CC BY
20
Адрова Ирина Анатольевна
ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНОГО КУРСА «ОТКРЫТАЯ МАТЕМАТИКА 2.5. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ» НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА
В 10 КЛАССЕ*
Внедрение интерактивной компьютерной программы «Открытая Математика 2.5. Функции и Графики» позволяет эффективно реализовать возможности новых педагогических технологий личностно-ориентиро-ванного обучения: уровневой дифференциации, Коллективных Способов Обучения, проектирования, разноуровневого обучения, модульного обучения, позволяющих создать адаптивную образовательную среду, реализующую способности и возможности каждого ученика.
Использование компьютерной программы «Открытая Математика 2.5. Функции и Графики» позволяет на различных этапах уроков организовать самостоятельную познавательную деятельность учащихся, оказывает неоценимую помощь в подготовке дидактического разноуровневого материала с использованием графиков-иллюстраций, помогает иллюстрировать решения заданий. Рассмотрим это на конкретных примерах.
УРОК ОБОБЩЕНИЯ И СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ ПО ТЕМЕ «ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ»
Урок проводится с использованием модульной технологии обучения в компьютерном классе.
Цель урока: закрепление навыка нахождения производных функций, повторе-
ние графического способа решений уравнений и неравенств; развитие навыков самообучения, самоконтроля; воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.
Ход урока
Каждый учащийся получает план-структуру урока. Задания по каждому этапу урока разноуровневые (три уровня сложности). Учащийся сам выбирает уровень сложности заданий. У рядом сидящих учеников варианты заданий разные.
Этап 1.
Цель: закрепление навыков нахождения производных функций (см. таблицу 1).
Алгоритм выполнения задания:
1. Выполните задания 1-7, проверьте правильность нахождения производных с помощью компьютерной программы «Функции и графики» модели 3.8.
* Общеобразовательный класс; используется учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.» А.Н. Колмогорова; 3 часа в неделю.
Таблица 1.
Вариант 1. Вариант 2.
I уровень. Найти производную функций: 1) у = 2х3 - х2/2 + 4; 2) у = 2cos x - 3tg x; 3) y = x - 3 ; 4) у - (2^ +1) x2; x + 2 5) у = (4х + 3)2; 6) у -Vx2 - x ; 7) у = 0,5sin (2х). I уровень. Найти производную функций: 1) у = 4х5 - х3/3 - 2; 2) у = 4sin x - 5ctgx; x-2 3) у - • x + 3' 4) у - (3VX - 2) x2; 5) у = (3х - 2)5; 6) у-л/5-x2 ; 7) у = 0,25cos (4х).
II уровень. Найти производную функций: 1) у - x4/4 - 4/x4 + 8л/Х; 2) у = (x2 + 1) cos x; 3) у - x2 + 3x ; 4) sin 3x - tg x; x -1 ^ ( , 1 6) У-V5- 4x-x2 ; 5) У-(3x - 5)+(3-x)2 ; 7) у = x2 cos (2x - 2). II уровень. Найти производную функций: 1) у = 3/x3 + x3/3 - 6>/x ; 2) у = (4 - x2)sin x; 3) у - x - 6x ; 4) y = cos 4x + ctg x; x + 2 5) у - 1 ; 6) у -V 12 - 8x + x2 ; У (2x + 7)4 7) у = x sin (3x + 1).
III уровень. Найти производную функций: 22 1) у = (x + 1) (x - 1); 2) у = ctg x - cos 2x; 3) у - x2 + 3x ; 4) sin 3x - tg x; x -1 ( c)3 , 1 6) У -V5 - 4x - x2 ; 5) у -(3x - 5)+(3-x )2; 7) у = x2 cos (2x - 2). III уровень. Найти производную функций: 1) у = (x - 1)2(x + 1); 2) у = sin (x/3) - tg2 x; 3) у - ^; 4) у - 24г+3x6; Vx2 - 8 x 5) у = (2x2 - x - 3)6 + cos 4x; 6) у - „Jtg^ ; 7) у = 1/sin4 (x/2).
Если в процессе проверки вы затрудняетесь получить правильный ответ, то воспользуйтесь моделью 3.2.
