Научная статья на тему 'Применение матрицы Крылова для апериодического управления динамическими объектами'

Применение матрицы Крылова для апериодического управления динамическими объектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
182
56
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЯ / МАТРИЦА КРЫЛОВА / АЛГОРИТМ / ДИНАМИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ / ПСЕВДОИНВЕРСИЯ / МАТРИЧНЫЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛ / ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ / STATE SPACE / KRYLOV MATRIX / ALGORITHM / DYNAMIC PLANT / PSEUDOINVERSE / MATRIX EXPONENTIAL / DISCRETE MODEL

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сахаров В. В., Королев В. И.

В статье рассматривается алгоритм синтеза апериодических управлений динамическими объектами, основанный на применении матрицы Крылова, что обеспечивает повышение эффективности решения двухточечных граничных задач в классе дискретных систем и адаптацию вычислительной процедуры к изменениям граничных условий и времени действия системы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сахаров В. В., Королев В. И.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The article is devoted to the application ofe Krylov matrix for aperiodic control synthesis employment to dynamic plants. Krylov matrix ensures the efficiency of solving two-point boundary problems for discrete systems and adaptive algorithmic properties to boundary and time condition changes.

Текст научной работы на тему «Применение матрицы Крылова для апериодического управления динамическими объектами»

Список литературы

1. Голоскоков Д. П. Моделирование температурных полей при частичном нарушении теплоизоляции // Журнал университета водных коммуникаций. — 2010. — Вып. 4 (8). — С. 53-56.

2. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. — СПб.: Питер, 2004. — 539 с.

3. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. — 524 с.

4. Снеддон И. Преобразования Фурье. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. — 668 с.

5. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. — М.; Л.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1963. — 360 с.

УДК 629.12.10 В. В. Сахаров,

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ КРЫЛОВА ДЛЯ АПЕРИОДИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ KRYLOV MATRIX APPLICATION TO DYNAMIC PLANTS APERIODIC CONTROL

В статье рассматривается алгоритм синтеза апериодических управлений динамическими объектами, основанный на применении матрицы Крылова, что обеспечивает повышение эффективности решения двухточечных граничных задач в классе дискретных систем и адаптацию вычислительной процедуры к изменениям граничных условий и времени действия системы.

The article is devoted to the application ofe Krylov matrix for aperiodic control synthesis employment to dynamic plants. Krylov matrix ensures the efficiency of solving two-point boundary problems for discrete systems and adaptive algorithmic properties to boundary and time condition changes.

Ключевые слова: пространство состояния, матрица Крылова, алгоритм, динамический объект, псевдоинверсия, матричный экспоненциал, дискретная модель.

Key words: state space, Krylov matrix, algorithm, dynamic plant, pseudoinverse, matrix exponential, discrete model.

д-р техн. наук, профессор, СПГУВК;

В. И. Королев,

канд. техн. наук, профессор, ФГОУ ВПО «Морская государственная академия имени адмирала Ф. Ф. Ушакова»

ИСКРЕТНЫЕ динамические системы с конечным временем установления переходных процессов называ-

системы повышенного порядка особенно часто используются в цифровых управляющих комплексах различного назначения [3].

ют апериодическими системами управления. Хорошо приспособленные к техническим приемам модификации и применению численных методов оптимизации производственных и технологических процессов, апериодические

Применение современных вычислительных сред для управления технологическими процессами на объектах водного транспорта позволяет кардинально изменить процедуру синтеза апериодических систем. Вы-

Выпуск 1,

¡Выпуск 1

сокое быстродействие и производительность дают возможность для класса дискретных динамических объектов при вариации числа интервалов дискретности решать комплекс задач: идентифицировать объект по экспериментальным характеристикам, оценивать внешние воздействия и компенсировать их влияние на поведение управляемого объекта, оптимизировать технологический процесс при управлении по нескольким каналам с различными критериями качества.

Важным этапом синтеза апериодических систем является определение управляющих сигналов, позволяющих в течение заданного времени (в условиях ограничений) переводить объект из определенного начального состояния в конечное состояние при минимизации (максимизации) целевой функции.

В системах апериодического управления динамическими объектами кусочно-постоянные квантованные по времени сигналы генерируются при наличии в контуре обратной связи цифровых регуляторов выхода и состояния.

Рассмотрим модель динамической системы в пространстве состояний

X(t)= AX(t)+BU(t), (1)

где: А — матрица состояния размерности n х n, B — (n x 1)-матрица, X ( t ) — вектор состояния.

