Научная статья на тему 'Применение компьютерного курса «Открытая Математика 2. 5. Функции и графики» на уроках алгебры и начал анализа в 10 классе*'

Применение компьютерного курса «Открытая Математика 2. 5. Функции и графики» на уроках алгебры и начал анализа в 10 классе* Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

CC BY
624
22
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Адрова Ирина Анатольевна

Автор рассматривает возможности компьютерной программы «Открытая математика 2.5. Функции и графики», позволяющей на различных этапах уроков организовать самостоятельную познавательную деятельность учащихся.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Применение компьютерного курса «Открытая Математика 2. 5. Функции и графики» на уроках алгебры и начал анализа в 10 классе*»

Адрова Ирина Анатольевна

ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНОГО КУРСА «ОТКРЫТАЯ МАТЕМАТИКА 2.5. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ» НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА

В 10 КЛАССЕ*

Внедрение интерактивной компьютерной программы «Открытая Математика 2.5. Функции и Графики» позволяет эффективно реализовать возможности новых педагогических технологий личностно-ориентиро-ванного обучения: уровневой дифференциации, Коллективных Способов Обучения, проектирования, разноуровневого обучения, модульного обучения, позволяющих создать адаптивную образовательную среду, реализующую способности и возможности каждого ученика.

Использование компьютерной программы «Открытая Математика 2.5. Функции и Графики» позволяет на различных этапах уроков организовать самостоятельную познавательную деятельность учащихся, оказывает неоценимую помощь в подготовке дидактического разноуровневого материала с использованием графиков-иллюстраций, помогает иллюстрировать решения заданий. Рассмотрим это на конкретных примерах.

УРОК ОБОБЩЕНИЯ И СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ ПО ТЕМЕ «ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ»

Урок проводится с использованием модульной технологии обучения в компьютерном классе.

Цель урока: закрепление навыка нахождения производных функций, повторе-

ние графического способа решений уравнений и неравенств; развитие навыков самообучения, самоконтроля; воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

Ход урока

Каждый учащийся получает план-структуру урока. Задания по каждому этапу урока разноуровневые (три уровня сложности). Учащийся сам выбирает уровень сложности заданий. У рядом сидящих учеников варианты заданий разные.

Этап 1.

Цель: закрепление навыков нахождения производных функций (см. таблицу 1).

Алгоритм выполнения задания:

1. Выполните задания 1-7, проверьте правильность нахождения производных с помощью компьютерной программы «Функции и графики» модели 3.8.

* Общеобразовательный класс; используется учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.» А.Н. Колмогорова; 3 часа в неделю.

Таблица 1.

Вариант 1. Вариант 2.

I уровень. Найти производную функций: 1) у = 2х3 - х2/2 + 4; 2) у = 2cos x - 3tg x; 3) y = x - 3 ; 4) у - (2^ +1) x2; x + 2 5) у = (4х + 3)2; 6) у -Vx2 - x ; 7) у = 0,5sin (2х). I уровень. Найти производную функций: 1) у = 4х5 - х3/3 - 2; 2) у = 4sin x - 5ctgx; x-2 3) у - • x + 3' 4) у - (3VX - 2) x2; 5) у = (3х - 2)5; 6) у-л/5-x2 ; 7) у = 0,25cos (4х).

II уровень. Найти производную функций: 1) у - x4/4 - 4/x4 + 8л/Х; 2) у = (x2 + 1) cos x; 3) у - x2 + 3x ; 4) sin 3x - tg x; x -1 ^ ( , 1 6) У-V5- 4x-x2 ; 5) У-(3x - 5)+(3-x)2 ; 7) у = x2 cos (2x - 2). II уровень. Найти производную функций: 1) у = 3/x3 + x3/3 - 6>/x ; 2) у = (4 - x2)sin x; 3) у - x - 6x ; 4) y = cos 4x + ctg x; x + 2 5) у - 1 ; 6) у -V 12 - 8x + x2 ; У (2x + 7)4 7) у = x sin (3x + 1).

III уровень. Найти производную функций: 22 1) у = (x + 1) (x - 1); 2) у = ctg x - cos 2x; 3) у - x2 + 3x ; 4) sin 3x - tg x; x -1 ( c)3 , 1 6) У -V5 - 4x - x2 ; 5) у -(3x - 5)+(3-x )2; 7) у = x2 cos (2x - 2). III уровень. Найти производную функций: 1) у = (x - 1)2(x + 1); 2) у = sin (x/3) - tg2 x; 3) у - ^; 4) у - 24г+3x6; Vx2 - 8 x 5) у = (2x2 - x - 3)6 + cos 4x; 6) у - „Jtg^ ; 7) у = 1/sin4 (x/2).

