Применение итерационных методов к расчету обтекания тел стационарным потоком вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК517.9:532.5

ПРИМЕНЕНИЕ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ СТАЦИОНАРНЫМ ПОТОКОМ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

ЛАМТЮГОВА С.Н._

Рассматривается и обосновывается применение методов R-функций, последовательных приближений и Бубнова-Галёркина к расчету стационарного обтекания тел вращения и цилиндрических тел вязкой несжимаемой жидкостью.

Ключевые слова: вязкая жидкость, функция тока, метод ^-функций, метод последовательных приближений, метод Бубнова-Галёркина.

Key words: viscous fluid, stream function, the ^-functions method, the method of successive approximations, the Bubnov-Galerkin method.

Введение

Актуальность исследования. В последнее время математическое моделирование и численный анализ все активнее используются при изучении динамики вязкой жидкости. Необходимость моделировать вязкие течения возникает, например, в гидроаэродинамике, теплоэнергетике, химической кинетике, биомедицине и т.д. Описывающие их уравнения Навье-Стокса [1 -3] имеют существенные особенности - нелинейность и наличие малого параметра при старшей производной. Поэтому часто на предварительном этапе анализа ограничиваются линейным приближением. Полное пренебрежение нелинейными членами в системе уравнений Навье-Стокса приводит к системе уравнений Стокса [4, 5]. Однако для задачи двумерного поперечного обтекания цилиндра потоком неограниченной жидкости не существует решения уравнений Стокса (парадокс Стокса) [5, 6]. В этом случае используют линейную систему уравнений Озеена [5].

Если рассматриваемая задача обладает свойствами симметрии и может быть сведена к двумерной, то вместо компонент скоростей жидкости удобно ввести функцию тока [4, 6, 7]. Методы решения внешних задач для ур авнения относительно функции тока разработаны недостаточно, что объясняется высоким порядком этого уравнения, его нелинейностью и неограниченностью области, в которой уравнение рассматривается. На наш взгляд привлекательным является использование для решения этого класса задач проекционных методов, поскольку они дают приближенное решение в аналитическом виде, что облегчает дальнейшее применение функции тока для нахождения различных характеристик течения. При этом точно учесть геометрическую информацию, входящую в постановку задачи, позволит использование конструктивного аппарата теории Ä-функций акад. НАН Украины В.Л. Рвачева [8].

Метод ^-функций в задачах гидродинамики применялся в работах [9 - 13], но задачи внешнего обтекания тел вязкой жидкостью с использованием метода ^-функций не рассматривались, хотя они составляют важный класс прикладных задач. Поэтому разработка новых, а также совершенствование существующих методов математического моделирования и численного анализа стационарных задач обтекания тел вязкой несжимаемой жидкостью методом ^-функций является актуальной научной проблемой.

Эта работа опирается на применение метода ^-функций к расчету стационарных задач обтекания тел идеальной жидкостью [14].

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является разработка и обоснование нового метода численного анализа стационарных задач обтекания тел вращения и цилиндрических тел вязкой несжимаемой жидкостью. Этот метод основан на совместном применении метода последовательных приближений, структурного метода ^-функций и проекционного метода Бубнова-Галёркина.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- построить на основании методов теории ^-функций полную структуру решения краевых задач для функции тока;

- применить метод Бубнова-Галёркина для аппроксимации неопределенных компонент в структуре линейных задач;

- применить метод последовательных приближений и метод Бубнова-Галёркина для аппроксимации неопределенных компонент в структуре нелинейных задач;

- исследовать вопросы сходимости предложенных методов.

1. Описание области течения

Основная сложность при построении численного метода анализа в задачах обтекания связана с бесконечностью области, в которой рассматривается течение. Для построения вычислительного алгоритма, который бы позволил вести расчеты в конечной области, нам понадобится функция [14]

Mx

_ 11 - exp-,

fM(x) = ] X - M

1,

0 < x < M;

x > M (M = const > 0).

Легко проверить, что она удовлетворяет следующим условиям:

а) fM(0) = 0; в) fM (x) > 0 Vx > 0; Кроме того, fM (x) e C" [0, + <»).

б) fM (0) = 1;

г) fM(x) = 1 Vx > M.

