Научная статья на тему 'Об одном методе численного анализа вязких течений, усложненных массообменом (задача обтекания)'

Об одном методе численного анализа вязких течений, усложненных массообменом (задача обтекания) Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
108
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Колосова Светлана Васильевна, Ламтюгова Светлана Николаевна, Сидоров Максим Викторович

Рассматривается применение методов R-функций, последовательных приближений и Галеркина к расчету задач внешнего обтекания тел вязкой несжимаемой жидкостью, усложненных массообменом.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On one method of numerical analysis of viscous flows, complicated with the mass transfer (flow problem)

The steady problem of mass transfer of the body of revolution with viscous incompressible fluid is considered. A numerical method for its solution, based on the joint use of the R-functions method, the successive approximations method and the Galerkin method, is proposed. The solution structure, that completely satisfies the boundary conditions of the problem, including the condition at infinity, is constructed. The results of numerical experiment are presented.

Текст научной работы на тему «Об одном методе численного анализа вязких течений, усложненных массообменом (задача обтекания)»

СИСТЕМЫ II

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.9:532.5

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ, УСЛОЖНЕННЫХ МАССООБМЕНОМ (ЗАДАЧА ОБТЕКАНИЯ)

КОЛОСОВА С.В., ЛАМТЮГОВА С.Н.,

СИДОРОВ М.В.______________________________

Рассматривается применение методов R-функций, последовательных приближений и Галеркина к расчету задач внешнего обтекания тел вязкой несжимаемой жидкостью, усложненных массообменом.

1. Введение

Актуальность исследования. Задачи расчета вязких течений, усложненных массообменом, применяются в теплоэнергетике, химической и пищевой технологиях, гео- и астрофизических исследованиях, охране окружающей среды. Так, многие процессы химической технологии связаны с движением жидкости в технологическом оборудовании. При подготовке реагентов и выделении продуктов реакции такие операции, как выщелачивание, абсорбция, экстракция и перегонка, играют важную роль. Законы гидродинамики, тепло- и массопередачи существенны для всего технологического процесса. Процессы тепло- и массообмена также являются одними из основных в энергетике, а также в целом ряде технологических процессов металлургической и других отраслей промышленности. Кроме того, задачи массообмена тел с равномерным вязким потоком лежат в основе расчета многих технологических процессов, связанных с растворением, экстракцией, испарением, осаждением коллоидов [1].

В общем случае задача о стационарном массообмене тела вращения с потоком вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению уравнения гидродинамического обтекания поверхности и уравнения для концентрации с соответствующими краевыми условиями на поверхности тела и вдали от него. Точно учесть геометрию области, а также краевые условия (в том числе и условие на бесконечности) можно, воспользовавшись конструктивным аппаратом теории R-функций акад. НАН Украины В.Л. Рвачева [2].

Метод R-функций в задачах гидродинамики использовался в работах [3-8], но рассматривались задачи расчета течений идеальной жидкости [3] или же вязкой в ограниченных областях [4-7], или при наличии винтовой симметрии [8].

Метод R-функций для задач внешнего обтекания тел вязкой жидкостью использовался в работах [9,10], но задачи внешнего обтекания тел вязкой жидкостью, усложненные массообменом, с исполь-

зованием метода R-функций не рассматривались, хотя они составляют важный класс прикладных задач. Поэтому разработка новых, а также совершенствование существующих методов математического моделирования и численного анализа внешних стационарных задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости с учетом массообмена методом R-функций является актуальной научной проблемой.

Эта работа опирается на метод R-функций акад. В.Л. Рвачева [2] и его применение к расчету стационарных течений жидкости в бесконечных односвязных областях сложной геометрии [11].

