Исследование системы map(2)|gi2|∞ методом просеянного потока Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.872

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ MAP(2)|GI2|<» МЕТОДОМ ПРОСЕЯННОГО ПОТОКА

И. А. Синякова, С. П. Моисеева

INVESTIGATION OF THE MAP(2)|GI2|« SYSTEM WITH THE METHOD OF SCREENING FLOW

I. A. Sinaykova, S. P. Moiseeva

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (20092011 годы)» Федерального агентства по образованию РФ по проекту «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применения к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

В работе проведено исследование немарковской модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок в системе массового обслуживания, состоящей из двух блоков обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов. На вход системы поступает МАР-поток сдвоенных заявок. Для исследования таких систем массового обслуживания предлагается оригинальный метод просеянного потока. Получены вид характеристической функции для рассматриваемой системы и асимптотические приближенные равенства первого и второго порядков.

In this paper we study non-Markov models of parallel double service applications in a queuing system consisting of two blocks of service with an unlimited number of servers. The input to the system MAP-flow dual applications comes. The original method screening flow is proposed for investigating these queuing systems. We received the form of the characteristic function for the system and the asymptotic approximate equality of the first and second orders.

Ключевые слова: немарковские системы с неограниченным числом обслуживающих приборов, метод просеянного потока, параллельное обслуживание, метод асимптотического анализа.

Keywords: non-Markov system with an unlimited number of servers, the method screening flow, parallel service, the method of asymptotic analysis.

1. Постановка задачи

На современном этапе развития теории массового обслуживания одним из востребованных направлений является исследование систем массового обслуживания (СМО) с групповым поступлением заявок и параллельным обслуживанием [1, 2]. Область применения таких СМО довольно обширна, например, при моделировании современных информационно-вычислительных систем необходимо учитывать пакетный характер трафика, а также один из основных принципов при проектировании современных компьютерных сетей - параллельность процессов обработки информации [6, 7]. Поэтому возникает необходимость в разработке новых математических моделей систем массового обслуживания, а именно, систем с неординарными входящими потоками и различными вариантами обслуживания, в том числе с двумя и более блоками обслуживания.

В качестве математической модели процесса распараллеливания вычислений предлагается рассмотреть систему массового обслуживания с двумя блоками обслуживания, каждый из которых содержит неограниченное число приборов (рис. 1).

іАв (2) --------►

B1(x)

B1(x)

B2 (x)

B2 (x)

Рис. 1. СМО с параллельным обслуживанием сдвоенных заявок

Пусть на вход системы обслуживания поступает МАР-поток сдвоенных заявок, то есть в момент наступления события в рассматриваемом потоке в систему одновременно поступают две заявки. Будем считать, что МАР-поток определяется эргодической цепью Маркова к(ґ), заданной матрицей Q - её ин-финитезимальных характеристик дии, набором не-

отрицательных величин Хк>0 и набором вероятностей ёк1к2 для любых к1ф к2 [3].

Дисциплина обслуживания определяется тем, что одна из этих заявок поступает в первый, а другая во второй блоки обслуживания и занимает любой из свободных приборов, на котором выполняется ее обслуживание. Продолжительности обслуживания различных заявок стохастически независимы и одинаково распределены для всех приборов соответствующего блока [4]. Пусть В1(х), В2(х) функции распределения времени обслуживания для первого и второго блоков соответственно.

Обозначим /1(/),/2(/) - число приборов, занятых в момент времени t в первом и втором блоках обслуживания, а стационарное распределение вероятностей значений процесса (/1(/),/2(/)} обозначим

1 (1, г2 ) = р{г1 () = г1, г2 () = г2 }

Для рассматриваемой системы ни двумерный случайный процесс (/1(/),/2(/)} изменения во времени состояний системы, ни трехмерный случайный процесс (к(/),/1(/),/2(/)} не являются марковскими.

Для исследования рассматриваемой системы МАР(2)|О/2| да применим метод просеянного потока [5].

2. Метод просеянного потока

Предлагаемый метод позволяет проблему исследования немарковской системы обслуживания с

неограниченным числом приборов свести к задаче анализа нестационарного марковизируемого потока.

На оси времени t отметим моменты наступления событий этого потока. Выделим некоторый момент времени и. Пусть и = 0. Будем полагать, что заявки входящего потока, поступившие в систему в момент времени = 0 формируют события двумерного просеянного потока, с вероятностями ^(^ = 1-В^-О, 82(^ = 1-В2(-0, а с вероятностью 1- 51(0 и 1- 52(0 не рассматриваются.

