Обобщение некоторых решений проблем предприятий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 338.29 DOI: 10.30914/2411-9687-2018-4-4-126-131

Обобщение некоторых решений проблем предприятий

Р. С. Рогулин, П. В. Нечаев, Н. С. Евдакимова, Д. Е. Гончаров, В. И. Максименко, Д. Е. Плешанов

Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток

Данная статья описывает обобщенную модель трех классических задач линейного программирования. Производственная проблема - вектор-ответ представляет собой одномерную матрицу, отражающую объем произведенных конечных продуктов, определенный при ограничениях на запасы ресурсов с учетом максимизации прибыли, оптимизация времени - минимизация затраченного времени на доставку груза (ограничение относится к логистической части задачи), Задача максимального потока - определение максимального объема доставки с мест производства при ограничениях на пропускную способность и специфичность строения графа дорог. Определенно, такая постановка задачи, которая объединяет все три вышеперечисленные проблемы в одну комплексную, точно описывает случай, в котором производство объявляет себя банкротом и ставит своей целью выпустить из остатков сырья объем товара с целью дальнейшей перепродажи и доставки произведенного товара при условии особенности дорожной системы, максимизации прибыли и минимизации издержек при транспортировке груза. Такая проблема возникла на текстильном предприятии в процессе закрытия на ремонт перерабатывающей части цеха. Поскольку биологический состав сырья не позволяет долго его хранить то было принято решение реализовать максимум сырья в продукцию. Данная работа посвящена построению линейной смешано-целочисленной модели, определению метода и алгоритма для определения экстремального решения задачи, описанной выше. Такую задачу можно отнести к классу нетривиальных комбинаторных задач о принятии решений на предприятии.

Ключевые слова: максимальный поток, оптимизация времени, производство, линейное программирование, обобщение.

Generalization of some solutions of interprizes' problems

R. S. Rogulin, P. V. Nechaev, N. S. Evdakimova, D. E. Goncharov, V. I. Maksimenko, D. E. Pleshanov

Far Eastern Federal University, Vladivostok

This article describes a generalized model of three problems of linear programming. The production problem - the response vector is a one-dimensional matrix that reflects the amount of finished products produced, determined with resource constraints, taking into account profit maximization. Time optimization - minimizing the time spent on cargo delivery (the restriction refers to the logistic part of the problem). The problem of maximum flow is to find the maximum volume of export from the production sites, with a restriction on the traffic capacity and peculiarity of the structure of the road graph. In particular, the statement of the problem, which combines all three of the above problems into a complex one is exactly suited to the case when the manufacture declares itself bankrupt, and tries to produce products from the remainders of raw materials, for the purpose of further resale and delivery of produced goods, subject to the peculiarity of the road system, profits maximization and minimization of costs for cargo transportation. Such a problem arose at the textile enterprise in the process of closing for the repair of the processing part of the workshop. Since the biological composition of the raw material does not allow it to be stored for a long time, it was decided to realize the maximum raw materials into products This work is devoted to the construction of a linear mixed-integer model, finding a method and selection of an algorithm to determine the optimal solution to the problem described above. This problem can be attributed to the class of nontrivial combinatorial problems of decision-making in the enterprise.

Keywords: maximum flow, time optimization, production, linear programming, generalization.

Введение. Данная статья описывает обобщенную модель трех классических задач линейного программирования: производственная проблема [1], оптимизация суммарного времени [2], задача максимального потока [3]. В случае если

предприятие объявляет себя банкротом и производит из остатков сырья продукцию, тогда эта модель имеет прямое применение. Данная задача появилась на текстильном предприятии в процессе сбыта остатков ресурсов.

Цель. Данная работа посвящена построению модели, нахождению метода и алгоритма для нахождения решения этой задачи.

Материалы и методы. Смешанно-целочисленное линейное программирование.

Постановка задачи.