При цифровом управлении вектор U ( t ) изменяется ступенчато на границах интервалов дискретности (в моменты квантования сигналов), а непосредственно на интервалах имеет постоянные значения.

Из работ Калмана и Toy известно, что в общем случае для перевода динамической системы (1) с помощью дискретных управлений из начального в конечное (например, нулевое) состояние требуется синтезировать n сигналов управления. С этой целью весь временной интервал N должен состоять из не менее чем n интервалов, на которых управления могут быть кусочно-постоянными функциями.

Рассмотрим способ синтеза управлений, обеспечивающих решение двухточечной граничной задачи (начальное условие — левая граница, конечное — правая), основанный на использовании матрицы Крылова. Для определенности положим, что (1) является систе-

мой с одним входом. При кусочно-постоянных сигналах управления, амплитуда которых изменяется в моменты квантования по времени с помощью квантователя, решение уравнения (1) при заданном векторе начальных условий X ( (0 ) имеет вид

-Кг-и, (2)

где: X ( ) — вектор состояния объекта в мо-

мент Кг — матрица Крылова, Ж — матричный экспоненциал, и — вектор кусочно-постоянных управлений размерности N х 1.

Матрица Крылова полного ранга размерности п х N имеет вид:

Кг=\^А И^~2 ••• Ж1 Ж0].*#, (3)

где: Ж = еА5 и Н = (I - еАЗ) • А"1 • В, 5 — шаг квантования, I — единичная п-матрица.

В формуле (3) знак (.*) означает выполнение операции поэлементного умножения на вектор-столбец Н.

Согласно (2) на шаге N при 5 = 1, т. е. в момент ( = ( вектор состояния X ( ^) является функцией вектора начальных условий X ((0) и управлений и=Щ и ,иЛГ_1]Г, приложен-

ных к системе в моменты квантования. Для перевода динамического объекта из состояния X ( ( ) в состояние X (^) Ф 0 требуется получить вектор и с помощью соотношения

и = Кг+ • (X (^ ) - Ж ■ X ( (о )). (4)

Из (4) следует, что, если N = п, объект переводится из начального состояния в конечное за минимальное время. При этом квадратная матрица Крылова, имеющая полный ранг, должна инвертироваться. Если же N > п, переход осуществляется за N шагов по критерию минимума расхода энергии на управление [3]. Матрица Крылова становится прямоугольной, и для получения наилучшей оценки вектора управления и можно воспользоваться операцией псевдоинверсии Мура — Пенроуза.

Случай приведения объекта в начало координат является частным и получается из (4), если X (^) = 0. Если матрица А является особенной, то вычисление Н следует производить путем численного интегрирования

-*„)=} е^Ви^Ос (5)

по переменной т.

Соотношениями (1)-(5) представлен

алгоритм апериодического управления динамическими объектами. Рассмотрим практическое применение полученного алгоритма на конкретных примерах.

Предположим, что объект управления описывается матричным дифференциальным уравнением третьего порядка [1]:

йХ1

dt

dX2

dt

dXi

dt

1

0

1

*1 0

• + 0

*3 1

•U

(6)

с вектором начальных условий X (0)= [-1 1 2]т. Обратим внимание на то, что матрица

'0 1 о'

Л= 0 -1 1

0 0-1

является особенной. Для определенности примем N = 5. Нетрудно убедиться, что собствен-

ные значения A равны: ^ = 0, Х2 = -1, Хъ = -1.

Возвращаясь к уравнению (2), мы видим, что первое слагаемое в правой части представляет собой переходный процесс, вызванный ненулевыми начальными условиями. Вторая составляющая есть реакция системы на сигнал управления U, изменяющийся в виде ступенчатой функции, полученный с помощью (4). Выберем 5 = t. - tiA = 1. Тогда переходную матрицу Н можно получить как реакцию (6) на единичный ступенчатый сигнал в момент t = 1 при нулевых начальных условиях [1]. В среде MatLAB эта операция выполняется с помощью функции матричного экспоненциала: Dr = expm(A) = [ 1.0000 0.6321 0.2642; 0 0.3679 0.3679; 0 0 0.3679].

Формирование элементов матрицы Крылова при изменении N в среде MatLAB выполняется с помощью операции gallery. Матрица Крылова, входящая в (4), для динамического объекта (6) имеет следующие численные значения элементов:

Апериодическое управление динамическим объектом

Рис. 1. Управление объектом с нулевой правой границей

Выпуск 1,

л

са

Кг = [0.9373 0.8610 0.7076 0.4377 0.1036;

0.0512 0.1076 0.2069 0.3298 0.2642;

0.0116 0.0315 0.0855 0.2325 0.6321].