Пусть Q - область течения, а дО - граница обтекаемого тела. Если с помощью конструктивного аппарата теории ^-функций построена достаточно гладкая функция ю такая, что ю = 0 - нормализованное уравнение дО, то функция юм = ^(ю) такова, что:

1) юм > 0 в q;

2) ю

м löQ

= 0-

дю

3) дП

= -1

5Q

где n - внешняя нормаль к dQ;

1 ду

r дф , ¥Ф=-~, =

ду

"дГ

vA2y + A (Ау) = 0 в Q ,

У

дй

= 0, ^у

дп

=0

дй

lim у-r 1 = sinф

Выбор такой замены обусловлен тем, что функция юМ У о удовлетворяет краевым условиям (2) и условию на бесконечности (3). Тогда функция и является решением задачи

V A2u + A(Au) =f в q:

=0,

I n ди

uLn = 0 , —

1дй ' дп

дй

4) юм = 1, если юм > М.

Обобщенные решения рассмотренных далее задач будем искать в классе р функций V, которые имеют обобщенные производные до второго порядка включительно и квадратично суммируемы вместе с производными по О, где О - любая конечная часть о ; на границе дО они удовлетворяют однородным краевым условиям соответствующих задач [15].

2. Метод численного анализа задачи расчета обтекания цилиндрического тела

Рассмотрим стационарное обтекание цилиндрического тела потоком вязкой несжимаемой жидкости в

цилиндрической системе координат (г, ф, z) [3, 4]. В

этом случае вектор скорости можно искать в виде

lim r-1 u = 0

(4)

(5)

(6)

где у = у (г, ф) - функция тока.

В линейном приближении (линеаризация Озеена) течение описывается следующей задачей для у :

(1)

(2)

(3)

где f = -V Д2(юМ Уо) - и„ А(Д(юМ Уо)). Заметим, что f = 0 в области {ю(г, ф) > М}.

Обобщенным решением задачи (4) - (6) назовем функцию и е F , удовлетворяющую для любой у е F интегральному тождеству

| (V Ди • Ду - Ди • Ау + V Д(юМ у0) • Ду -

о

- и„ Д(юМ Уо) • Ау)Ш = 0.

Обобщенное решение и найдем как предел при п ^ да решений ип уравнения (4), рассматриваемого в

Оп ={(х,у) еО| 0 <ю(х,у) < Мп } с О . Здесь {Мп } -

любая возрастающая неограниченная сверху последовательность. Таким образом, последовательность

областей {Оп } является монотонным исчерпыванием

бесконечной области о.

В областях Qn рассмотрим краевые задачи V A2un +UM A(AUn) =f в Qn,

u n lsn= 0:

^Un дп

= 0.

(7)

(8)

дй

здесь v - коэффициент вязкости; д - оператор

тт к>- dZ sinф 5Z dZ тт Лапласа; Aq = -cosф—+--ь—н- = —+; u^ - не-

dr r дф дх возмущенная скорость жидкости на бесконечности.

В задаче (1) - (3) сделаем замену У=юмУо+^

где у0 = U^, (r - R2r-1)sin ф - решение задачи об обтекании идеальной жидкостью кругового цилиндра радиуса R ; u - новая неизвестная функция.

причем un , следуя О.А. Ладыженской [16], продолжены нулем вне Qn.

Для решения задач (7) - (8) применим метод Бубнова-Галёркина [17]. Оператор этих краевых задач представим в виде B = vA0 + K, где A0 =Д2, K = А(Д). Оператор A0 будем рассматривать на множестве D0 с L2(Qn) функций u е C4(Qn) П C1(Qn), удовлетворяющих краевым условиям (8). На D0

введем скалярное произведение [u,v] =JДuДvdQ .

Q

Пополнив D0 в метрике, порожденной этим скалярным произведением, получим энергетическое про-

2 г 2 Применив первую формулу Грина, формулу Остро-

стРанств° Н0 с нормой ||и|0 = ] (Ди) Ш . Как сле- градского-Гаусса и учитывая краевые условия, полу-

Q.

n

дует из результатов работы [17] оператор A0 является

чим, что

(A(Aun),un)L2(Qn) = 0. Тогда

симметричным, положительно-определенным. II ц2 _ ч

VI |ип||о = ^п^^П).

