CC BY
27ПРИМЕНЕНИЕ КЕЙС-МЕТОДА В ПРЕПОДАВАНИИ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ Куланов И.Б.1, Файзуллаев Ш.Э.2, Мардиев И.Р.3, Бурханова Ш.И.4
1Куланов Икром Бурхонович - преподаватель;
2Файзуллаев Шарофиддин Эркин угли - преподаватель;
3Мардиев Исломхон Рахматиллаевич - преподаватель, кафедра высшей математики, факультет химических технологий, Джизакский политехнический институт;
4Бурханова Шахзода Икром кизи - студент, факультет прикладной математики, Джизакский филиал Национальный университет Узбекистана, г. Джизак, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей статье рассматриваются особенности применения кейсов при обучении дискретной математике в высших учебных заведениях. Описываются различные типы и примеры кейсов. Для применения кейс-метода реализуются несколько этапов, в которых можно разделить деятельность учителя и студента. Приведен пример практического кейса по теме «Теория графов» с алгоритмом решения задачи и дано решение данного кейса. В заключительной части статьи говорится о пользе использования кейс-технологии в обучении. Ключевые слова: кейс-технология, практическое значение, решение проблемы, обучение, «Теория графов», дискретная математика.
УДК 37.02
В течение многих столетий главной целью образования считалось сообщение фактических знаний, используя которые можно было спокойно прожить всю жизнь. На современном этапе обучения этот принцип передачи знаний уже неэффективен. Главным, чему следует учить, становится умение осваивать и использовать новую информацию для решения стоящих перед человеком проблем. Профилизация старшей ступени общего образования направлена на создание условий для самостоятельной познавательной деятельности учащихся, их подготовку к успешной профессиональной жизни. Достижение этих результатов невозможно без широкого использования в учебном процессе современных педагогических технологий, в том числе проектных. Одной из популярных форм проектного обучения является кейс-технология (case study). Эта технология основана на анализе некоторого пакета материалов (кейса), описывающего проблемную ситуацию, выбора подходов к её решению и собственно решения. Важнейшим отличием кейс-технологии от классического проектного метода является выдача учащимся информации - не всегда структурированной, иногда даже избыточной, но, как правило, имеющей практическое значение. Кроме того, кейс-технология, как правило, предполагает коллективное решение проблемы - обычно в малых группах.
При применении кейс-метода реализуются несколько этапов, в которых можно разделить деятельность учителя и студента.
Работа студента с кейсом:
1 этап - знакомство с ситуацией, её особенностями;
2 этап - выделение основной проблемы;
3 этап - предложение концепций или тем для «мозгового штурма»;
4 этап - анализ последствий принятия того или иного решения;
5 этап - решение кейса - предложение одного или нескольких вариантов последовательности действий.
Действия учителя в кейс - технологии:
1) создание кейса или использование уже имеющегося;
2) распределение студентов по малым группам (4-6 человек);
3) знакомство учащихся с ситуацией, системой оценивания решений проблемы, сроками выполнения заданий организация работы учащихся в малых группах, определение докладчиков;
4) организация презентации решений в малых группах;
5) организация общей дискуссии;
6) обобщающее выступление учителя, его анализ ситуации;
7) оценивание учащихся учителем.
Приведем пример, используемых кейсов по дискретной математике, на различных этапах урока.
Пример (практический кейс) Тема: Теория графов
Постройте граф отношения «X + у < 7» на множестве М={1,2,3,4,5,6}. Определите его свойства.
Алгоритм решения задачи:
1. Построить граф G(X) c множеством вершин
2. Построить матрицу смежности (вершин).
3. Построить матрицу инциденций (ребер).
4. Построить матрицу расстояний.
5. Найти вектор удаленности d .
6. Найти радиус графа.
7. Найти диаметр графа.
8. Найти числа внутренней и внешней устойчивости графа. Решение:
1. Граф G(X) c множеством вершин X = {хг = /, г = 1,...,б}, причем две
, причем две
вершины -Л- г и X, соединяются ребром тогда и только тогда, когда
Xi + Xj < 7 . Поскольку отношение « X + у < 7 » симметрично, граф G(X) неориентированный (рис. 1).