Цели и задачи исследования. Целью данного исследования является разработка нового метода численного анализа задачи массообмена тела вращения с равномерным поступательным потоком. Этот метод основан на совместном применении метода последовательных приближений, структурного метода R-функций и проекционного метода Галеркина. В данной работе не обсуждается степень строгости, условия применимости использованных уравнений движения жидкости, они рассматриваются как математические модели, подлежащие численной алгоритмизации.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- на основании методов теории R-функций построить полную структуру решения нелинейной краевой задачи для функции тока;

- заменить исходную нелинейную задачу последовательностью линейных краевых задач;

- для решения линейных задач на каждом шаге итерационного процесса разработать численный алгоритм на основании метода Галеркина;

- на основании методов теории R-функций построить полную структуру решения линейной краевой задачи для концентрации;

- для решения линейной задачи для концентрации разработать численный алгоритм на основании метода Галеркина.

2. Постановка задачи

Рассмотрим массообмен тела вращения с потоком вязкой несжимаемой жидкости. Считаем, что в пространстве введена декартова система координат (x, y, z ), а обтекаемое тело образовано вращением вокруг оси Oz фигуры Q, лежащей в плоскости Oxz (фигура Q односвязная, конечная и симметричная относительно оси Oz ). Кроме того, предположим, что поток жидкости равномерный, его скорость равна U^ вдали от тела и он сонаправлен с осью Ox . Такие течения удобно рассматривать в сферической системе координат. В осесимметричных задачах в сферической системе координат r, 0, ф все величины не зависят от координаты ф и третья компонента скорости жидкости равна нулю: Vф = 0. Тогда остальные две

компоненты скорости жидкости можно представить в виде [1, 12]

1 ду 1 Эу

V =_2------ve=--------—й

г2 sin ЄоЄ rsine дг

(1)

где у = w(r, Є) - функция тока.

Процесс массопереноса описывается уравнением для концентрации [1]

Ac = Pe(V -V)c, (2)

здесь c = c(r, Є) - концентрация; Pe - число Пекле - безразмерный параметр, характеризующий меру отношения конвективного переноса растворенного в жидкости вещества к диффузионному переносу,

1 д ( 2 dc I 1 д ( . Qdc I

——I г2— I + —------1 sin e— I

2 дг 1 дг) г2 sin еде 1 де)

(V -V)c = vг

дc ve дc

эТ+Т зё.

Подставив (1) в (2), для концентрации c = c(^ Є)

получим следующую задачу: Pe (ду dc ду dc г2 sin Є V де дг дг де

Ac = -

cl дО = c0,

вне О, (3)

(4)

c ^ 0 при г , (5)

где co - заданная концентрация на границе дО обтекаемого тела.

Функцию тока у(г, е) можно найти, например, как решение следующей нелинейной задачи обтекания тела вязкой несжимаемой жидкостью [13]:

v Б2у = -

1

ду дБу ду дБу г2 sin е І де дг дг де

1

2 12-е?-2Іде IБ¥ вне ° :

г2 sin е 1 дг г де .

у1эо= 0' Щ

=0,

(6)

(7)

дО

у ~ -2-U„ г2 sin2 е при г ^^, (8)

д2у sin е д ( 1 ду

■) , Б2у = Б(Б¥),

„у sin

где Бу = —+—- .

дг2 г2 де 1 sin е де

n - внешняя к дО нормаль; v = Re-1; Re - число Рейнольдса.

Итак, решение задачи (3) - (5) состоит из двух этапов:

1) нахождение функции тока как решения задачи (6) - (8);

2) решение задачи (3) - (5) для концентрации.

Для решения поставленных задач воспользуемся методом R-функций акад. НАН Украины В.Л. Рва-чева [2]: с помощью конструктивных средств теории R-функций построим структуры решения краевых задач, т.е. пучки функций, точно удовлетворяющих краевым условиям.

3. Метод решения задачи для функции тока

Пусть вне О известна достаточно гладкая функция ю (г, е), обладающая следующими свойствами:

1) ю (г, е) > 0 вне О ;

2) ю (г, е) = 0 на дО;

дю (г, е) л

3) ------= -1 на дО,

дп

где n - вектор внешней нормали к дО .

Введем в рассмотрение достаточно гладкую функцию y = fM (x) [11], удовлетворяющую следующим условиям:

а) fM (0) = 0 ;

б) fM (0) = 1;

в) fM (x) > 0 Vx > 0;

г) fM (x) = 1 Vx > M (M = const > 0).