Выберем координатную систему {фк}, подчинив ее „ т. „

к Применив неравенство Коши-Буняковского, нера-

следующим условиям: венство [16]

1) {Фк} 6 но;

2) УМ элементы ф1,..., фм - линейно независимы;

3) координатная система (фк } полна в Но .

||и || < С!|И|

Приближенное решение задач (7) - (8) согласно II П11о ^ 1^2(^п) .

методу Бубнова-Галёркина будем искать в виде

Hw|(Qn)" IAu!l2(ün )= Cl'К (12)

2 *

и неравенство Юнга, получим оценку

N

где cn,j, j = 1,...,N , - решение СЛАУ

Для построения координатной последовательности воспользуемся полной системой частных решений

un,N = Е cn,jфj (9) 2 Г1ОП

3=1 ' 4 ' уравнения д2и = о [19] и структурным методом

Л-функций [8].

Теорема 2 [2о, 21]. При любом выборе достаточно

N гладких функций Ф1 и Ф 2 (Ф1 • г-1 ^ о при г ^ )

ЕСп^Мфр+ и<»(Кфрфi)} = фi), (1о) краевым условиям (5) и условию на бесконечности 3 (6) точно удовлетворяет функция вида

ФО = —V | Д(юМУо)+ и = юМФ1 + ®М(1 "юм)Ф2. (13)

Пп

Аппроксимации неопределенных компонент Ф1 и Ф2 +• | Д(®МVо)• , 1 = 1^. структуры (13) будем искать в виде

Пп

Ш1 т2

В работе [ 17] было доказано, что оператор Ао имеет Ф1 ~ Фт1 = Е ак • фк , Ф2 ~ Ф2 2 = Е Р.1 • тj

дискретный спектр, а оператор А-1 вполне непрерывен в пространстве Ь2 (^п ). Тогда из результатов статьи С.Г. Михлина [18] следует, что оператор А-1К

вполне непрерывен в Но . Таким образом, справедли- г2-к coskф,r2-к sinkф, к = 3,4,...} ,

k=1 j=1 где

{фк (r, ф)} = {r-k cos кф, r-k sin кф; k = 1,2,...;

0

ва

Теорема 1. Галеркинские приближения un, N вида

{тj (r, ф)} = {cos2ф,sin2ф,rj cos jф,rj sin jф,

(9) при N ^ ж сходятся к обобщенному решению rj+2 Cos jф rj+2 sin jф j = 12 } . задач (7) - (8), которое определяется интегральным

тождеством Зададимся полной относительно всей плоскости пос-

ледовательностью функций

í (v Aun-Av-иж Aun • Av + v A(d>Mv0)'Av- 2

Qn (ф1 (r, ф)} = |®м(г, ф) Фk(r, ф),

- иж A(®M Vo)' Av) dQ = 0. (11) roM(r, ф) (1 - юм (r, ф))т](г, ф)}. (14)

^ и и Значения коэффициентов ak (k = 1,2,...,m>) и Pj

Оценим решение задач (7) - (8) в норме || • 110.

(j = 1,2,...,m2) в соответствии с методом Бубнова-Умножив (7) в L2 (Qn) на un ' получим Галёркина найдем из условия ортогональности невяз-

ки первым N (N = mj + m2) элементам последова-

2

vlKII0 =-иж (A(Aun),un)L2(Qn) + (f,un)L2(Qn). тельности (14). Это приводит к СЛАУ вида (10).

Последовательность {ип } является слабокомпактной в Н0 , значит, из неё можно выделить сходящуюся к

некоторой и* е Н0 подпоследовательность. Переходя по этой подпоследовательности к пределу в интегральном тождестве (11), получим, что и* является обобщенным решением задачи (4) - (6). Кроме того, из результатов работы [16] следует единственность решения линейной задачи (4) - (6), а значит, вся

последовательность {ип } сходится к и* .

Теорема 3. Функции ип при Мп ^да сходятся к единственному обобщенному решению задачи (4) -(6).