Обозначим {«1(0,п2(0} - двумерный процесс, компоненты которого характеризуют число событий просеянных потоков, наступивших до момента времени t.

Если в некоторый начальный момент времени ^ ^ система обслуживания свободна, то есть в ней

нет обслуживаемых заявок, то для момента времени ^ выполняется равенство: 1^) = пх((), /2(0 = я2(0, то есть число /к(^) приборов, занятых в к-м блоке обслуживания рассматриваемой системы обслуживания, равно числу як(^) событий просеянного потока, наступивших до момента времени ^.

Для распределения вероятностей:

Р (к, п1, п2, Ь) =

= Р{(Ь) = к,п1(Ь) = п1,п2(Ь) = п2 },

по формуле полной вероятности запишем следующие равенство [4]:

Р(к,(п2,Ь + ДЬ) = Р(к,(п2,Ь)1 — ЛкДЬ)1 + дккДЬ) + Р(к,( — 1,п2 — 1,Ь)ДЬ51 (ь)2 (ь) + +Р(к,п1 — 1,п2,Ь)кДЬБ1 (Ь)1 — Я2 (ь)) + Р(к,п1,п2 — 1,Ь)ЛкДЬ52 (Ь)(1 — Б1 (Ь)) +

+Р(k,n1,п2,Ь)ДЬЬ1 — 51 (()( — 52 к) + Р(nl,п2,Ь)( — А»к ) +

и ^к

+ [Р(у,п1 — 1,п2 — 1,Ь)51 (ь)52 (ь) + Р(у,п1 — 1,п2,Ь)51 (ь)(1 — 52 (ь)) +

+Р (и, nl, п2 — 1, Ь ) 52 (Ь )(1 — 51 (Ь )) + Р (k, ^ п2 , Ь )( — 51 к )( — 52 (( )] Й^к КкДЬ + ° (ДЬ )

Далее запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова [3]:

дР (к, п1, п2, Ь)

ді

= Р(к,п2,і)(-Лк + ) + {Р(*,«і - 1,«2 - 1і) Iі)^2 Iі) +

+Р (к, п1 — 1, п2, Ь ) (ь )1 — 52 (к) + Р (к, п1, п2 — 1, Ь )1 — 51 к) (ь ) +

+Р (k, nl, п2, Ь )( — 51 (( X1 — 52 (()} Лк + ^{ Р ( ^ п2, Ь )( — ^к ) +

+ [Р(V,п1 — 1,п2 — 1,Ь)51 (Ь)52 (Ь) + Р(V,п1 — 1,п2,Ь)51 (Ь)(1 — 52 (Ь)) +

+Р к ^ п2 — 1, Ь )( — 51 (к ) к ) + Р ( ^ п2 , Ь )( — 51 (к )( — 52 (к )] )ук }^ук .

Начальное условие для решения Р(к,щ,п2,() в момент времени ^ определим в виде:

(1)

Р(к, п1, «2, іо) =

= I Е(к), если п1, п2 = 0,

если п1, п2 > 0.

Обозначив

ГО ГО

Н(к,и,т,і) = ^ ^ е.?™1е^п2р(к,п1,п2,і) = Е(к)М|к(і) = к}

п =0 = 0

из (1) для этих функций получим задачу Коши [6]:

дН (к, и, т, і)

ді

= Лк 1(е^и - 1)51 (і) + к - 1)) (і) + - 1)кш - 1)51 (і)& (і)1^и,т,і

Вестник КемГУ

№ 1 (49) 2012

+ЕН (( ч и,Ь ) + ^Н (1/,и,и,Ь) {(1 + ( ( - 1)) (t) + (( - 1)) (t) + (( - 1) (( - 1)) (t ) <$2 (t ))^ } 4* ,

V V

Н(,и, и, Ь0 ) = Д (к).

Эту систему запишем в матричной форме, обозначив вектор строки:

И(и,м>,?)={И(1,и,м>,/), И(2,и,м>,(),...}, Е={Е(1)Е(1),...} - вектор стационарного распределения управляющей цепи Маркова и следующие матрицы:

Q - матрица инфинитезимальных характеристик Як1к2,

Л - диагональная матрица с элементами Хк по главной диагонали;

А - матрица из элементов ёк1к2 дк1к2;

В = Л+А.

