ПРИМЕНЕНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОДУКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Information about the authors: Tursunov Lutfullo Tursunovich- PhD in technical sciences, Head of Innovative Education Center in Isfara branch of the Tajik Technological University, tel.: (992) 92-886-78-04;

Atlasova Gulbahorkhon Azamjonovna, Assistant of Director of Innovative Education Center in Isfara branch of the Tajik Technological University, tel.: (992) 92-835-10-21, e-mail: shirin-atlasova@yandex.ru

ПРИМЕНЕНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИЕ

НЕКОТОРЫХ ПРОДУКЦИЙ

Муртазов О.Т., Рахмонов И.Д.

Таджикский государственный педагогический университет имени Садриддина Айни

При изготовление различных продукций используется различные меню изготовления этих продукций, но при этом, в большинство случаев используют компьютер. Например, при изготовление некоторых продукций используют вероятностные задачи, а именно процесс Маркова и однородные марковские процессы, которое нам известно из курса теории вероятностей и математической статистики. В данном докладе рассмотрим применение марковских процессов в различные производных задач. Рассмотрим однородные цепи Маркова.

В случае однородных марковских цепей вероятность переходов из состояние Е. в состояниеЕ за один переход, обозначим через р...

Матрицу P =

ГРц Р12 ■■ РшЛ

Pnl Pn 2 ■■ Pn

называют матрицей вероятностей переходов. Для

этой матрицы о < р < 1, г, у = 1,2,..., п ; ^ р = 1, г = 1,2,..., п . Такая матрица называется

1=1

стохастической.

Обозначим через р.(т) безусловную вероятность того, что система в момент времени т находится в состоянии е., г = 1,2,..., п . Тогда, совокупность вероятностей р1 (т), г = 1,2,..., п будет образовывать стохастический вектор р (т) состояний системы

Р( т ) = ( рДт ), р 2 (т ),■■■, р„ (т )) ,

0 < P . (m ) < 1 , i = 1,2,..., n , ^ p.(m) = 1 .

n

n

m ;

i =1

Вычисления вероятности перехода из Е. в Е не за один переход, а за т переходов. Обозначим эту вероятность через р (т), а матрицу этих вероятностей - р(т). Тогда

процесс перехода за т шагов может быть представлен в виде следующих двух этапов: сначала переход за к шагов (1 < к < т ),

21

22

2n

p(k) E

, ( m - к )

1 Plm

(к)

e

( m - к )

1 ni

Рис. 1

затем за оставшиеся т - к шагов (рис. 1).

Вероятность перехода по первому пути е,. ^ е1 ^ е) будет равна к)~(т-к)

вероятность перехода по второму пути е. ^ е2 ^ е. будет равна р ;(2к} р (т - к), и т.д.

Pn Pii

Таким образом,

(m ) (к) (m - к).(к) (m - к) (к) (m - к)

p( _ Pl Pu + pi2 P Ii + - + Pin Pi + ■

Используя матричное обозначение P

( m )

_ p ^ )p

(к) r>( m - к )

p(m) _ pm . Для получения безусловных вероятностей p начальный вектор вероятностей состояний:

P(0) _ (Pi(0), P2(0),-, P„(0)). Теперь, используя формулу полной вероятности, можем записать

n

Ps (1) _ X Pi (0) Pij , i _ 1,2,..., n , или P(1) _ p(0)P .

i _1

Аналогично для любого m: p(m) _ p(m - 1)P _ P(0)Pm .

Если система S обладает эргодическим свойством, то она является стохастически устойчивой. Это означает, что предельные вероятности состояний p. (m) при m ^ да ,

i _ 1,2,..., n , не зависят от вектора начальных состояний. Если обозначить через Pt

предельные вероятности состояний p.(m) при m ^ да , i _ 1,2,..., n , то их можно выразить

как lim p. (m ) _ p. (да ) _ p. .

m да

Используя равенство p(m ) _ p(m - 1) P при m ^ да , получим p _ pP или p(P - E) _ 0 , где E - единичная матрица, а 0 - вектор соответствующих размерностей.

n

Последнее равенство и X P, _ 1 образуют систему линейных уравнений относительно

i _1

pt, i _ 1,2,..., n . Решая эту систему, найдем вектор p. Это мы можем показать на следующем примере:

Предприятие, в зависимости от потребности населения в изготавливаемой продукции, в конце работы, может оказаться в одном из двух состояний: E - есть

(4/7 3/7^

заметим, что P _ P . Поэтому, при любом m, необходимо

( m )

потребность, E

нет потребности. Пусть P _

5/7 2/7

является матрицей

вероятностей переходов для состояний предприятия (рис. 2).

