CC BY
54
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИИ ВЕСТНИК ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИИ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ сентябрь-октябрь 2016 Том 16 № 5 ISSN 2226-1494 http://ntv.i1mo.ru/
SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL OF INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS September-October 2016 Vol. 16 No 5 ISSN 2226-1494 http://ntv.ifmo.ru/en
УДК 681.786
ПРИМЕНЕНИЕ КВАТЕРНИОНОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ОТРАЖАТЕЛЯ АВТОКОЛЛИМАЦИОННОЙ УГЛОИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ И.А. Коняхинa, Хоанг Ван Фон3
а Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация Адрес для переписки: vanphongkqh@yahoo.com Информация о статье
Поступила в редакцию 05.07.16, принята к печати 30.08.16 doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-5-773-779 Язык статьи - русский
Ссылка для цитирования: Коняхин И.А., Хоанг В.Ф. Применение кватернионов для расчета параметров отражателя автоколлимационной углоизмерительной системы // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. № 5. С. 773-779. doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-5-773-779
Аннотация
Предмет исследования. Рассмотрено применение кватернионов для оптимизации параметров отражателей при автоколлимационных измерениях в сравнении с матричным методом. Приведены результаты компьютерных расчетов на кватернионных моделях, позволившие определить условия уменьшения погрешности измерения при наличии априорной информации о положении оси поворота. Рассмотрена практическая методика синтеза параметров тетраэдрического отражателя, использующая найденные соотношения. Метод. Первоначально полученные условия уменьшения погрешности измерения автоколлимационной системы определены с использованием матричного метода для задания углового положения объекта как совокупности трех эквивалентных последовательных поворотов относительно координатных осей. При реализации этих условий необходим неоднократный пересчет параметров ориентации между различными системами координат, что увеличивает трудоемкость и снижает результирующую точность автоколлимационной системы при практических измерениях. С использованием метода кватернионов, позволяющего анализировать изменение абсолютного углового положения в пространстве, находятся условия повышения точности вне зависимости от используемых систем координат. Основные результаты. Исследования на математической модели показали, что оптимальным по критерию уменьшения погрешности измерения является ортогональное расположение двух основных неизменных направлений тетраэдрического отражателя автоколлиматора при биссекторном расположении относительно них оси фактического поворота. Практическая значимость. На основе найденных соотношений между углами тетраэдрического отражателя и углами параметров его начальной ориентации разработана практическая методика синтеза отражающего контрольного элемента для автоколлимационных измерений в случае наличия априорной информации об оси фактического поворота при мониторинговых измерениях деформаций валов или трубопроводов. Ключевые слова
кватернионы, отражатель, автоколлиматор, измерение углов поворота
APPLICATION OF QUATERNIONS FOR REFLECTOR PARAMETER DETERMINATION OF THE AUTOCOLLIMATION ANGLE MEASURING SYSTEM
I.A. Konyakhin3, Hoang Van Phonga
a ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation Corresponding author: vanphongkqh@yahoo.com Article info
Received 05.07.16, accepted 30.08.16 doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-5-773-779 Article in Russian
For citation: Konyakhin I.A., Hoang Van Phong. Application of quaternions for reflector parameter determination of the autocollimation angle measuring system. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2016, vol. 16, no. 5, pp. 773-779. doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-5-773-779
Abstract
Subject of Research. The paper deals with application of quaternions for optimization of reflector parameters at autocollimation measurements in comparison with a matrix method. Computer-based results on the quaternionic models are
presented that have given the possibility to determine conditions of measurement error reduction in view of apriori information on the rotation axis position. The practical synthesis technique for tetrahedron reflector parameters using found ratios is considered. Method. Originally, received conditions for reduction of autocollimation system measurement error are determined with the use of a matrix method for definition of an angular object position as a set of three equivalent consecutive turns about coordinate axes. At realization of these conditions the numerous recalculation of orientation parameters between various systems of coordinates is necessary that increases complexity and reduces resulting accuracy of autocollimation system at practical measurements. The method of quaternions gives the possibility to analyze the change of an absolute angular position in space, thus, there are conditions of accuracy increase regardless of the used systems of coordinates. Main Results. Researches on the mathematical model have shown, that the orthogonal arrangement of two basic constant directions for autocollimator tetrahedron reflector is optimal with respect to criterion of measurement error reduction at bisection arrangement of actual turn axis against them. Practical Relevance. On the basis of the found ratios between tetrahedron reflector angles and angles of its initial orientation parameters we have developed a practical method of reflector synthesis for autocollimation measurements in case of apriori information on an actual turn axis at monitoring measurements of the shaft or pipelines deformations. Keywords
quaternion, reflector, autocollimator, rotation angles measurement
Введение
В настоящее время измерение углового положения объектов в пространстве является одной из задач метрологического обеспечения науки и производства, например, при наблюдении за состоянием объектов энергетики, промышленности и строительной индустрии [1]. Для определения углового пространственного положения объекта эффективны оптико-электронные автоколлимационные углоизмерительные системы. При расчете параметров автоколлиматоров используются математические методы сферической тригонометрии, векторного и векторно-матричного исчисления. При использовании этих методов необходим неоднократный пересчет параметров ориентации между различными системами координат, что увеличивает трудоемкость и снижает результирующую точность измерений [2, 3]. Более просто задачи определения угловой пространственной ориентации решаются с помощью кватернионов, позволяющих определять пространственные повороты без учета смены системы координат [4, 5].
