Применение математического моделирования в технической диагностике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКЕ

© 2008 г. ГА. Пюкке, С.Ю. Папшева, Т.И. Горева

Камчатский государственный технический Kamchatka State Technical

университет University

Дается обзор основных математических моделей и методов, применяемых сегодня в техническом диагностировании. Акцентируется внимание не только на сущности каждой модели, но и на ее основных недостатках. Предлагается дальнейшее исследование в этой области с целью создания модели, лишенной указанных недостатков.

Ключевые слова: математическое моделирование, техническое диагностирование.

This article contains the review of main mathematical models and methods used in technical diagnostics. Attention is concentrate not only to the essence of every model, but to its main shortcomings. The exploration in this field is supposed to be continued with the purpose of creating of the model eliminated from shortcomings.

Keywords: mathematical modeling, technical diagnostics.

ЭВМ и средства электронно-вычислительной техники прочно вошли в нашу жизнь, и практически нет такой области человеческой деятельности, где бы они не применялись. Техническое диагностирование не является исключением. На современном этапе техническая диагностика рассматривает, как минимум, три практические задачи: определение мест дефектов и их идентификация; определение степени работоспособности объекта диагностирования (ОД) и прогнозирование технического состояния ОД. Однако при решении вышеперечисленных задач с использованием ЭВМ каждая из них должна быть «переведена» на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель.

Как известно, целью математического моделирования является получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые могут взаимодействовать не только между собой, но и с окружающей средой. При этом математическая модель является средством познания свойств и закономерностей поведения объекта. Но так как математическая модель, все-таки, является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, то в самом общем случае ее можно представить в виде системы функционалов

Ф(Х, Y, Z, t) = 0,

где Х - вектор входных переменных, X = [xj, x2, x3,..., xN]; Y - вектор выходных переменных; Y = [yj, y2, y3,. • •, yN ]; Z - вектор внешних воздействий; Z = [zj, z2, z3,..., zN ]; t - координата времени.

Кроме того, при построении математической модели необходимо определить связи между теми или иными процессами и явлениями, создать математический аппарат, позволяющий выразить количественно и качественно связь между этими процессами и явлениями, т.е. связь между интересующими нас физическими величинами и факторами, влияющими на конечный результат. Обычно их оказывается настолько много, что ввести в модель всю их совокупность не удается. Поэтому при построении модели перед нами естественным образом встает вопрос исключения из рассмотрения факторов, несущественно влияющих на конечный результат.

Если в качестве ОД, а значит и объекта математического моделирования, рассматривать судовые электрические средства автоматизации (ЭСА), то следует учитывать их существенные особенности. Это, как правило, многоэлементный, многосвязный, с наличием большого количества параметров, объект. Для организации диагностирования такого объекта обычно требуется сложная система или значительное время. Процессы, протекающие в них, в большинстве случаев являются динамическими.

Гибридный характер судовых ЭСА предполагает наличие компонент с линейными и нелинейными характеристиками как непрерывного, так и дискретного характера, что определяет различный подход при решении задач диагностирования, а наличие элементов, построенных по различным физическим принципам действия, затрудняет получение универсальных решений.

Различный уровень надежности ЭСА и их элементов затрудняет организацию процесса диагностирования и создает необходимость диагностирования в специальном режиме при поиске дефектов, а также в рабочем режиме при проверке состояния, для чего используются методы тестового и функционального диагностирования.

Судовые ЭСА питаются от общей судовой сети и считаются элементами нагрузки судовой электроэнергетической системы. Поэтому при разработке моделей, методов и средств диагностирования необходимо учитывать искажения напряжения, помехи и отсюда возможность искаженного диагноза.

Указанные особенности ЭСА, как ОД, должны учитываться при проектировании систем диагностирования, что позволит создать приспособленные к диагностированию ремонтопригодные ЭСА, правильно организовать эксплуатацию и использование оборудования и обеспечить поддержание уровня его надежности.