Положим трудозатраты производства каждого вида товара из исходного вида сырья. Обозначим как:

А = {А1]}> 1 = 1:П1, ] = 1:т1, (1)

где Ац есть элемент, соответствующий объему потребного ресурса i для производства у товара. Определим структуру дорожного графа, в частности, его пропускную способность и обозначим его как:

d = {dij}, i = l\n, j = 1: п.

(2)

T = {tij}, i = 1:п, j = 1:n.

(3)

Определим вектор цен при реализации товара у, как:

Р = {р]}, } = 1:т1. (4)

Доопределим входные данные количеством запасов сырья:

Ь = [Ь1}, 1 = 1:П1. (5)

Необходимо построить математическую модель, которая бы описывала проблему, обозначенную выше:

1. Минимизация времени прохождения по графу.

2. Максимизация прибыли с учетом пропускной способности, норм затрат на производство единицы продукции каждого типа, запасов сырья.

Обозначим х^- за количество товара, транспортируемое из ^го пункта в у-й.

Сформулируем комбинаторную производственную задачу.

Обозначим к] как количество товара у, подлежащее производству. Исходя из постановки задачи статьи нужно максимизировать прибыль. Запишем это условие в математическом виде [1; 3; 4]:

т1

I

i = 1

kj pj ^ max.

(6)

Исходя из соображений наличия объема запасов сырья ограничение можно представить в виде1 [4].

т1

I

j = 1

Aijkj<bi, ¿ = 1:щ. (7)

Поскольку продукция представляет собой еди-

ный неделимый товар, то :

kj 6 Z+

(8)

Сформулируем задачу максимального потока [8; 9].

Целевая функции принимает вид:

Обозначим время для транспортировки товара из ^го пункта в у-й, приведем временную матрицу как:

т п

^ ^ XiJ ^ таХ' (9)

i = 1j = 1

Каждая дорога может пропустить не больше определенного объема груза [2, 14]:

0 < Xij < dij, i = l:n, j = 1:п (10)

Положим объем выходящего потока равным входящему. Это значит, что не будет существовать объема товара, который бы остался на промежуточных стадиях перевозки и каждый раз он будет полностью вывезен3 [10]:

1 XV = 1 Xii ' 6 !,J, (11)

i j

где I, ] есть множества входных и выходных размеров дуг соответственно:

хц е !+. (12)

1 Алексеева Е. В. Построение математических моделей целочисленного линейного программирования. Примеры и задачи: учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012. 131 с.

2 Там же; Chu W. S., de la Torre, F., Cohn, J. F., & Messinger, D. S. (2017). A Branch-and-Bound Framework for Unsupervised Common Event.

3 Алексеева Е. В. Построение математических моделей цело-

численного линейного программирования. Примеры и задачи:

учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012. 131 с.; Палий И. А. Введение в линейное программирование: учебное пособие. Омск: Изд-во СибАДИ, 2007. 200 с.; T. T. Tanyimboh

& A. B. Templeman (2007). Maximum entropy flows for single-

source networks // Engineering Optimization. 22:1, 49-63. DOI:

10.1080/03052159308941325

Сформулируем задачу минимизации времени:

п т

ХХ^Уц^™™, (13)

]=11=1

где У1] 6 (0; 1).

0 < хи < ¿ = 1:п, ] = 1: п. (14)

Уц < хц. (15)

Ограничение (15) является реализацией импликации, если перевозимый объем равен 0, тогда время на преодоление этого участка дороги тоже равно 0.

Обозначим задачу Р0:

п т т1

^ (16)

]=11=1 1=1

х = х ; 6(17)

I ]

уц < хи, ¿ = 1:п, ] = 1:п (18) 0 < хи < й^, 1 = 1:п, ] = 1:п (19) х1]-,к]- 6 2+, I = 1:п, ] = 1:п, ]1 = 1:т1 (20)

ХАИк]<Ьь 1 = 1:пг, (21)

1=1

Уц6(0;1), 1 = 1:п, ] = 1:п, (22)

т

ХхЦ1=к]1, ¡1 = 1: т1. (23)

1=1

Задача Р0 является линейной моделью и относится к классу задач линейного целочисленного программирования.

