Применение характеристических функций для асимптотического исследования сетей связи со статическими протоколами случайного множественного доступа Текст научной статьи по специальности «Математика»

С.А. Цой

ПРИМЕНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ СЕТЕЙ СВЯЗИ СО СТАТИЧЕСКИМИ ПРОТОКОЛАМИ СЛУЧАЙНОГО МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА

Рассматриваются сети связи со статическими протоколами случайного множественного доступа, для исследования которых строится математическая модель в виде системы массового обслуживания. Исследование проводится методом асимптотического анализа с применением теории характеристических функций и матричного подхода, что позволяет в значительной степени сократить трудоемкость исследования и получить асимптотические результаты сразу для целого класса моделей.

Рассмотрим одноканальную сеть связи, управляемую статическим протоколом случайного множественного доступа, состоящую из абонентских станций и разделяемого ресурса, служащего для передачи данных.

В качестве модели рассмотрим систему массового обслуживания, на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок. Продолжительность обслуживания и время оповещения о конфликте имеют экспоненциальное распределение с параметрами ц1 = 1 и ц2. Интенсивность повторного обращения из источника повторных вызовов (ИПВ) составляет ст/, где / -число заявок в ИПВ, а к - состояние прибора: 0 - свободен, 1 - занят обслуживанием, 2 - реализуется этап оповещения о конфликте. В этом случае процесс {к(г),/'(0) является двумерной цепью Маркова, поэтому ее распределение Р(к,/, г) = Р{к (г) = к, /(г) = /}

удовлетворяет системе дифференциальных уравнений Колмогорова

дРрО, ґ) дґ дР1 ( і , ґ) дґ

дР2 (і , ґ) дґ

= -(X + іст)Р0 (і,ґ) + ц1Р1 (і , ґ) + ц2Р2 (і, ґ),

= -(X + іСТ + Ці )Рі (і, ґ) +

+ХР0 (і , ґ) + (і + і)стР0 (і + і, ґ),

= -(X + ц 2 )Рг (і , ґ) + ХР2 (і — і, ґ) +

+ХР1 (і - 2, ґ) + (і - 1)стР (і - і, ґ).

(і)

Обозначим

да

Ик (и, ґ) = £є^Рк (і,ґ) = і=0

= Р{к(ґ) = к}М(ґ) | к(ґ) = к}, тогда систему (і) можно переписать в виде

дИ0(и,ґ) - ,ьдИ\(“,ґ) =-ХИ0(и,о +

дґ

ди

+Ц1И1 (и,ґ) + ц2И2(и, ґ),

дИ, (и, ґ) _ и дИ0 (и, ґ) дИ, (и, ґ)

----1 + /стє 1-------0 - /ст----1

дґ ди ди

= ХИ 0 (и, ґ) - (Х + ці)Иі(и, ґ),

дИ 2(и, ґ) и дИ 2(и, ґ)

----2 + /стє1 -----2 =

дґ ди

= Хє2/иИ1 (и, ґ) + (є1 - і)- ц2 ) (и, ґ).

Для сокращения записи обозначим

н (и, г) = {н0(и, г), Я1(м, г), н2(и, г)}

и матрицы

Ж у) =

В( у) =

- і є^у 0 - і 0 0

0

-XX 0

Ці - (Х + Ці) Хє у

Ц 2

0

Х(єУ - і) - Ц2

(3)

тогда систему (2) можно записать в виде

дИ(и,ґ) . дИ(и,ґ)

дґ

- + 1ст-

ди

А(/и) = И (и, ґ)В(/и). (4)

Отметим, что уравнение (4) будет иметь совершенно аналогичный вид для целого класса математических моделей сетей связи, управляемых статическими протоколами случайного множественного доступа, что позволяет исследовать их одним методом, который будет рассмотрен ниже.

Уравнение (4) будем решать методом асимптотического анализа в условиях большой задержки ст ^ 0, когда среднее значение времени задержки требований в ИПВ неограниченно возрастает.

Асимптотика первого порядка

Для Н(и, г) выполним следующие замены:

т = стг , и = сту , Н(и, г) = ^ (V, т, ст).

Тогда

(5)

^ (у, т, ст) = Н (и, г) =

= Р{к (г) = к)М {(т 1а)/к (г) = к}.

Пусть Е - единичный вектор-столбец, тогда

^(у, т, ст)Е = Мврст‘<т 1 ст) .