Если в процессе проверки вы затрудняетесь получить правильный ответ, то воспользуйтесь моделью 3.2.

2. По окончании проверки в лист самооценки проставьте набранное количество баллов: 1 балл за каждое выполненное задание; 0,5 балла за задания, выполненные с помощью модели 3.2.

Этап 2.

Цель: закрепление навыков нахождения производной и решения уравнений графическим способом (см. таблицу 2).

Алгоритм выполнения задания.

1. Найдите производную данной функции / (х). Проверьте правильность с помощью модели 3.8 (если возникают проблемы, прежде чем обращаться к учителю, воспользуйтесь моделью 3.2).

2. Постройте график функции / '(х) с помощью Графера.

3. Воспользовавшись графиком, решите уравнение / '(х) = 0. Ответ запишите в

тетрадь. Проверьте правильность с помощью модели 2.17.

Оцените свою работу: 1 балл - решено верно самостоятельно; 0,5 балла - решено верно с помощью модели 2.17.

4. Постройте с помощью Графера на одной координатной плоскости график функции / '(х) и график функции у = х. Воспользовавшись графиками, решите уравнение / '(х) = х. Ответ запишите в тетрадь. Проверьте правильность с помощью модели 2.17. Оцените свою работу: 1 балл - решено верно самостоятельно; 0,5 балла - решено верно с помощью модели 2.17.

5. Постройте с помощью Графера на одной координатной плоскости график функции / '(х) и график функции у = х2 + а при а = 0; ±0,1; ±0,2; ±0,3; ...

Сделайте вывод, при каких значениях а уравнение / '(х) = х2 + а имеет решения и сколько их. Рисунок сохраните на рабочем столе «Произв_фамилия_2». Ответ покажите учителю. Оценку за это задание

Таблица 2.

Вариант 1. Вариант 2.

I уровень. Дана функция f (x) = 2 — 2 cos x. Решить уравнения: f ' (x) = 0; f ' (x) = x. Определить сколько решений в зависимости от значения а будет иметь уравнение f ' (x) = x2 + a? I уровень. Дана функция f (x) = 4sin x - x. Решить уравнения f ' (x) = 0; f ' (x) = x. Определить сколько решений в зависимости от значения а будет иметь уравнение f ' (x) = x2 + a?

II уровень. Дана функция f(x) = cos 5x cos 3x + sin 5x sin 3x — x. Решить уравнения: f ' (x) = 0; f ' (x) = x. Определить сколько решений в зависимости от значений а будет иметь уравнение f ' (x) = x2 + a? II уровень. Дана функция f (x) = sin 4x cos x — cos 4x sin x + 1,5x . Решить уравнения: f ' (x) = 0; f ' (x) = x. Определить сколько решений в зависимости от значений а будет иметь уравнение f ' (x) = x2 + a?

III уровень. Дана функции f (x) = sin2 x. Решить уравнения: f (x) = 0; f (x) = x. Определить сколько решений в зависимости от значений а будет иметь уравнение f ' (x) = x2 + a? III уровень. Дана функции f(x) = cos2 x. Решить уравнения: f (x) = 0; f (x) = x. Определить сколько решений в зависимости от значений а будет иметь уравнение f ' (x) = x2 + a?

ставит учитель: 2 балла - решено верно самостоятельно; 1 балл - решено верно с помощью учителя; 0,5 балла - построение выполнено правильно, нет вывода.

Этап 3.

Цель: закрепление навыков нахождения производной и решения неравенств графическим способом (см. таблицу 3).

Алгоритм выполнения задания.

1. Найдите производную данной функции / (х). Проверьте правильность с помощью модели 3.8 (если возникают проблемы, прежде чем обращаться к учителю, воспользуйтесь моделью 3.2).

2. Постройте график функции / '(х) (для уровня II - \/ '(х)!; для уровня III -/ ' (#(х))) с помощью Графера.

3. Воспользовавшись графиком, решите неравенство/'(х) < 0 (х) > 0) (для уровня II - \/'(х)\ > 0; для уровня III -/' (^(х)) < 0

' ^(х)) > 0)). Ответ запишите в тетрадь. Проверьте правильность с помощью модели 2.19.

