CC BY
37
Литература
1. Гидротехнические сооружения /под ред. Н.П. Розанова. - М.: Стройиздат, 1978. - 646 с.
2. Гидравлические расчеты водосбросных гидротехнических сооружений/ под ред. Б.Т. Емцева. - М.: Энергоатомиздат, 1988. - 620 с.
3. ЛайтхиллДж. Волны в жидкостях. - М.: Мир, 1981. - С. 180-330.
4. Богомолов А.И., Михайлов К.А. Гидравлика. - М.: Стройиздат, 1972. - С. 320-342.
5. РаузX. Механика жидкости для инженеров-гидротехников. - М.; Л.: Тосэнергоиздат, 1958. - С. 337-361.
6. Стокер Дж. Волны на воде. - М., 1959.
7. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. - М.: Физматгиз, 1963. - С. 447-448.
УДК 539.3 АД. Матвеев
ПРИМЕНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ДВУХСЕТОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ ТРЕХМЕРНЫХ КОМПОЗИТНЫХ БАЛОК*
Предложены процедуры построения граничных двухсеточных конечных элементов для расчета трехмерных композитных балок, имеющих сложный характер закрепления. Применение предлагаемых граничных элементов в дискретных двухсеточных моделях трехмерных балок приводит к уменьшению погрешности сеточных решений. При этом двухсеточные дискретные модели, включающие граничные элементы, имеют малую размерность.
Ключевые слова: композиты, балки, упругость, двухсеточные конечные элементы, метод конечных элементов, граничные элементы.
A.D. Matveev
APPLICATION OF BOUNDARY DOUBLE-GRID ELEMENTS IN THE CALCULATION OF THREE-DIMENSIONAL
COMPOSITE BEAMS
Constructing boundary double-grid finite elements to calculate three-dimensional composite beams having the difficulty of fastening is shown. Application of the proposed boundary elements in discrete double-grid models of three-dimensional beams leads to the error reduction of mesh solutions. Moreover, discrete models including boundary elements have small dimensions.
Key words: composites, beams, elasticity, double-grid finite elements, finite elements method, boundary elements.
Введение. Как показывают расчеты, решения, построенные для упругих трехмерных композитных балок по методу конечных элементов (МКЭ) [1, 2, 3] с применением двухсеточных конечных элементов (ДвКЭ) первого типа [4, 5], наибольшую погрешность имеют в окрестностях границ закрепления балок. Особенно большая погрешность решения возникает в случае сложного характера закрепления балки. Например, частичное закрепление балки по торцу. В связи с этим предлагается в окрестностях границ крепления балок использовать граничные ДвКЭ.
Краткая суть ДвКЭ Ур первого типа [4, 5] формы прямоугольного параллелепипеда состоит в следующем. Для построения ДвКЭ используем две вложенные сетки: мелкую и крупную. Базовое разбиение ДвКЭ Ур состоит из конечных элементов (КЭ) Ун первого порядка формы куба [2], которое учитывает его неоднородную структуру по микроподходу [6] и порождает мелкую сетку. Отметим, что при построении КЭ Ун
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 14-01-00130).
используются уравнения трехмерной задачи упругости. На базовом разбиении ДвКЭ Ур определяем в мат-
ричной форме функционал полной потенциальной энергии, который зависит от узловых неизвестных мелкой сетки. На мелкой сетке определяем крупную сетку. С помощью аппроксимаций, построенных на крупной сетке, узловые неизвестные мелкой сетки в функционале потенциальной энергии ДвКЭ Ур выражаем через
узловые неизвестные крупной сетки. В результате функционал потенциальной энергии ДвКЭ Ур представляется через узловые неизвестные крупной сетки. Минимизируя функционал энергии по узловым перемещениям крупной сетки, получаем формулы для вычисления матрицы жесткости и вектора узловых сил ДвКЭ Ур (первого типа).