Условиям а) - г) удовлетворяет, например, функция

Mx

fM(x) =

1 - exp

1,

x - M

0 < x < M;

x > M.

Ясно, что такая fM (x) є C~ [0, + ^).

Обозначим

юм(г, е) = fMNr, е)]. (9)

Функция е) удовлетворяет условиям 1) - 3).

Кроме того, o>M (г, е) = 1, если ю(г, е) > M. Это условие означает, что если функция ю(г, е) монотонно возрастает при удалении от дО, то функция o>M (г, е) вида (9) отлична от единицы лишь в некоторой кольцеобразной области {0 <ю(г, е) <M} ,

содержащейся во внешности О и прилегающей к дО .

В работе [9] показано, что при любом выборе достаточно гладких функций Ф1 и Ф2 (Ф1 • г-2 ^ 0 при г ^ +оо ) краевым условиям (7) и условию на бесконечности (8) точно удовлетворяет функция вида

¥ = ^(¥0 +Ф1) + юЛ!(1 -юM)Ф2, (10)

1 2 ( RI 2

где у0 = — U^ (г - R) I 2 +— I sin е - решение Сто-4 1 г)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

кса для задачи обтекания сферы радиуса R (считаем, что сфера радиуса R целиком лежит внутри обтекаемого тела О).

Для решения задачи (6) - (8) воспользуемся методом последовательных приближений. Пусть начальное приближение у(0) задано. В качестве начального приближения у(0) можно взять, например, решение соответствующей линеаризованной задачи (приближение Стокса) [10].

Если i -е приближение у(і) построено, то новое (i +1) -е приближение у (l+^ линейной задачи:

2 (і+1) _ 1 (Эу(1; ЭБу1; Эу1; ЭБу^

v Б2 у1

находим как решение

r2 sin 0

Э8 Эг Эг Э0

r2 sin 0

2ctg0

Эу(i) 2 Эу1

(i) 'ї

V

у

У

(i+1)

(i+1)

_ 0

Эг r Э0

Эу(1+1)

Бу(і) вне Q , (11)

Эп

_0

Э^

- -2и„ r2 sin2 0 при r ^ <

(12)

(13)

В соответствии с (10) структура решения задачи (11) - (13) имеет вид

у(і+1) _ юМФ(і+1) + юМ(1 -Юм)Ф21+1) •

Для аппроксимации неопределенных компонент Ф(і+1) и ф21+1) воспользуемся методом Галеркина [14].

Известно [12, 15], что общее решение уравнения Б2у _ 0 при отсутствии в физической постановке сингулярностей может быть записано в виде

у (r, 0) _ X (An rn + Bn r1-n + Cn r

n _2

+Dn r3-n) Jn (cos 0),

n+2

(14)

где An , Bn , Cn , Dn - произвольные постоянные; Jn (Z) - функции Гегенбауэра первого рода. Представлением (14) воспользуемся для выбора координатных последовательностей.

Для аппроксимации неопределенной компоненты Ф(і+1) воспользуемся функциями системы

{r-1J2(cos 0), r-1J4(cos0), r-2 J3(cos0), r-2 J5 (cos0),

r-n Jn+1 (cos0), r-n Jn+3(cos0),...}, (15)

а для аппроксимации неопределенной компоненты ф21+1) воспользуемся функциями системы

{j3(cos0),r J2(cos0),r2 J2(cos0),r4 J2(cos0), r3 J3(cos0),

r5 J3

J3(cos0),rn Jn(cos0), rn+2 Jn(cos0), ..} . (16) Итак, функции Ф(і+1) и Ф^і+1) представим в виде

ф

(і+1) „ Ф11+1) _ 2 anl+1)Tn ,

1 1,mi n n ’

1 n_1

+2

ф21+1) « ф2і+1) _ 2 a(l+1) Tn+m. ,

2 2,m2 ^ n+m1 n+m1 ’

n_1

где І1, t+1 - первые m1 функций системы (15),

а T+1+1 , Xm1+m2 - первые m2 функций системы

(16).