Рассмотрим теперь общую (нелинейную) задачу для У [7]:

vÄ2y = J(Ay, у) в Q ,

у

ÖQ

= о, ^У

dn

lim у-r 1 = sinф (17)

где J(Ay, у) - якобиан функций Ау и у .

Для решения поставленной задачи воспользуемся методами последовательных приближений, R-функций и Бубнова-Галёркина.

В задаче (15) - (17) сделаем замену у = u0 + u , где u - новая неизвестная функция, а u0 - решение задачи:

=0

(15)

(16)

SQ

V | ДиДу dQ = | J(u0 + и,у)Д(и0 + и^о + О О

+ида | Аи0Дуао . (24)

о

Обобщенное решение и задачи (21) - (23) найдем как предел при п ^ да решений ип уравнения (21), рассматриваемого в последовательности областей {Оп }, которая является монотонным исчерпыванием бесконечной области о.

Для решения задачи (21) - (23) в области Оп построим итерационный процесс последовательных приближений по нелинейности. Пусть начальное приближение ип0) задано. Если к -е приближение ипк) построено, то новое (к +1)-е приближение ипк+1) находим как решение линейной задачи

vA2u(k+1) = J(A(uo + иПк)),ио + иПк)) + +A(Auo) в Qn,

5uík+1)

,(k+1)

SQ

= 0

dn

= 0

(25)

(26)

SQ

продолженное нулем вне Qn .

Умножив уравнение (25) скалярно в L2(Оn) на и^к+1), используя свойство якобиана [22]: для любых

и,у е w е \¥2(О)

vA2u0 + U^A(Au0) = 0 в Q ,

du0

u0

SQ

= 0

lim r 1 u0 = sin ф

dn

= 0,

SQ

(18)

(19)

(20)

Задача (18) - (20) может быть решена с помощью метода, описанного выше.

Тогда для функции и получим краевую задачу с однородными краевыми условиями

vД2u = J(Д(u0 + и),и0 + и) + идаА(Ди0) в о , (21)

I n du

uL„ =0, — l5Q ' dn

= 0,

| J (и, у) wdxdy = | J (у, w) udxdy , (27)

о о

вторую формулу Грина для последнего слагаемого, получим:

,(к+1)

= ( J(u0 + unk),unk+1)), A(u0 + unk)))

+U^(Au0, Aunk+1)) L2(Qn).

L2(Qn)

(28)

(22)

5Q

Для оценки первого слагаемого в правой части (28) используем неравенство [22]

(J(u,vX Au)L2 (Qn;

á CNw2(Qn)IHIl2(Qn)HIL2(Qn)

lim r u = 0 .

(23)

Обобщенным решением задачи (21) - (23) назовём функцию и е F, удовлетворяющую для любой у е F интегральному тождеству

и,у е w2(Оn),

неравенство (12) и неравенство Юнга, второе слагаемое справа оценим, используя неравенство Коши-Буняковского и неравенство Юнга. В результате получим оценку

0

,(k+1)

2 8c2c4 i ,, 1.4 0 <~ l"u0«0 +

(k)

01 + !UM||u ||2

0 J+ v2 l|U0"0.

Пусть ||u01|0 < L0

(k)

< L

, тогда

,(k+1)

2 < ^(Lj + L0) + «^Ц.

V

Значит, условие ограниченности

V (k+1)

<L

выполнено, если

8c2c0 (T0 + T0) + 0U'c!2T2 < Т2

—2 (L0 + L) +-2—L0 < L , от-

куда

1

— <

2c^2c2c2(L°0 + L0) + U2 L20 .

5ulk+1)

SQ

= 0,

dn

= 0.