Основные положения
Угловое положение объекта определено, если известно положение осей системы координат X171Z1, связанной с перемещающимся объектом (подвижной) относительно осей неподвижной системы координат XYZ, связанной с измерительной системой [6]. Положение подвижной системы координат определяется тремя угловыми координатами 01, 02, 03 - углами последовательных поворотов системы координат X1Y1Z1 относительно собственных осей, в результате которых ее оси будут совмещены с осями неподвижной системы [1]. При этом угол 03 поворота относительно оси OZ1 называют углом скручивания, углы 01 и 02 поворота относительно осей OX1, OY1 - коллимационными углами.
При автоколлимационных измерениях на контролируемом объекте закрепляется отражатель -контрольный элемент (КЭ) 1, чувствительный к поворотам объекта, на неподвижной базе устанавливает-
а б
Рис. 1. Автоколлимационная углоизмерительная система: тетраэдрический отражатель: 1 - отражающий
контрольный элемент, 2 - автоколлиматор (а); изображения марки, сформированные отраженными пучками на матричном анализаторе: 1-6 - до поворота, 1 '—6' - после поворота контрольного элемента (б)
Для измерения углов поворотов 0Ь02,03 используется КЭ в виде тетраэдрического отражателя, углы между отражающими гранями которого имеют малые отклонения 512, 523, 513 от 90° (рис. 1, а). На матричном анализаторе автоколлиматора при использовании КЭ формируются три пары изображений,
соответствующих трем различным последовательностям отражения (прямой и обратной в каждой паре) от граней: осевая пара 1 и 2 и две краевые пары 3 и 4, 5 и 6 соответственно (рис. 1, б).
Орт В отраженного пучка после поворота отражателя рассчитывается по формуле (3.1) из [3]:
В=М М( М 1 А,
(1)
где А - орт падающего на отражатель пучка; М - матрица отражения, связанная с отражателем в системе координат Х1У121; М и М^1 - матрицы прямого и обратного операторов, определяющих соответственно прямой и обратный переходы между системами координат ХУ2 и Х1У121. Вид матрицы М определяется формулой (14.10-26) из [8] при замене и на ©ь у на 02, ф на 03.
Координаты ортов отраженных пучков по осям ОХ, ОУ при малых углах 0Ь02,03 при осевом падении исходного пучка (А = [0,0,-1]г (рис. 1)) в соответствии с выражением (1) равны
Вх12 =±с 2 •01 + Ь12 -03 + а12
(2)
Ву1Д = ± Ь1Д + а1Д • ©3 ± с1Д • ©2 где цифра в индексе определяет номер отраженного пучка; верхний знак в структурной части формул соответствует орту первого отраженного пучка, нижний - второго (третья пара отраженных пучков не используется); а,Ь,с - элементы матрицы отражения М( (формула (3.73) в [1], определяемые величинами §12, §2з, §1з отклонений двугранных углов (рис. 1, а).
Приемная система автоколлиматора измеряет координаты ортов В12, после чего углы 01,02,03 определяются в результате решения системы уравнений (2) (одно из четырех уравнений, например, соответствующее координате Вх2 не используется).