2. По окончании проверки в лист самооценки проставьте набранное количество баллов: 1 балл за каждое выполненное задание; 0,5 балла за задания, выполненные с помощью модели 3.2.
Этап 2.
Цель: закрепление навыков нахождения производной и решения уравнений графическим способом (см. таблицу 2).
Алгоритм выполнения задания.
1. Найдите производную данной функции / (х). Проверьте правильность с помощью модели 3.8 (если возникают проблемы, прежде чем обращаться к учителю, воспользуйтесь моделью 3.2).
2. Постройте график функции / '(х) с помощью Графера.
3. Воспользовавшись графиком, решите уравнение / '(х) = 0. Ответ запишите в
тетрадь. Проверьте правильность с помощью модели 2.17.
Оцените свою работу: 1 балл - решено верно самостоятельно; 0,5 балла - решено верно с помощью модели 2.17.
4. Постройте с помощью Графера на одной координатной плоскости график функции / '(х) и график функции у = х. Воспользовавшись графиками, решите уравнение / '(х) = х. Ответ запишите в тетрадь. Проверьте правильность с помощью модели 2.17. Оцените свою работу: 1 балл - решено верно самостоятельно; 0,5 балла - решено верно с помощью модели 2.17.
5. Постройте с помощью Графера на одной координатной плоскости график функции / '(х) и график функции у = х2 + а при а = 0; ±0,1; ±0,2; ±0,3; ...
Сделайте вывод, при каких значениях а уравнение / '(х) = х2 + а имеет решения и сколько их. Рисунок сохраните на рабочем столе «Произв_фамилия_2». Ответ покажите учителю. Оценку за это задание
Таблица 2.
Вариант 1. Вариант 2.
I уровень. Дана функция f (x) = 2 — 2 cos x. Решить уравнения: f ' (x) = 0; f ' (x) = x. Определить сколько решений в зависимости от значения а будет иметь уравнение f ' (x) = x2 + a? I уровень. Дана функция f (x) = 4sin x - x. Решить уравнения f ' (x) = 0; f ' (x) = x. Определить сколько решений в зависимости от значения а будет иметь уравнение f ' (x) = x2 + a?
II уровень. Дана функция f(x) = cos 5x cos 3x + sin 5x sin 3x — x. Решить уравнения: f ' (x) = 0; f ' (x) = x. Определить сколько решений в зависимости от значений а будет иметь уравнение f ' (x) = x2 + a? II уровень. Дана функция f (x) = sin 4x cos x — cos 4x sin x + 1,5x . Решить уравнения: f ' (x) = 0; f ' (x) = x. Определить сколько решений в зависимости от значений а будет иметь уравнение f ' (x) = x2 + a?
III уровень. Дана функции f (x) = sin2 x. Решить уравнения: f (x) = 0; f (x) = x. Определить сколько решений в зависимости от значений а будет иметь уравнение f ' (x) = x2 + a? III уровень. Дана функции f(x) = cos2 x. Решить уравнения: f (x) = 0; f (x) = x. Определить сколько решений в зависимости от значений а будет иметь уравнение f ' (x) = x2 + a?
ставит учитель: 2 балла - решено верно самостоятельно; 1 балл - решено верно с помощью учителя; 0,5 балла - построение выполнено правильно, нет вывода.
Этап 3.
Цель: закрепление навыков нахождения производной и решения неравенств графическим способом (см. таблицу 3).
Алгоритм выполнения задания.
1. Найдите производную данной функции / (х). Проверьте правильность с помощью модели 3.8 (если возникают проблемы, прежде чем обращаться к учителю, воспользуйтесь моделью 3.2).
2. Постройте график функции / '(х) (для уровня II - \/ '(х)!; для уровня III -/ ' (#(х))) с помощью Графера.
3. Воспользовавшись графиком, решите неравенство/'(х) < 0 (х) > 0) (для уровня II - \/'(х)\ > 0; для уровня III -/' (^(х)) < 0
' ^(х)) > 0)). Ответ запишите в тетрадь. Проверьте правильность с помощью модели 2.19.
Оцените свою работу: 1 балл - решено верно самостоятельно; 0,5 балла - решено верно с помощью модели 2.19.
4. Постройте с помощью Графера на одной координатной плоскости график функции / '(х) (для уровня II - \/ '(х)\; для уровня
Таблица 3.