Тогда систему (2) запишем в виде:

дН (жиЛ)

дЬ

= Н (и,и,Ь)

(е.и -1)51 (Ь) +

^ + +( -1)52(Ь) + В

+(и -1)(^ -1)51 (ЬК (Ь)

+[(е"ех -1) (г) + +(^ -лиу - 1)3 (т)к (т)]В}.

Докажем следующее утверждение.

Теорема. Предельное (при е—0) значение -\(х, у, т) решения -1(х,у, т, е) уравнения (4) имеет вид:

Р(ж, у, т) =

= Д ехр

.жк-у ^ Б1(х)йх + ]ук1 ^ 52 (х ^йх

где величина К1 определена равенством

К = ДВЕ.

(6)

Доказательство. В уравнении (4) выполним предельный переход при е—0

Р1 (ж, у, т ) = 0 .

Поэтому ее решение имеет вид:

Р1 (ж,у,т) = «Ф (ж,у,т) Д , (7)

в котором скалярную функцию Ф:(х,у,т) определим следующим образом.

Просуммируем все уравнения системы (4), тогда получим:

, у, т, е)

др (ж, ■

дЬ

-Е =

= Р(у,т,е){(еж -1)(т) +( е>еж - 1 '

- 1) (т) +

-1)51 (тК (т)} ВЕ.

Н (и, и, Ь0 ) = Д . (2)

3. Метод асимптотического анализа системы ИАР(1)\012\ да в условии растущего времени обслуживания

Уравнение (2), определяющее характеристики рассматриваемой системы обслуживания, будем решать в асимптотическом условии растущего времени обслуживания, полагая, что среднее значение времени обслуживания в каждом блоке Ь:—да, Ь2——да [5].

3.1. Асимптотика первого порядка Обозначим Ь\ = 1/е, Ь2 = 1/е и в уравнении (2) выполним замены:

Ье = ^ Ьое = т0, ^ (Ь) = ^ (т)

52 (ь) = 52 (т), и = ех, и = еу,

Н (и, и, Ь ) = р (ж, у, т, е). (3)

Для -\(х,у,т,е) получим уравнение:

др (ж, у, т, е)

е дГ =

= р (х,у,т,е)Гг+1еж Лп, V - 1) (т)+ (4)

Поделим левую и правую части этого равенства на е и, полагая е—0, получим, что для -1(х, у, т) выполняется равенство:

др (ж,у,т)

дт

-Е =

= Р1 (ж,у,т){{ (т) + ^ (т)}ВЕ,

подставляя в которое (7) и учитывая (6) и что ЕЕ = 1, получим для функции Ф^х,у,т) линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:

дФх (ж,у,т)

дт

= Ф1 (ж,у,т) {{ ( решение которого имеет вид:

Ф (ж, у, т) =

Зу$2 (т

= ехр

Подставляя в (7) получим:

Р1 (ж, у, т) =

= Д ехр

В силу замен (3) и равенства (5) можно записать асимптотическое, при е— 0, приближенное равенство:

Н (и, и, Ь ) = Р (ж, у, т, е ) Ь р (ж, у, т) =

= Д ехр

(5)

= R exp - jxк J Sy (z) dz + jyKy J S2 (z) dz

^0 ^0

поэтому для характеристической функции [7] величины (w1(/),w2(/)} запишем:

Mej(u + w)ni(t)n2(t) = H (u,w,t)E = t t

= exp - juKy J Sy (z )dz + jwJ S2 (z )dz

t0 t0

При t = ti = 0 для характеристической функции процесса {/'i(t),/2(t)} в стационарном режиме получим:

M^u+wHzHz) = н (u,w,0)E =

x0 x0

juKy J( — B (z))dz + jwKy J( — B (z)(dz

= exp

0 0 = exp { juKybi + jwK1b2}.

Полученное равенство будем называть асимптотикой первого порядка для системы обслуживания

M4P(2)|GI2|®.