SQ

(j(u,v),w)L2 (Q)

< C0|^4Il2(Q)HIL2(Q)HwiIL2(Q)

1

— <

а

V 2c0(L0 + L)'

(30)

Тогда

5ulk+1) < а 5ulk) 0

8ul1)

u(k+P) - u(k)

*n "n

а k

<-Y

0 1 -а

будет

где y =

8ui1)

(31)

Поскольку а< 1, то

udk+p) - unk)

un un

^ 0 при k ^ 2, т.е. последователь-

ность {ипк)} является фундаментальной. В силу пол-2

ноты пространства W2(Qn) это означает, что после-(29) довательность {ипк)} сходится (с геометрической

Таким образом, при соответствующем выборе начального приближения ип0) и при выполнении условия (29) решение ипк+1) на каждом шаге итерационного процесса (25) - (26) ограничено в норме || • 110. Для доказательства сходимости последовательности ипк), к = 0,1,2,..., рассмотрим разности

5ипк+1) = ипк+1) - ипк). Они удовлетворяют уравнению vД25unk+1) = J(Д(uо + иПк)),и0 + иПк)) -

-J(Д(uо + иПк-1)),ио + иПк-1)) в °п, и краевым условиям

55и1к+1)

скоростью), т.е. существует функция иП е W-2(Qn) такая, что lim unk) = u( .

Устремив в неравенстве (31) p к 2, получим оценку для k -го приближения:

u* - uw

un un

аk

<-Y.

0 1 -а

(32)

Предельная функция ип является единственным обобщенным решением задачи (21) - (23) в ограниченной области оп, имеет место равенство

(J(u0 + un,unx ^u0 + un))

L2(Qn)

+U^ (Au0, Дun)L2(Qn)

и оценка

Для оценки 5ипк+1) по норме |)•)|о было использовано равенство

J(и1,у1) - J(и2,у2 ) = J(и1,у 1 -у2 ) + J(и1 - и2,у2 ) , свойство (27), неравенство [22]

2 8c2c1\ тд , 0U2 о2 2

(То + L) +

-0 .

(33)

Объединив условия (29) и (30) для 1/ V ~ Re, получим оценку

1/V <

u,v е w2(Q), w е L2(Q) и неравенство Юнга. Получено, что

Suik)

Пусть

5unk+1)

2С0 (L0 + L)

< ^(Ц, + L)

0 V

< а < 1

т.е.

< min <

а

2c

^2c2c2(L00 + L0) + U^L2' 2c0(L0 + L)

\(30)

Таким образом, имеет место

Теорема 4. Последовательные приближения, формируемые по схеме (25) - (26), сходятся при малых числах Рейнольдса к единственному обобщенному

0

V

u

V

решению иП 6 F задачи (21) - (23), рассматриваемой в ограниченной области , причем для к -го приближения оценка погрешности имеет вид (32). Условие малости формулируется в виде неравенства (34).

Структура решения краевой задачи (21) - (23) имеет вид (13). Неопределенные компоненты структуры аппроксимируем как и в линейной задаче. Итак, на

каждой итерации в области приближенное решение задачи (25) - (26) будем искать в виде

u(k+1) = L c(k+1)ф. Un,N = L cn,j ф , j=1

где c(k+1), j = 1,.. ,N , являются решением СЛАУ:

N

L cj v[ф j, ф1 ] = (f(k+1), ф1), i = Щ, (35) j=i

здесь

(f(k+1), ф) =

Вычислительный эксперимент [2о] показал, что в задачах обтекания кругового и эллиптического цилиндров последовательные приближения сходятся при Re < 1о. При реализации метода последовательных

приближений в качестве иПо) выбирались решения линейных задач, полученные в [2о].

3. Метод численного анализа задачи расчета обтекания тел вращения

Рассмотрим теперь стационарное обтекание тела вращения потоком вязкой несжимаемой жидкости в сферической системе координат (г, 6, ф) [3, 4]. В этом случае вектор скорости можно искать в виде

1

dy

r2 sin 0 de

, ve ="

1 dy

rsin0 dr ' ф

vФ = 0

где у = у (г, 6) - функция тока.

В линейном приближении (линеаризация Стокса) течение описывается следующей задачей для у [3, 4]:

E2y = 0 в Q .

= J [J(u0 + un(k),ф{)А(и0 + un(k)) + U„Au0Аф;]dQ

Отметим, что матрица системы (35) не изменяется от итерации к итерации, вычисляется лишь один раз на первой итерации, а затем на каждой итерации пересчи-

тывается лишь правая часть ^(к+1), ф;).

Из теорем сходимости метода Бубнова-Галёркина [17] и результатов для линейной задачи следует, что

(к)

при N ^ ж последовательность ^ N сходится к иПк), а иПк) при числах Рейнольдса, удовлетворяющих (34), сходится к иП , причем функция иП удовлетворяет интегральному тождеству (24), записанному для , и имеет место оценка (33).