Таблица 1. Матрица смежности
Х1 Хт Х3 Х5 X,
X, 1 1 1 1 1 1
х, 1 1 1 1 1 0
Х3 1 1 1 1 0 0
Х4 1 1 1 0 0 0
х3 1 1 0 0 0 0
х6 1 0 0 0 0 0
Здесь элемент А^ обозначает число ребер, идущих из вершины Xг в вершину
X, . Поскольку наш граф неориентированный, матрица смежности симметрична. 3. Построить матрицу инциденций (ребер)
Таблица 2. Матрица инциденций
& в? 83 84 85 & 8? §8 89 8Ю ¿11 812
X] 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0
х2 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0
Х3 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1
Х4 0 0 1 0 0 0 [ 0 [ 0 0 0
Х5 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
X, 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
Здесь элемент Rij равен 1, если вершина Xi инцидентна ребру gj и 0. 4. Построить матрицу расстояний.
Таблица 3. Матрица расстояний
XI Х3 х3 X., х5 X,
X, 0 1 1 1 ] ]
х2 1 0 1 1 1 2
Хз 1 1 0 1 2 2
х4 1 1 1 0 2 2
xí 1 1 2 2 0 2
X, 1 2 2 2 2 0
Здесь элемент А,, обозначает длину кратчайшего пути из вершины X г в
вершину X,. Поскольку граф неориентированный, матрица расстояний симметрична.
5. Найти вектор удаленности d , каждая компонента которого определяется как 4 = тах{4 (х, х )} (максимальное расстояние от вершины Л г до любой
другой вершины). Вектор удаленности
4 = (1,2,2,2,2,2).
Центром является вершина Xl, так ей соответствует наименьшая удаленность (1 = 4 ^ , j = 2,...,6)
6. Радиус графа G(X) - это удаленность центра, Г(G) = 1.
68
7. Диаметр графа G(X) - это удаленность периферийных вершин, Diam(G)=2.
8. Найти числа внутренней и внешней устойчивости графа. Наибольшее множество внутренней устойчивости для нашего графа имеет вид
S = {X4, X5, X6 } . Соответственно, число внутренней устойчивости графа
G( X) равно card(S)=3. Наименьшее множество внешней устойчивости для нашего
графа имеет вид T = {Xj} (так как любая другая вершина (не принадлежащая Т)
соединена с вершиной Xj из Т). Число внешней устойчивости графа G(X) равно card(T)=1.
Кейс-технология не является обязательной на каждый день и составляется на основе поурочного плана. Данную технологию лучше сочетать с другими технологиями обучения, на отдельных этапах урока: либо на изучении нового материала, как мотивационный момент, либо на закрепление и обобщении материла. В результате работы формируется вывод, что использование кейс-технологии: развивает мыслительную деятельность учащихся; формирует у учащихся умение высказывать свои мысли, ставить вопросы к тексту; способствует применению на практике полученных знаний; учит предлагать собственный (или групповой) взгляд на проблему. Способствует:
• активизации деятельности учащихся на уроках;
• развитию познавательной деятельности;
• лучшему запоминанию изученного материала;
• развитию коммуникативных действий.
Фиксируя свои пробелы, учащиеся в дальнейшем будут обращать внимание на исправление и корректировку своих знаний, умений и навыков [1-37].
Список литературы
1. Умарова У.Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трех-частичного модельного оператора // Учёные XXI века. 40:5-3 (2018). С. 14-15.
2. Умарова У.У. Обычные и квадратичные числовые образы 2х2-матриц. оператора // Учёные XXI века. 53:6-1 (2019). С. 25-26.
3. Умарова У.У. Роль современных интерактивных методов в обучении темы «Множество и операции над ними» // ВНО. 94:16-2 (2020). С. 21-24.
