CC BY
49
где: дЯ; =дЯа/ф — заданное относительное изменение значения функции ф = тш-{ф^, 5йиф = {1, при ф>0;-1 приф<0}- '
Полученная функция Я(Х) = позволяет выполнять операции дифференцирования и аналитически описывать область G практически при любом числе функций ф. без нарушения условия (15).
Таким образом, в результате использования предложенного способа аналитического описания области работоспособности, размерность пространства выходных параметров ЭТС сократилась до одного параметра, который объединяет все т неравенств (1) в одно неравенство. При этом существенно сокращаются затраты времени на определение обла-
// университета
[ЖУРНАЛ водных /_/ коммуникации
сти работоспособности в виде совокупности граничных точек. Кроме того, аналитическая форма записи области G позволяет достаточно просто идентифицировать нахождение исследуемой точки пространства первичных параметров внутри или вне этой области (при G > 0 — точка находится внутри области, а при G < 0 — вне ее) и эффективно, с низкой методической погрешностью, решать задачи определения работоспособности и прогнозирования состояния ЭТС.
В работе [4] приводятся примеры использования рассмотренного метода для решения задач моделирования, параметрического и структурного синтеза разнообразных ЭТС.
Список литературы
1. Саушев А. В. Методы управления состоянием электротехнических систем. — СПб., 2004.
2. Рвачев В. Л. Геометрические приложения алгебры логики. — Киев, 1967.
3. Саушев А. В. Метод построения границы области работоспособности электротехнических объектов // Электричество. — 1990. — № 4. — С. 14-19.
4. Саушев А. В. Планирование эксперимента в электромеханике. — СПб., 2008.
5. Саушев А. В., Шошмин В. А. Основы инженерного проектирования электротехнических устройств и систем. — СПб., 1993.
В. В. Сахаров,
д-р техн. наук, проф., СПГУВК;
В. И. Королев,
канд. техн. наук, проф., ГМА им. адмирала Ф. Ф. Ушакова;
П. В. Голубев,
аспирант, СПГУВК
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ВОДОИЗМЕЩАЮЩИХ СУДОВ ПО ИЗМЕРЕНИЯМ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ
DISPLACE SHIP MODEL PARAMETERS ESTIMATION BY STATE VECTOR MEASUREMENTS
В статье рассматривается алгоритм оценки параметров модели водоизмещающего судна в пространстве состояний. Оценка производится по измерениям вектора состояния в дискретные моменты времени на эволюционном режиме изменения фазовых координат. Приводятся оценки параметров, полу-
сложную, рутинную задачу, требующую проведения большого числа экспериментальных исследований с последующей обработкой эксперимента. В настоящее время отсутствуют некие общепринятые единые формы стандартного представления гидродинамических коэффициентов. Для любого конкретного объекта гидродинамика, а также аэродинамика описываются в существенной мере индивидуально [3].
В работе [3] приведена в общем виде математическая модель морских подвижных объектов различного назначения и показано, что на ее основе, путем упрощений, связанных с учетом специфических свойств объекта, можно получить модель водоизмещающе-го судна. В частности, рассмотрена модель в линеаризованной форме для сухогрузного теплохода дедвейтом 3500 т со следующей структурой:
К -
-о-иЩ + а12сох + а13 Уоуу + а^в
,
СОV
(1)
-а211% - а22сох - а23Усо - а24в +
+ Ъ21УЧ„+Ь22УЧЬ
гК + с„_Мг
¿4- = а21 щ - а33УЮу - Ьи/^ + с33Мг
Здесь использованы обозначения: V V юх, ю — проекции векторов линейной и угловой скорости на оси связанной системы координат; через Мх, Му обозначены проекции на оси векторов внешних возмущающих сил и моментов (аэродинамические силы и моменты, силы и моменты от волнения); 0 — угол крена; ф — угол курса; — угол перекладки вертикального руля; 5ъ — угол перекладки бортовых рулей.
Система уравнений (1) определяет структуру модели, которую удобно использовать для оценки параметров по эксперименту средствами универсальных программных пакетов, реализующих современные технологии моделирования.
С этой целью, с учетом принципа суперпозиции, для модели (1) непрерывной систе-
мы в отклонениях получены уравнения в пространстве состояний
йь
= Ас • х(0 + Бс • п(р>.
где элементы матриц Ас и Вс для постоянных значений скорости V являются инвариантными во времени, х(0 — вектор переменных состояния, н(0 — вектор управления. Для интегрирования матричного дифференциального уравнения (решения задачи Коши) необходимо задать вектор начальных условий х(0). В случае расщепленных граничных условий, заданных на левой и правой границах фазовой траектории, требуется решать двухточечную граничную задачу, а при наложении ограничений и введении функционала (критерия качества) исследовать процесс оптимизации. Перечисленные решения можно отнести к классу «прямых» задач динамики объекта.
Решаемая в работе «инверсная» задача состоит в следующем: по измерениям наблюдаемого вектора состояния в активной области траектории требуется получить оценку элементов матриц Ас и Вс и сравнить спектры матриц состояния модели и объекта, определяющие динамику процессов.
На рис. 1 приведены изменяющиеся во времени переменные состояния модели сухогруза дедвейтом 3500 т (непрерывные характеристики) с нанесенными на них точками в моменты снятия информации, производимой через каждые 5 с на рабочем интервале 150 с. Переменные состояния получены по модели (1) при «нулевых» начальных условиях. Эволюционный процесс вызван перекладкой бортовых рулей на 5ъ = 7° при отсутствии на судне вертикального руля = 0°. Измерения производились при скорости судна V = 5 м/с. Результаты измерений представлены матрицей 7^ размерностью (30^5), где в первом столбце указано время измерений, а во вто-ром-пятом столбцах последовательно — переменные состояния в указанные моменты времени: 71 = V, 72 = ю , 73 = ю и 74 = 5.
