Применение комбинаторных и алгоритмических методов для реализации основных операций в группах подстановок Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

УДК 519.683.8

ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ И АЛГОРИТМИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ В ГРУППАХ ПОДСТАНОВОК*

А. А. Кузнецов, А. М. Кукарцев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 E-mail: alex_kuznetsov80@mail.ru, amkukarcev@mail.ru

Аппарат теории конечных групп является мощным исследовательским инструментом. Знаменитая теорема Кэли предоставляет возможность исследовать любую конечную группу как некоторую подгруппу группы подстановок. Такой подход содержит не только достоинства, но и недостатки. Подстановки являются вычислительно сложными объектами, так как велики по размеру, а сама группа имеет экспоненциальный порядок. Предлагается комплекс алгоритмов, которые позволяют производить такие вычислительно сложные операции, как композиция, инверсия, сопряжение, перечисление и рандомизация, в группе подстановок для проверки/отбраковки формулируемых гипотез целевой задачи. Описываются требования к инженерно-техническому решению, реализующему набор таких алгоритмов.

Ключевые слова: группа подстановок, теорема Кэли, системы счисления с неравномерным основанием, биективные отображения, алгоритмы перечисления, алгоритмы рандомизации.

THE APPLICATION OF COMBINATORIAL AND ALGORITHMIC TECHNIQUES FOR THE APPLICATION OF COMBINATORIAL AND ALGORITHMIC TECHNIQUES FOR IMPLEMENTATION OF MAJOR OPERATIONS IN PERMUTATION GROUPS

A. A. Kuznetsov, A. M. Kukartsev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: alex_kuznetsov80@mail.ru, amkukarcev@mail.ru

Apparatus of finite group theory is a powerful research tool. A famous theorem of Cayley gives possibility to investigate any finite group as a subgroup of the permutation group. This approach has not only advantages but also disadvantages. Permutations are computationally complex objects for calculation as they have large size and a group has an exponential order. A set of algorithms is proposed that allows computationally complex operations such as composition, inversion, conjugation, transfer and randomization in the group of permutations to verify / reject hypotheses formulated target. The requirements for engineering and technical solution are described that implements a set of algorithms.

Keywords: permutation group, theorem of Cayley numbering system with an uneven base, bijective mapping, enumerated algorithms, random algorithms.

Теорема Кэли [1] говорит о том, что всякая конечная группа является некоторой подгруппой группы подстановок. Исследование группы сводится в том числе к анализу её элементов, исследованию её внутренних и внешних автоморфизмов. Изоморфное вложение некоторой группы в подгруппу подстановок позволяет оперировать однородными объектами (все автоморфизмы в группе подстановок становятся внутренними [2]). Это удобно, потому что тогда для отбраковки/подтверждения гипотез можно воспользоваться вычислительными методами, в том числе перебором множества гипотез.

Переход в группу подстановок имеет и ряд своих недостатков. Во-первых, группа подстановок в общем случае не коммутативна. Во-вторых, даже вложение простых циклических групп (линейный порядок) приводит к тому, что изоморфный образ является подгруппой группы экспоненциального порядка.

В-третьих, сами подстановки имеют большой размер по отношению к размеру прообразов.

Таким образом, даже если для некоторой группы найдётся изоморфизм, то работать в таком образе вычислительно сложно.

Одним из инструментов для работы с группами подстановок является система компьютерной алгебры GAP (Groups, Algorithms, Programming). Для небольших порядков групп он эффективен. Но для групп большего размера вычисления требуют существенных временных затрат. Вторая проблема GAP - универсальность. То есть решение ориентировано на широкий класс задач и поэтому слабо допускает алгоритмическую оптимизацию некоторых (в рамках GAP группа подстановок - всего лишь одна из многих) объектов.

Отдельно стоит выделить проблему распределённых вычислений. Для таких вычислений некоторый «родительский» узел должен рассылать задания «дочерним» узлам.

*Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (проект Б 112/14).

