следующие. [2]
1) Необходимость составления вычислительных программ и применение вычислительной техники, так как вычисления, которые приходится проводить при использовании МКЭ, слишком громоздки для ручного счета, даже в случае решения очень простых задач.
2) Для решения сложных задач требуются ЭВМ, обладающих большой памятью и быстродействием.
В процессе решения задачи проектирования надежных креплений для специализированного транспорта прочностной расчет кронштейна с двумя ребрами жесткости и одним отверстием для крепления к потолку был произведен аналитически по отработанным методикам. (Рис.3, 4).
Рис. 4. Специализированный контейнер
Однако анализ данной проблемы методом конечных элементов позволил кронштейн с одним ребром жесткости и двумя отверстиями для крепления к потолку. Такой кронштейн обеспечивает надежное крепление стеллажа с наименьшими затратами ресурсов. (Рис. 5). То есть, применение метода конечных элементов к прочностному расчету позволило не только успешно решить технические задачи, но и обеспечить экономию материала и уменьшить трудозатраты.
Рис. 5. Кронштейн с одним ребром жесткости и двумя отверстиями для крепления.
Заключение
Применение метода конечных элементов делает возможным найти оптимальные решения многих современных технических задач. Например, разработка и производство надежных креплений для специализированных контейнеров, предназначенных для экологически безопасной доставки необходимых в производстве материалов.
В настоящее время идет активная работа по приложению метода конечных элементов к решению не только новых технических задач, но и пересмотру ранее решенных технических проблем с целью найти новые оптимальные решения.Особый интерес приложение данного метода представляет для студентов технических специальностей. Решение реальных производственных задач - основа формирования и развития профессиональных качеств будущего инженера.
ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ
1. Галлагер Р. М. Метод конечных элементов. Основы. Мир. 1984. 428 с.
2. Расчет пластин методом конечных элементов. Учеб. пособие для вузов. Белкин А. Е., Гаврюшин С. С. М. Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2008. 230 с.
3. 3.Методы численного анализа математических моделей. Галанин М. П., Савенков Е. Б. М. Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2010. 590 с.
4. Конечные элементы и аппроксимация. Мир. 1986. 318 с.
5. Зенкевич О., Морган К. М. Применение метода конечных элементов. Сегерлинд Л. М. Мир. 1979. 392 с.
6. Стренг Г. М. Теория метода конечных элементов. Мир. 1977. 349 с.
Olga B. Vergazova,
Candidate of Philosophy, Associate Professor, Department of Mathematical Modeling, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow olga.aika@yandex.ru Evgeny A. Korolev,
5-th year student of the Instrument-Making Faculty, Moscow State Technical University named after N.E.
Bauman, Moscow
evgeniy-alex. korolev@yandex. ru
Application of the finite element method for solving technical problems
Abstract. The relevance of the problem under study is due to the need to develop and improve students' skills of applying the studied mathematical methods to solving specific technical problems that occur in the process of scientific and industrial practical work. In the process of solving the problem of improving the reliability of specialized transport containers, students together with their mentors used the finite element method. The results of the theoretical sources study and experimental work allow us to speak about the effectiveness of using this method in the design of specialized containers. The relevance of the problem under study is also due to the need to form and develop the professional and mathematical culture of the future engineer. The article will be interesting for teachers, university and high school students. Key words: finite element method, design of transport containers.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ: РАБОТА С ФАЙЛАМИ И ОРГАНИЗАЦИЯ ДИАЛОГОВОЙ РАБОТЫ
Аннотация
Настоящая статья является продолжением предыдущей публикации автора, где обсуждалась проблема автоматизированного формирования и обработки большого числа входных LaTeX-файлов с отдельными заданиями. Эта задача стала особенно актуальной при проведении контрольных мероприятий в дистанционном обучении, когда, с целью избежать возможного несамостоятельного решения задач учащимися, потребовалось формировать большое число вариантов и распечатывать их в отдельных файлах. Продолжено описание средств трёх обсуждаемых системы - языков C, MATLAB и Maple -для работы с файлами. Отмечены некоторые средства и возможности систем MATLAB и Maple, которые мало отражены в учебной литературе, но могут быть полезны для организации диалоговой работы при составлении вариантов заданий. Статья предназначена в качестве практического пособия, которое может быть полезно для преподавателей средней и высшей школы.
Ключевые слова
Maple, Matlab, язык Си
АВТОР
Довбыш Сергей Александрович,
доцент кафедры математического моделирования ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва, доцент кафедры математики, СУНЦ (факультет) — школа-интернат имени А.Н. Колмогорова ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова», г. Москва sdovbvsh@yandex.ru
Введение
В предыдущей публикации автора [1], являющейся первой частью статьи, обсуждалась проблема автоматизированного формирования большого числа билетов контрольных мероприятий и ответов к ним в виде входных файлов системы LaTeX. В частности, был сделан вывод о целесообразности: 1) формирования отдельного входного файла для каждого билета, 2) использования для этой цели системы символьных вычислений, например, MATLAB или Maple, или, при определённых условиях, языка C или производных от него. Были описаны средства систем стандарта языка C и систем