4. Умарова У.У.Использование педагогических технологий в дистанционном обучении moodle // Проблемы педагогики. 51:6 (2020). С. 31-34
5. Умарова У.У. Применение ТРИЗ технологии к теме «Нормальные формы для формул алгебры высказываний // Наука, техника и образование. 72:8 (2020). С. 32-36.
6. Расулов Х.Р. и др. Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики // Наука, техника и образование. 72:8 (2020). C. 29-32.
7. Расулов Х.Р. и др. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования. 97:19 (2020). C. 6-9.
8. Boboeva M.N., Rasulov T.H. The method of using problematic equation in teaching theory of matrix to students // Academy. 55:4 (2020). Pp. 68-71.
9. Rasulov T.H., Rashidov A.Sh. The usage of foreign experience in effective organization of teaching activities in Mathematics // International Journal of Scientific & Technology Research. 9:4 (2020). Pp. 3068-3071.
10.Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. Advantages and disadvantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics // Academy. 55:4 (2020). Pp. 65-68.
11. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Organizing educational activities based on interactive methods on mathematics subject // Journal of Global Research in Mathematical Archives, 6:10 (2019). Pp. 43-45.
12. Марданова Ф.Я. Рекомендации по организации самостоятельной работы в высших учебных заведениях // ВНО, 95:17 (2020), Часть 2. С. 83-86.
13. Бобоева М.Н. Проблемная образовательная технология в изучении систем линейных уравнений с многими неизвестными // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 48-51.
14. Тошева Н.А. Междисциплинарные связи в преподавании комплексного анализа // Вестник науки и образования. 94:16 (2020), часть 2. С. 29-32.
15. Хайитова ^/^Использование эвристического метода при объяснении темы «Непрерывные линейные операторы» по предмету «Функциональный анализ» // Вестник науки и образования. 94:16 (2020), часть 2. С. 25-28.
16. Расулов Т.Х. Инновационные технологии изучения темы линейные интегральные уравнения // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 74-76.
17. Расулов Т.Х., Нуриддинов Ж.З. Об одном методе решения линейных интегральных уравнений // Молодой учёный, 90:10 (2015). С. 16-20.
18. Курбонов /./.Преимущества компьютерных образовательных технологий в обучении теме скалярного произведения векторов // Вестник науки и образования. 94:16 (2020), часть 2. С. 33-36.
19. Ekincioglu I., Ikromov I.A. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). Pp. 257-264.
20. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1 (2016). Pp. 48-61.
21. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM, 5:2 (2016). Pp. 156-174.
22. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12 (2015). С. 168-184.
23. Muminov M.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1 (2014). Pp. 1-22.
24. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys., 56 (2015), 053507.
25. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5:5 (2014). Pp. 619-625.
26. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // ТМФ. 161:2 (2009). С. 164-175.
27. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сибирский математический журнал, 52:2 (2011). С. 400-415.
28. Muminov M.I, Rasulov T.H. The Faddeev equation and essential spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Funct. Anal. Topol., 17:1 (2011). Pp. 47-57.
29. Rasulov T.H. Investigations of the essential spectrum of a Hamiltonian in Fock space // Appl. Math. Inf. Sci. 4:3 (2010). Pp. 395-412.
30. Расулов Т.Х. Исследование существенного спектра одного матричного оператор // ТМФ, 164:1 (2010). С. 62-77.
31. Бахронов Б.И. О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением // Наука, техника и образование. 72:8 (2020). С. 13-16.
32. Бахронов Б.И. Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением // ВНО. 94:16 (2020). С. 9-13.
33. Bahronov B.I., Rasulov T.H. Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation // European science. 51:2 (2020). Pp. 15-18.
34. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным параметром // Наука, техника и образование. 77:2 (2021). С. 31-34.
35. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. Явный вид резольвенты обобщенной модели Фридрихса // Наука, техника и образование. 77:2-2 (2021). С. 39-43.
36.Хайитова Х., Ибодова С. Алгоритм исследования собственных значений модели Фридрихса // Наука, техника и образование. 77:2-2 (2021). С. 48-52.
37.Хайитова Х.Г. О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением // Наука, техника и образование. 72:8 (2020). С. 5-8.