Оцените свою работу: 1 балл - решено верно самостоятельно; 0,5 балла - решено верно с помощью модели 2.19.

4. Постройте с помощью Графера на одной координатной плоскости график функции / '(х) (для уровня II - \/ '(х)\; для уровня

Таблица 3.

Вариант1. Вариант 2.

I уровень. Дана функция f (x) = 8x - x2 - x 3/3. Решить неравенства: 1)f ' (x) < 0; 2) f ' (x) < x; 3)f ' (x) < x + a. I уровень. Дана функция f (x) = x3/6 + x2 - 6x. Решить неравенства: 1)f ' (x) > 0; 2) f ' (x) > x; 3)f ' (x) > x + a.

II уровень. Дана функция f (x) = x4 — 4x2. Решить неравенства: 1) f' (x)| < 0; 2) f' (x)| < x; 3) f' (x)| < x + a. II уровень. Дана функция f (x) = 9x - x3. Решить неравенства: 1) f' (x)| > 0; 2) f ' (x)| > x; 3) f' (x)| > x + a.

III уровень. Даны функции f (x) = x4 - 4x2; g (x) = 4x . Решить неравенства: 1)f ' (g (x)) < 0; 2) f ' (g (x)) < x; 3)f ' (g (x)) < x + a. III уровень. Даны функции f (x) = x2 — x; g (x) = 1/x. Решить неравенства: 1) f (g (x)) > 0; 2) f ' (g (x)) > x; 3)f ' (g (x)) > x + a.

Сделайте вывод, при каких значениях а неравенство f '(х) < х + а (/ '(х) > х + а) (для уровня II - f '(х)1 < х + а ^ '(х)1 > х + а); для уровня III ^'(§(х)) < х + а (/■ '(§(х)) > х + а)) имеет решение. Рисунок сохраните на рабочем столе «Произв_фамилия_3». Ответ покажите учителю. Оценку за это задание ставит учитель: 2 балла - решено верно самостоятельно; 1 балл - решено верно с помощью учителя; 0,5 балла - построение выполнено правильно, нет вывода.

Этап 4.

Цель: подведение итогов.

Подсчитайте итоговое количество баллов за урок. Поставьте оценку в оценочный лист (см. таблицу 4) в соответствии с таблицей и запишите домашнее задание.

Эффективно использование программы также при проведении уроков в кабинете, имеющем только один компьютер и мультимедийный проектор. Рассмотрим это на примере изучения темы «Касательная к графику функции». В этом случае можно использовать программу с целью закрепления наглядных образов касательной. Применяя модель 3.2, можно иллюстрировать

Таблица 4. Оценочный лист.

Фамилия

Имя

Этапы № 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7 Кто оценивает Кол-во баллов итого

Э 1 Самооценка

Э 2 1) f ' (x) = 0 2) f ' (x) = x 3) f ' (x) = x2 + a Самооценка (№1; 2) Учитель (№ 3)

Э 3 № 1 № 2 № 3 Самооценка (№ 1; 2) Учитель (№ 3)

Итого: сумма результатов Э 1; Э 2; Э 3

Оценка

Оценка «5» «4» «3» «2»

Количество баллов От 13 и более От 9 баллов до 13 баллов От 5 баллов до 9 баллов Менее 5 баллов

Домашнее задание По д/м (№ 2 в списке литературы) стр. 68, № 156-58; № 164-165 По д/м стр. 68 № 148-154 (в, г); № 154-159 (в, г) По д/м стр. 68 № 148-154 (а, б); № 159-160 (а, б) Уч. стр. 112, пример 1. Стр. 114, пример 2. Стр. 117, пример 2, 3. По д/м стр.68 № 148-154 (а, б); № 159-160 (а, б)

III - f '(g(x))) и график функции у = х. Воспользовавшись графиками, решите неравенство f '(x) < х (f '(x) > х) (для уровня II -f '(x)l < x (f '(x)l > x); для уровня III -f '(g(x)) < x (f '(g(x)) > x)). Ответ запишите в тетрадь. Проверьте правильность с помощью модели 2.19. Оцените свою работу: 1 балл -решено верно самостоятельно; 0,5 балла -решено верно с помощью модели 2.19.

