CC BY
115
Экономические науки Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (1), с. 241-242
УДК 519.86
НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА МАКСИМИЗАЦИИ ПРИБЫЛИ В УСЛОВИЯХ КОЛЕБАНИЯ РЫНОЧНЫХ ЦЕН
© 2011 г. О.В. Подчищаева, М.С. Бурова
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Побтупила в ридакцию 25.06.2010
Решается задача максимизации прибыли предприятия, выпускающего два вида продукции, причем цены на продукцию берутся не постоянными, а линейно зависящими от количества продукции на рынке. В этом случае задача получается уже нелинейной, хотя ограничения остаются по-прежнему линейными. Задача рассматривается на примере товаров, выпускаемых фирмой N0^^.
Ключевые слова: максимизация, товар, прибыль, цена, линейность, нелинейность, программирование, экстремум, стационарность, точка.
Как известно, в классической задаче максимизации прибыли цены на производимый товар берутся фиксированными, что позволяет решить эту задачу линейного программирования стандартными методами [1]. Реальная рыночная ситуация диктует изменение цен в зависимости от объема товара на рынке, в простейшем приближении линейное [2].
Таким образом, функция прибыли будет иметь уже нелинейный вид, например для двух видов выпускаемого товара:
Цх) = Р!( х!) х! + р2( Х2) Х2.
Здесь р1(х1), р2(х2) - цены на товар как функции его количества на рынке, в простейшем случае линейные: р1( х1) = а1 - Ь1 х1,
р2(х2) = а2 -Ь2х2 [2].
В итоге получается уже задача нелинейного программирования с квадратичной функцией прибыли и линейными ограничениями [1]:
L(х) = -Ь1х12 - Ь2х22 + а1х1 + а2х2, а1,Ь > 0, г = 1, 2.
Линейные ограничения:
тх + с х2 = ^, г = 1, п ,
где п - количество ограничений.
Квадратичная функция (1) может иметь максимум как внутри или вне области допустимых решений (ОДР), так и на ее границе. Рассмотрим вначале возможность максимизации функции (1) внутри или вне области допустимых решений. Найдем стационарную точку функции (1):
(2)
х0 = —— 1 2Ь,
х2 = —— 2 2Ь
причем характеристические величины [1]
Д = £ • £ - £ > 0
и Ьхх < 0 в точке и х20 говорят о том, что
данный экстремум является максимумом.
Также наибольшее значение функция (1) может принимать на границах области допустимых решений или на ее сторонах или в вершинах.
Сначала рассмотрим процесс поиска максимума на сторонах ОДР. Из системы ограничений выражаем:
х2=4-тх,, г=. (4)
С
Получаем на границах ОДР функцию L:
L(х) = -Ь1х12 -Ь2 [^ ^1 | + а1х1 + а2 [^ j (5)
Исследуя функцию (5) на экстремумы обычным способом, получаем, что на границах ОДР она всегда имеет максимумы в точках:
а а,с2 + 2Ь^ т. - атс___ 1 г 2 II 2 II
Л, —
(1)
2Ь1сі + 2Ьгті
хъ = - т*?
2 С,
(6)
і = 1, п.
Теперь рассмотрим вопрос о возможности максимума функции (1) в вершинах ОДР
д., г = 1, п.
Координаты вершин , х2Д, г = 1, п находятся путем попарного решения уравнений системы ограничений.
Координаты А1 из системы:
Гт1 х1 + с1 х 2 = dl
тпХ1 + СпХ 2 = Лп
(3)
Координаты А і, і = 2, п :
1-4
2Л2
1Л2
mi-1 x1 + Ci-1x 2 = di-1 mix1 + Cix 2 = di
(8)
XA1 = d1Cn - d2C1 XA1 = m1d2 - mnd1 (9)
rA, _ di-1ci diCi-1 vA _ mi-1di midi-1
, x2a =-
m,. ,d.. -m,.d,.
.(10)
Затем вычисляется значение функции Ь(Х) в вершинах Д!.
В итоге при поиске максимума функции прибыли выбирается наибольшее значение из:
Ь{Х(0,Х20), А(ХД,ХД), А(ХД,ХД), где / = 1, п.
Таким образом, решается задача максимизации прибыли уже не с фиксированными ценами, а с учетом их реального колебания, что может существенно влиять на значение прибыли.
Для примера рассмотрим выпуск фирмой КОК1А 45% от общего рыночного объема двух видов продукции:
1) смартфоны и коммуникаторы,
2) 3^ телефоны.
По исследованиям рынка за 2004-2009 годы можно составить следующие зависимости цен от количества товара на рынке:
р1( х1) = 605.8 - 6х1, р2 (х2) = 545 - 40.05х2.
Здесь р1 и р2 - цены на продукцию 1-го и 2-го типа в долларах, х1 и х2 - количество продукции 1-го и 2-го типа соответственно в миллионах штук. Получим нелинейную задачу максимизации прибыли:
Ь(Х) = (605.8- 6х1)х1 + (545 - 40.05х2)х2 ^тах.(11)
При линейных ограничениях, полученных из маркетинговых исследований:
0.1305 < х1 < 1.98,
0.1575 < x < 3.231.
(12)
Сначала найдем критические точки функции прибыли, не учитывая ОДР.
Из формулы (2) получим х° = 50 млн шт. и
0 ^7
х2 = 7 млн шт.
Эта точка не попадает в область допустимых решений, значит, оптимальное количество продукции, обеспечивающее максимальную прибыль, нужно искать в вершинах данной прямоугольной ОДР (12) и на ее границах.
Рассмотрим 4 вершины ОДР - Д1, Д2, Д3, Д4 и вычислим в них значения функции прибыли: Д1: х1 = 0.1305; х2 = 1.575; ЦхД,хД') = 837.98 млн долл.
Д2 :х1 = 0.1305;х2 = 3.231;А(хД2,хД2) = 1421.752 млн долл.
Д3: х1 = 1.98; х2 = 3.231; ЦхД3,хД3) = 2518.759 млн долл.
Д4: х1 = 1.98; х2 = 1.575; ЦхД4,хД4) = 1934.988 млн долл.
По прямоугольной форме ОДР можно определить, что на ее границах значения функции L будут меньше, чем в вершине Д3 [2].
Таким образом, мы получим максимальное значение прибыли в вершине Д3,
АтЖ3,хД3) = 2518.759 млн долл.; х1ор, =1.98
млн штук смартфонов; х2ор1 = 3.231 млн штук
3^ телефонов.
Если бы мы не учитывали рыночного колебания цен, то оптимальное решение задачи могло быть совсем другим:
Атах( хД3, хД3) = 605.8 -1.98 + 545 • 3.231 = 2960.375 млн долл.
Список литературы
1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело, 2008.
2. Малыхин В.И. Математика в экономике. М.: ИНФРА, 2007.
3. Цены и ценообразование: Учебник для вузов. 5-е изд. / Под ред. В. Есипова. СПб.: Питер Пресс, 2009.
m1cn - mnc1
m1cn - mnc1
mi-1ci mici-1
mi-1ci mici-1
NONLINEAR PROBLEM OF PROFIT MAXIMIZATION UNDER CONDITIONS OF FLUCTUATION OF MARKET PRICES
O. V. Podchishchaeva, M.S. Burova
We consider and solve the problem of maximizing the profits of a company producing two types of products, when prices for products are not constant, but linearly dependent on the quantity of products on the market. In this case, the problem is non-linear, although the constraints still remain linear. As an example of such a problem, we refer to the case of the Nokia company.
Keywords: maximization, product, profit, price, linearity, nonlinearity, programming, extremum, stationarity, point.