(6)

(7)

(2)

Теорема 1. Если при 5 — 0 существует предел др(у т ст) . др(утст)

Пт р(у, т, ст) = р(у, т), то ст дт Е + ^ дУ ^УЛ (0)Е =

ст—0

11т р(у, т, ст) = р(у, т) = Яе^, (8) = Р1у т, ст).стуВ'(0)Е + 0(ст 2),

ст—0 1 1

откуда при ст —— 0 получим равенство

где вектор Я определяется системой линейных алгебраических уравнений (16), а скалярная функция к1(т)

дЕі(у,т,ст) Е . д^!(у,т,ст) . А,

является решением обыкновенного дифференциально- ------дт----Е + У---дУ---^УЛ'(0) Е =

го уравнения (17). = р, ^ уВ-(0)е

Доказательство. В уравнении (4) выполним замены _ 1( , , )■> ( ) ,

(5), получим

др (V, т, ст) . д/'і (V, т, ст)

д^. " + І-------д~—А( 1ст) - функций кі(т) в виде

= р^, т, ст)В( iстv). (9)

подставив в которое (і2), запишем уравнение для

В этом уравнении перейдем к пределу и обозначим

(т)ЯЕ - кі (т)рЯА' (0)Е - рЯВ' (0)Е,

11тр(у т ст) = р (у т) (ю) откуда получим, что функция к1 (т) является решением

обыкновенного дифференциального уравнения

ст—0

При ст —— 0 уравнение (9) приобретет вид

кі(т) - Я(Кі){В'(0) + КіА'(0)}. (і5)

др (у, т)

У---- ----Л(0) = р1(у, т)В(0), (11) Обозначив матрицу К (у, к1) = В(у) + к1Л(у), ее знаду----------------------------------------------------------------------------1 1

чение при у = 0 - К(0, к1) = К(к1), значение ее произ-

решение р(у, т) этого уравнения имеет вид водной по у в нуле

р(V,т) - ЯєІИКі(т), (і2) дК(v, кі)

дv

= V (кі),

где Я - вектор, а кДт) - скалярная функция. В силу

уравнения (і3) и (і5) запишем в виде равенства (6) вектор Я имеет смысл распределения \ / \ / ^

вероятностей значений предельного процесса к(т / ст)

при ст — 0. Найдем этот вектор, подставив (і2) в (іі),

получим

Я(кі)К(кі) - 0 , (і6)

кі(т) - Я(Кl)V(кі)Е . (і7)

Теорема доказана.

./Я/к1(т)Л(0) = ЯВ(0). Следствие. Последовательность случайных процес-

сов ст/(т / ст) при ст — 0 сходится по распределению к

То есть вектор Я является решением однородной сис- „ , , ч

„ _ „ детерминированной функции к1 (т), т.е. имеет место

темы линейных алгебраических уравнений 1

предельное равенство

11т ст/(т / ст) = к1(т). (18)

Я{В(0) + кі (т) А(0)}- 0, (і3)

он также удовлетворяет условию нормировки ЯЕ = 1.

Теперь найдем функцию к1(т). Для этого просум- Равенства (8) и (18) будем называть асимптотиками

мируем по к все уравнения системы (9). Получим сле- первого порядка. дующее равенство:

др (у, т, ст) . др (у, т, ст) . Асимптотика второго порядка

дт дv

- р (V, т, ст)В(iстv)E. (і4)

Из равенства (8) имеем

Используя разложения / (v т)Е - єікі(т) - ^пкі(стґ)

А(iстv) - А(0) + 1<^А'(0) + 0(ст2),

В(iстv) - В(0) + /стл>В'(0) + 0(ст2)

Функцию И (и, ґ) запишем в виде

а также свойства Л(0)Е = 0 и В(0)Е = 0, равенство (14) перепишем в виде откуда следует, что

І— кі (стґ)

И (и, ґ) - є ст И 2 (и, ґ), (і9)

v=0

И 2 (и, ґ) - И (и, ґ)є

и / л -І— кі(стґ) ст

= Р{к (г) = к)М {ехр(уи(/(г) - к1 (стг)/ст))/к (г) = к},

следовательно

Н2(и,г)Е = М{ехр(у'и(/(г) -кДстг)/ст)к, (20)

т.е. Н2(и,г)Е является безусловной характеристической функцией асимптотически центрированного случайного процесса /(г) - — к1(стг). Подставляя (19) в (4), ст

получим, что Н 2(и, г) удовлетворяет уравнению

дн2 (и,г) дн2 (и,г) ^ ч

дг + .ст ’л( .и)=

дг ди

= н 2 (и, г ){в( уи) + к1 (стг )Л(.и) - уик1 (стг)/}, (21)

где / - диагональная единичная матрица.

Обозначив ст = е2, в уравнении (21) выполним замены

гст = ге2 = т, и = еу, н 2(и, г) = р2 (у, т, е).