5. Постройте с помощью Графера на одной координатной плоскости график функции f '(x) (для уровня II - f '(x)l; для уровня III - f '(g(x))) и график функции у = х + а при а = 0; ±0,1; ±0,2; ±0,3; ±0,4; ...

решения заданий из учебника № 255а, а также при выполнении заданий типа:

1. Составить уравнение касательной к графику функции в данной точке:

а) / (х) = 2х2 + 1/3х3; М (-3; 9);

х +1

б) / (х)= --; х0=2.

х -1

2. На графике функции / (х) найдите точку, в которой касательная к графику /(х) наклонена к оси абсцисс под углом 45°, если

/ (х) = V 2 х -1.

3. Прямая у = а - х является касательной к графику функции / (х) = 4/х. При каких значениях а это возможно?

Для иллюстрации задания 1 используется модель 3.2, для заданий 2-3 используется Графер.

Благодаря возможностям Графера, учитель может сам готовить графические иллюстрации для последующей работы с ними в классе, например, по графику функции у = /(х) с заданной касательной в точке с абсциссой х0 найти значение производной в точке х0 (см. рисунки 1; 2).

Анализируя задания ЕГЭ по теме «Функции и графики», можно сделать вывод, что там при выполнении заданий учащийся должен уметь применять в одних случаях аналитический метод решения, в других умение «читать» свойства функций, заданных своими графиками. Поэтому при проведении итогового повторения по теме «Функции и графики» важно строить уроки так, чтобы они способствовали развитию навыков чтения графиков и построе-

ния графиков функций, с использованием схемы исследования функций.

Рассмотрим один из вариантов проведения такого урока в компьютерном классе. Урок построен по методу взаимоконтроля партнеров.

При подготовке к уроку учителем готовятся карточки, разноуровневые по содержанию. Нечетные номера вариантов имеют в карточках первое задание на чтение графика, второе на исследование графика с помощью производной. Четные номера вариантов, наоборот, имеют первое задание на исследование функции и построение графика с помощью производной, второе задание на чтение графика. При этом обязательно среди четных и нечетных вариантов имеются пары, в которых функции заданы одинаковыми формулами. Например: вариант № 1 и вариант № 2 образуют пару.

Учащиеся, имеющие первые задания на чтение графика, садятся за компьютеры

Рисунок 2.

и, используя Графер в программе «Открытая Математика 2.5. Функции и Графики», строят график заданной функции и отвечают на вопросы по графику в соответствии со схемой исследования функции. При этом, если они затрудняются при ответе на вопросы, то могут рассмотреть задания на модели 1.9, почитать теорию в параграфах: 1.32-1.38. Выполнив первое задание полностью, ученик ищет в классе партнера -ученика, у которого задана та же функция, но задание выполняется обратное: сначала исследуется функция, затем строится график. Так как функции у партнеров одинаковые, то свойства функций и графики должны совпадать. Обмениваясь ответами, учащиеся проверяют свою работу. Если возникают вопросы, то они обращаются к учителю.

После проверки каждый выставляет в оценочный лист своему партнеру оценку по следующим критериям: «5» - все правильно, одна неточность; «4» - одна ошибка, два недочета; «3» - две-три ошибки; «2» - более трех ошибок.

Затем учащиеся переходят к второму заданию (схема работы аналогична).

На рисунке 3 приведены примеры карточек-заданий: I уровень - карточки № 1, 2, 7, 8; II уровень - карточки № 3, 4, 9, 10; III уровень - карточки № 5, 6, 11, 12.

По окончании урока каждый учащийся получает оценку. Все работают в индивидуальном темпе, в режиме самоконтроля, коррекции знаний, консультирования.

Применение аналитических способов решения совместно с компьютерным моделированием способствует усвоению изучаемого материала, так как при этом работают моторная и визуальная виды памяти.

Если у учителя нет возможности проведения такого урока в компьютерном классе, то, готовя карточки-задания, он включает туда графики функций, построенные с помощью компьютера, для чтения свойств этих функций. Тогда карточки имеют вид как на рисунке 4.

