Максимизация прибыли организации при рыночном изменении цен на ее продукцию Текст научной статьи по специальности «Математика»

21 (324) - 2013

Экономико-математическое

моделирование

УДК 519.86

МАКСИМИЗАЦИЯ ПРИБЫЛИ ОРГАНИЗАЦИИ ПРИ РЫНОЧНОМ ИЗМЕНЕНИИ ЦЕН НА ЕЕ ПРОДУКЦИЮ*

О. В. ПОДЧИЩАЕВА,

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры компьютерных информационных систем финансовых расчетов E-mail: mem1976@mail. ru

М. С. БУРОВА,

ассистент кафедры компьютерных информационных систем финансовых расчетов E-mail: msburova@yandex. ru Нижегородский государственный университет

имени Н. И. Лобачевского -Национальный исследовательский университет

Решается в общем виде для всех квадратичных целевых функций и любых линейных систем ограничений задача максимизации прибыли организации. Разработан способ поиска максимума функции прибыли в углах и на сторонах многоугольника области допустимых решений.

Ключевые слова: максимизация, товар, прибыль, цена, линейность, нелинейность, программирование, экстремум, стационарность, точка.

Задача максимизации прибыли позволяет составить оптимальный план выпуска продукции при

* Статья предоставлена Информационным центром Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» при Нижегородском государственном университете имени Н. И. Лобачевского - Национальном исследовательском университете.

имеющихся запасах ресурсов. Виды подобных задач, их достоинства и недостатки приведены в таблице.

Реальная рыночная ситуация диктует изменение цен в зависимости от объема товара на рынке. Получается, что при решении задачи максимизации прибыли должна учитываться реакция рынка на выпуск новой партии изделий в виде изменения цен на данный товар (обратная связь). Указанную обратную связь можно учесть как зависимость цен от количества выпущенной продукции в функции прибыли [2].

Таким образом, функция прибыли будет иметь уже нелинейный вид, например для двух видов выпускаемого товара в количестве х1 и х2

L( х) = р (х) X + Р2 (Х2 ) Х2, где р1 (X), р2 (х2) - цены на товар как функции его количества на рынке, в простейшем случае линей-

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жеорпя -и ЪР^тжгсх*

Сравнительная характеристика видов задач максимизации прибыли

Модель Способ решения Преимущества Недостатки

Задача поиска экстремума функции прибыли Нахождение производных Возможно решить задачу, если функция прибыли имеет небольшую нелинейность В силу сложности метода решение задачи возможно получить только для простейших вариантов функции прибыли. Цены берутся фиксированными, что и позволяет решить задачу стандартными методами

Классическая задача линейного программирования Графический и симплексный методы Задача решается с любым количеством неизвестных и любым количеством ограничений Цены берутся фиксированными, что и позволяет решить задачу стандартными методами

ные: р1 (х) = а1 - Ь1х1, р2(х2) = а2 - Ь2х2.

Как видно, в данных функциях р1 (х1) и р2 (х2)

Решение в общем виде с учетом возможностей всех типов максимумов. Как уже упомина-

заложена обратная связь рынка в виде слагаемых лось, квадратичная функция Дх) = ^ х1 Ь2 х2 +

Ъх х , Ъ 2 х 2 .

В итоге получается задача нелинейного программирования с квадратичной функцией прибыли и линейными ограничениями L(x) = -Ъ1 х12 -Ъ2х22 + а1 х1 + а2х2, а1,Ъ > 0, 7 = 1,2. (1)

Линейные ограничения miх1 + ciх2 = d1, 7 = 1, п, где п - количество ограничений.

Из задач нелинейного программирования наиболее разработаны те, в которых система ограничений линейная, а целевая функция нелинейная. Однако даже для таких задач оптимальное решение может быть найдено только для определенного класса целевых функций. Например, когда целевая функция сепарабельная, т. е. является суммой п функций, или квадратичная - аналогичная исследуемой задаче. При этом следует отметить, что в отличие от задач линейного программирования, где точками экстремума являются вершины многогранника области допустимых решений (ОДР), в задачах с нелинейной целевой функцией точки экстремума могут находиться внутри многогранника, на его ребре или в вершине.