Обзор алгоритмов

Существует несколько методов решения таких задач. Среди них можно выделить: метод Литтла, метод ветвей и границ, генетический алгоритм.

Метод Литтла представляет собой алгоритм отсечений путем генерации прямых (плоскостей, гиперплоскостей) и введением их в систему ограничений1. Метод ветвей и границ представляет собой дерево решений, конечным результатом которой является оптимальное

решение [2]. Вышеперечисленные методы являются достаточно быстрыми алгоритмами для задач небольшой выборки. Однако, если выборка достаточно велика, то вышеперечисленные методы перестают работать корректно. В прошлом столетии был открыт генетический алгоритм. Общая схема алгоритма представлена у В. Ю. Протасова2. Рассматриваемый алгоритм эффективен в случае задач линейного программирования (ЛП). Широко известно, что главный минусов генетического алгоритма является существование вероятности попадания алгоритмом в локальный минимум и далее зацикливание в нем. Так как множество допустимых решений является компактом, то за полиномиальное время генетический алгоритм достигнет глобального и одновременно локального экстремума линейной задачи, даже при большой размерности задачи.

Название алгоритма/ признаки сравнения / Algorithm name/ comparison test Скорость сходимости / convergence rate Учитывает ли проблему "BigData" / Problem accounting by "BigData"

Метод Литтла3 [7] Высокая Нет

Метод ветвей и границ [2; 6; 8] Средняя Нет

Генетический алгоритм4 [5; 10] Очень низкая Да

Пример

Пусть даны матрицы трудозатрат А, пропускных способностей дорог Б, время на прохождения каждого дорожного участка графа Т и ценовая матрица реализации товаров Р, объем ресурсов Ь на складе. На рисунке 1 реализована произвольная визуализация матрицы Б.

Решим задачу Р0 используя пакет МаАаЬ (см. прил. А). Программный код5. Ответ получим в виде одномерного массива. На рисунке 2 представлена визуализация Х.

1 Палий И. А. Введение в линейное программирование: учебное пособие. Омск: Изд-во СибАДИ, 2007. 200 с.

Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. М.:

МЦНМО. 56 с. (Библиотека «Математическое просвещение», вып. 31).

3 Алексеева Е. В. Построение математических моделей целочисленного линейного программирования. Примеры и задачи: учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012. 131 с.

4 Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. М.: МЦНМО. 56 с. (Библиотека «Математическое просвещение», вып. 31).

5 https://pastebin.com/B4MQ41j9

Рис. 1. Произвольная визуализация матрицы смежности D (пропускных возможностей дорог) / Fig. 1. Arbitrary visualization of the adjacency matrix D (road capacity)

Рис. 2. Визуализация вектора ответа Х / Fig. 2. Visualization of the response vector X

Результаты исследования, обсуждения.

Обратимся к вершине 2. На рисунке 2 отчетливо видно, как из второй вершины выходят следующий путь: 2 ^ 5 ^ 15 ^ 12 ^ 16 ^ 21, с соответствующими весами: 1, 1, 6, 5, 2. Заметим, что вес каждой дуги на протяжени всего пути не одинаков, что указывает на то, что при каждом посещении следующей вершины происходят некоторые метаморфозы. Это может быть вызвано целым рядом экономических факторов: переупа-

ковка контейнеров с последующим изменением его веса/объема/стоимости и т. д., слияние в один поток несколько других потоков и другие. Также тот факт, что в матрицах С, Б, Т присутствуют такие элементы, что выполняется (на примере матрицы С) С1] = Сц, также свидетельствует о том, что данная модель и ее программная реализация могут решать не только задачи на обычных графах, но и на псевдографах. Не требуется модификация алгоритма и программной реализации