Решетневскуе чтения. 2014

Откуда можно оценить минимально необходимый размер одного элемента группы подстановок в битах как nlogn!, где n - степень группы подстановок. В то же время верно утверждение, что необходимо и достаточно всего log n! бит на элемент группы. Разработка алгоритмов «упаковки» подстановок позволит снизить требования к пространственным ресурсам каналов связи между узлами вычислительного комплекса в n раз. Величина n может принимать значения десятки, сотни, тысячи и т. д. в зависимости от целевой задачи. В настоящей работе в качестве такого алгоритма предлагается перевод подстановки в числовое значение в позиционной системе счисления с неравномерным факториальным основанием. Временные характеристики алгоритмов, реализующих основные операции, можно улучшить за счёт применения самих свойств подстановок и перейти к так называемым полуторапроходным алгоритмам.

Целью работы является разработка алгоритмов вычисления операций в группе подстановок, оценка пространственно-временных характеристик данных алгоритмов, а также реализация в виде законченного инженерно-технического решения.

Требования, предъявляемые к такому решению, следующие. Оно должно быть представлено в виде системы функций и распространяться под лицензией GNU LGPL (GNU Lesser General Public License). Максимальный размер элемента группы подстановок 231.

Внешнее распределение требуемой памяти. Должны быть предусмотрены средства как пользовательского ввода-вывода, так и механизмы парсинга и се-риализации [3]. Библиотека должна быть написана на языке C + + в виде системы функций и макросов для архитектуры процессора IA-32. Должно быть кросс-платформенным и не использовать программный интерфейс Windows или POSIX подобных систем.

Библиографические ссылки

1. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. 2-е изд. М. : Наука, 1977. 204 с.

2. Супруненко Д. А. Группы подстановок. Минск : Навука i тэхшка, 1996. 366 с.

3. Бентли Дж. Жемчужины программирования. 2-е изд. СПб. : Питер, 2002. 272 с.

References

1. Kargapolov M. I., Merzljakov Ju. I. Osnovy teorii grupp. Izdanie vtoroe [Bases of group theory. Second edition]. Moscow, Nauka, 1977, 204 p. (In Russ.)

2. Suprunenko D. A. Gruppy podstanovok [Symmetric group]. Minsk, Navuka i tjehnika, 1996, 366 p. (In Russ.)

3. Bently J. Zhemchuzhiny programmirovanija. 2-e izdanie [Programming pearls. Second edition]. St. Petersburg, Piter, 2002, 272 p. (In Russ.)

© Кузнецов А. А., Кукарцев А. М., 2014

УДК 519.854.33

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ТОЧНОСТИ КЛАССИФИКАЦИИ ОТ СТЕПЕНИ ФОРМИРУЕМЫХ ПАТТЕРНОВ В МЕТОДЕ ЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ДАННЫХ

Р. И. Кузьмич

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: kuzrom88@mail.ru

Рассматривается влияние формируемых паттернов с заданной минимальной степенью на точность классификации в методе логического анализа данных. Экспериментальные исследования проводятся на задаче фибрилляция желудочков.

Ключевые слова: степень паттерна, покрытие, псевдобулевая оптимизация.

RESEARCH OF DEPENDENCE OF CLASSIFICATION ACCURACY ON THE FORMED PATTERN DEGREE IN THE METHOD OF LOGICAL ANALYSIS OF DATA

R. I. Kuzmich

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: kuzrom88@mail.ru

The influence of the patterns formed with a predetermined minimum degree of classification accuracy is considered. Experimental studies are carried out for the task of ventricular fibrillation.

Keywords: degree of pattern, coverage, pseudoboolean optimization.

Имеется выборка данных, состоящая из двух непересекающихся множеств О + и О- «-мерных векторов, принадлежащих, соответственно, положительному или отрицательному классу.

Компоненты вектора, называемые также признаками, могут быть как численными, номинальными, так и бинарными. Задача состоит в том, чтобы для нового наблюдения, являющегося также вектором п