3.2. Асимптотика второго порядка

Решение И(и,м>,() уравнения (2) запишем в виде произведения:

H (u, w, t ) = H2 (u, w, t ) exp j juky J Si (z )dz + jwky J S2 (z ) dz

подставляя которое в (2), получим уравнение для H2(u,w,t) в виде:

д H 2 (u, w, t)

д t

exp

juk1 J Sy(z)dz + jwky J S2 (z )dz

+ H 2 (u, w, t) { jukySy (t) + jwk1S2 (t)} exp

juk y J S y(z)dz

jwk1 J S2 ( z ) dz

= H2 (u, w,t)exp

juk1 J Sy ( z ) dz + jwky J S 2 ( z ) dz

eju — 1 )Sy (t) + (ejw — 1 )S2 (t) +

3j(u+w) — 1 W (t )S2 (t ) + (eju — 1 )S, (t )S2 (t ) + (ejw — 1 ) S(t )S2 (t )| B

Следовательно, H2(u,w,t) является решением уравнения:

dH2 (x, y, t)

dt

= H2 (x,y,t)|q + где I - единичная диагональная матрица.

eju — у)Si (t) + (ejw — 1 ) (t)+ (ju — 1 )(ejw — 1 )Si (t)S2 (t)]B — I 1 — [ juk1S1 (t) + jwk1S2 (t)] 1

(8)

(9)

Обозначив b1 = 1/e2, b2 = 1/e2, в уравнении (9) выполним замены:

te2 = T, t0e2 = T0, S1 (t) = S1 (t),

S2 (t) = S2 ( t ), u = ex w = ey,

H2 (u,w,t) = F2 (x,y,t,e) (10)

и получим:

2 дF2 (x, y, t, e)

д t

= F2 (x, y, t , e )

+ |(ejex — 1) S i (t ) +

+ ((y — 1 ) S2 (t )

— 1 dej ey — 1

S1 (t )S 2 (t )] B —

— [ j exkiS 1 ( T ) + jeykiS 2 ( T )] I }'

Теорема 2. Предельное (при е—0) значение -2(х,у,т) решения -2(х,у,т,е) уравнения (11) имеет вид:

F2(x y, t) =

= R exp

(jy)

j)

К J Sy (z) dz + 2A^ J S2 (z) dz

k J S2 (z )dz +

+2к2 X £2 (х )йх

т0

2

+ Э-2у (к. + 4к2 )Б1 ()К2 (х(йх

(12)

где величина К2 определяется равенством

к2 = /2 (в- кг1),

(13)

Р2 (x, у, Т, е ) =ф2 (x, У, т ){Д + (т ) + (15)

+. еуБ2 (т )/2 } + 0 (е2 )

подставив которое в (11), получим:

о (е2) = Ф2 (ж, у, т){.е (ж Б1 (т) /2 +

+ уБ2 (т ) /2 )Я +

+ Д.е [ жБ1 (т) + уБ2 (т)][ В - к11]}, т. к. ЕQ = 1, то вектор /2 является решением неодно-

а вектор /2 удовлетворяет условию /Е=0 и является родной системы линейных алгебраических уравне-решением неоднородной системы линейных алгеб- ний (14).

раических уравнений

/2Я + Д (ж - к11) = 0.

Доказательство. Решение - 2(х,у,т,е) уравнения (11) запишем в виде разложения:

2 дР2 (ж,у,т,е)

Для нахождения скалярной функции Ф2(х,у,т) (14) просуммируем все уравнения системы (11), получим равенство:

дт

■Е = Р2 (ж,у,т,е){[(е

- 1)) (т) + ( - 1) (т) + ( - 1)у - 1) ■

Б1 (т)Б2 (т)]В - [.е (жк1Б1 (т) + ук1Б2 (т))]I}Е = Р2 (ж,у,т, е){.еж (В - к11)Б1 (т) +

+3еу (В - к11)Б2 (т) +

^Б1 (т) +В3еУББ2 (т) + (зе)2 жуБ1 (т)Б2 (т)

В } Е =

= Р2 (ж,у, Ъ е

3е [( (т)+ уБ2 (т ))( - ж1)] +

Б1 ( т)+ .Г Б2 (т)+ ( 3е)2 жуБ1 (т) Б2 ( т)

В

Е + о (е2).