130 Вестник Марииского государственного университета

Серия «Сельскохозяйственные науки. Экономические науки». 2018. Т. 4. № 4

для решения этой задаче в случае мультиграфа -достаточно на главной диагонали указать соответствующий вес петли. Отсюда вытекает еще один факт: существует возможность решения несколько усложненной задачи: пусть существует некоторая вершина под номером p, такая что выполняется хрр >0, р е Р, где Р есть множество вершин графа, тогда экономическим смыслом такой задачи будет такое понятие, как склад, т. е. мы оставляем некоторое количество груза в пункте Р пока не настанет определенное время, чтобы его вывезти. Таким образом, можно считать такой пункт p на следующем возможном шаге решения за элемент Ь^+1, другими словами, еще одним пунктом вывоза продукции. Рассмотрим другой случай. Допустим потенциальная пропускная способность меньше перевозимого объема товара, тогда доопределим математическую модель Р0. Изменим ограничение (23) на (24):

/и i = 1

4i

<kh, h = l:mi (24)

и изменим целевую функцию (16) на:

п т mi

т п

Z Ztijyij - Zkj pj-ZZXi] ^min (25)

j=11=1 j=1 1=1j=1

Замена (16) на (25) вызвана тем, что возможна ситуация, в которой после работы алгоритма решение может принять: х^ = 0, 41,].

Заключение. В данной статье была рассмотрена одна из возможных постановок задачи, которая обобщает ранее известные 3 классические задачи линейного программирования. Было показано, что такую задачу возможно сформулировать в рамках задачи линейного программирования. Решен пример на 21 вершине с 2 пунктами входа, 4 пунктами выхода. Показано, что вышеописанную задачу представляется возможным решить силами высокоуровнего языка программирования МаАаЬ. Описана возможная экономическая ситуация, в которой такая модель могла бы быть полезна. Освещен ряд модельных дополнений в виде ограничений этой задачи.

Литература

1. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. М.: Мир, 1971. 534 с.

2. Писарук Н. Н., Исследование операций. Минск: БГУ, 2015. 304 с.

3. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы = Sieci neuronowe, algorytmy genetyczne i systemy rozmyte. 2-е изд. М.: Горячая линия-Телеком, 2008. 452 с.

4. Daganzo C. F., & Smilowitz K. R. (2004). Bounds and approximations for the transportation problem of linear programming and other scalable network problems // Transportation Science. 38(3). P. 343-356. DOI: 10.1287/trsc.1030.0037

5. X. Du Z. Li, and W. Xiong. Flexible Job Shop scheduling problem solving based on genetic algorithm with model constraints // Proceedings of the 2008 IEEE International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management, IEEM 2008. P. 1239-1243, Singapore, December 2008.

6. Hadi Heidari Gharehbolagh, Ashkan Hafezalkotob, Ahmad Makui, and Sedigh Raissi. A cooperative game approach to uncertain decentralized logistic systems subject to network reliability considerations // Kybernetes. Vol. 46. No. 8. P. 1452-1468, 017.

7. Land A. H. and Doig A. G. An automatic method of solving discrete programming problems. P. 497-520.

8. Siew Mooi Lim, Abu Bakar Md. Sultan, Md. Nasir Sulaiman, Aida Mustapha, and K. Y. Leong. Crossover and Mutation Operators of Genetic Algorithms // International Journal of Machine Learning and Computing. Vol. 7. No. 1. P. 9-12. 2017.

9. Sumathi P. A new approach to solve linear programming problem with intercept values // Journal of Information and Optimization Sciences. 2006. 37:4, 495-510. DOI: 10.1080/02522667.2014.996031

10. Tanyimboh T. T. & Templeman A. B. (2007). Maximum entropy flows for single-source networks // Engineering Optimization. 22:1, 49-63. DOI: 10.1080/03052159308941325

References

1. Akof R., Sasieni M. Osnovy issledovaniya operatsii [Fundamentals of Operations Research], Moskow: Mir, 1971, 534 p. (In Russ.).

2. Pisaruk N. N., Issledovanie operatsii [Operations Research]. Minsk: BGU, 2015, 304 p. (In Russ.).

3. Rutkovskaya D., Pilin'skii M., Rutkovskii L. Neironnye seti, geneticheskie algoritmy i nechetkie sistemy [Sieci neuronowe, algorytmy genetyczne i systemy rozmyte]. 2 nd ed. Moskow: Goryachaya liniya-Telekom, 2008, 452 p. (In Russ.).