Вариант1. Вариант 2.
I уровень. Дана функция f (x) = 8x - x2 - x 3/3. Решить неравенства: 1)f ' (x) < 0; 2) f ' (x) < x; 3)f ' (x) < x + a. I уровень. Дана функция f (x) = x3/6 + x2 - 6x. Решить неравенства: 1)f ' (x) > 0; 2) f ' (x) > x; 3)f ' (x) > x + a.
II уровень. Дана функция f (x) = x4 — 4x2. Решить неравенства: 1) f' (x)| < 0; 2) f' (x)| < x; 3) f' (x)| < x + a. II уровень. Дана функция f (x) = 9x - x3. Решить неравенства: 1) f' (x)| > 0; 2) f ' (x)| > x; 3) f' (x)| > x + a.
III уровень. Даны функции f (x) = x4 - 4x2; g (x) = 4x . Решить неравенства: 1)f ' (g (x)) < 0; 2) f ' (g (x)) < x; 3)f ' (g (x)) < x + a. III уровень. Даны функции f (x) = x2 — x; g (x) = 1/x. Решить неравенства: 1) f (g (x)) > 0; 2) f ' (g (x)) > x; 3)f ' (g (x)) > x + a.
Сделайте вывод, при каких значениях а неравенство f '(х) < х + а (/ '(х) > х + а) (для уровня II - f '(х)1 < х + а ^ '(х)1 > х + а); для уровня III ^'(§(х)) < х + а (/■ '(§(х)) > х + а)) имеет решение. Рисунок сохраните на рабочем столе «Произв_фамилия_3». Ответ покажите учителю. Оценку за это задание ставит учитель: 2 балла - решено верно самостоятельно; 1 балл - решено верно с помощью учителя; 0,5 балла - построение выполнено правильно, нет вывода.
Этап 4.
Цель: подведение итогов.
Подсчитайте итоговое количество баллов за урок. Поставьте оценку в оценочный лист (см. таблицу 4) в соответствии с таблицей и запишите домашнее задание.
Эффективно использование программы также при проведении уроков в кабинете, имеющем только один компьютер и мультимедийный проектор. Рассмотрим это на примере изучения темы «Касательная к графику функции». В этом случае можно использовать программу с целью закрепления наглядных образов касательной. Применяя модель 3.2, можно иллюстрировать
Таблица 4. Оценочный лист.
Фамилия
Имя
Этапы № 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7 Кто оценивает Кол-во баллов итого
Э 1 Самооценка
Э 2 1) f ' (x) = 0 2) f ' (x) = x 3) f ' (x) = x2 + a Самооценка (№1; 2) Учитель (№ 3)
Э 3 № 1 № 2 № 3 Самооценка (№ 1; 2) Учитель (№ 3)
Итого: сумма результатов Э 1; Э 2; Э 3
Оценка
Оценка «5» «4» «3» «2»
Количество баллов От 13 и более От 9 баллов до 13 баллов От 5 баллов до 9 баллов Менее 5 баллов
Домашнее задание По д/м (№ 2 в списке литературы) стр. 68, № 156-58; № 164-165 По д/м стр. 68 № 148-154 (в, г); № 154-159 (в, г) По д/м стр. 68 № 148-154 (а, б); № 159-160 (а, б) Уч. стр. 112, пример 1. Стр. 114, пример 2. Стр. 117, пример 2, 3. По д/м стр.68 № 148-154 (а, б); № 159-160 (а, б)
III - f '(g(x))) и график функции у = х. Воспользовавшись графиками, решите неравенство f '(x) < х (f '(x) > х) (для уровня II -f '(x)l < x (f '(x)l > x); для уровня III -f '(g(x)) < x (f '(g(x)) > x)). Ответ запишите в тетрадь. Проверьте правильность с помощью модели 2.19. Оцените свою работу: 1 балл -решено верно самостоятельно; 0,5 балла -решено верно с помощью модели 2.19.
5. Постройте с помощью Графера на одной координатной плоскости график функции f '(x) (для уровня II - f '(x)l; для уровня III - f '(g(x))) и график функции у = х + а при а = 0; ±0,1; ±0,2; ±0,3; ±0,4; ...