Оценка управления и на каждом шаге, полученная по формуле (4), представляется вектором

и =[-1.2561 -0.8893 -0.2522 0.5022

-0.1047].

По приведенным расчетным данным произведено построение переходного процесса при воздействии на объект вектора и1'. На рис. 1 представлен процесс перехода объекта за время N = 5 из начального состояния X (( ) = X (0) = [-1 1 2]т в конечное состояние X (д = X N = [0 0 0]т.

Алгоритм, в структуре которого используется матрица Крылова, хорошо адаптируется к изменениям граничных условий и времени действия системы. Так, например, если требуется перевести тот же самый динамический объект из состояния X ((0) = X (0) = [2 0.4 -1]т в состояние

X (^) = X N = [-1 0 -0.5]т, на вход следует подать управления, представленные.

В результате получим переходный процесс (рис. 2) с графической интерпретацией траекторий переменных состояния, изменяющихся под действием апериодических управлений во времени. Заметим, что на правой границе и1 должен быть принят равным нулю. Ниже приведен фрагмент скрипт-файла 8аЬ727.ш, предназначенного для вычислений апериодических управлений прямоугольной формы.

% фрагмент файла 8аЬ727.ш % Применение матрицы Крылова для % управления динамической системой % по критерию минимума энергетических затрат

%================================

% Динамика системы А = [0 1 0; 0 -1 1; 0 0 -1]; В = [0 0 1]’;

N = 5;

Апериодическое управление с заданными граничными условиями

до

Рис. 2. Управление объектом при ненулевых граничных условиях вектором Ш: и1 = [-2.2775 -1.3244 0.2583 1.8212 -1.3776]

С = еуе(3); Б = [0 0 0]’

% Начальные и конечные условия, число шагов N

х0 = [-1 1 2]’; xN = [0 0 0]’; N = 6;

% Выбор шага квантования: delt = 1.0;

% Переход к системе в пространстве состояний в терминах ЬТ1:

8у81 = 88(А, В, С, Б);

% Переход к дискретной системе в пространстве состояний sysd = c2d(sys1,delt,’zoh’);

% Вывод матриц дискретной системы по управлению ^оЬ’:

Ad = sysd.a; Bd = sysd.b;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Cd = sysd.c; Dd = sysd.d;

% МАТРИЦА КРЫЛОВА Кг = gallery(‘krylov’,Ad,Bd,N);

Кг = flipud(rot90(Kr,2));

КЯ = pinv(Kг);

% Оценка вектора управления дискретной системой с использованием % матрицы Крылова:

Бг = expш(A.*delt);

Ъ = БгА^)*х0; и5 = KR*(xN-Z);

%================================

% Формирование векторов управления непрерывной системой:

U = [];

for i = 0:N-1; for t1 = 0:0.001:N; if (t1>=i)&(t1<i+1) u = U5(i+1);

U = [U u]; end U; end U; end

u = [0 U];

% Моделирование и графические построения: t1 = 0:0.001:N;

[x, t] = lsim(sys1, u, t1, x0); plot(t1, x, t1, u), grid

Файл разделен на блоки и содержит комментарии, полностью отражающие последовательность операций по реализации алгоритма синтеза апериодических управлений, представленного соотношениями (1)-(4).

Алгоритм применим для синтеза апериодических управлений неустойчивыми объектами. Однако моделирование объектов и систем с матрицами состояния, содержащими большие положительные собственные значения, требует повышенной точности вычислений и компенсации влияния помех, приводящих к неустойчивости вычислительного процесса. Наилучший практический результат при моделировании может быть достигнут путем комбинации управления с обратной связью и апериодического управления.

Список литературы

1. Глущенко В. В., Сахаров В. В., Сумеркин Ю. В. Моделирование динамических систем и электрических цепей в среде МаЛАВ: Учебное пособие. — СПб.: СПГУВК, 1998. — 293 с.

2. Королев В. И., Сахаров В. В. Робастная система управления судном на курсе // Транспортное дело России. Спецвыпуск. Проблемы водного транспорта. — М., 2003. — С. 7-8.

3. Королев В. И., Лутков С. А., Сахаров В. В. Параметрическая идентификация и оптимальное управление макроэкономической системой // Транспортное дело России. Спецвыпуск. Проблемы водного транспорта. — М., 2003. С. 74-76.

Выпуск 1,

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.