Для организации проектной и исследовательской деятельности учащихся Гра-фер дает новые возможности, а именно возможность построения графиков в полярных координатах и построения кривых, заданных параметрическими уравнениями. Учащимся можно предложить следующие задания:

1) построить в полярных координатах график функции r = а + sin 3j, исследовать изменения вида и свойств полученных графиков в зависимости от я;

2) построить в полярных координатах график функции r = а + sin(mj/n), исследовать изменения вида и свойств полученных графиков в зависимости от я и от значений m/n;

3) построить в декартовых координатах кривые, заданные параметрическими уравнениями: x = sin mí; y = sin (mí + k). Описать свойства полученных кривых.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Программа «Открытая Математика 2.5. Функции и Графики» дает возможность рассматривать сложный материал поэтапно, имеется возможность вернуться не только к текущему материалу, но и повторить предыдущую тему. При закреплении можно повторить материал, вызывающий затруднения у учащихся. Использование моделей способствует повышению интереса учащихся к изучаемой теме.

Обучение носит диалоговый характер, в который учитель в любой момент может внести необходимые коррективы. На занятии оптимально сочетаются индивидуальная, парная и групповая формы работы. Ученики находятся в состоянии психологического комфорта при общении с компьютером.

Карточка № 1.

1. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование

свойств функции по общей схеме: у =-.

х +1

2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = х3 - 4х2 + 3.

Карточка № 3.

1. С помощью компьютерной программы Гра-фер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = 0,5х2 - 0,2х5.

2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = (х - 1)>/х .

Карточка № 5.

1. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = sin x - cos x + x.

2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = (x2 - 1)2.

Карточка № 2.

1. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = х3 - 4х2 + 3.

2. Исследуйте функцию с помощью произ-

2 х - 3

водной и постройте ее график: у =-.

х+1

Карточка № 4.

1. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование

свойств функции по общей схеме: у = (х - 1)л/х .

2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: 0,5х2- 0,2х5.

Карточка № 6.

1. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = (x2 - 1)2.

2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: y = sin x - cos x + x.

Карточка № 7.

1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = х3 - 3х.

2. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование

свойств функции по общей схеме: у = 2 х +1 .

х-1

Карточка № 8.

1. Исследуйте функцию с помощью произ-

2х +1

водной и постройте ее график: у =-.

х-1

2. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = х3 - 3х.

Карточка № 9.

1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = х (х - 1)2.

2. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование

2 х

свойств функции по общей схеме: у = -

Ч1

Карточка № 11.

1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = 3х4 - 4х3 + 2.

2. С помощью компьютерной программы Гра-фер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = 2 sin x - cos 2x.

Карточка № 10.

1. Исследуйте функцию с помощью произ-

водной и постройте ее график: у = —— .

х +1

2. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = х (х - 1)2.

Карточка № 12.

1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = 2 sin x - cos 2x.

2. С помощью компьютерной программы Графер постройте график данной функции и, используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме: у = 3х4 - 4Х3 + 2.

Рисунок 3.

Карточка № 1.

1. Используя график, проведите исследова-

, г 2 х - 3 ние свойств функции по общей схеме: у =-.

х +1

2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: у = х3 - 4х2 + 3.

Карточка № 2.

1. Используя график, проведите исследование свойств функции по общей схеме:

у = х3 - 4х2 + 3. -

2. Исследуйте функцию с помощью произ-

2х - 3

водной и постройте ее график: у =-.

х+1

Рисунок 4.

Создание условий для внедрения новых информационных технологий обучения в систему образования школы способствует тому, что педагогический процесс развивает познавательные способности, активность и самостоятельность учащихся, повышает интерес к овладению научными знаниями и методами научно-познавательной деятельности.

Таким образом, внедрение компьютерного курса в учебный процесс рассматривается мною:

- как источник дополнительной информации по предмету,

- как способ самообразования учителя и учащихся,

- как возможность реализации лично-стно-ориентированного подхода в обучении.

Литература

1. .Ершова А.Я., ГолобороЗько В.В. Самостоятельные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. М.: Илекса, 2002. 173 с.

2. Мерзллк А.Г. и ¿р. Сборник задач и контрольных работ по алгебре и началам анализа для 10 класса. М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2002. 128 с.

3. ,&оллогоров А.Я. и ¿р. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов. М., 1999.

4. ДолорлЗ А.Я. Математические игры и развлечения. М.: Гос. изд. физ-мат. лит., 1961. С. 148-169.

© Наши авторы, 2004. Оиг аиШогс, 2004.

Адрова Ирина Анатольевна, учитель математики ГОУ средней общеобразовательной школы № 37 Западного округа г. Москвы1.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.