CC BY
9К ЗАДАЧЕ О ФОРМЕ ЯЧЕЕК СОЛНЕЧНЫХ БАТАРЕЙ
Аннотация
Актуальность исследуемой проблемы обусловлена необходимостью создания надежных и эффективных панелей солнечных батарей. В целом результаты изучения теоретических источников и опытно-экспериментальной работы позволяют говорить о состоятельности предлагаемого содержания в решении проблемы выбора формы элементарной ячейки солнечной батареи. Актуальность исследуемой проблемы обусловлена также и необходимостью формирования и развития профессиональной культуры будущего инженера. Содержание статьи будет интересным преподавателям, студентам, старшеклассникам.
Ключевые слова
панель солнечной батареи, элементарные ячейки, правильные многоугольники
АВТОРЫ
Вергазова Ольга Бухтияровна,
кандидат философских наук, доцент кафедры математического моделирования ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва olga.aika@yandex.ru
Кваша Владимир Сергеевич,
кандидат технических наук, старший преподаватель отдела №1 учебного военного центра ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва Derwolf-82@mail.ru
Федоров Никита Николаевич,
студент кафедры космических приборов и систем ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва fedorovnikita235@gmail.com
Бекеров Ильмир Дамирович,
студент кафедры прикладной механики и управления ФГБОУ ВО «Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова», г. Москва omert14@yandex.ru
Введение
Солнечные батареи активно используются как на земле, так и в космосе. В космосе они играют важное значение, так как обеспечивают питание искусственных спутников Земли солнечной энергией без других внешних источников энергообеспечения. Современный мир невозможно представить без спутниковой связи, поэтому создание долговечных и надежных солнечных батарей является актуальной и важной задачей.
44 Modern European Researches No 5 (Т.1) / 2019 Методология и результаты исследования
Панель солнечной батареи представляет собой набор элементарных ячеек (Рис. 1).
Рис.1. Общий вид панели солнечной батареи.
Проанализируем, насколько зависит работоспособность и эффективность батареи от того или иного вида конфигурации ячеек, и как эти характеристики зависят от формы ячеек. Рассмотрим несколько конфигураций разбиения полотна на ячейки в форме правильных многоугольников, которые можно применить в случае замощения плоскости: треугольник, квадрат и шестиугольник.
Сравним периметры равновеликих (имеющих равные площади) правильных треугольника, четырехугольника (квадрата) и шестиугольника.
Пусть: 5 - площадь контакта метеорита, попавшего в солнечную батарею. Запишем функцию / = р^), выражающую зависимость площади одной элементарной ячейки от ее периметра.
Пусть элементами ячейки являются:
1) квадрат со стороной а4: 5 = а'2, а4 = —б, р4 = 4—5,
2) правильный треугольник со стороной а3: б = , а3 = -у=, р3 = -у=,
3) правильный шестиугольник со стороной а6: б = —6— , а6 = 4 ,
_ 6-5-2
Рб = 17373'
Таким образом, имеем: р4 = 4-5, р3 = р6 =
Сравнивая полученные коэффициенты, получим, что р6 - наименьшая величина, а р3 - наибольшая. Таким образом, далее не будем рассматривать вариант с треугольными ячейками как нерациональный.
Теперь представим, что наша панель - это некоторая область площади 51, которую разбивают на ячейки площадью так, что = 51. Будем считать, что ячейка выведена из строя, если в нее попадает метеоритный камень. Предположим, что площадь контакта метеоритного камня - это площадь, окружности радиуса г. Тогда выясним, как будет меняться количество выбитых ячеек в зависимости от их формы. Рассмотрим дискретную случайную величину X - количество выбитых прямоугольных
Д51
ячеек. В таком случае вероятность выбивания / ячеек найдем как Р; = —, где Дя^, -
область ячейки, попадание в которую соответствует выбиванию / числа ячеек.
Очевидно, что нет необходимости рассматривать всю площадь 51 панели солнечной батареи, достаточно выяснить, какой области на одной элементарной ячейке Дя, соответствует выбивание / числа ячеек.
Если мы разобьем плоскость 51 на равные прямоугольники, как это реализовано в уже имеющихся конструкциях, солнечных батарей, площади Дя,, то с.в. X будет принимать 4 значения:
{1, если выбита 1 ячейка
2, если выбита 2 ячейки
3, если выбита 3 ячейки'
4, если выбита 4 ячейки
Рис. 2. Разбиение плоскости на равные прямоугольники.
На рис. 2 представлена прямоугольная ячейка, на которой красным цветом показана область, соответствующая выбиванию 4 ячеек, желтым - 3 ячеек, зеленым - 2 ячеек, синим - 1 ячейки, где а, Ь,г - высота, длина прямоугольной ячейки, радиус окружности, соответствующий площади контакта метеоритного камня с полотном солнечной батареи. (Рис. 2).
Тогда вероятность Р;, которая соответствует выбиванию / числа ячеек:
Р1 = (а 2г)(ь 2г), если будет выбита одна ячейка,
^2 =
аЬ
2г(Ь+а-4г) аЬ
4(Г2-1ЛТ2) аЬ
, если будут выбиты две ячейки, , если будут выбиты три ячейки,
Р4 = —, если будут выбиты четыре ячейки.
