CC BY
359
УДК 72.013
Жилин
Сергей
Сергеевич
ведущий экономист Института экономики УрО РАН,
директор ООО «Эксперт-девелопмент», г. Екатеринбург
e-mail: [email protected]
Мисюра
Наталья
Евгеньевна
старший преподаватель кафедры теоретической механики ИНФО УрФУ, г. Екатеринбург
e-mail: [email protected]
Митюшов
Евгений
Александрович
доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механики ИНФО УрФУ
e-mail: [email protected]
ЖИЛИН С. С. МИСЮРА Н. Е. МИТЮШОВ Е. А.
Применение математического моделирования в архитектурном проектировании высотных зданий
Рассматриваются эволюция применения геометрических моделей в проектировании зданий и сооружений, возможности математического моделирования высотных зданий с применением современных математических пакетов. Приводится пример эскизного архитектурного проектирования здания с использованием полиномиальной образующей.
Ключевые слова: высотные здания, математическое моделирование в архитектуре, бионическая архитектура, торсионное формообразование, геометрический критерий выразительности.
ZHILIN S. S.
MISIURA N. E.
MITUSHOV E. A.
MATHEMATICAL MODELING APPLICATION IN THE ARCHITECTURAL DESIGN OF TALL BUILDINGS
The evolution of geometric models usage in the design of buildings and constructions, the possibilities of tall buildings mathematical modeling with modern mathematical packages are examined. The conceptual architectural building design using a polynomial generator is taken as an example.
Keywords: tall buildings, mathematical modeling in architecture, bionic architecture, torsion forming, geometric criterion of expression.
Мировым трендом современной архитектуры остается придание уникальности городскому ландшафту путем строительства высотных сооружений. Развитие высокотехнологичных методов проектирования зданий и сооружений в значительной мере облегчило задачу архитекторов, и строительство высоток превратилось в своеобразную моду. Следы хай-тека в высотном строительстве можно найти в уже реализованных или еще проектируемых объектах крупнейших мегаполисов Америки, Европы, Азии, Африки и Ближнего Востока. Отличительной особенностью современной ситуации является отход от традиционно призматической и шпилеобразной формы зданий и переход к плавным криволинейным очер-
таниям их профилей. При этом выбираются, как правило, выпуклые (небоскреб «Мэри-Экс» в Лондоне, башня «Агбар» в Барселоне) или вогнутые (башня «Гуанчжоу», маяк в Кобо, «Хрустальный остров» в Москве) образующие. Наличие криволинейной образующей создает выразительный пластичный облик здания, доминирующий посреди во многом унылых и хаотичных застроек и гармонизирующий окружающую среду. Здания с вогнутой образующей представляют гиперболоидные конструкции по патенту 1899 г. русского инженера В. Г. Шухова. Несмотря на несомненные конструктивные достоинства, возникающие благодаря использованию протяженных линейных элементов при их строительстве, форма однополостного гиперболоида, формирующего
© Жилин С. С., Мисюра Н. Е., Митюшов Е. А., 2014
39
Иллюстрация 1. Примитивные постройки:
а — мазанка; б — вигвам; в — иглу; г — юрта; д — шалаш; е — изба; ж — дольмен; з — землянка
облик башни, недостаточно выразительна. Это связано с асимптотическим характером поведения ветвей гиперболы — их приближение к прямым линиям делает здание коническим уже при небольшом удалении по высоте от его горловины.
В данной статье на примере проекта реконструкции Екатеринбургской телевизионной башни предлагается оригинальный метод формирования оболочки высотных зданий с вогнутым профилем на основе использования полиномиальных образующих. Полиномиальные кривые относятся к простейшим аналитическим кривым. Они представимы степенными многочленами, коэффициенты которых и определяют их форму. Уже при использовании небольших степеней полинома или их гладкой аппроксимации — сплайна можно получить неограниченное количество пластичных форм, а коэффициенты полинома (математические параметры кривой) связать с конструктивными параметрами проектируемой конструкции.
Исторически первыми пространственными строительными конструкциями были примитивные жилища первобытности. Следы конструктивного творчества тех времен можно проследить до сих пор в современных постройках людей, которые еще сохранили в своем укладе черты родового общества. Это палатки бедуинов; мазанки африканских племен; типи и вигвамы североамериканских индейцев; яранги, чумы и иглы народов Севера, а также другие простейшие жилые постройки, изображенные на Иллюстрации 1 [9].
