CC BY
7
УДК 338.28
ВО. ЖАНДАРМОВ, Н.С. ЕВДОКИМОВА
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ ОЦЕНКЕ ОПТИМАЛЬНОГО НАБОРА ПРОИЗВОДСТВА ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ НА ВРЕМЯ
Рассмотрен один из возможных способов нахождения оптимального плана производства. Эта задача появилась на предприятии текстильной направленности в ходе определения оптимального объема выпуска при минимизации издержек в условиях ограниченности во времени. Предполагается составить задачу математического моделирования, затем решить ее, используя известный математический аппарат.
Ключевые слова: математическое моделирование, оптимизация, метод Литтла, текстильная промышленность.
The article describes one of the possible ways to find the optimal production plan. This task appeared at a textile enterprise in the course of determining the optimal volume of output while minimizing costs under time restrictions. It is supposed to create a mathematical modelling problem and solve it using a well-known body of mathematics.
Keywords: mathematical modelling, optimization, Little method, textile industry.
Введение
Массовое производство считается производственной системой XX в., а оптимизированное производство сегодня называют производственной системой XXI в. Оптимизация производственных процессов - это понятие, применимое к компании на любой стадии развития. Кроме того, есть ситуации, в которых просто необходимо оптимизировать производство, иначе предприятие окажется нерентабельным. Если в условиях дешевой рабочей силы, дешевого сырья и энергии рентабельность достигается именно за счет доступности этих источников, то с ростом цен на эти составляющие производство становится более затратным и, соответственно, менее рентабель-
© Жандармов В.О., Евдокимова Н.С., 2019
ным. Предприятию приходится сокращать затраты и применять более эффективные технологии производства.
Одним из способов сокращения расходов является комбинаторный вопрос об объемах и количествах производства. Отсюда вытекает решение вопроса о максимальной экономии, во-первых, на занятость трудового ресурса на производстве - сколько использовать рабочих в тяжелом производстве, во-вторых, решается вопрос о минимизации затрат времени на производство. Эти параметры являются одними из ключевых при принятии решений на открывающихся предприятиях.
Зададимся вопросом решения классической производственной задачи -удовлетворения заявки потребителя. Заявитель присылает заявку, в которой отражает необходимое количество
товаров для производства за некоторое указанное время. У производителя есть сетка ресурсозатрат на производство каждой единицы продукции. Также производитель обладает некоторыми ресурсами, которые собирается пускать в производство.
Планируется воспользоваться математическим моделированием при решении этой нетривиальной комбинаторной задачи.
Обзор методов решения
В табл. 1 представлены методы решения подобной задачи.
Принимая во внимание информацию о методах, описанных выше, воспользуемся другим разделом математического моделирования для решения этой задачи: линейное целочисленное программирование. При нахождении оптимального набора переменных будем использовать алгоритм Литтла [3, 4, 9, 11, 14], так как для него характерна высокая скорость сходимости.
Постановка задачи
Пусть матрица трудозатрат на производство товара типа] в пункте i принимает вид
А = А}, ] = 1п, ] = 1:т.
Положим
Ь = {Ь,}, i = 1:п, где Ь - есть запас на I пункте производства ресурсов.
Пусть матрица затрат на производство каждой единицы продукции задается как
С = {С},, = 1п.
Обозначим за ((¿, , = 1:п необходимый объем в заявке (в штуках), за Т, , = 1:п - максимальное время, кото-
рое производитель затратит на производство (в часах), за Q положим суммарное максимальное количество продукции, которое предприятие имеет возможность произвести.
Математическая модель
Как известно, любое предприятие находится в условиях ограниченности ресурсов. Одновременно определим aj как количество товара j, производимого в текущем пункте производства. Описанное выше запишем в виде математического ограничения:
m
X Aaj < b, i = 1 n.
j=i
Введем ограничение на максимальное количество продукции, которое предприятие способно произвести:
X a=Q.
i
Определим максимальное время на производство каждой единицы продукции:
X at < T. (1)
i
Введем ограничение на целочислен-ность товаров:
ai eZ+, i = 1: n.
Зададим целевую функцию:
XaC ^ min. (2)
i
Пример
Пусть матрица затрат имеет следующий вид: C = (1, 2, 3, 4, 5). Зададим количество товаров в заявке Q = 5. Положим максимальное количество времени T = 100 часов. Пусть время на производство каждой единицы продукции примет вид: t = (5, 4, 3, 2, 1). Определим объем запасов сырья b = (7, 88, 50, 100, 100, 100).
Таблица 1
Методы решения транспортно-производственной задачи
Метод\ параметры Краткая характеристика метода Проблема «больших данных» Скорость сходимости Вычислительная сложность
Квадратическое программирование [З, 4, ll] Первостепенно строится математическая квадратическая модель, затем, используя стандартные алгоритмы, происходит поиск оптимума Не решена Средняя Высокая
Supply Chain Management [1, З, 4, 1З] Построение математической модели (необязательно линейной или квадратической). С использованием модификации генетического алгоритма происходит процесс нахождения оптимума задачи Решена Низкая Высокая
Теория графов [З, 4, 7, 8, 11] Используются основные теоремы теории графов Не решена Низкая Высокая
Greedy Algorithm [1, З, 10] При использовании полного перебора всех вариантов ведется поиск всех допустимых решений. Происходит сравнение целевой функции, выбирается наилучший из полученных Не решена Низкая Высокая
Стохастическое моделирование [4, 6, 15] Метод работает в несколько этапов: построение стохастической модели; подбор алгоритма нахождения оптимума модели; работа алгоритма; обработка решения Решена Низкая Средняя
Метод перекрестной энтропии [2, 12, 16] Построение модели ограничений, целевой функции, цепей Маркова. Работа метода Монте-Карло. Обработка решения «обратным ходом Монте-Карло» Решена Средняя Средняя
Зададим нормы ресурсозатрат производства:
3 Г 1 5
4 4 20 1 . 15 1
3 10,
Реализация представлена в [14] в среде МаЫаЬ.