В данной работе на базе ДвКЭ Ур первого типа разработана процедура построения граничных двух-
сеточных элементов для трехмерных композитных балок, имеющих сложный характер закрепления. Основные положения предлагаемой процедуры рассмотрим на примере граничного ДвКЭ Уе формы прямоугольного параллелепипеда. Область ДвКЭ Уе представляем двумя областями У, У2 формы прямоугольного параллелепипеда, причем У1 с У2, где Уе = У1 + У2 , Уе - область ДвКЭ. При этом область У1 имеет границу, совпадающую с границей крепления балки, область У2 не имеет закрепленных границ. Области У, У2 представляем базовым разбиением, состоящим из КЭ УИ первого порядка формы куба, которое учитывает неоднородную структуру ДвКЭ Уе и порождает мелкую сетку. На базовом разбиении ДвКЭ Уе определяем в матричной форме функционал полной потенциальной энергии. На мелкой сетке определяем крупную сетку. С помощью аппроксимаций, построенных на крупной сетке ДвКЭ Уе, узловые неизвестные
мелкой сетки области У2 в функционале потенциальной энергии ДвКЭ Уе выражаем через узловые неизвестные крупной сетки. В результате функционал потенциальной энергии ДвКЭ Уе представляется через узловые неизвестные мелкой сетки области У1 и узловые неизвестные крупной сетки, не совпадающих с узлами мелкой сетки области У1. Из условия минимизации функционала ДвКЭ Уе по узловым перемещениям крупной сетки и мелкой сетки области У2 получаем формулы для вычисления матрицы жесткости и вектора узловых сил граничного ДвКЭ Уе.
1. Процедура построения граничных двухсеточных конечных элементов. Рассмотрим процедуру построения граничного ДвКЭ Уе неоднородной структуры формы прямоугольного параллелепипеда размерами а х Ь х с . На рис. 1 а = 16И, Ь = 8И, с = 12И. Считаем, что между компонентами неоднородной структуры ДвКЭ связи идеальны, а функции перемещений, напряжений и деформаций этих компонентов удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши трехмерной задачи теории упругости [7]. Область Уе граничного ДвКЭ представляем двумя подобластями У1 и У2 формы прямоугольного параллелепипеда, причем У с У2, где Уе = У + У2 . Область У1 имеет размеры 3И х 8И х 12И, область У2 - 13И х 8И х 12И , общая граница областей У1, У2 на рис. 1 отмечена жирной линией. Пусть граница области У1 в плоскости уОх совпадает с границей балки (рис. 1). Области У1, У2 ДвКЭ представляем базовым разбиением, которое состоит из однородных КЭ УИ первого порядка формы куба со стороной И. Данное разбиение учитывает неоднородную структуру ДвКЭ Уе и порождает мелкую сетку с шагом И (размерности т1 х т2 х т3). Для рис. 1 имеем т1 = 17, т2 = 9, т3 = 13 . На мелкой сетке определяем крупную трехмерную сетку размерности п1 х п2 х п3 с шагами: Н1 - по оси 0х, Н2 - по оси 0у, НЪ - по оси Ох, причем Н1 = к1И, Н2 = к2И, НЪ = к3И, где к1, к2, к3 - целые, к1, к2, к3 > 2. На рис. 1 узлы крупной сетки отмечены точками; Н1 = 4И, Н2 = 2И , Н3 = 12И, п1 = п2 = п3 = 5, к1 = 4, к2 = 2, к3 = 3 .
Л
гл
22
у/У///1
Л
Ап а = 16 Н
Ь = 8/т
с = 12Н
X
!
Рис. 1. Мелкая и крупная сетки ДвКЭ ус
Полную потенциальную энергию Пе ДвКЭ Уе представим в виде
Пе = 1ЧI [К, ]че - ЧIРе,
2
(1)
где [Ке ] - матрица жесткости; Ре, че - векторы узловых сил и неизвестных базового разбиения ДвКЭ Уе ,
ч е = (ч!, Ч 2}т, (2)
где ч! - вектор узловых неизвестных мелкой сетки области У1 (включая узлы общей границы £12 областей У1, У2); ч2 - вектор узловых неизвестных области У2 (без учета узлов на общей границе £12); Т - транспонирование.