Погрешности измерения трех угловых координат определяются выражениями
1 1
=--
к
( ©3
0 0
Ь1 • С2
/С1 Ь1
аьу2
(3)
В этих выражениях й£у1, (£у2 - погрешности измерения приемной системой АК разности ортов = Вх1 + а1, = Ву1 - Ь1, £у2 = Ву2 - Ь2 отраженных пучков до и после поворотов отражателя; коэффициент К=с1а2-а1 с2.
Из выражения (3) следует, что для увеличения точности измерений трех угловых координат необходимо выполнение соотношений:
а2 = 0; Ь1 = 0; с2 = 0. (4)
Полученные условия определяют повышение точности измерения трех угловых координат 01, 02, 03 как последовательных поворотов отражателя относительно координатных осей. Эти три угловые координаты определяют угол и ось фактического поворота, которая произвольно расположена в системе координат ХУ2, и соотношения (4) для него уже не оптимальны по точностному критерию.
Определим условия уменьшения погрешности измерения поворота отражателя относительно фактической оси, используя аппарат кватернионов, позволяющий анализировать изменение абсолютного углового положения объекта в пространстве [9].
Расчет параметров автоколлимационной углоизмерительной системы с применением
кватернионов
Выражение для орта пучка, отраженного тетраэдрическим отражателем, в кватернионной форме имеет вид
В = о О о £ о о о А о о в о О о О
(5)
р ^г ^К ^К ^г ^ р
где 0р° ОГ - сомножители, определяющие кватернион отражателя, Ок и ОК - кватернионы прямого и обратного переходов между системами координат ХУ2 и Х1У121; знак «-» определяет сопряженный кватернион [10]. Кватернион перехода определяется выражением (2.72) из [11] при замене и на 01, у на 02, ф на 03.
В кватернионе отражателя Ор - кватернион инверсии (отсутствует, если пучок претерпевает четное число отражений), Гг - кватернион поворота орта пучка при отражении на угол ю относительно основного неизменного направления (ОНН) отражателя.
Для тетраэдрического отражателя угол ю=180°-Д (Д- малый угол) [12]. Тогда кватернион Гг поворота орта пучка относительно основного неизменного направления и (рис. 2), рассматриваемого как ось с ортом и, может быть записан как [13]:
О =
0081 Ю^ , яп(а)япф)яп J , 008(а)8П1 j ,8т(а)008(Р)8Ш
(6)
где а, в - зенитный и азимутальный углы основного неизменного направления.
Кватернион инверсии имеет вид, определяемый выражением (6) при ю = п: Ор = [0,8т(а)8тф), оо8(а), 8т(а)оо8(Р)].
г
Рис. 2. Отражатель с основными неизменными направлениями
Пусть в отражателе два основные неизменные направления и и и2, соответствующие различным последовательностям отражения пучка от граней, лежат в плоскости ХОг, симметрично расположены относительно оси Ог и составляют с ней угол V (рис. 2) [14, 15]. Отраженные пучки строят в фокальной плоскости объектива автоколлиматора изображения 1, 2 марки автоколлиматора (рис. 3, б).
г В
A
г
б
Рис. 3. Отражатель с поворотом вокруг фактической оси поворота (а); изображения марки автоколлиматора в фокальной плоскости приемного объекта (б)
Координаты изображений 1, 1' и 2, 2' марки автоколлиматора определяются следующими выражениями:
^ Х,2=/ * ^
агс8т^(Вг12 )2 ^Цу^)2
Вт Ву
(7)
^Вг12)2+(Ву12)2 '
где Вт12, Ву12 - координаты отраженного луча В по оси ОХ и оси ОУ, /- фокусное расстояние объектива автоколлиматора.
Определим условия уменьшения погрешностей Аф измерения угла поворота ф и Ап, А% положения орта N фактической оси поворота (рис. 3, а) вследствие погрешностей dX\ 2, dY\ 2 измерения координат изображений на матричном анализаторе приемной системы АК, используя выражения (7), в котором координаты ортов В1,2 отраженных пучков задаются кватернионным соотношением (5).
Вследствие сложной структуры результирующих аналитических выражений при анализе использовались результаты численных расчетов для заданных параметров тетраэдрического отражателя и фактического поворота.
Полученные зависимости АпМ, АхМ и АфМ для V е [0°,90°] изображены на рис. 4. Результаты получены для следующих исходных параметров АК и поворота отражателя: / = 100 мм, йХ1,2 = 0,1, dYl,2 = 0,1 - средние квадратические значения погрешности измерения координат изображений, выра-
а
женные в долях от линейного размера пиксела матричного анализатора (рассматривался квадратный пиксел размером 10*10 мкм2), Д = 1°, п = 132°8', х = 63°44', ф = 1°30'. Исследования на математической модели показали, что вид полученных функций не зависит от значений этих параметров.