Тогда

N

у(і+1) = у(І+1) _ юМуо + 2 ani+1)9n , (17)

n _1

где N _ m1 + m2,

Ф1 _ЮМ т1, 9m1 _юМ Tm1,

Фі1+1 _ ЮМ (1 -ЮМ)Tm1+1 ;

ФN _ЮМ (1 -ЮМ) Tm1+m2 .

Таким образом, построенные функции фп образуют координатную последовательность.

Коэффициенты a1l+1), aN+^ найдем из условия

ортогональности невязки, полученной после подстановки функции (17) в уравнение (11), к системе функций

{юМ (r, 0)r1-kJk (cos 0),k _ 2,3,...; юМ (r, 0)r3-kJk(cos 0),k _ 4,5,...; юМ (r, 0)rJ2 (cos 0), юМ (r, 0)J3 (cos 0),

юМ(r,0)rjJj(cos0), юМ(r,0)rj+2Jj(cos0), j _ 2,3,...}.

Это приводит к необходимости решения системы линейных уравнений относительно a1+1), a((N+1).

Итерации

у(і+1) -у(і)

следует прекратить,

< є , где є > 0 - малое число.

когда

4. Метод решения задачи для концентрации

Подставив найденную функцию тока в уравнение (3), решим задачу (3) - (5) также методом R-функций.

Нами доказана следующая теорема.

Теорема. При любом выборе достаточно гладких функций У1 и У2 (У1 ^ 0 при r ^ +°°) краевым условиям (4) и (5) точно удовлетворяет функция вида

c _ co (1 -юМ) + юМ У1 + ®М(1 -юМ)У2 .

Для аппроксимации неопределенных компонент У1 и У 2 также воспользуемся методом Галеркина [14].

Для аппроксимации неопределенной компоненты У1 воспользуемся функциями полной системы частных решений уравнения Лапласа относительно области {ю(г, 0) > 0} :

{rn pm (cos 0), m _ 0,1,2,..n, n _ 0,1,2,...} , (18)

а для аппроксимации неопределенной компоненты У2 воспользуемся функциями полной системы

частных решений уравнения Лапласа относительно области {ю(г, 0) < M} :

{r-n-1 Pnm(cos 0),m = 0,1,2,...,n,n = 0,1,2,...}, (19)

где P™(cos 0) - присоединенные функции Лежандра. Итак, функции ¥1 и ¥ 2 представим в виде

m3

¥1 »¥1,m3 = Z PkYk,

k=1

m4

¥2 “ ¥ 2,m4 = Z Pk+m3 Yk+m3 ,

k=1

где Y1, ..., Ym3 - первые m3 функций системы (18), а Ym3+1, •••, Ym3+m4 - первые m4 функций системы (19).

Тогда

K

c “ cK = c0 (1 -®M )+ Z PkФk 5 (20)

k=1

где K = m3 + m4,

Рис. 1. Линии концентрации для сферы для Re = 0 и Pe = 0

ф1 = ®M И —5 Фm3 = ®M Ym3 >

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Фm3 +1 = ®M (1 -им) Ym3 +1 > фК =®M(1 -fflM)Ym3 +m4 ■

Коэффициенты P1, ..., Pk найдем из условия ортогональности невязки, полученной после подстановки функции (20) в уравнение (3), к первым m3 функциям системы (18) и к первым m4 функциям системы (19).

Это приводит к необходимости решения системы линейных уравнений относительно Р1, ..., Рк .

Таким образом, мы получим приближенное решение задачи (3) - (5).

5. Вычислительный эксперимент Вычислительный эксперимент был проведен для задачи обтекания сферы x2 + y2 + z2 = 1 и эллипсои-2 2 2

x2 + y2 z2 , , .. .

да вращения --^—+ — = 1 при c0 = 1, M=5, раз-

a2 b2

ных числах Рейнольдса и Пекле. На рис. 1 - 6 приведены линии концентрации для сферы, на рис. 7 - 12 -для эллипсоида вращения.