В соответствии с изложенными особенностями судовых ЭСА, как объекта моделирования и диагностирования, решение основных задач диагностики оказывается достаточно сложным. Однако на сегодня и эти проблемы становятся решаемыми.

Сегодня в технической диагностике применяется как аналитическое моделирование, при котором процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей, так и имитационное моделирование, при котором функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов, которые, в свою очередь, имитируют реальные элементарные явления, составляющие процесс или систему с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Оценка состояния судового оборудования осуществляется по диагностическим признакам (параметрам и характеристикам). Обычно в качестве диагностических параметров принимают параметры диагностической модели. В этом случае выбор и построение адекватной диагностической модели имеет существенное значение для оценивания состояния судового оборудования.

В связи с большим разнообразием судового оборудования как по назначению и режимам использования, так и по принципам построения и конструкции, приходится использовать большое число различных диагностических моделей, причем, как правило, при выборе диагностической модели приходится выбирать и определенные методы их анализа.

В качестве примера можно рассмотреть функциональную диагностическую модель, которая используется в диагностировании разветвленных электрических цепей высокой размерности при структурном подходе к анализу топологии диагностируемой цепи, т.е. при представлении объекта диагностирования в

виде совокупности структурных единиц (СЕ), имеющих самостоятельное конструктивное оформление [1 - 3]. В качестве функциональной диагностической модели могут рассматриваться схемы связей между отдельными СЕ, диаграммы прохождения сигналов или алгоритмы функционирования.

Для построения функциональной модели ОД задаются множеством попарно различных состояний S = i = 1, ..., п , множеством попарно различных проверок П = {п},} = 1, ..., т и множеством результатов проверок А = {а^^} [2, 4].

При этом для построения функциональной и логической моделей ЭСА целесообразно рассматривать их функциональную схему, когда каждый функциональный элемент ЭСА является элементом или несколькими элементами логической зависимости от количества выходов.

Каждое возможное состояние ОД, состоящего из N элементов, можно определить ^мерным вектором состояний S, у-я компонента которого равна единице, если сигнал на выходе у-го элемента удовлетворяет требованиям, и равна нулю в противоположном случае. Как уже было отмечено выше, для диагностирования реальной системы задается множество проверок П = {п,}; i = 1, ..., т. Каждая проверка позволяет установить, какому исходу этой проверки принадлежит подмножество состояний.

На основе логического анализа функциональной модели строится таблица состояний, в которой число столбцов соответствует числу основных диагностических признаков. Каждая строка таблицы - это результаты проверок определенного состояния. После анализа модели и составления таблицы состояний выбирается решаемая задача диагностирования. Если берется задача определения работоспособности, то для ее решения отбирается своя совокупность проверок £др, в случае выбора задачи поиска возникшего дефекта - совокупность проверок Sпд - тоже своя.

Для выбора совокупности оцениваемых прямых диагностических параметров, при решении задачи определения работоспособности попарно сравнивают результаты проверок первой строки с последующими строками. Результаты сравнения заносят в таблицу, в которой в каждой строке стоит единица или нуль. Нуль - если проверка дала одинаковые результаты, и единица - если проверка дала разные результаты. Производя анализ полученной таблицы, исключают строки неразличимых состояний и составляют алгоритм проверки работоспособности АР, т.е. определяют, сколько и какие проверки необходимо выполнить, чтобы определить работоспособность ОД. Для этого отбирают из всех проверок только те, которые позволяют установить, что объект находится в работоспособном состоянии.

Для решения задач поиска дефекта определяют совокупность Sпд, для этого попарно сравнивают результаты проверок всех состояний. Составляют таб-

лицы. После удаления строк неразличимых состояний определяют минимальное количество проверок, однозначно идентифицирующих дефект, для этого выбирают такое количество проверок, чтобы в каждой строке была, по крайней мере, хотя бы одна единица (тогда отобранные проверки будут различать все сочетания состояний).

