CC BY
39
ОПТИЧЕСКИЕ И ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ
УДК 681.786
DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-12-1157-1160
АНАЛИЗ
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПОВОРОТА ОБЪЕКТА
МЕТОДОМ АВТОКОЛЛИМАЦИИ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ КВАТЕРНИОНОВ
Хоанг Ван Фонг, И. А. Коняхин
Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия E-mail: igor@grv.ifmo.ru
Рассмотрена компьютерная модель автоколлимационной системы, основанная на описании поворотов методом кватернионов. Проанализировано влияние основных первичных погрешностей автоколлимационной углоизмери-тельной системы на погрешность измерения положения оси и величины поворота объекта. Выполнено сравнение алгоритмов автоколлимационных измерений, основанных на кватернионной и матричной моделях по критерию влияния отклонений параметров автоколлиматора на величину суммарной погрешности измерения.
Ключевые слова: автоколлимационный метод, кватернионный метод, параметры поворота, погрешность измерения
Для анализа точностных характеристик проектируемых автоколлимационных систем эффективно применять компьютерные модели, основанные на алгоритмах измерения параметров угловой ориентации объекта. Повороты объекта определяются как изменение положения осей системы координат X1Y1Z1, связанной с отражателем, относительно осей неподвижной приборной системы координат XYZ автоколлиматора [1].
Как правило, для моделирования используется матричная форма алгоритма автоколлимационных измерений вида [1 ]:
B1,2 = Mr(01, 02, 0з)Мл,2Мг(01, 02, 0з)-1А, (1)
где В1,2 — орты отраженных пучков, А — орт падающего на отражатель пучка; М d 1 2 — матрицы действия отражателя, соответствующие отраженным пучкам 1, 2; Мr(01, 02, 03) и Mr(01, 02, 03)-1 — матрицы прямого и обратного операторов, определяющих переходы между системами координат XYZ и X1Y1Z1; 01, 02, 03 — математические углы последовательных поворотов системы координат X1Y1Z1 относительно собственных осей, в результате которых ее оси будут совмещены с осями неподвижной системы (рис. 1). Вид М определяется формулой (14.10—26) из [2] при замене и на 01, у — на 02, ф — на 03. Матрицы действия отражателя определяются выражением (3.73) из [1].
О
У
У1
©2 Ось поворота
Л \ /1 \ / 1 X 1 /ч 1 / \ ' / \1 / \] ! \ " Ф ©1 Х1 Х
\>к
©3
г
Тетраэдрический отражатель
Рис. 1
Также алгоритм автоколлимационных измерений может быть записан в кватернионной форме, непосредственно определяемой параметрами п, X и ф пространственного поворота объекта:
В = Як (Л Ъ ф) ° Яр ° Ят ° Як (Л Ъ ф) ° А ° Як(л Ъ ф) ° Ят ° Яр ° Як(Л Ъ ф),
(2)
где (<2р° Ят ) — мультипликативный кватернион отражателя, в котором Яр — кватернион инверсии, Яг — кватернион поворота орта пучка при отражении на угол ш относительно основного неизменного направления и отражателя; п, X, ф — зенитный и азимутальный углы положения оси и угол поворота; бк(п,Х,ф) и йк (п,Х,ф) — кватернионы прямого и обратного (сопряженного) переходов между системами координат ХУТ и Х1У1Т1 [3]. Кватернион перехода определяется выражением (2.72) из [4] при замене и на 01, у — на 02, ф — на 03. Для тетра-эдрического отражателя трехкоординатного автоколлиматора ю=180°-Д (А — малый угол) [1]. При этом кватернион Ят поворота орта пучка относительно вектора основного неизменного направления и и кватернион инверсии (для него ю = 180°) принимают вид:
а =
ю. ._.ю .ю. Г.-Ю
соб—,Б1п а Б1п в Бт—,соб а бш—,Б1п а соб в бш— 2 2 2 2,
яр = [0,б1п а б1п в,со8а,81п а соб в]
(3)
где а, в — зенитный и азимутальный углы вектора и в системе координат ХУТ.
Приемная система автоколлиматора измеряет координаты ортов В12 по выражению:
Хх,2, ^2=ЛВ
агс81^(ВХ12)2+(ВУ1;2)2
Вх1,2,ВУ1'
^/(Вхи)2+(ВД2)2 '
(4)
где Х12 и У1,2 — координаты двух изображений автоколлимационной марки в плоскости анализа автоколлиматора, измеряемые подсистемой „матричный фотоприемник—микропроцессор"; Вх12, Ву12 — координаты отраженного луча В по осям ОХ и оси ОУ; / — фокусное расстояние объектива автоколлиматора.
Далее параметры углового поворота определяются в результате решения системы уравнений (1) или (2). При этом для варианта алгоритма (1) углы последовательных поворотов 01, 02, 03 далее пересчитываются в п, X, ф, определяющие фактическое угловое положение подвижной системы Х1У1Т1 .
Анализ погрешности измерения параметров поворота объекта методом автоколлимации 1159
Сравним точность рассмотренных алгоритмов в случае использования тетраэдрического отражателя, оптимизированного для измерений при наличии априорной информации о фактическом положении оси поворота [5].