При решении задач нелинейного программирования для целевой функции необходимо определить глобальный максимум или глобальный минимум, т. е. наибольшее (наименьшее) значение из локальных максимумов (минимумов).

Наличие локальных экстремумов затрудняет решение задач, так как большинство существующих методов нелинейного программирования не позволяет установить, является данный экстремум локальным или глобальным.

Так как задача нелинейного программирования, описанная формулой (1), мало исследована, рассмотрим полное, подробное и поэтапное решение данной задачи в общем виде. Затем реализуем решение такой задачи для конкретной продукции.

+ а1х1 + а2х2, ai,Ъi > 0, 7 = 1,2 может иметь максимум как внутри или вне области допустимых решений, так и на ее границе.

Рассмотрим возможность максимизации функции внутри области допустимых решений. Найдем стационарную точку функции

х=2т' х0=2г • (2)

2Ъ1 2Ъ2

Характеристические величины [1] А = ^^

х _ ^^ > 0 и I< 0 в точках х10 и х0 говорят о том, что данный экстремум является максимумом.

Также наибольшее значение функция, описанная формулой (1), может принимать на границах области допустимых решений или на ее сторонах.

Предлагается новый процесс поиска максимума на сторонах ОДР. Из системы ограничений выражаем

dг - тг х ■ г~

х2 =—-—, 7 = 1,П.

С

Получаем на границах ОДР функцию L, зависящую уже только от одной переменной х1, хотя довольно сложную и опять же квадратичную

L(х1) = -Ъ1 х12 - Ъ2

' d■ - т.х

2

+

+а1х1 + а2

/ di - mi х1 ^

(3)

Исследуя функцию (3) на экстремумы обычным способом, получаем, что на границах ОДР она всегда имеет максимумы в точках

а а1с2 + 2Ъ2 di mi - атС-X —

2'Щс' . ха = аг - Щх1 '

2 , Т1. „„2 ' Х2. „

2Ъ1С2 + 2Ъ2 mi ci

7 — 1, п.

Приведенный способ отыскания точек экстремума на границах ОДР ранее не применялся. При этом все точки экстремума учитываются, ни одна

62

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жеб7>ЪЯ -и ЪРЛЖкЫ

С

С

не пропущена и в каждой из них можно рассчитать значение функции прибыли.

Теперь рассмотрим вопрос о возможности максимума функции с применением формулы (1) в вершинах ОДР А, 7 = 1,п.

Координаты вершин хА , хА , i = 1, п найдем также новым способом - путем попарного решения уравнений системы ограничений.

Координаты А и системы [т1 х1 + с1 х2 = d1

!тл + СПХ2 = dn'

Координаты А, 7 = 2, п

1 Щ-1Х1 + С-1 x2 = d,-1

[mx + c ix2 = d,

d c d^ c 1 n 2 1 micn - mnC1 = m1 d2 m1cn - mnd1 . - mnc1 '

d,-1c,- d,c-1 m,-1d, - m ,d,-1

m, 1С, - mc, 1 m, 1С, - m ,c, 1

xA =

Таким образом, последовательно можно вычислить координаты каждой вершины ОДР вне зависимости от их количества. Затем вычисляется значение функции L(X) в вершинах А

При поиске максимума функции прибыли выбирается наибольшее значение из значения целевой функции внутри ОДР L(Xзначений функции на сторонах ОДР L(XG ,Х21) и ее значений в углах ОДР L(X;4, ,Х? ), где 7=1,п.

Затем решается задача максимизации прибыли уже не с фиксированными ценами, а с учетом их реального колебания, т. е. обратной связи с рыночными ценами. Полученный результат точнее по сравнению с линейными вариантами описывает реальную ситуацию на рынке и может более адекватно отобразить значение прибыли.

Как пример решения данной задачи на практике рассмотрим выпуск фирмой NOKIA двух видов продукции: смартфонов и коммуникаторов, а также 3-G телефонов.