У

Ei - _ 5/7 _ Е2 ^

4/7 3/7 2/7

Рис. 2

Если в начальный момент времени предприятие находится в состоянии ^, то p(0) = (1,0). Вычислим вероятности пребывания предприятия в каждом из состояний в конце первого года:

4 5 4 Pi(1) = pi(0)pii + p2(0)p2i = 1 •-+ 0 --=- ,

7 7 7

3 2 3

p 2(1) = pi(0) p 12 + p 2(0) p 22 = 1 0 --=- .

7 7 7

Итак, p(1) = | 1. В конце второго года:

I 7 7 J

4 4 3 5 31

p1(2) = p1(1)p„ + p2 (1)p21 ----+---- - '

7 7 7 7 49

4 3 3 2 18

p 2(2) = p1(1) p 12 + p 2(1) p 22 -----1----- - '

7 7 7 7 49

Следовательно, p(2) = (!L,iLl. Продолжая вычислений таким образом,

^ 49 , 49 J

определим вероятности пребывания предприятия в каждом из состояний в конце любого года. Для определения вероятностей предельного состояния предприятия p = (p1, p2) решим следующую систему

4 5 3 2

Pi = P1 - — + Р2 - — > Р2 = Pi - — + P2 * _ > Pi + P2 = 1 • 7 7 7 7

В результате получим, р1=5/8, р2=3/8. Итак, вероятности предельного состояния

предприятия приближаются, соответственно, к 5 и 3 .

8 8

ПРИМЕНЕНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИЕ

НЕКОТОРЫХ ПРОДУКЦИЙ

Муртазов О.Т., Рахмонов И.Д.

При изготовление различных продукций используется различные меню, но при этом, в большинство случаев используют компьютер. Например, при изготовление некоторых продукций используют вероятностные задачи, а именно процесс Маркова и, которое нам известно из курса теории вероятностей и математической статистики. В данном докладе применение марковских процессов в различные производных задач. Рассмотрим однородные цепи Маркова.

Ключевые слова: случайные процессы, марковские процессы, теория вероятности, рассматривать, однородные процессы, изготовления продукций.

THE PRACTICE OF MARKOV'S CONTINGENCY PROCESSES IN FABRICATION OF

SOME PRODUCTS

Murtazov O. T., Rahmonov I. D.

During the production of different products different menu of fabrication of these products are used, but in most cases computers are used. For instance, in fabrication of some products contingency tasks, especially the process of Markov and homogeneous Markov' process, which are familiar to us from the course of the theory of contingency and mathematic

statistics. In this article, we investigate the practice of Markov's processes in different production tasks. We investigate homogeneous whip.

Key words: contingency processes, Markov's process, theory of contingency, investigate, homogeneous processes, fabrication of products.

Сведения об авторах: Муртазов Отамурод- старший преподаватель кафедры информатики Таджикского государственного педагогического университета имени Садриддина Айни, тел.: (991) 224-83-17;

Рахмонов И.Д.-старший преподаватель кафедры информатики Таджикского государственного педагогического университета имени Садриддина Айни, тел.: (991) 224-83-17;

Information about the authors: Murtazov Otamurod-senior teacher of chair of informatics of the Tajik state pedagogical university of a name of Sadriddin Ayni, ph.: (991) 224-83-17;

Rakhmonov I.D. Sr. teacher of chair of informatics of the Tajik state pedagogical university of a name of Sadriddin Ayni, ph.: (991) 224-83-17.

ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ n-ПОПЕРЕЧНИКОВ ОДНОГО КЛАССА ФУНКЦИЙ

М. Пулатов

Таджикский государственный педагогический университет имени Садриддина . Айни Пусть К (р, t) определено равенством

Равенством

где jii(t) - действительная функция ограниченной вариации на [ 0,2тнгj, определим класс бигармонических в круге ff, = (z: \z\ < 1} функций и (z). Класс интегралов вида (1) можно отождествлять с классом п В1 действительнозначных бигармонических в U1 функций для которых величина

равномерно ограничена при р 1 (см., на приме р, [1]). Положим

K(P,e t)dfi(t)\J{m) < ij.

Требуется найти точное значение колмогоровского n-поперечника [см; напр. [1стр. 2] класса Кр в норме пространства L2[0,2tt].

Доказана следующая

Теорема [2]. Для класса Кр при любом фиксированном р е (ОД ) справедливы

Р Рп I

= . [2п2(1-2п2(1-р2) -п(3р2 -S)(l-p2) - 2(р2 - 4)(р2 - 1)}: (15)

4V1 ~Рг