При моделировании алгоритмов задавались отклонения от номинальных значений параметров автоколлиматора, входящие в алгоритм (1) или (2), и определялись погрешности измерения углов п, X, ф.
Параметры моделей соответствовали реализованному макету автоколлиматора [6]: фокусное расстояние объектива /'=100 мм; размер пиксела матричного ПЗС-приемника px = py = =10 мкм; параметр тетраэдрического отражателя ю=178,5° (А=1,5°); исходно задаваемые значения зенитного и азимутального углов положения фактической оси и угла поворота вокруг этой оси составляли п=90°, х=45°, ф=20'.
На рис. 2 приведены полученные зависимости средней квадратической погрешности измерения параметров угловой пространственной ориентации объекта от величины средней квадратической погрешности измерения координат изображений на матричном ПЗС-прием-нике (1, 2, 3 и 1', 2', 3' — погрешности измерения Дп, Ах, Дф по алгоритму на основе кватернионов и по матричному алгоритму). Из графиков следует, что при использовании алгоритма на основе кватернионов погрешность измерения в 1,5—2 раза меньше погрешности, достигаемой при использовании матричного алгоритма. Для других основных параметров автоколлиматора /', ю, а также иных значений измеряемых углов п, X, ф получены зависимости аналогичного вида.
Д-, Дх, рад 0,25
0,2 0,15 0,1
0,05
0
"У" 1' А 2
/У /у' 1
0,2
0,4
0,6
Дф, рад 0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0
■ 3' V
■
0,2
0,4
0,6
Дх, дол. пкс
Ах, дол. пкс Рис. 2
Из результатов моделирования следует, что при использовании тетраэдрического отражателя алгоритм автоколлимационных измерений на основе кватернионов обеспечивает меньшую погрешность определения углового положения объекта по сравнению с алгоритмом, использующим матричный подход. Также подтверждена возможность построения несложных численных проектных методик точностного расчета углоизмерительных систем, основанных на компьютерных моделях, использующих кватернионный метод.
список литературы
1. Джабиев А. Н., Коняхин И. А., Панков Э. Д. Автоколлимационные углоизмерительные средства мониторинга деформаций. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2000. 197 с.
2. Granino A. K., Theresa M. K. Mathematical handbook for scientists and engineers: definitions, theorems, and formulas for reference and review. NY: Dover Publications, 2000. 1130 р.
3. Erdogdu M. and Ozdemir M. On Eigenvalues of Split Quaternion Matrices // Advances in Applied Cliff ord Algebras. 2013. Vol. 23, May. Р. 615—623.
4. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.
5. Коняхин И. А., Хоанг В. Ф. Применение кватернионов для расчета параметров отражателя автоколлимационной углоизмерительной системы // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16, № 5. С. 773—779.
6. Turgalieva T. V., Konyakhin I. A. Research of autocollimating angular deformation measurement system for large-size objects control // Proc. SPIE. Optical Measurement Systems for Industrial Inspection VIII. Munich, 2013. Vol. 8788. P. 1—7(878832).
Сведения об авторах
Хоанг Ван Фонг — аспирант; Университет ИТМО; кафедра оптико-электронных приборов и
систем; E-mail: vanphongkqh@yahoo.com Игорь Алексеевич Коняхин — д-р техн. наук, профессор; Университет ИТМО; кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: igor@grv.ifmo.ru
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
оптико-электронных приборов и систем 02.07.17 г.
Ссылка для цитирования: Хоанг В. Ф., Коняхин И. А. Анализ погрешности измерения параметров поворота объекта методом автоколлимации с помощью компьютерных моделей на основе кватернионов // Изв. вузов. Приборостроение. 2017. Т. 60, № 12. С. 1157—1160.
ERROR ANALYSIS OF OBJECT ROTATION PARAMETERS MEASUREMENT WITH AUTOCOLLIMATION METHOD USING COMPUTER MODELS ON THE BASE
OF QUATERNIONS
Phong Van Hoang, I. A. Konyakhin
ITMO University, 197101, St. Petersburg, Russia E-mail: igor@grv.ifmo.ru
A computer model of autocollimator, based on description of object rotations by the quaternionic method, is considered. The effects of main primary errors of autocollimation angular measuring system on the measurement error of the position axis and magnitude of object rotation are analyzed. Comparison of autocollimation measuring algorithms based on quaternionic and matrix models is carried out using the criterion of the influence of deviations of autocollimator parameters on the total measurement uncertainty.
Keywords: autocollimation method, quaternionic method, parameters of rotation, measurement
error
Data on authors
Phong Van Hoang — Post-Graduate Student; ITMO University, Department of Optical-Electronic
Devices and Systems; E-mail: vanphongkqh@yahoo.com Igor A. Konyakhin — Dr. Sci., Professor; ITMO University, Department of Optical-Electronic Devices
and Systems; E-mail: igor@grv.ifmo.ru
For citation: Phong Van Hoang, Konyakhin I. А. Error analysis of object rotation parameters measurement with autocollimation method using computer models on the base of quaternions. Journal of Instrument Engineering. 2017. Vol. 60, N 12. P. 1157—1160 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-12-1157-1160