к
£
8 о а я
н _ о «
60 50
£40
н
Ц 30
<3 * С
0
70 60 50
и
Я к
ч «
^
Л ч
н н
% ^ 40
И ее
° й м 3
30 20 10
20
40 60 V, град
80
—•20
—• — Дг| при Т|=132°8'
ДХ при х=63°44'
—•—м-»—•—
40 60 V, град Дф при Ф=1°30' б
Рис. 4. Погрешности измерения положения оси (а) и угла поворота (б) для различных положений двух
основных неизменных направлений
Как следует из полученных результатов, значение v= 45°, соответствующее ортогональному расположению ОНН, оптимально по критерию уменьшения погрешности измерения параметров фактического поворота.
На втором этапе численного моделирования исследовались зависимости Дп(х), Дх(х) и Дф(х) погрешностей измерения от положения оси поворота относительно двух ОНН при V = 45° и п = 0 (рис. 3). В результате получено, что для х £ [-90°,90°] вид зависимостей аналогичен изображенным на рис. 4, и оптимальным является расположение оси поворота в плоскости расположения ОНН при х = 0.
Полученные зависимости позволяют синтезировать отражатель для автоколлимационных измерений поворотов относительно известной оси, оптимальный по критерию уменьшения погрешности измерения.
Синтез отражателей для измерения углового положения при наличии априорной информации
о положении оси поворота
Во многих практических случаях приблизительно известно положение оси фактического поворота объекта. Например, при проведении высокоточных лабораторных экспериментов в случае задания основного поворота с помощью углоизмерительной подвижки и наличия относительно малых угловых деформаций ее вала относительно ортогональных осей или мониторинговых измерений деформаций валов или трубопроводов. Методика синтеза отражателя для автоколлимационных измерений при таком условии на первом этапе включает расчет его параметров, при которых реализуется взаимно-перпендикулярное расположение двух его ОНН.
В частности, для тетраэдрического отражателя соотношения между малыми величинами 5^, 523, 813 (рис. 1) имеют вид 5г2=5, 523=&2-5, 513=^3^5, где £2, к3 - некоторые коэффициенты. Орты двух ОНН для последовательностей отражения пучка 2-1-3 и 1-2-3 от граней задаются следующим выражениями [1]:
/2
• (к 2+£ 3)
4к1
2 + к 32 +1
л/6 6
(к 2 - к3 + 2)
13
— • (- к 2 + к 3 +1) 3
(8)
где цифра в индексе определяет номер ортов ОНН; верхний знак в матрице соответствует орту первого ОНН, нижний - второго.
Из условия перпендикулярности ОНН получим соотношение
к22+к32 -1=0. (9)
На втором этапе синтеза по соотношению (9) выбираются значения к2 и к3, при которых биссектор-ная плоскость прямого угла, образованного ортами ць и2 ОНН наиболее близко расположена к приблизительно известному положению оси фактического поворота. Далее определяются начальные углы Е3, Е2, Еь на которые в исходном положении необходимо последовательно повернуть тетраэдрический отражатель для того, чтобы ось фактического поворота совпала с биссектрисой прямого угла, образованного ОНН.
0
а
и
1,2
Для примера рассмотрим отражатель для автоколлимационных измерений деформаций угломест-ной оси поворота главного зеркала полноповоротного радиотелескопа в случае установки автоколлиматора снаружи на цапфе несущего подшипника [16]. Номинальное положение оси поворота главного зеркала на угол места в этом случае в системе координат автоколлиматора определяется углами х = 45°, п =45° (рис. 3). Для измерения угловых деформаций угломестной оси оптимальным является отражатель, у которого одно ОНН параллельно оси О2, а второе расположено в плоскости ХОУ и составляет с осью ОУ угол 45°.