К примитивным строениям с точки зрения их архитектуры, а не технологии возведения можно отнести
и культовые мегалитические сооружения, в частности, дольмены и пирамиды. Конечно же, обращает на себя внимание то, что форма этих жилищ для нас узнаваема и несет в себе черты простейших геометрических фигур, с которыми мы знакомы в рамках тех или иных математических представлений.
Прошли тысячелетия, прежде чем легко узнаваемые формы примитивных жилищ обрели названия.
Некоторые представления об основных этапах развития строительного искусства и эволюции в формообразовании пространственных конструкций можно найти в монографиях [1, 2, 12, 13].
Принципиально новые возможности в проектировании зданий и сооружений появились в последние годы благодаря активному внедрению информационных технологий. Такие прикладные компьютерные пакеты, как ArchiCAD, AutoCAD, Компас, Лира, MicroFe, ANSYS и им подобные, зафиксировали практически все достижения строительной мысли прошедших времен и позволяют легко получить авторский образ проектируемой конструкции на основе имеющихся примитивов, выполнить ее расчет и даже получить проектную документацию. При всех достоинствах этих современных средств проектирования и преимуществах их применения необходимо отметить, что принципы заложенных в эти пакеты алгоритмов скрыты от пользователя, что не позволяет во многих случаях эффективно дополнить программный продукт собственными разработками. С другой стороны, применение универсальных математических компьютерных систем — МаШета^са, Мар1е, Ма1:ЫаЬ, Mathcad со встроенными графическими редакторами позволяет любому пользов ател ю по уравнениям г = / (х, у), F (х, у, г) = 0 или г = г (и, V) путем изменения функциональной зависимости получить бесчисленное количество поверхностей, теоретически пригодных для формообразования какой-то гипотетической пространственной конструкции. Не исключено, что бурному развитию архитектурного направления хай-тек способствует безграничное разнообразие возможных аналитических форм. Представление об этом разнообразии, в частности, можно получить, познакомившись с энциклопедией поверхностей [6].
Очевидно, что выбор той или иной пространственной формы конструкции не является самоцелью, а продиктован ее функциональным предназначением, имеющимися материалами и условиями эксплуатации. Так, форма конструкции обязательно должна быть связана с ее конструктивными параметрами аналитическими соотношениями, позволяющими осуществлять привязку этой конструкции к плану, стыковку или сочленение с другими конструкциями или их элементами, а также оптимально заполнять имеющееся архитектурное пространство.
Все эти задачи с успехом могут решаться средствами нового раздела прикладной математики — компьютерной геометрии [3, 4, 7, 9, 10]. В компьютерной геометрии рассматриваются способы представления геометрических фигур при помощи массивов чисел, численных методов решений различных геометрических и графических задач, организованных программным образом. В ее основе лежат фундаментальные результаты аналитической и начертательной геометрий, теории матриц, векторной и линейной алгебр, математического анализа, дифференциальной геометрии, вычислительной математики.
Компьютерная геометрия открывает безграничные возможности в геометрическом моделировании и математическом дизайне пространственных строительных конструкций, с изменением традиционного представле-
Иллюстрация 2. Призовой проект реконструкции телебашни г. Екатеринбурга/ Международный творческий конкурс на разработку эскизного предложения (концепции) по реконструкции и приспособлению к современному использованию объекта незавершенного строительства «Телевизионная башня», с прилегающей территорией, расположенного по адресу: РФ, г. Екатеринбург, Степана Разина,15. Организатор конкурса ГУП СО «Распорядительная дирекция МУГИСО». 2013 г.
ния об их проектировании — от стадии архитектурной проработки до инженерных решений. Вместо традиционного использования ограниченного набора геометрических примитивов и их трансформаций в парадигме математического дизайна создается многопараметрическая математическая модель создаваемой конструкции, которая позволяет осуществить ее оптимизацию по эстетическим и техническим характеристикам и выполнить чертежи ее элементов в любых поддерживающих масштаб графических пакетах.
Примером применения технологии математического дизайна при создании эскизных архитектурных проектов может служить реализация призового эскизного предложения реконструкции телевизионной башни г. Екатеринбурга (Иллюстрация 2), выполненного в рамках международного конкурса с участием более чем восьмидесяти ведущих зарубежных и российских архитекторов.
В парадигме математического дизайна концепция модели «Глобального маяка» включает создание узнаваемого образа традиционного маяка в виде ограненной в основании конической башни с горловиной, несущей на своей вершине световое оборудование. Инструментами в ее создании вместо традиционного или виртуального карандаша являются аналитические выражения — формулы, которые связаны между собой в логической последовательности и формируют нужный образ.