решения заданий из учебника № 255а, а также при выполнении заданий типа:
1. Составить уравнение касательной к графику функции в данной точке:
а) / (х) = 2х2 + 1/3х3; М (-3; 9);
х +1
б) / (х)= --; х0=2.
х -1
2. На графике функции / (х) найдите точку, в которой касательная к графику /(х) наклонена к оси абсцисс под углом 45°, если
/ (х) = V 2 х -1.
3. Прямая у = а - х является касательной к графику функции / (х) = 4/х. При каких значениях а это возможно?
Для иллюстрации задания 1 используется модель 3.2, для заданий 2-3 используется Графер.
Благодаря возможностям Графера, учитель может сам готовить графические иллюстрации для последующей работы с ними в классе, например, по графику функции у = /(х) с заданной касательной в точке с абсциссой х0 найти значение производной в точке х0 (см. рисунки 1; 2).
Анализируя задания ЕГЭ по теме «Функции и графики», можно сделать вывод, что там при выполнении заданий учащийся должен уметь применять в одних случаях аналитический метод решения, в других умение «читать» свойства функций, заданных своими графиками. Поэтому при проведении итогового повторения по теме «Функции и графики» важно строить уроки так, чтобы они способствовали развитию навыков чтения графиков и построе-
ния графиков функций, с использованием схемы исследования функций.
Рассмотрим один из вариантов проведения такого урока в компьютерном классе. Урок построен по методу взаимоконтроля партнеров.
При подготовке к уроку учителем готовятся карточки, разноуровневые по содержанию. Нечетные номера вариантов имеют в карточках первое задание на чтение графика, второе на исследование графика с помощью производной. Четные номера вариантов, наоборот, имеют первое задание на исследование функции и построение графика с помощью производной, второе задание на чтение графика. При этом обязательно среди четных и нечетных вариантов имеются пары, в которых функции заданы одинаковыми формулами. Например: вариант № 1 и вариант № 2 образуют пару.
Учащиеся, имеющие первые задания на чтение графика, садятся за компьютеры
Рисунок 2.
и, используя Графер в программе «Открытая Математика 2.5. Функции и Графики», строят график заданной функции и отвечают на вопросы по графику в соответствии со схемой исследования функции. При этом, если они затрудняются при ответе на вопросы, то могут рассмотреть задания на модели 1.9, почитать теорию в параграфах: 1.32-1.38. Выполнив первое задание полностью, ученик ищет в классе партнера -ученика, у которого задана та же функция, но задание выполняется обратное: сначала исследуется функция, затем строится график. Так как функции у партнеров одинаковые, то свойства функций и графики должны совпадать. Обмениваясь ответами, учащиеся проверяют свою работу. Если возникают вопросы, то они обращаются к учителю.
После проверки каждый выставляет в оценочный лист своему партнеру оценку по следующим критериям: «5» - все правильно, одна неточность; «4» - одна ошибка, два недочета; «3» - две-три ошибки; «2» - более трех ошибок.
Затем учащиеся переходят к второму заданию (схема работы аналогична).
На рисунке 3 приведены примеры карточек-заданий: I уровень - карточки № 1, 2, 7, 8; II уровень - карточки № 3, 4, 9, 10; III уровень - карточки № 5, 6, 11, 12.
По окончании урока каждый учащийся получает оценку. Все работают в индивидуальном темпе, в режиме самоконтроля, коррекции знаний, консультирования.
Применение аналитических способов решения совместно с компьютерным моделированием способствует усвоению изучаемого материала, так как при этом работают моторная и визуальная виды памяти.
Если у учителя нет возможности проведения такого урока в компьютерном классе, то, готовя карточки-задания, он включает туда графики функций, построенные с помощью компьютера, для чтения свойств этих функций. Тогда карточки имеют вид как на рисунке 4.
Для организации проектной и исследовательской деятельности учащихся Гра-фер дает новые возможности, а именно возможность построения графиков в полярных координатах и построения кривых, заданных параметрическими уравнениями. Учащимся можно предложить следующие задания:
1) построить в полярных координатах график функции r = а + sin 3j, исследовать изменения вида и свойств полученных графиков в зависимости от я;
2) построить в полярных координатах график функции r = а + sin(mj/n), исследовать изменения вида и свойств полученных графиков в зависимости от я и от значений m/n;
3) построить в декартовых координатах кривые, заданные параметрическими уравнениями: x = sin mí; y = sin (mí + k). Описать свойства полученных кривых.