Следуя работам О.А. Ладыженской [15, 16], из последовательности {и п } можно выделить сходящуюся

подпоследовательность {ипз} . Переходя к пределу при пз ^ ж в интегральном тождестве, определяющем решение ип3, получим, что предельная функция

и* удовлетворяет тождеству (24) при любой у 6 F , т.е. является обобщенным решением задачи (21) -

(23).

Теорема 5. Функции ип при Мп ^ж сходятся к обобщенному решению задачи (21) - (23).

4q = 0, ^

dn

= 0.

dQ

lim y-r 2 =1 иж sin2 0 ,

(36)

(37)

(38)

r^+ж 2

а общая (нелинейная) задача для y имеет вид [5 - 7]

v E2y = By в Q ,

= 0.

ш

= 0 ^

dn

dQ

lim y • r 2 =1 иж sin2 0 .

r^+ж 2

(39)

(40)

(41)

Здесь V - коэффициент вязкости, иж - невозмущенная скорость жидкости на бесконечности,

^ d y sin 0 d f 1 dy Ey = —+ 1

By = -

dr2 r2 д0 l sin 0d0)' 1 f dy dEy dy dEy] +

r2sin 0 l d0 dr dr d0 )

+T^" í 2 ctg 0 £ - "d|] Ey .

r2 sin 0 l dr r d0 )

Исследование разрешимости задач (36) - (38) и (39) - (41), а также исследование применимости методов ^-функций, последовательных приближений и Буб-нова-Галёркина проводится по аналогичным п. 2 схемам.

В линейной задаче (36) - (38) делаем замену

vr =

П

у = юмУо + и ,

где уо = о,25иж (г - R)2(2 + Rr-1)sin2 6 - решение Стокса для задачи про обтекание сферы радиуса R , и - новая неизвестная функция.

Тогда линейная задача в ограниченной области имеет вид:

E2u п = f в Qn, I = 0 ^

п I5Q

-*п

dn

= 0,

(42)

(43)

SQ

где f = -Е2 (юМ Уо), ип продолжены нулем вне .

Для решения задачи (42) - (43) также имеет место теорема о сходимости галёркинских приближений и справедлива оценка

*п1 ю

- C11 f II

'МПп)-

Для нелинейной задачи (39) - (41) делаем замену у = ио + и , где и - новая неизвестная функция, а ио - решение задачи:

Е2ио = о в о ,

дио

u0

5Q

= 0

dn

lim r 2 u0 =1sin2 8 .

r^+м 2

Тогда получим нелинейную задачу в ограниченной области

= 0

SQ

V E2u = B(u0 + u) в Qn ,

du

uL-, = 0 , "T"

Ш ' dn

= 0

SQ

(44)

(45)

Итерационный процесс решения задачи (44), (45) строится аналогично схеме (25), (26). Имеет место теорема о сходимости последовательных приближений при малых числах Рейнольдса в конечной области

. Условие малости числа Рейнольдса имеет вид

1 .1 L — < min —. —-,

V I 2^c0 + 4^(1 + C2C1XL2 + L2)

4(1 + С2С1)(Ьо + Ь)^ + 2с3с4 ) .

Структура решения задач (36) - (38) и (39) - (41) также дается формулой (13). Неопределенные компоненты аппроксимируются функциями, построенными

на основании полной системы частных решений уравнения e2U = 0 [4, 23].

Вычислительный эксперимент показал, что в задачах обтекания сферы и эллипсоида вращения последовательные приближения сходятся при Re < 10. При реализации метода последовательных приближений в

качестве un0) выбирались решения линейных задач,

полученные в [23].

Выводы

Впервые предложен и обоснован численный метод расчета стационарного обтекания тел вращения и цилиндрических тел вязкой несжимаемой жидкостью, основанный на совместном применении методов последовательных приближений, R-функций и Галёрки-на. Он отличается от известных методов универсальностью (алгоритм не изменяется при изменении геометрии области) и тем, что структура решения точно учитывает все краевые условия задачи, в том числе и условие на бесконечности. Разработанный метод позволяет проводить математическое моделирование разных технологических и физико -механических процессов. Следует также отметить, что благодаря использованию структуры (13) получаемые приближенные решения un определены и вне Qn, причем на бесконечности выходят на асимптотику, которая входит в постановку задачи.