Для Р2(у, т, е) получим следующее уравнение:

2 дР2(v, т, є) . дР2(v, т, є)

дґ

+ 1є-

ди

-А(1^) -

- Р2 (V,т, є){(/{) + кі (т)А(/^) - /є^і (т)1}. (22)

Здесь для Р2(у, т, є) в силу (22) выполняется равенство

Р2 (V, т, є)Е - М {ехр(^є(і(т / ст) - кі (стґ) / ст)} -

1 сті(т / ст) - кі (т) л/ст

- М <!ехр| іV

у(т, є) -

сті(т/ст) -к^т) _ є2і(т/є2) -кі(т)

(IV)2

ііш Р2(v, т, є) - Р2^, т) - Яє 2

■к2 (т)

(23)

Р2(v, т){В(0) + кі А(0)}- 0,

совпадающее с (і3), поэтому его решение Р2(v,т) запишем в виде

Р2 (V, т) - Ф2 (V, т)Я ,

где вектор Я определен выше, а скалярная функция Ф2 (V, т) будет определена ниже.

Этап 2. Систему (22) перепишем следующим образом:

0(є2) + /еЩ^ А(0) -

- Р2 (V, т, є){к(Ієv, кі) - Ієvк1 (т)I} -

- Р,(V,т,є){К(кі) + iєv(v(кі) - кі(т)І)} + 0(є2).

Решение Р2 (V, т, є) этой системы будем искать в виде

Р2 (V, т, є) - Ф2 (V, т)Я + /є/2 (V, т) + 0(є2). (24)

Подставляя это разложение в предыдущее равенство, получим

1є-

дФ 2^, т)

ЯА(0) -

-{Ф 2 (V, т) Я + /є/^, т)}х

Х{К(кі) + Ієv(V(кі) - кі(т)І)} + 0(є2) -

- Ф2 (V, т)ЯК(к1) + Ф2 (V, т)Я/^((к1) - кі (т)І) +

+ Іє/,(v, т)К (кі) + 0(є2).

Так как ЯК(к1) - 0, то при є — 0 можно записать равенство

дФ 2^, т)

ЯА(0) -

т.е. Р^, т, є)Е является характеристической функцией случайного процесса

дv

- vФ 2 (V, т) Я(^ (кі) - кі (т)І)+ /2 (V, т) К (кі) ,

из которого получаем, что /2 (V, т) имеет вид

/2 (V, т) - vФ2 (V, т)/?1 -

Теорема 2. Если при є — 0 существует предел

ІішР2 (V, т, є) - Р2 (V, т), то

дФ 2 (V, ґ)

дV

(25)

где векторы к1 и к2 определяются системами

где функция к2 (т) является решением обыкновенного дифференциального уравнения (31).

Доказательство теоремы выполним в три этапа.

Этап 1. В уравнении (22) выполним предельный переход при е — 0 , получим уравнение

\К (К1) + Я(у (К1) -к1(т)/к = 0,

И2 К (к1) + ЯЛ (0) = 0. (26)

Так как К(к1) = В(0) + к1Л(0), то Л(0) = К'(к1), поэтому Н2 = Я' (к1), следовательно, (25) запишем в виде

/2(V,т) - vФ2(V,т)^1 Я'(кі) .

д

к

Очевидно, что Я'(к1)Е = 0, можно также полагать, что решение Н1 системы (26) удовлетворяет условию к1Е = 0 , поэтому (24) запишем в виде

Р2 (у, т, е) = Ф 2 (у, т) Я +

V2 дФ т^, т) ,

----Ф 2 (V, т) ЯП(к1 )Е + V Я' (к1 V (к1 )Е -

2 дv

- V2 Ф2^, т)h1V(к1)Е -

- V-

дv

{ (0)Е + Я ’ (к1 )V (к1) е}-

+ /^Ф2(V,фі - ^ґ) Я'(кі)^ + 0(є2) . (27) - V2Ф2(V,т)В(кі)Е + 2hlV(кі)Е}.

Этап 3. Для нахождения функции Ф2 (у, т) просуммируем по к все уравнения системы (22), получим

2 дp2(v, т, є) Е + . є —2—----------Е + /є

дР2 (V, т, є) дґ и ди

А(/^)Е -

= р, (у, т, е){К(уеу, К1) - уеук1 (т)/}Е .