Программа «Открытая Математика 2.5. Функции и Графики» дает возможность рассматривать сложный материал поэтапно, имеется возможность вернуться не только к текущему материалу, но и повторить предыдущую тему. При закреплении можно повторить материал, вызывающий затруднения у учащихся. Использование моделей способствует повышению интереса учащихся к изучаемой теме.
Обучение носит диалоговый характер, в который учитель в любой момент может внести необходимые коррективы. На занятии оптимально сочетаются индивидуальная, парная и групповая формы работы. Ученики находятся в состоянии психологического комфорта при общении с компьютером.
Карточка № 1.
1. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование
свойств функции по общей схеме: у =-.
х +1
2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = х3 - 4х2 + 3.
Карточка № 3.
1. С помощью компьютерной программы Гра-фер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = 0,5х2 - 0,2х5.
2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = (х - 1)>/х .
Карточка № 5.
1. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = sin x - cos x + x.
2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = (x2 - 1)2.
Карточка № 2.
1. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = х3 - 4х2 + 3.
2. Исследуйте функцию с помощью произ-
2 х - 3
водной и постройте ее график: у =-.
х+1
Карточка № 4.
1. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование
свойств функции по общей схеме: у = (х - 1)л/х .
2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: 0,5х2- 0,2х5.
Карточка № 6.
1. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = (x2 - 1)2.
2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: y = sin x - cos x + x.
Карточка № 7.
1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = х3 - 3х.
2. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование
свойств функции по общей схеме: у = 2 х +1 .
х-1
Карточка № 8.
1. Исследуйте функцию с помощью произ-
2х +1
водной и постройте ее график: у =-.
х-1
2. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = х3 - 3х.
Карточка № 9.
1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = х (х - 1)2.
2. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование
2 х
свойств функции по общей схеме: у = -
Ч1
Карточка № 11.
1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = 3х4 - 4х3 + 2.
2. С помощью компьютерной программы Гра-фер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = 2 sin x - cos 2x.
Карточка № 10.
1. Исследуйте функцию с помощью произ-
2х
водной и постройте ее график: у = —— .
х +1
2. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = х (х - 1)2.
Карточка № 12.
1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = 2 sin x - cos 2x.
2. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = 3х4 - 4Х3 + 2.
Рисунок 3.
Карточка № 1.
1. Используя график, проведите исследова-
, г 2 х - 3 ние свойств функции по общей схеме: у =-.
х +1
2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = х3 - 4х2 + 3.
Карточка № 2.
1. Используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме:
у = х3 - 4х2 + 3. -
2. Исследуйте функцию с помощью произ-
2х - 3
водной и постройте ее график: у =-.
х+1
Рисунок 4.
Создание условий для внедрения новых информационных технологий обучения в систему образования школы способствует тому, что педагогический процесс развивает познавательные способности, активность и самостоятельность учащихся, повышает интерес к овладению научными знаниями и методами научно-познавательной деятельности.
Таким образом, внедрение компьютерного курса в учебный процесс рассматривается мною:
- как источник дополнительной информации по предмету,
- как способ самообразования учителя и учащихся,
- как возможность реализации лично-стно-ориентированного подхода в обучении.
Литература
1. .Ершова А.Я., ГолобороЗько В.В. Самостоятельные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. М.: Илекса, 2002. 173 с.
2. Мерзллк А.Г. и ¿р. Сборник задач и контрольных работ по алгебре и началам анализа для 10 класса. М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2002. 128 с.
3. ,&оллогоров А.Я. и ¿р. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов. М., 1999.
4. ДолорлЗ А.Я. Математические игры и развлечения. М.: Гос. изд. физ-мат. лит., 1961. С. 148-169.
© Наши авторы, 2004. Оиг аиШогс, 2004.
Адрова Ирина Анатольевна, учитель математики ГОУ средней общеобразовательной школы № 37 Западного округа г. Москвы1.