При создании математической модели башни ее форма ищется в виде кинематической поверхности заметания, образованной вертикальным движением непрерывного изменяющегося фигурного каркаса. Фи-
гурный каркас, задающий форму горизонтального сечения башни, при этом плавно переходит в окружность при достижении заданной высоты. Образующая кривая (каркас) в математической модели задается уравнением «розы» (кривой Гвидо Гранди), а профиль башни формирует кубическая парабола. В окончательном виде математическая модель башни принимает вид:
x(z,t) = (R(z)- a(R(z)- R(h))sin2 nt)cos t,
y (z, t) = (R (z)- a (R (z)- R (h)) sin2 nt) sin t;
0 < z < h, 0 < t < 2n;
x (z, t) = R (z) cos t, y (z, t) = R (z) sin t;
h < z < H, 0 < t < 2n,
где R (г) = а0 + а^ + а2г2 + а3г3; к — высота перехода от фигурного сечения к круглому; Н — высота башни; п, а, а0, а1,а2, а3 — параметры математической модели, связанные с конструктивными параметрами башни.
Предусмотренное математической моделью применение торсионного преобразования позволяет выполнить необходимую коррекцию с целью достижения большей архитектурной выразительности «Глобального маяка» [5, 8].
Конструктивными параметрами «Глобального маяка» являются: 1. Высота. 2. Максимальный радиус основа-
Иллюстрация 3. Сравнение полиномиального (красный) и гиперболического (синий) профилей башни
Иллюстрация 4. Перемещения в форме кубической параболы двухконсольной балки, минимизирующие ее упругую энергию
ния. 3. Количество граней. 4. Амплитуда волны фигурного профиля в основании. 5. Радиус верхнего среза. 6. Высота до горловины. 7. Радиус горловины. 8. Угол наклона касательной к образующей в основании башни.
9. Высота перехода от фигурного сечения к круглому.
10. Погонный угол закручивания маяка вокруг вертикальной оси.
Введенные десять параметров позволяют создать зрительный образ изящной конструкции, бережно наследующей (поглощающей) образ бывшей телебашни, удовлетворяющий необходимым эстетическим (образ маяка) и техническим (площадь помещений к 70 000 м2) требованиям.
Использование полиномиальных образующих при формировании профилей высотных зданий обладает большим преимуществом в силу простоты соответствующих аналитических выражений и достаточным числом входящих в них параметров для реализации большего многообразия архитектурных форм.
При использовании кубической параболы
Я (х) = а0 + а1х + а2х2 + а3х3
коэффициенты а0,а±,аг,аъ связаны с конструктивными параметрами следующими соотношениями: а° =я (0); 2
а0 + а1Н + а2Н2 + а3Н3 = Я (Н);
ах = —tgY, ч — угол наклона касательной в основании
башни;
а1 + 2а2Н0 + За3н0 = 0,
где Я (0) — радиус основания башни; Я (Н) — радиус верхнего среза; Н — высота башни; Н0 — высота до горловины.
Гиперболический профиль аналогичной башни описывается выражением
* (*) = ^1 - ^2 (* - С)2, где с = Но, ь = R (Но),
внимание большая плавность последнего. Оценка гармоничности той или иной архитектурной формы заложена в глубинах подсознания человека и имеет в своей основе чувственные восприятия, закрепляемые в историческом опыте многих поколений. Форма кубической параболы в проекте «Глобального маяка» полностью тождественна форме изогнутой упругой лозы, минимизирующей свою энергию в равновесном положении. Чтобы убедиться в этом, достаточно записать уравнение для перемещений точек нейтральной оси двухконсольной балки, изображенной на Иллюстрации 4.
Будучи выраженным через параметры механической модели, уравнение профиля «Глобального маяка» с использованием универсального уравнения упругой линии записывается выражением
и=* (0)+ |2+Е
72 7 3 '
м0 — + Q0 — 0 2! 3!
0 < г < а;
+
1
Е1
г +
(7 - а) 3!
, а < I < а + I;
(г ) = Я (0) + (п -ч
+ -
Е1
г +
3!
3!
где ЯА, Яв — реакции, определяемые из условия равновесия; Я (0), ч — перемещение и угол наклона касательной на левом конце, определяемые из условий на опорах:
Яа
Я»
М0 + 00 (а + 1) ; 1 ’ М0 + 60 а ;
I ’
Сравнение в параметрах проекта реконструкции Екатеринбургской телевизионной башни приведено на Иллюстрации 3.