г г' х у
Масштабный коэффициент при координате 71 выбран равным 0.01.
Заметим, что условия эксперимента позволяют сформировать блочную матрицу неизвестных коэффициентов, подлежащих оценке:
0.3
0.2
0.1
i §
I-
и о
0
а> л
1 X
а> 5 а> о. а)
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
Измерения переменных состояния в дискретные моменты времени
Ts = 5 с,
Tm = 150 с
Y2 Y3
......................... Y4......................................
0.01 *Y1
50 100 150
Время переходного процесса (с), шаг дискретности Ts = 5 с
Рис. 1. Переходный процесс при ступенчатом входном сигнале 5, = 7°
В=[А i 5]=
(2)
Ysys =[ 0 5.0000 10.0000 15.0000 20.0000 25.0000 30.0000 35.0000 40.0000 45.0000 50.0000 55.0000 60.0000 65.0000 70.0000 75.0000 80.0000 85.0000 90.0000 95.0000 100.0000 105.0000
0
-3.0877 -6.5041 -9.5608 -12.2809 -14.6948 -16.8412 -18.7469 -20.4406 -21.9449 -23.2816 -24.4690 -25.5240 -26.4612 -27.2938 -28.0336 -28.6907 -29.2746 -29.7933 -30.2541 -30.6635 -31.0272
0
-0.0097 -0.0051 -0.0128 -0.0040 -0.0090 -0.0044 -0.0061 -0.0041 -0.0044 -0.0035 -0.0034 -0.0028 -0.0026 -0.0023 -0.0020 -0.0018 -0.0016 -0.0014 -0.0013 -0.0011 -0.0010
0
-0.0683 -0.0778 -0.0843 -0.0900 -0.0950 -0.0995 -0.1035 -0.1071 -0.1102 -0.1130 -0.1155 -0.1177 -0.1197 -0.1214 -0.1230 -0.1243 -0.1256 -0.1267 -0.1276 -0.1285 -0.1292
0
0.2510 0.0587 0.0901 0.0110 -0.0041 -0.0455 -0.0683 -0.0954 -0.1161 -0.1361 -0.1532 -0.1687 -0.1823 -0.1945 -0.2052 -0.2148 -0.2233 -0.2309 -0.2376 -0.2436 -0.2489
110.0000 -31.3503
115.0000 -31.6374
120.0000 -31.8924
125.0000 -32.1190
130.0000 -32.3202
135.0000 -32.4991
140.0000 -32.6579
-0.0009 -0.1299 -0.2536 -0.0008 -0.1305 -0.2578
-0.0007 -0.1311 -0.2615 -0.0006 -0.1315 -0.2648 -0.0006 -0.1319 -0.2677 -0.0005 -0.1323 -0.2703 -0.0004 -0.1327 -0.2726 145.0000 -32.7991 -0.0004 -0.1330 -0.2747].
В блочной матрице (2) содержатся компоненты дискретной модели х(к + 1) = А 'х(к) + В и(к), (3)
где А и В рассчитываются в общем случае по формулам перехода от непрерывных моделей Ас и В к дискретным посредством матричного экспоненциала по схеме 2оЬ, являющегося функцией шага А [4]. Очевидно, что по мере уменьшения шага квантования (увеличения числа измерений) в дискретной модели (3) оценки элементов В будут приближаться к параметрам непрерывной модели, а при А ^ 0 элементы матриц при отсутствии шума измерений должны совпадать с Ас и В с [5].
Для оценки элементов матрицы В составлен файл в кодах МаЛАВ, фрагмент которого, содержащий операцию формирования матриц и псевдоинверсию Мура-Пенроуза, приведен ниже.
Рис. 2. Изменение мнимой составляющей пары комплексно-сопряженных корней в зависимости от шага А = Т
Модели ARX и ARMAX были разработаны на основе AR-модели. ARMAX-модель (модель авторегрессии со скользящим средним и экзогенной переменной) базируется на структуре линейной регрессии. Эту модель принято считать стандартным инструментарием, используемым при выполнении расчетов и проектировании систем управления
технологическими процессами, реализуемыми в условиях внешних случайных воздействий. Среди других моделей, часто используемых для решения задач оценки параметров и идентификации технологических процессов, следует отметить OE-модели, применяемые для параметризации передаточных функций дискретных и непрерывных систем, модели Бокса-Дженкин-са (BJ), обобщенную модель с одним входом (SISO) и дискретные модели в пространстве состояний, содержащие переходную матрицу, матрицу управления и измерения с аддитивными шумами по основному каналу и каналу измерений. Важным является положение, согласно которому параметры модели в пространстве состояний могут оцениваться с помощью фильтров Калмана-Бьюси. Среди методов оценки параметров в процессе использования упомянутых выше моделей следует отметить среднеквадратичные оценки, которые фактически применены в работе для идентификации параметров модели судна.
Список литературы
1. Гофман А. Д. Об особенностях управляемости кораблей на заднем ходу // Морской вестник. — 2009. — № 1 (29). — С. 99-101.
2. Гофман А. Д. Динамика корабля. — СПб., 2007.
3. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов / Е. И. Веремей [и др.]. — СПб., 2002.
4. Изерман Р. Цифровые системы управления: пер. с англ. — М., 1984.
5. Методы классической и современной теории автоматического управления / ред. К. А. Пупков, Н. Д. Егупов. — М., 2004. — Т. 2: Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления.