По исследованиям рынка за 20062010 гг. можно составить следующие зависимости цен от количества товара на рынке [3]:

н Е

I -

I

к -

д (x) = 605,8 - 61,6x, p2 (x2) = 545 - 40,05x2. Цены на продукцию первого и второго типов pj и p2 даны в долларах, количество продукции первого и второго типов xj и x2 указывается в миллионах штук (рис. 1). Получим нелинейную задачу максимизации прибыли

L(X) = (605,8 - 61,6x)x + (545 - 40,05x2)x2 ^ max.

Из маркетинговых исследований получены следующие линейные ограничения:

0,1305 млн шт. < x -1,98 млн шт.;

0,1575 млн шт. < x2 < 3,231 млн шт. (4) Будем следовать общему алгоритму задачи, который учитывает все случаи достижения максимума функции прибыли.

100

200

300

Ръ Долл. а

400

500

600

100 200 300 400 500 600

Р2, Долл. б

Рис. 1. Зависимость цены р 1 и р2 от количества продукции х 1 и х2: а - продукция первого типа; б - продукция второго типа

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ш5б7>ЪЯ те ЪР*?жг(Ъ4

63

Д (х1 , х2 )

Рис. 2. Форма функции прибыли над областью допустимых решений:

продукции, млн шт.;

ДхА1, хА ), ДхА , хА ),

х( хА3, хА3 ) - значения функции прибыли, млн долл.; А1, А2, А3, А4 - вершины ОДР

Определим критические точки функции прибыли, не учитывая ОДР, которые окажутся, возможно, внутри нее.

Из формулы (2) получим х10 — 5 млн шт. и

0 п

х2 — / млн шт.

Эта точка не попадает в область допустимых решений, значит, оптимальное количество продукции, обеспечивающее максимальную прибыль, нужно искать в вершинах данной прямоугольной ОДР, описанной неравенствами (4), и на ее границах.

Вычислим значения функции прибыли для вершин ОДР (соответственно для А1, Л2 ,Л3,Л4) х1 — 0,1305; х2 —1,575;

L(хА,х2а ) — 837,034 млн долл.; х1 — 0,1305; х2 — 3,231;

L(хА2 ,хА) — 1420,8206 млн долл.; х1 —1,98; х2 — 3,231;

L(хА3,хА) — 2 300,786 млн долл.; х1 —1,98; х2 —1,575;

L(хА4, хА4) — 1717,013 млн долл.

По прямоугольной форме ОДР можно определить, что на ее границах значения функции L будут меньше, чем в вершине Л3 [2] (рис. 2).

Получаем максимальное значение прибыли в вершине Л3, (хА, хА3) — 2 300,786 млн долл. х1ор1 —1,98 млн смартфонов. х2ор1 — 3,231 млн 3^

телефонов. Это, еще раз подчеркнем, получено с учетом рыночных колебаний цен, т. е. обратной связи рынка на дополнительное появление на нем подобной продукции.

Если не учитывать рыночного колебания цен, то оптимальное решение задачи могло быть совсем другим. Получилась бы классическая задача линейного программирования с максимумом функции прибыли в вершине ОДР. При расчете оптимальной прибыли цены фиксированы и не зависят от количества продукции на рынке

Дтах(хА3, хА3) — 605,8 х 1,98 + + 545 х 3,231 — 2 960,375 млн долл. , 034 Получено, что при учете обратной связи с рынком изучаемой продукции прогноз максимальной прибыли существенно отличается от идеального -предлагаемого в классических линейных задачах 0м, 7а8к6симизации прибыли.

Список литературы

1. КрассМ. С., ЧупрыновБ. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело, 2008.

2. Малыхин В. И. Математика в экономике. М.: ИНФРА, 2010.

3. Цены и ценообразование: учебник для вузов, 5-е изд. / под ред. В. Есипова. СПб: Питер Пресс, 2012.

2

64

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жгвТЪсЯ те ЪРЛЖкЫ