4. Daganzo C. F., & Smilowitz, K. R. (2004). Bounds and approximations for the transportation problem of linear programming and other scalable network problems. Transportation Science, 38(3), 343-356. DOI: 10.1287/trsc. 1030.0037

5. X. Du, Z. Li, and W. Xiong. Flexible Job Shop scheduling problem solving based on genetic algorithm with model constraints. Proceedings of the 2008 IEEE International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management, IEEM 2008, pp. 1239-1243, Singapore, December 2008.

6. Hadi Heidari Gharehbolagh, Ashkan Hafezalkotob, Ahmad Makui, and Sedigh Raissi. A cooperative game approach to uncertain decentralized logistic systems subject to network reliability considerations. Kybernetes, vol. 46, no. 8, pp. 1452-1468, 2017.

7. Land A. H. and Doig A. G. An automatic method of solving discrete programming problems, pp. 497-520.

8. Siew Mooi Lim, Abu Bakar Md. Sultan, Md. Nasir Sulaiman, Aida Mustapha, and K. Y. Leong. Crossover and Mutation Operators of Genetic. Algorithms. International Journal of Machine Learning and Computing, vol. 7, no. 1, pp. 9-12, 2017.

9. Sumathi P. (2006) A new approach to solve linear programming problem with intercept values. Journal of Information and Optimization Sciences, 37:4, 495-510, DOI: 10.1080/02522667.2014.996031

10. Tanyimboh T. T. & Templeman A. B. (2007). Maximum entropy flows for single-source networks. Engineering Optimization, 22:1, 49-63. DOI: 10.1080/03052159308941325

Статья поступила в редакцию 13.04.2018 г.; принята к публикации 16.07.2018 г.

Submitted 13.04.2018; revised 16.07.2018.

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

All autors have read and approved a final version of the manuscript.

Для цитирования:

Рогулин Р. С., Нечаев П. В., Евдакимова Н. С., Гончаров Е. Д., Максименко В. И., Плешанов Д. Е. Обобщение некоторых решений проблем предприятий // Вестник Марийского государственного университета. Серия «Сельскохозяйственные науки. Экономические науки». 2018. Т. 4. № 4. С. 126-131. DOI: 10.30914/2411-9687-2018-4-4-126-131

Об авторах

Рогулин Родион Сергеевич

магистрант, Дальневосточный университет, г. Владивосток,

га/а^ч1ао/и^,а@таИ. ги

Нечаев Павел Владимирович

магистрант, Дальневосточный университет, г. Владивосток,

р1е^'Иапоу. de@students. ^/и. ги

Евдакимова Наталья Сергеевна

магистрант, Дальневосточный университет, г. Владивосток,

Evdakimova. ns@students. dvfu.ru

Гончаров Евгений Дмитриевич

магистрант, Дальневосточный университет, г. Владивосток,

Gonchaгov. de@students. ск/ш т

Максименко Валерий Иванович

кандидат технических наук, профессор, Дальневосточный Федеральный университет, г. Владивосток, Maximenko.vi@dvfu.ru

Плешанов Дмитрий Евгеньевич

магистрант, Дальневосточный Федеральный университет, г. Владивосток,

Pleshanov. de@students. Ск^. т

Citation for an article:

Rogulin R. S., Nechaev P. V., Evdakimova N. S., Goncharov E. D., Maksimenko V. I., Pleshanov D. E. Generalization of some solutions of interprizes' problems. Vestnik of the Mari State University. Chapter "Agriculture. Economics". 2018. vol. 4, no. 4, pp. 126-131. DOI: 10.30914/2411-9687-2018-4-4126-131 (In Russ.).