Раскладывая в ряд матрицы

Л(уеу) = Л(0) + уеуЛ '(0) + 0(е2),

К(уеу, К1) = К(К1) + уеуУ(К1) +

, (Уеу)2

(28)

2

-Я(кі) + 0(є 2);

где матрица

Д(кі) -

д2 К (V, к1)

дv2

уравнение (28) перепишем в виде

2 дР2(v, т, є) Е . дР2(v, т, є)

дґ

- Р2^,т,є)>

-Е + /є-

ди

{А(0) + 1^А'(0)}Е -

К(кі) + Ієv(V(кі) - кі (т)І) + (•/'2> ^(кі) [■Е +

+ 0(е3).

Так как Л(0)Е = 0, К(К1)Е = 0, то последнее равенство имеет вид

2 дp2(v, т, є) дґ

Е + /є

дР2(v, т, є)

ди

/ єvА'(0)Е -(1^)2

дФ 2(v, т) дФ 2^, т)

дт

дv

ЯА' (0)Е -

2

Так как V(к1) = В'(0) + к1 Л'(0), то Л'(0) = V' (к1), следовательно,

ЯЛ'(0)Е + Я'(к1)К(к1)Е = {Я(к1)К(к1)е} ,

поэтому функция Ф2(у, т) является решением уравнения

- V (Я(кіГ (кі)Е)

дт д

- V2Ф2 (V, т)В(кі) + 2hlV(кі)}Е (29)

и поэтому имеет вид

-—к2(т) Ф2 (V, т) - є 2 .

(30)

= р2 (у, т, е)|уеу((К1) - к1 (т)/) +-2---°(к1 )|Е +

+ 0(е3).

Подставляя сюда разложение (27) и учитывая тот факт, что в силу (17) Я{(к1) - к1(т)/}Е = 0 при е — 0 , получим следующее уравнение относительно функции

Ф2 (у, т):

где, подставляя (30) в (29), получим, что функция к2(т) является решением обыкновенного дифференциального уравнения

к '2(т) = 2к 2(т)(Я(к1)К (К1) Е) +

+ {Я(К1)Д(К1) + 2*1(К1)К (К1)}Е, (31)

где вектор А1(к1) является решением системы (26), удовлетворяющим условию И1Е = 0 , которую, принимая во внимание (17), запишем в виде

Мк^К(К1) + Я(К1){Г(К1) - Я(К1)¥(К1)Е/}= 0 . (32)

Теорема доказана.

Равенство (23) будем называть асимптотикой второго порядка. Очевидно, что функция Ф2(у, т) является характеристической функцией предельного процесса у(т) последовательностей у(т, е), где

у(т,є) -є2і(т/є2) -к1(т)

(33)

Так как Ф2(у, т), определяемая равенством (30), является характеристической функцией нормального распределения, то процесс у(т) - Гауссовский. Выполним его исследования методами теории случайных процессов.

v=0

ь

Диффузионная аппроксимация Для первого интеграла из (39) получим

процесса изменения числа заявок в ИПВ.

Локальная диффузионная » у дФ2(у, т)

аппроксимация ] е

Очевидно из (33), имеет место равенство

є2і(т/є2) - к1(т) + єу(т) + 0(є2), (34)

которое будем называть локальной аппроксимацией

дv

|Ф 2 (V, т)ё (є -Іу)

^ - | є JуvvdФ 2(v, т) -

- -1Ф2 (V, т)є Jуudv + /у ІФ2 (V, т^є Jyvdv -

-да -да

которое будем назрівать локальной аппроксимацией да г да л

процесса і(ґ), так как процесс у(т) определяет вели- --|ф2(v,т)є~Jyudv-у—\ |Ф2(v,т)є_'yvdv^■-

чину отклонения значений процесса і(ґ) от значений -да ду ^-да ^

асимптотического среднего к1(т). --у—(уП(у т)} (41)

Теорема 3. Случайный процесс у(т) является диф- ду

фузионным процессом авторегрессии, удовлетворяющим стохастическому дифференциальному уравнению П°дставляя (40) и (4і) в (39) получим уравнение

dy(т) - (Я(^^(к1)ЕУy(т)dт + Ь(к^м>(т), (35) --(Я(кl)V(кі)Е) )ІА*У, т)} +

где

2

+ іЬ2(к ) д2п(у,т) + 2 1 (кі) ду2

Ь (к1) - Я(к1 )^(к1 )Е + 2h1 (к1 )V(к1 )Е . (36)

которое является уравнением Фоккера-Планка для

Доказательство. Уравнение (29) для характеристи- плотности распределения вер°ятн°стей п(у,т) диффу-

ческой функции Ф2 (у, т) запишем в виде зионного процесса авторегрессии у(т), являющегося

решением стохастического дифференциального урав-

- V дфдМ (Жк^У (к.) Е

дт д

нения (35). Теорема доказана.