Подставляя разложение (15) в последнее равенство, получаем:

дФ2 (ж,у,т,е)

дт

\2

= Ф2 (ж, у, т){ зе (ж Б1 (т) + уБ2 (т )Д (В - к11 )Е +

^Б1 (т) + [В-УуББ2 (т) + (зе)2 жуБ1 (т)Б2 (т)

ДВЕ

+ (зе)2 (жБ1 (т) + уБ2 (т))2 /, (( - р1 )Е} + о(е

т. к., ЕЕ=1,К2=/2(В-К\Г)Е и ЕВЕ=1, получим, что функция Ф2(х,у,т) является решением уравнения:

2

дФ2 (ж,у,т)

дт

= Ф2 (ж,у,т)

(3ж)

-[ к1 Б1 (т ) + 2^ (т )]+ ■ 2

+ (у- [ к1 Б2 (т ) + 2к2Б2 (т )]

следовательно, решение Ф2(х,у,т) уравнение (16) имеет вид:

Ф2(ж, у, т) = ехр

к1 X Б1 (х )йх + 2к2 X Б2 (х )йх + р X Б2 (х )йх +

(16)

•2

+2^ XБ22 (х)йх + (2к1 + 4к^ ^Б1 (х)Б2 (х)йх

Подставляя которое в (15) и полагая е = 0, получим равенство (12). Теорема доказана.

В силу замен (10), а также равенства (12) для И2(и,м>/), можно записать асимптотическое (приближенное) равенство:

Н2 (и,и,Ь) = Р2 (ж,у,т,е) ь Р2 (ж,у,т) =

= Д ехр

К X Б1 (х) йх + 2^ X Б2 (х) йх

(.и)

к1 X Б2 (х) йх + 2^ X Б^ (х) йх

2к1 + 4^ ] X Б1 (х )Б2 (х) йх

т

т

0

2

Обозначим:

J S2 (z)dz = J (l — By (—z)) dz = J(l — By (z))2 dz =,91 ,

— ГО — ГО 0

0 0 ro

J S22 (z)dz = J ( — B2 (—z))2 dz = J( — B2 ()2 dz =в2 ,

—ro —ro 0

0 0 ro

J S1 (z )S2 (z )dz = J ( — B1 (—z ))(1 — B2 (—к )dz = J( — B1 (—^ )(1 — B2 (—к )dz =в12 .

Тогда, при t = t1 = 0 и t0 = -да, в силу равенства (15) получим:

H (u, w, 0) = H2 (u, w, 0) exp {;^uk1b1 + jwk1b2 } =

r (ju )2 г ]

= R exp { juK1b1 + jwK1b2 + ^ Г K1b1 + 2к2ву ] +

+ 2 [ K1b2 + 2k2в2 ] + [ 2k1 + 4k2 ] в1

j2uw [

12

+ (-“ [ К1Ь2 + 2к2в2 ] + [ 2к1 + 4к2 ] в

Следовательно, для характеристических функций процессов /'1(0 и /2(/) и в стационарном режиме можно записать равенство:

р (и) = Ме^) = Ме^0) = Н(и,0,0)Е =

\2

12

= exp

(ju) г 1

juKyby + 2 [ Kyby + 2k2в ]

h2 (w) = Mew(td = Mej™2(0d = H(,w,0)E =

= exp

( jw ) г 1

jwK1b2 + —^ [ Kib2 + 2k2в2 ]

Следовательно, для характеристических функций [7] величины {й1(/),и2(/)} можно записать равенство:

Ме.(1(Ь)+ип2(Ь)) = Н (и, и, Ь) Е =

10 0

.ику^ X Б1 (х )йх + .и к1 X Б2 (х )йх +

-ГО -ГО

(.и )

+---- [ К1Ь1 + 2к2в1 ] +

которое будем называть асимптотикой второго порядка для системы обслуживания М4Р(2)\ОГ2\да.

Литература

1. Эндрюс, Г. Р. Основы многопоточного, параллельного и распределенного программирования / Г. Р. Эндрюс: [пер. с англ.]. - М.: Вильямс, 2003. -512 с.

2. Топорков, В. В. Модели распределенных вычислений / В. В. Топорков. - М.: ФИЗМАТЛИТ,

2004. - 320 с.

3. Назаров, А. А. Теория массового обслуживания / А. А. Назаров, А. Ф. Терпугов. - Томск: НТЛ,

2005. - 228 с.

4. Гнеденко, Б. В. Введение в теорию массового обслуживания. - Изд. 3-е, испр. и доп. / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. - М.: КомКнига, 2005. -408 с.

5. Назаров, А. А. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания / А. А. Назаров, С. П. Моисеева. - Томск: НТЛ, 2006. - 112 с.

6. Эльцгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л. Э. Эльцгольц. -М.: Наука, 1969. - 424 с.

7. Назаров, А. А. Теория вероятностей и случайных процессов / А. А. Назаров, А. Ф. Терпугов. -Томск: НТЛ, 2006. - 204 с.

0