About the authors Rodion S. Rogulin

Master student, Far Eastern Federal University, Vladivostok, rafassiaofusa@mail. ru

Pavel V. Nechayev

Master student, Far Eastern Federal University, Vladivostok, pleshanov. de@students. dvfu. ru

Natalya S. Evdakimova

Master student, Far Eastern Federal University, Vladivostok, Evdakimova. ns@students. dvfu. ru

Evgeniy D. Goncharov

Master student, Far Eastern Federal University, Vladivostok, Goncharov. de@students. dvfu. ru

Valeriy I. Maximenko

Ph. D. (Engineering), Professor, Far Eastern Federal University, Vladivostok, Maximenko.vi@dvfu.ru

Dmitriy E. Pleshanov

Master student, Far Eastern Federal University, Vladivostok, Pleshanov. de@students. dvfu. ru

Федеральный

Федеральный

Федеральный

Федеральный

УДК 331 DOI: 10.30914/2411-9687-2018-4-4-132-141

Гендерный подход к анализу структуры занятости

по видам экономической деятельности региона

Т. В. Сарычева

Марийский государственный университет, г. Йошкар-Ола

Введение. В статье описаны методические подходы к анализу структуры занятости по видам экономической деятельности региона в гендерном разрезе, реализованные на примере видов деятельности Республики Марий Эл, что позволило провести анализ гендерной асимметрии в региональной структуре занятости и рассмотреть распределительные процессы, происходящие на рынке труда региона. Цель: разработать и реализовать методические подходы к анализу концентрации мужчин и женщин по видам деятельности, позволяющие проводить оценку гендерной асимметрии и мобильности на региональном рынке труда. Материалы и методы. Информационной базой для проведения заявленного исследования послужили опубликованные статистические данные Терр иториального органа государственной статистики по Республики Марий Эл. В качестве исследовательского инструментария использовались алгоритмы индексных методов статистического анализа. Результаты исследования, обсуждения. В результате реализации алгоритмов индексных методов виды деятельности региона были сгруппированы и выделены преимущественно мужские, преимущественно женские и интегрированные виды деятельности в Республике Марий Эл , проанализирована динамика процессов, происходящих в структуре гендерной занятости, а также доказана их связь с величиной среднемесячной заработной платой в разрезе видов экономической деятельности. Предложены пути устранения гендерной асимметрии в занятости. Заключение. Анализ полученных результатов показал, что для устранения гендерного неравенства требуются изменения в практике найма персонала, устранение различий в опл а-те труда по видам деятельности и гендерном разрезе.

Ключевые слова: занятость по видам экономической деятельности, гендерная структура занятости, региональный рынок труда, индексные методы анализа.

Gender approach to analyzing the structure

of employment by type of economic activity in the region

T. V. Sarycheva

Mari State University, Yoshkar-Ola

Introduction. The article describes methodological approaches to analyzing the structure of employment by types of economic activity in the region from a gender perspective, implemented on the example of the activities of the Republic of Mari El, which made it possible to analyze gender asymmetry with the regional structure of employment and consider distribution processes in the region's labor market. Purpose: to develop and implement methodological approaches to the analysis of the concentration of men and women by type of activity, allowing for an assessment of gender asymmetry and mobility in the regional labor market. Materials and methods. The information base for the stated research was the published statistics of the Territorial State Statistics Office for the Republic of Mari El. Algorithms of index methods of statistical analysis were used as research tools. Results of the research, discussion. As a result of the implementation of algorithms of index methods, the activities of the region were grouped and identified as: mostly male, mostly female and integrated activities of the Republic of Mari El, the dynamics of the processes occurring in the structure of gender employment were analyzed, and their relationship with the average monthly salary in the context of economic activities was proven. The ways of eliminating gender asymmetry in employment are proposed. Conclusion. Analysis of the results showed that in order to eliminate gender inequality, changes in recruitment practices, elimination of differences in wages by type of activity and gender are required.

Keywords: employment by type of economic activity, gender structure of employment, regional labor market, index methods of analysis.

Введение

Неустойчивость социально-экономической ситуации, сложившейся в Российской Федерации в последние десятилетия, приводит к тому, что

рынки труда регионов вынуждены функционировать в условиях диспропорций, сложившихся между спросом и предложениями, которые оказывают влияние на поведение рабочей силы