Рассмотренные виды моделей применяются при реализации допусковых методов технического диагностирования, применение которых не всегда эффективно, так как необходимо согласовать допуски на выходные сигналы одних составных частей с системой допусков на входные сигналы других составных частей, непосредственно связанных с первыми.

Кроме того, использование функциональных и логических моделей не позволяет различать дефекты блоков, охваченных обратной связью, поскольку появление недопустимой реакции на выходе любого блока контура обратной связи приводит к появлению недопустимых реакций на выходах всех остальных блоков, входящих в этот контур. Поэтому реакции всех блоков, охваченных обратной связью, всегда имеют одно и то же значение. Это обстоятельство приводит к необходимости разрывать обратные связи в ОД, что не всегда является возможным. Решение такого рода задач требует привлечения более сложных математических моделей, описывающих объект более точно, чем модели логического типа. Поэтому для решения задачи поиска дефекта в ЭСА, как правило, сначала рассматривается диагностическая модель логического типа, а затем, при необходимости, привлекаются более сложные аналитические модели для отдельных частей и блоков ЭСА.

Еще одним вариантом, используемым при моделировании в технической диагностике, является составление аналитической модели ОД, которая в общем случае может быть записана в виде

Y = А х X ,

где X - вектор входных воздействий; Y - вектор реакций ОД (выходных значений); А - оператор преобразования.

Структура и параметры оператора А отражают показатели качества работы ОД. При этом задачи проверки работоспособности и поиска дефектов решаются проверкой соответствия действительного оператора А заданному А0 [3, 4].

Операторы А и А0 должны определяться при фиксированном значении характеристик входных воздействий, т.е. в одном режиме работы ОД. В частности, работоспособность ЭСА можно проверить по его реакции на единичную ступенчатую функцию, т.е. по переходной характеристике. В работах [1 - 3] описываются методы и средства для контроля работоспособности ОД по показателям качества переходной характеристики.

В случае невозможности организации требуемых режимов работы ОД обойти эти трудности можно применением подхода, предусматривающего формулировку условий работоспособности непосредственно на множестве диагностических параметров [1]. Эта задача может решаться методами теории чувствительности, методом малого параметра и другими.

Недостатком этого подхода является приближенное задание области работоспособности в виде прямоугольного параллелепипеда, что приводит к ошибкам контроля. Для перечисленных выше случаев проверки работоспособности необходима подача на ОД специального тестового воздействия [1, 4].

При проверке работоспособности в процессе функционирования ОД можно использовать метод, заключающийся в сравнении выходных реакций ОД и его эталонной модели, включенной параллельно с ОД. Достоинство этого метода состоит в том, что он позволяет решать задачу проверки работоспособности динамического звена, являющегося частью сложного ОД, при отсутствии доступа к входу и выходу этого звена.

Другой метод проверки работоспособности в процессе функционирования ОД состоит во введении избыточности в исходную систему [1]. Недостатком этих методов следует считать отсутствие информации о степени отклонения показателей качества переходного процесса, устойчивости ОД, поскольку применяется специальное задание условия работоспособности.

Поиск дефектов в ЭСА может строиться в виде последовательности контрольных операций с определением параметров, характеризующих состояния отдельных блоков, элементов ЭСА и дальнейшим сравнением их с допустимыми значениями. При этом план поиска может основываться на известных статических характеристиках элементов ЭСА [1, 5], на информационной оценке процесса диагностирования или на основе анализа структурных особенностей ОД [2, 4]. Недостатками этого метода являются неполнота диагноза, значительное суммарное время поиска за счет последовательной процедуры измерений, необходимость большого числа тестовых воздействий и разрыв связей между элементами.

Поиск дефектов в динамическом режиме позволяет применять методы, использующие алгоритм распознавания образов [2, 3]. При этом распознавание состояний ОД может производиться либо в пространстве выходных сигналов ОД, либо в пространстве параметров модели ОД.