В табл. 2 представлены выходные параметры решения задачи.
Таблица 2 Выходные параметры задачи
Признак Значения
Оптимальный объем, шт. (2, 0, 0, 0, 3)
Остатки сырья, шт. (0, 29, 32, 35, 95, 83, 52)
Значение целевой функции, у.е. (2) 17
Количество потраченного времени, ч. (1) (30, 0, 0, 0, 45)
Выводы
В статье представлен авторский подход к решению нетривиальной комбинаторной задачи текстильной промышленности. Рассмотрен пример с пятью товарами, шестью видами ресурсов. Из табл. 2 видно, что решение соответствует всем вышеописанным ограничениям и удовлетворяет условию оптимальности алгоритма Литтла, доказательство описано в [2]. Приведен краткий анализ существующих методов решения подобных задач.
Показано, что такую задачу возможно решить, используя пакет МаЫаЬ. Такая постановка задачи и модель могут быть использованы на любом предприятии текстильной направленности, где необходимо найти оптимальный комбинаторный вариант для производства с целью минимизации временных издержек и максимизации прибыли.
A =
2 23 2
22 1 2
3 5 21
1 1 1
7 9 10
9 9 2
ЛИТЕРАТУРА И ЭЛЕКТРОННЫЕ РЕСУРСЫ
1. Оценка распространения частиц сварочного аэрозоля в пространстве рабочей зоны сварщика в зависимости от времени / К.Ю. Кириченко, Р.С. Рогулин, В.А. Дрозд и др. // Экология урбанизированных территорий. 2018. № 2. С. 42-51.
2. Рогулин Р.С. Метод перекрестной энтропии для решения задачи коммивояжера // Современная наука: актуальные проблемы теории и практики. Сер. Естественные и технические науки. 2018. № 2. С. 52-58.
3. Рогулин Р.С., Нечаев П.В., Плешанов Д.Е. Единая модель производственной, транспортной, учета времени, максимального потока //Экономика и предпринимательство. 2018. № 9 (98). С. 849-853.
4. Рогулин Р.С., Нечаев П.В., Плешанов Д.Е. Обобщение задач транспортной, учета времени, максимального потока в рамках единой экономической модели // Экономика и предпринимательство. 2018. № 9 (98). С. 813-816.
5. Рогулин Р.С., Нечаев П.В., Плешанов Д.Е. Решение транспортной задачи линейного программирования с учетом времени и максимального потока // Транспортное дело России. 2018. № 4. С. 79-82.
6. Chao Chen, Moses OlabheleEsangbedo. Evaluating University Reputation Based on Integral Linear Programming with Grey Possibility // Mathematical Problems in Engineering. 2018. Article ID 5484326. URL: https://doi.org/10.1155/2018/5484326.
7. Daskin M.S. What you should know about location modeling// Naval Research Logistics. 2008. Vol. 55. P. 283-294.
^ш
8. Hakimi S.L. Optimum distribution of switching centers in a communication network and some related graph theoretic problems // Operations Research. 1965. Vol. 13. P. 462 -475.
9. L. Zhang and S. Malik. The quest for efficient Boolean satisfiability y solvers // In Andrei Vo-ronkov, editor. Proceedings of the 8th International Conference on Computer Aided Deduction (CADE 2002). Vol. 2392 of Lecture Notes in Computer Science. Springer, 2002.
10. Philip Moller, Xiaochen Liu, Stefan Schuster et al. Linear programming model can explain respiration of fermentation products. 2018. URL: https://doi.org/10.1371/journal.pone.0191803
11. Some characteristics of dust particles in atmosphere of Kemerovo city according to pollution data of snow cover В / K.S. Golokhvast, V.V. Chayka, P.A. Nikiforov et al. // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. Сер. Innovations and Prospects of Development of Mining Machinery and Electrical Engineering - Mining Ecology. 2017. С. 042005.
12. Sumathi P., Indhumathi N. A New Pattern of Getting Nasty Number in Graphical Method // Journal of Physics: Conference Series 1000.2018. P. 012086.
13. Takayuki Yato, Takahiro Seta. Complexity and Completeness of Finding Another Solution and Its Application to Puzzles//In IPSJSIG Notes 2002-AL-87-2. IPSJ, 2002.
14. URL: https://pastebin.com/pQxa5y1G (дата обращения: 18.11.2018).
15. Yingfeng Zhao, Ting Zhao. Global Optimization for Generalized Linear Multiplicative Programming Using Convex Relaxation // Mathematical Problems in Engineering. 2018. Article ID 9146309. URL: https://doi.org/10.1155/2018/9146309
16. Yuan-Qiang Chen. Stability of polytopic-type uncertain singular stochastic systems //Journal of Interdisciplinary Mathematics. 2017.20:1. P. 47-62.