Сказанное выше определяет научную новизну и практическую значимость полученных результатов.

Литература: 1. Ламб Г. Гидродинамика. М.: РХД, 2003. Т. 1. 452 с.; Т. 2. 452 с. 2. Ландау Л.Ф., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2003. 736 с. 3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с. 4. Кутепов А.М., Полянин А.Д., Запрянов З.Д., Вязьмин А.В., Казенин Д.А. Химическая гидродинамика. М.: Квантум, 1996. 336 с. 5. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976. 630 с. 6. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течения вязкой жидкости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 200 с. 7. Полянин А.Д., ЗайцевВ.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М.: Физматлит, 2002. 432 с. 8. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 9. Колосова С.В. Применение проекционных методов и метода R-функций к решению краевых задач в бесконечных областях. Дисс. ... к.ф.-м.н.: 01.01.07 Вычислительная математика. Харьков: ХИРЭ, 1972. 85 с.

10. Колосова С.В., Сидоров М.В. Применение метода R-функций к расчету плоских течений вязкой жидкости // Вюн. ХНУ. Сер. Прикл. матем. i мех. 2003. .№ 602. С. 61-67.

11. Суворова И.Г. Компьютерное моделирование осе-симметричных течений жидкости в каналах сложной формы // Вестн. НТУ ХПИ. Харьков, 2004. №> 31. С. 141-148.

12. Тевяшев А.Д., Гибкина Н.В., Сидоров М.В. Об одном подходе к математическому моделированию плоских стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости в конечных односвязных областях // Радиоэлектроника и информатика. 2007. N° 2. С. 50-57. 13. Максименко-Шейко К.В. Математическое моделирование теплообмена при движении жидкости по каналам с винтовым типом сим-

а

метрии методом ^-функций // Доп. НАН Укра!ни. 2005. № 9. С. 01-06. 14. Стрельченко А.Й., Колосова С.В., Рвачо-в В.Л. Про один метод розв'язування крайових задач // Доп. АН УРСР, сер. А. № 9. 1972. С. 837-839. 15. Киселев А.А., Ладыженская О.А. О решении линеаризованных уравнений плоского нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости // ДАН СССР. 1950. Т. XCV, № 6. С. 1161-1160. 16. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с. 17.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с. 18. Михлин С.Г. Некоторые достаточные условия сходимости метода Галеркина // Уч. зап. ЛГУ. Сер. мат. н. 1950. Вып. 21, № 135. С. 3-23. 19. ПолянинА.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физмат-лит, 2001. 576 с. 20. Ламтюгова С.Н., СидоровМ.В. Математическое моделирование задач обтекания в цилиндрической системе координат // Вюник ХНУ 1м. В.Н. Каразша. Сер. Математичне моделювання. 1нформацшш технологи. Автоматизоваш системи управлшня. 2010. №1105, Вип. 20. С. 111-121. 21. Lamtyugova S.N., Sidorov M.V.

Numerical analysis of the problem of flow past a cylindrical body applying the R-functions method and the Galerkin method // Econtechmod. 2014. Vol. 3, No. 3. P. 43-50. 22. Chueshov I., Duan J., Schmalfuss B. Probabilistic dynamics of two-layer geophysical flows // Stochastics and dynamics. 2001. Vol. 1, No. 4. P. 451-475. 23. LamtyugovaS.N., Sidorov M.V. Numerical analysis of the external slow flows of a viscous fluid using the R-function method // Journal of Engineering Mathematics, 2015. V. 91, No. 1. P. 59-79. (DOI: 10.1007/s10665-014-9746-x).

Поступила в редколлегию 15.06.2015

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Ламтюгова Светлана Николаевна, аспирантка каф. прикладной математики ХНУРЭ, ассистент каф. высшей математики ХНУГХ им. А.Н. Бекетова. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы, математическая физика, теория ^-функций и её приложения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. +38 (057) 7021436.