аЬ
Легко убедиться, что
24=1^=1.
< - ) —> 0, где п - число камней, попавших в солнечную батарею.
^ (|*ср-Мх
Таким образом, найдем М^ - математическое ожидание дискретной случайной величины X:
4
^2г(а + Ь) + яг2
ВД = 1+—' '
М
х
аЬ
Проделаем аналогичный расчет для шестиугольной ячейки. На рис. 3 представлена шестиугольная ячейка, на которой желтым цветом показана область, соответствующая выбиванию трех ячеек, зеленым - двух ячеек, синим - одной ячейки. (Рис. 3).
Рис. 3. Разбиение плоскости на правильные шестиугольники.
Р1 = (1 - , если будет выбита одна ячейка;
4Г 2г2 2яг2 »-»
Р2 = т=---7--т^, если будут выбиты две ячейки;
„ 12+2Т3лг2 ^ ^ ~
Р3 =-2—, если будут выбиты три ячейки.
9а0
!1, если выбита 1 ячейка
2, если выбита 2 ячейки.
3, если выбита 3 ячейки
Рассмотрим дискретную случайную величину X - количество выбитых шестиугольных ячеек.
%=р,У, = 1 + 36г2+;^3яг2+4^г2
9а2 3а0
Сравним значения и Мг. Для этого рассмотрим равновеликие фигуры, площадь которых равна площади прямоугольника со сторонами ахЬ. (Рис. 1).
Пусть - = к , тогда Ь = ^равновелик. = = &Я2 , где ^равновелик. - заданная
площадь прямоугольника, к - константа.
Выразим сторону шестиугольника площади 5равновелик., воспользовавшись ранее
полученной формулой а- = ао = тЩ. (Рис. 3).
После преобразований М^ и Мг будут выглядеть следующим образом.
На рисунках 4, 5, 6 представлены графики, где показаны М^(а) и Мг(а) при заданных значениях ги^.
Рис. 6. г = 0.01м, к = 2.
Таким образом, мы видим, что М^(а) и Мг(а) представляют из себя две убывающие функции, причем Мг(а) убывает быстрее, чем М^(а). Из графиков так же можно заключить, что при одинаковых значениях а, то есть и при одинаковых значениях площадей ячеек разной формы, М^ лежит выше Мг, что обозначает, что будет выбито большее число ячеек прямоугольной формы в сравнении с шестиугольной ячейкой той же площади. Значения параметров г и к выбраны из соображений того, что если радиус окружности, являющейся площадью контакта метеоритного камня, г не будет
мал, в сравнении с габаритами элементарной ячейки и самой панели, то произойдет конструктивная гибель всей солнечной батареи. Коэффициент к = 2 выбран из конструктивных соображений, так как прямоугольные ячейки с - « 2 применяются в настоящее время. [9, 10]
Заключение
Таким образом, рассуждения на основе элементарной математики и основных понятий теории вероятностей обосновывают простой принцип конструирования панелей солнечных батарей - необходимо использовать правильные многоугольники (с целью замощения всей плоскости). При этом, при выборе из равновеликих многоугольников предпочтительнее фигуры с меньшим периметром.
ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ
1. Боровков А. А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1976.
2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. - 5-е изд. - 1979.
3. Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности/ Пер. с англ. - М.: Мир, 1972.
4. Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1973.
5. Колчин В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные размещения. - М.: Наука, 1976.
6. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. - М.: Наука, 1974.
7. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы). - 2-е изд. - М.: Наука, 1973.
8. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей математической статистики для технических приложений. - 3-е изд.- М.: Наука, 1969.
9. Усков А.Е., Дайбова Л.А., Гиркин А.С. и др. Солнечные фотоэлектрические станции: перспективы, особенности работы и расчета экономической эффективности. - Политематический сетевой электронный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2015.
10. Соколов Е. В., Пенджола Р.И. Методы оценки стоимости создания солнечных батарей пилотируемых космических аппаратов на ранних этапах разработки изделий. - Экономика и управление: проблемы, решения. 4 (5-2). 2017. С. 263-266.
Vergasova Olga Bukhtiyarova,
Candidate of philosophy, associate Professor, Department of mathematical modeling, Moscow state technical University. N. E. Bauman", Moscow olga. aika@yandex. ru Kvasha Vladimir Sergeevich,
Candidate of technical Sciences, senior lecturer, Department No. 1, military training center, Moscow state technical University. N. E. Bauman", Moscow Derwolf-82@mail. ru Nikita Fedorov,
Student of the Department of space instruments and systems, Moscow state technical University. N. E. Bauman", Moscow, fedorovnikita235@gmail. com Bekirov Ilmir Damirovich,
Student of the Department of applied mechanics and control, MOSCOW state University. Lomonosov", Moscow, omert14@yandex. ru
On the problem of the shape of solar cells
The urgency of the problem is due to the need to create reliable and efficient solar panels. In General, the results of the study of theoretical sources and experimental work allow us to speak about the consistency of the proposed content in solving the problem of choosing the form of a solar cell. The relevance of the problem is also due to the need for the formation and development of professional culture of the future engineer. The content of the article will be interesting to teachers, students, high school students. Keywords: solar panel, elementary cells, regular polygons.