Рис. 2. Линии концентрации для сферы для Re = 0 и Pe = 10

Рис. 3. Линии концентрации для сферы для Re = 0 и Pe = 20

Рис. 4. Линии концентрации для сферы для Re = 25 и Pe = 0

Рис. 5. Линии концентрации для сферы для Re = 25 и Pe = 10

Рис. 7. Линии концентрации для эллипсоида для Re = 0 и Pe = 0

Рис. 9. Линии концентрации для эллипсоида для Re = 0 и Ре = 20

Рис. 11. Линии концентрации для эллипсоида для Re = 30 и Pe = 10

Рис. 6. Линии концентрации для сферы для Re = 25 и Pe = 20

г

Є -4 -2 246

Рис. 8. Линии концентрации для эллипсоида для Re = 0 и Pe = 10

Рис. 10. Линии концентрации для эллипсоида для Re = 30 и Pe = 0

Рис. 12. Линии концентрации для эллипсоида для Re = 30 и Pe = 20

Выводы

Впервые предложен численный метод расчета массообмена тела вращения с равномерным поступательным потоком, основанный на совместном применении методов последовательных приближений, R-функций и Галеркина, который отличается от известных методов универсальностью (алгоритм не изменяется при изменении геометрии области) и тем, что структура решения точно учитывает все краевые условия задачи, в том числе и условие на бесконечности. Разработанный метод позволяет проводить математическое моделирование разных технологических и физико-механических процессов.

Сказанное выше и определяет научную новизну и практическую значимость полученных результатов.

Литература: 1. Кутепов А.М., Полянин А.Д., Запрянов З.Д., Вязьмин А.В., Казенин Д.А. Химическая гидродинамика: Спр. пос. М.: Квантум, 1996. 336 с. 2. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 3. Колосова С.В. Применение проекционных методов и метода R-функций к решению краевых задач в бесконечных областях. Дисс. ... канд.физ.-мат.наук: 01.01.07 Вычислительная математика. Харьков: ХИРЭ, 1972. 85 с. 4. Колосова С.В., Сидоров М.В. Применение метода R-функций к расчету плоских течений вязкой жидкости // Вісн. ХНУ. Сер. Прикл. матем. і мех. 2003. № 602. С. 61 - 67.

5. Суворова И.Г. Компьютерное моделирование осесимметричных течений жидкости в каналах сложной формы // Вестн. НТУ ХПИ. Харьков, 2004. № 31. С. 141 - 148. 6. Тевяшев А.Д., Гибкина Н.В., Сидоров М.В. Об одном подходе к математическому моделированию плоских стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости в конечных односвязных областях // Радиоэлектроника и информатика. 2007. № 2. С. 50 - 57. 7. Суворова И.Г., Кравченко О.В., Баранов И.А. Математическое и компьютерное моделирование осесимметричных течений вязкой несжимаемой жидкости с использованием метода R-функций // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2011. 54, № 2. С. 139 - 149. 8. Максименко-Шейко К.В. Математическое моделирование теплообмена при движении жидкости по каналам с винтовым типом симметрии методом R-функций // Доп. НАН України. 2005. № 9. С. 41 - 46. 9. Ламтюгова С.М., Сидоров М.В. Застосування методу R-функцій до розрахунку зовнішніх повільних течій в’язкої рідини // Відбір та обробка інформації. 2012. № 36 (112) С. 56 - 62. 10. Ламтюгова С.Н. Математическое моделирование линеаризованных задач обтекания в сферической и цилиндрической системах координат // Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-математичні науки. 2012. №1. С. 112 - 122. 11. Стрельченко А.Й., Колосова С.В., Рвачов В.Л. Про один метод розв’ язування крайових задач // Доп. АН УРСР, сер. А. 1972. № 9. С. 837 - 839. 12. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976. 630 с. 13. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 432 с. 14. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 420 с. 15. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 576 с.

Поступила в редколлегию 14.03.2014 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Колосова Светлана Васильевна, канд. физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы математической физики. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Ламтюгова Светлана Николаевна, аспирантка каф. прикладной математики ХНУРЭ, ассистентка каф. высшей математики ХНУГХ им. А.Н. Бекетова. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы, математическая физика, теория R-функций и её приложения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Сидоров Максим Викторович, канд. физ.-мат. наук, доц. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы, математическая физика, теория R-функций и её приложения, стохастический анализ и его приложения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.