2

- — Ф 2 (V, т)Ь2(к1), (37) Глобальная диффузионная

2

аппроксимация

где !2(к1) определяется равенством (36). Принимая во внимание равенство (34), рассмотрим

Обозначив обратное преобразование Фурье п(у, т) случайный процесс

от функции Ф2 (у,т) 2(т) = К1 (т) + еу(т). (42)

п(у,т) - |є іу',Ф2(v,т)dv , (38)

-да

из уравнения (37) получим

дп(ут) -(Я(к1)У(к1)Е) є-iУvv дФ2(V,т) dv -

дт -да дУ

2да

V Т2,

Теорема 4. Случайный процесс z(т) с точностью до 0(е2) является диффузионным, удовлетворяющим стохастическому дифференциальному уравнению

dz(т) = (Я(z)V(z)E)^т + еЬ(z)dw(т), (43)

где Ь(z) определено равенством (36).

__^2(К1) |е~уууу2Ф2 (у т)dV (39) Доказательство. Дифференцируя (42) получим:

2 -ад

dz(т) = к1 (т)dт + еdy(т).

Выразим интегралы через функцию п(у, т) и ее производные. Из (38) получим Подставляя сюда к1(т) из (17), а dy(т) из (35), по-

- І(-Іv)2 є1Ф2 (v,т)dv - dz(т) - Я(к1)У(к1)Edт +

2

"ду

да

- - | V2є~і/у Ф2 (V, т)dv . (40)

лучим

+ є(я(к1 )V(к1)Е) y(т)dт + Ь(к1 ^^(т)}-

- (Я(кі V(кі)Е + єу(т)(Я(кі )V(кі )Е) )т +

+єЬ(к1^^(т). (44)

со

ЗО

Так как выражение в фигурных скобках является первыми двумя членами разложения для

Я( 2)У (2)Е = Я(щ + еу)У (к1 + еу) Е =

= Я(к,)У (К1)Е + еу(Р(к1)У (к1)Е) + 0(е2),

а Х(к1) является первым членом разложения для

Ь( 2) = Дк +еу) = Цк^ + О(е),

то (44) можно записать в виде

й2(т) = ((2)У(2)Е)т + еЬ(2)ём>(т) + 0(е2) ,

которое с точностью до о(е) совпадает с уравнением (43). Теорема доказана.

Из уравнения (43) нетрудно получить, что плотность 0(2, т) распределения вероятностей значений процесса 2(т) удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка вида

= -д_ {(2)У (2)Е)С(2, т)} +

дт 02

е2 д

+—дТ {( 2)0( 2, т)}.

2 д2

Если для процесса 2(т) существует стационарный режим, то стационарное распределение 0(2, т) = 0(2) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

2

е-((2)в(2))" - ((2)У(2)ЕО(2)) = 0 , (45)

решение которого не представляет труда. Обозначив Ь(2)0(2) = 01(2) и проинтегрировав по 2 равенство (45), получим уравнение первого порядка

2) = ^ 01( 2),

1 е2 1(2) 1

решение 01 (2) которого имеет вид

0Х( г) = С ехр<] — |

2 г Я(х)У(х)Е

Ц х)

ёх

откуда получим вид стационарной плотности распределения 0(2):

0(г) = _С_ехр]-2 } ^ХК<ХЕёх Ь(2) И Є2 і Ц(х)

(46)

где константа С определяется условием нормировки

да

10(2 )ёг = 1.

—да

Таким образом, в (46) получена основная вероятностная характеристика рассматриваемых неустойчивой сети связи со статическими протоколами случайного множественного доступа, так как 0(2) является плотностью распределения вероятностей процесса г(т), аппроксимирующего є 2і(ґ / є2) - нормированное число заявок в ИПВ. Используя полученную характеристику, можно определить все интересующие нас основные вероятностно-временные характеристики.

ЛИТЕРАТУРА

1. НазаровА.А., ТерпуговА.Ф. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. Томск: Изд-во НТЛ, 2004. 228 с.

2. Назаров А.А., Цой С.А. Общий подход к исследованию марковских моделей сетей передачи данных, управляемых статическими протокола-

ми случайного множественного доступа // Автоматика и вычислительная техника. 2004. № 4. С. 73-85.

3. Цой С.А. Применение общего подхода к сравнению функционирования двухканальных сетей случайного множественного доступа // Вестник

Томского государственного университета. Приложение. 2005. N° 14. С. 271-274.

4. Колоусов Д.В., Назаров А.А., Цой С.А. Исследование вероятностно-временных характеристик бистабильных сетей случайного доступа //

Автоматика и телемеханика. 2006. № 2. С. 90-105.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2006 г.