Кроме того, что использование гиперболического профиля уменьшает число варьируемых конструктивных параметров по сравнению с полиномиальным, обращает
|П 1 1 0 = * (°) + | 2-ч|« + ^
0 = Я (0) + (п-X +1) +
• [ (а + I ) + (а + I )
2 3'
а ^ а
Мо-------+ Qo —
0 2! 3!
Е1
2!
3!
+ &а~ + А 3!
а =
Изменяя геометрические размеры балки и величину активных нагрузок, можно получить требуемый профиль в форме кубической параболы.
Именно естественная изогнутость профиля башни создает форму объекта, удовлетворяющую повышенным эстетическим и психологическим требованиям. Как отмечено в работе [11], «поиск способов, определяющих объективную однозначную оценку в численном выражении эстетических качеств изделия, является весьма актуальной задачей... Влияние геометрии архитектурных форм, законов их образования с учетом психологии восприятия позволит перейти к количественному и качественному определению геометрических характеристик и на их основе установить геометрический критерий выразительности таких форм».
Минимум упругой энергии V в криволинейных упругих изогнутых профилях постоянного сечения достигается, когда их среднеквадратичная кривизна нейтральной оси минимальна:
V = 2EI f M2dz = it f k2 ^ min ’
где Mx (z) — изгибающий момент; k(z) — кривизна нейтральной оси.
По-видимому, использование таких линий при формообразовании во многих случаях может служить предпосылкой для достижения требуемого самой природой человека эффекта восприятия, что согласуется с основными принципами бионической архитектуры. Этому условию удовлетворяет силуэт «Глобального маяка».
Заключение
Совокупный объем новизны проекта реконструкции Екатеринбургской телебашни «Глобальный маяк» позволяет сделать вывод о том, что использованная методология архитектурного проектирования является авторской. Представленный проект имеет существенное архитектурное значение для г. Екатеринбурга, а также для мировой высотной архитектуры. Прямых аналогов проекта в мировой архитектуре не обнаружено. Использование полиномиальных образующих для формирования профилей высотных зданий позволяет создавать естественные выразительные в эстетическом и психологическом смысле формы, интуитивно воспринимаемые человеком как гармоничные, в силу минимизации среднеквадратичной кривизны линий, образующих профиль здания. С учетом теоремы Холлидея о минимуме среднеквадратичной кривизны кубического сплайна со свободными концами можно предсказать перспективность использования и таких кривых при решении задач формообразования высотных зданий.
Список использованной литературы
1 Cowan H.J. Science and Building: Structural and Environmental Design in the Nineteenth and Twentieth Centuries. New York, 1978 (перевод: Коуэн Г. Дж. Строительная наука 19-20 вв.: проектирование сооружений и систем инженерного оборудования. М., 1982).
2 Cowan H.J. Master Builders. New York, 1978 (перевод: Коуэн Г. Дж. Мастера строительного искусства: история проектирования сооружений и среды обитания со времен Древнего Египта до XIX века. М., 1982).
3 Farin G. Curves and Surfaces for CAGD. A Practical Guide (5th edition). Morgan-Kaufmann, 2002.
4 Голованов Н. Н., Ильютко Д. П., Носовский Г. В. и др. Компьютерная геометрия. М., 2006.
5 Коротич А. В. Теоретическая модель современной архитектуры // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2010. № 1. С. 24-29.
6 Кривошапко С. Н., Иванов В. Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. М., 2009.
7 Никулин Е. А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики. СПб., 2003.
8 Мисюра Н. Е., Жилин С. С. Матрицы торсионных преобразований / / Естественные и математические науки в современном мире : материалы XII Междунар. науч.-практ. конф. Новосибирск, 2013. № 11. С. 93-101.
9 Митюшов Е. А., Беляева З. В. Геометрическое моделирование пространственных конструкций. LAP Lambert Academic Publishing, 2011.
10 Митюшов Е. А., Митюшова Л. Л. Математические основы компьютерной геометрии : учеб. пособие. Екатеринбург, 2007.
11 Михайленко В. Е., Сазонов К. А., Ковалев С. Н. Формообразование большепролетных покрытий в архитектуре. Киев, 1987.
12 Пространственные покрытия/ под общ. ред. Г. Рюле. Т. 1 : Железобетон, армоцемент. М., 1973.
13 Пространственные покрытия / под общ. ред. Г. Рюле. Т. 2 : Металл, пластмассы, керамика, дерево. М., 1974.