Пусть изначально одно из ОНН расположено в плоскости У02, что позволяет принять координату по оси ОХ равной нулю, и, в соответствии с (8), к2 = -к3. Тогда из условия (9) находим к 2 = ±72/2 , что
определяет соответственно к 3=+72/2 . Чтобы сориентировать орты ОНН требуемым образом, необходимо последовательно повернуть тетраэдрический отражатель относительно исходного положения на некоторые начальные углы Е3,Е2,Е1 относительно осей координат О2,ОУ,ОХ. Величины этих начальных углов определяются парой систем из двух уравнений каждая:
(0 0 -1)7 =М а •(и х 2,1 и у 2Д и г 2Д )Г
0 У =М Е •(и х 2,1 и у 2Д и г 2Д)
где первые индексы в обозначении координат ортов и1, и2 соответствуют верхним знакам значений к2, к3 (в начальном положении орт и2 параллелен оси 02), вторые индексы соответствуют нижним знакам значений коэффициентов (тогда в начальном положении и1||02); МЕ = о3- о2- о1 - матрица поворота (матрицы (6) в разделе 4.1.23 [17] при замене Е1 = у, Е2 = 0, Е3= ф).
Тогда в результате решения системы из двух уравнений, составляющих любую пару из (10), определяются требуемые углы поворотов Е^аг^^^л/^) (9°44'), Е2 = 0, Е3 = -45°.
Вследствие поворотов относительно исходного положения ось отражателя составляет с оптической осью объектива автоколлиматора угол 11°. Уменьшение эффективной отражающей поверхности не превышает 10% зависимости, представленной на рис. 2.25 в [18], что позволяет практически реализовать синтезированные отражатели.
Заключение
Установлено, что описание отраженных пучков при автоколлимационных измерениях угловых поворотов на основе метода кватернионов позволяет, в отличие от матричного метода, анализировать погрешности положения оси и угла фактического поворота объекта. По результатам численных экспериментов на кватернионной модели действия тетраэдрического отражателя найдено, что оптимальным по критерию уменьшения погрешности измерения является биссекторное расположение оси поворота относительно двух взаимно-перпендикулярных основных неизменных направлений отражателя. На основе найденных соотношений между углами тетраэдрического отражателя и углами параметров его начальной ориентации построена практическая методика синтеза, с использованием которой рассчитаны параметры тетраэдрического отражателя практической задачи автоколлимационных измерений углов поворота.
Литература
1. Джабиев А.Н., Коняхин И.А., Панков Э.Д. Автоколлимационные углоизмерительные средства мониторинга деформаций. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2000. 198 с.
2. Грейм И. А. Зеркально-призменные системы. М.: Машиностроение, 1981. 125 с.
3. Бронштейн Ю.Л. Крупногабаритные зеркальные системы (контроль геометрии, юстировка). М.: ДПК Пресс, 2013. 480 с.
4. Амелькин Н.И. Кинематика и динамика твердого тела (кватернионное изложение). М.: МФТИ(ГУ), 2000. 64 с.
5. Голдобин Н.Н., Голдобина Л.А. Преемственность в развитии научных знаний: практическое применение кватернионов при решении инженерно-технических задач // Технико-технологические проблемы сервиса. 2013. № 2. С. 59-62.
6. Сивцов Г. П. Пространственные оптические системы. Новосибирск: СГГА, 2011. 331 с.
7. Коняхин И.А., Панков Э.Д. Трехкоординатные оптические и оптико-электронные угломеры: Справочник. М.: Недра, 1991. 224 с.
8. Kork G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for
References
1. Dzhabiev A.N., Konyakhin I.A., Pankov E.D.
Autocollimation Angle Measuring Tools for Deformation Monitoring. St. Petersburg, SPbSIFMO(TU), 2000, 198 p.
2. Greim I.A. Zerkal'no-Prizmennye Sistemy [Mirrored-Prism Systems]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1981, 125 p.
3. Bronshtein Yu.L. Krupnogabaritnye Zerkal'nye Sistemy (Kontrol' Geometrii, Yustirovka) [Large Mirror Systems (Geometry Control, Adjusting)]. Moscow, DPK Press, 2013, 480 p.
4. Amel'kin N.I. Kinematics and Dynamics of Solid State Body (Quaternionic Statement). Moscow, MPTI Publ., 2000, 64 p.
5. Goldobin N.N., Goldobina L.A. Continuity in the development of scientific knowledge: practical application of quaternions in solving engineering problems. Technico-Tehnologicheskie Problemy Servisa, 2013, no. 2, pp. 59-62.
6. Sivtsov G.P. Prostranstvennye Opticheskie Sistemy [Spatial Optical System]. Novosibirsk, SGGA Publ., 2011, 331 p.
7. Konyakhin I.A., Pankov E.D. Three-Axis Optical and Optoelectronic Goniometers: Handbook. Moscow, Nedra Publ., 1991, 224 p. (In Russian)
8. Kork G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists
Reference and Review. New York: Dover Publications, 2000. 1130 p.