Для решения задачи методом распознавания образов необходимо определить совокупность диагностических параметров ] = 1, ..., k и построить образы отказавших блоков или СЕ, для которых требуется определить дефект. Для этого сначала формируется таблица неработоспособных состояний путем физического или математического моделирования с учетом заданной глубины поиска дефекта. В диагностической

модели могут использоваться дифференциальные и алгебраические уравнения. После введения дефекта в каждую СЕ, приводящего к ее отказу и отказу ОД измеряются значения параметров с помощью датчиков, установленных в соответствующих контрольных точках.

Результаты эксперимента сводятся в таблицу, число строк которой равно числу возможных дефектов в ОД S = , = 1,...., п, а число столбцов множеству значений измеряемых параметров {4,}. На пересечении ,-го столбца и }-й строки записывается значение параметра 4, ] при отказе ,-й СЕ, т.е. состояния объекта S¿ Из рассматриваемой совокупности параметров выделяют наиболее информативные, доступные измерению, однозначно соответствующие тому или иному отказу.

Совокупность диагностических параметров можно выбрать, воспользовавшись принципом разрешающей способности параметров:

4 , = {4 , 6 {4 , } / г3 - 4 ч \> 4 пор*},

где ] = ,,(п - 1), а = (, + 1), п, 4пор - значение порога чувствительности SпOp технического средства диагностирования.

Для выбранной совокупности диагностических параметров имеется ряд чисел 4 , ^ . Совокупность этих чисел геометрически интерпретируют как точку в многомерном пространстве диагностических параметров. В результате в пространстве параметров появятся множества точек, характеризующих состояние ОД с соответствующими отказавшими СЕ. Распознавание дефекта в этом случае сводится к определению расстояния между точкой, соответствующей текущему состоянию ОД и всеми точками соответствующими неработоспособным состояниям. В результате процедуры распознавания осуществляется поиск дефекта СЕ, приведшего к отказу ОД [2].

Основным недостатком метода распознавания образов является недостаточно высокая гарантия выполнения однозначности идентификации дефекта в силу того, что области работоспособности могут оказаться довольно обширными, а наложение двух или нескольких областей высоковероятными.

Обнаружить возникшие дефекты можно с помощью как рабочих, так и специальных тестовых сигналов.

Для поиска дефектов (ПД) в линейных ОД используются методы, развитые в теории идентификации [1]. Специфика диагностирования при этом заключается в том, что известными должны быть структурные и топологические особенности ОД, а определению подлежат только величины передаточных функций отдельных СЕ. Задача построения алгоритмов ПД при этом решается либо через определение коэффициентов передачи всего ОД с дальнейшей локализацией дефектов через известные уравнения связи между коэффициентами и параметрами отдельных СЕ, либо через непосредственное определение значений параметров, характеризующих техническое

состояние отдельных СЕ, с помощью алгоритмов идентификации.

Недостаток такого подхода - необходимость решения системы нелинейных алгебраических уравнений относительно искомых параметров СЕ.

Поиск дефекта или определение состояния, в котором находится ОД, выполняется по алгоритму, включающему определенную совокупность проверок. Основополагающим принципом, которым руководствуются при построении алгоритма ПД, служит принцип минимальных затрат программных, временных и аппаратных.

Наличие статистических данных позволяет построить алгоритм поиска по степени надежности контролируемых элементов, по максимальному получению информации для каждой последующей операции, а также на базе использования метода ветвей и границ.

Общим недостатком всех методов, построенных на использовании статистических данных, является то, что они учитывают не важность блоков и действительное состояние системы, а средневероятностные величины, получаемые в результате анализа и обработки информации о подобных или сходных системах, т.е. статистические методы поиска, которые могут быть использованы только при наличии достоверных статистических данных, фиксируют прошлое [2, 3, 5].