9. Каратаев Е.А. Кватернионы и трехмерные повороты. Практический подход. М.: Апрель, 2000. 32 с.
10. Erdogdu M., Ozdemir M. On Eigenvalues of Split Quaternion Matrices // Advances in Applied Clifford Algebras. 2013. V. 23. N 3. P. 615-623. doi: 10.1007/s00006-013-0391-7
11. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.
12. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. М.: Физматлит, 2006. 512 с.
13. Побегайло А.П. Применение кватернион в компьютерной геометрии и графике. Минск: БГУ, 2010. 216 с.
14. Коняхин И.А., Копылова Т.В. Трехкоординатный оптико-электронный автоколлиматор с увеличенной чувствительностью измерения угла скручивания // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2010. № 6(70). С. 9-12.
15. Коняхин И.А., Тургалиева Т.В. Трехкоординатный цифровой автоколлиматор // Оптический журнал. 2013. Т. 80. № 12. С. 74-81.
16. Konyakhin I.A., Kopylova T.V., Konyakhin A.I., Smekhov A.A. Optic-electronic systems for measurement the three-dimension angular deformation of axles at the millimeter wave range radiotelescope // Proceedings of SPIE. 2013. V. 8759. Art. 87593E. doi: 10.1117/12.2014605
17. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. 2-е изд. М.: Наука, 1967. 780 с.
18. Vanderwerf D.F. Applied Prismatic and Reflective Optics. Bellingham: SPIE, 2010. 310 p. doi: 10.1117/3.867634
Авторы
Коняхин Игорь Алексеевич - доктор технических наук, профессор, профессор, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, igor@grv.ifmo.ru
Хоанг Ван Фонг - аспирант, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация,
vanphongkqh@yahoo.com
and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York, Dover Publications, 2000, 1130 p.
9. Karataev E.A. Kvaterniony i Trekhmernye Povoroty. Prakticheskii Podkhod [Quaternions and 3D Rotations. Practical Approach]. Moscow, Aprel' Publ., 2000, 32 p.
10. Erdogdu M., Ozdemir M. On Eigenvalues of Split Quaternion Matrices. Advances in Applied Clifford Algebras, 2013, vol. 23, no. 3, pp. 615-623. doi: 10.1007/s00006-013-0391-7
11. Branets V.N., Shmyglevskii I.P. Primenenie Kvaternionov v Zadachakh Orientatsii Tverdogo Tela [Application of Quaternions in Problems of Solid Body Orientation]. Moscow, Nauka Publ., 1973, 320 p.
12. Chelnokov Yu.N. Kvaternionnye i Bikvaternionnye Modeli i Metody Mekhaniki Tverdogo Tela i ikh Prilozheniya. Geometriya i Kinematika Dvizheniya. Moscow, Fizmatlit Publ., 2006, 512 p.
13. Pobegailo A.P. Primenenie Kvaternion v Komp'yuternoi Geometrii i Grafike [Application of Quaternion in Computer Geometry and Graphics]. Minsk, BGU Publ., 2010, 216 p.
14. Konyakhin I.A., Kopylova T.V. Three-axis optical-electronic autocollimator with increased sensitivity of the roll angle measuring. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2010, no. 6, pp. 9-12. (In Russian)
15. Konyakhin I.A., Turgalieva T.V. Three-coordinate digital autocollimator. Journal of Optical Technology, 2013, vol. 80, no. 12, pp. 772-777. doi: 10.1364/J0T.80.000772
16. Konyakhin I.A., Kopylova T.V., Konyakhin A.I., Smekhov A.A. Optic-electronic systems for measurement the three-dimension angular deformation of axles at the millimeter wave range radiotelescope. Proceedings of SPIE, 2013, vol. 8759, art. 87593E. doi: 10.1117/12.2014605
17. Angot A. Comlements de Mathematiques. Paris, 1957.
18. Vanderwerf D.F. Applied Prismatic and Reflective Optics. Bellingham, SPIE, 2010, 310 p. doi: 10.1117/3.867634
Authors
Igor A. Konyakhin - D.Sc., Professor, Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, igor@grv.ifmo.ru
Hoang Van Phong - postgraduate, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation,
vanphongkqh@yahoo.com