Стремление повысить эксплуатационную надежность системы вызывает необходимость подвергать маршруты поиска непрерывной корректировке при изменении показателей системы, что несколько снижает ценность результатов, полученных таким путем. Поэтому необходимо разумно сочетать статистические вероятностные методы поиска дефекта с методами, основывающимися на анализе структуры системы, которые позволяют разделить систему на блоки или группы блоков и элементов.

Полученные данные о структуре ОД могут быть использованы для решения задачи ПД методом «ветвей и границ», базирующимся на анализе таблицы состояний и позволяющим получить программу поиска с минимальными затратами. При этом стоимость реализации заданной последовательности проверок Н определяется выражением

С(Н) = (^ Р),

I =1 X

где С, - стоимость ,-й проверки, не зависящая от порядка выполнения проверок; Рt - вероятность того, что система будет находиться в состоянии St; h - число внутренних вершин бинарного дерева Н (пк и S, V), соответствующего программе поиска, а S и V - соответственно количество висячих вершин и дуг в дереве.

Проверка п1 разбивает множество состояний S на два непустых подмножества St0 и S/, которые соответствуют двум возможным результатам проверки. Но, так как последовательность выполнения последующих проверок неизвестна, то искомые решения заменяют их нижними границами СМ^) и СМ^1).

Стоимость поиска, начинающегося с выбранной проверки щ , будет равна

СМ(Ч Б) = С1 £ Рг + СМ(Б,0) + СМ(5/),

где Сг - стоимость выполнения проверки пг. Из множества т проверок выбирают ту проверку, для которой нижняя граница наименьшая. Затем определяют нижние границы для каждого из подмножеств и 5/, выделенных на первом этапе:

СМ(п, Б,0) и СМ(пв, 5/),

где п и жg - фиксированные проверки на втором этапе. Средняя стоимость поиска при выбранных проверках на первом и втором этапах будет равна

СМ(щ, щ, Б) = Со + СМ(щ,Б°) + СМ(^ , Б1).

Поступая в дальнейшем таким же образом, можно построить программу поиска в виде дерева решений.

Приведенные выше примеры диагностических моделей, применяемые в технической диагностике, не единственные. Причем различные виды диагностических моделей могут использоваться как самостоятельно, так и в различных сочетаниях в зависимости от условий, в которых разрабатывается диагностическое обеспечение, и специфики конкретного судового оборудования. Однако большинство применяемых моделей имеют общие недостатки, например достаточно

Поступила в редакцию

сложный характер взаимосвязи между параметрами составных компонент; общая направленность моделей на поиск одиночных дефектов и, наконец, структурные модели требуют размыкания цепей обратных связей.

Таким образом, можно констатировать тот факт, что необходимы дальнейшее исследование и разработка новых моделей, лишенных указанных недостатков. Одним из возможных вариантов решения этой задачи может быть разработка модели на основе билинейного управления с использованием традиционных методов линеаризации или же использование численных методов на основе нелинейных моделей.

Литература

1. Технические средства диагностирования: Справочник / В.В. Клюев, П. П. Пархоменко, В.П. Калявин и др. М., 1989.

4. Рябинин И.А. Основы теории и расчета судовых электро-

энергетических систем на надежность. Л., 1971.

2. Мозгалевский А.В., Калявин В.П. Системы диагностиро-

вания судового оборудования: Учеб. пособие. Л., 1987.

3. Калявин В.П., Мозгалевский А.В. Технические средства диагностирования. Л., 1987.

5. ГОСТ20911-89. Техническая диагностика. Термины и определения. М., 1990.

10 июля 2008 г.

Пюкке Георгий Александрович - докт. техн. наук, профессор кафедры систем управления Камчатского государственного технического университета.

Папшева Светлана Юрьевна - доцент кафедры систем управления Камчатского государственного технического университета. E- mail: sveta_prepod@mail.ru

Горева Татьяна Игоревна - доцент кафедры систем управления Камчатского государственного технического университета.