С помощью полиномов Лагранжа [3] на крупной сетке определяем аппроксимирующие функции для перемещений и, V, м> ДвКЭ, которые соответственно обозначим через иН, \Н, мН и представим в форме
п1 п2 пъ п п2 п п п2 щ
иН = Е Е Е никиик, vн = ЕЕЕ , = ЕЕЕ , (3)
1=1 ]=1 к=1 1=1 ]=1 к=1 1=1 ]=1 к=1
где и ук, V ук, м ук - искомые значения функций иН, vH, мН в узле р( 1, у, к) крупной сетки; 1, у, к - координаты целочисленной системы координат ¡ук, введенной для узлов крупной сетки (рис. 1); Мук = N ук (х,у, х) - базисная функция узла р( 1,у,к) крупной сетки, где 1 = 1,...,п1, у = 1,...,п2, к = 1,...,п3, N1Jk = Ц (х)Ц (у)Ьк (х),
п1 х - х п2 V - V п3 7 - 7
Ц (х) = п , Ц (у) = П , Цк (7) = П , (4)
а=1,а^1 Х1 Ха а=1,аф у у у у а а=1,а^к 7к 7 а
х1, уу, 7к - координаты узла р(г, у, к) крупной сетки в декартовой системе координат Охуг. Целым числам 1,у,к узла р(¡,у,к) крупной сетки определим целое число Р и введем обозначения: Nв = N ук, д"в = и ук, 4} = V ук, чв = мук, где р = п0; по = ппп3. Тогда выражения (3) примут вид:
ЕNвq;, Vн =ЕNрЧр, Щ =ЕNрЧр . (5)
Р=1 Р=1 Р=1
Обозначим через qн = д,...,ч" , ,...,чУПо, чМ,..,}Т вектор узловых параметров МКЭ крупной сетки, т. е. вектор узловых неизвестных ДвКЭ. Используя (4), компоненты вектора q2 узловых неизвестных области У2 выражаем через компоненты вектора qн, в результате получим равенство:
q 2 = [ л2] q н, (6)
где [Л2е ] - прямоугольная матрица. Используя (6), выражение (2) представим в форме:
q •=[Б С2 }■ (7)
где
г.1
[ Ве ] =
[ К] 0 0 [ Л2]
[Е1] - квадратная единичная матрица.
Используя (7), (2) в представлении (1), из условия дПе /д(^е,q2}Т) = 0 получаем уравнение [ К £] {q1e, q 2}Т = ^,
где [Ке] = [Бе]Т[Ке][Бе], ^ = [Ве]Т Ре. (8)
[КНН], ^ - матрица жесткости и вектор узловых сил граничного ДвКЭ Уе формы прямоугольной призмы.
Замечание 1. Решение, построенное для крупной сетки граничного ДвКЭ, с помощью формулы (6) проецируем на мелкую сетку базового разбиения ДвКЭ, что дает возможность вычислять напряжения в любом КЭ базового разбиения граничного ДвКЭ, следовательно, определять напряжения в любом компоненте неоднородной структуры граничного элемента.
Замечание 2.. Погрешность решения зависит от соотношения шагов мелкой и крупной сеток и от размеров областей У, У2 граничных ДвКЭ Уе (рис. 1). Как показывают расчеты, увеличение области У (которая соприкасается с границей закрепления балки (рис. 1) приводит к уменьшению погрешности решения.
Достоинства двухсеточных конечных элементов
• ДвКЭ (граничные и первого типа) описывают трехмерное напряженное состояние в композитных
балках.
• С помощью базовых разбиений ДвКЭ (граничных и первого типа) учитывается неоднородная структура композитных балок.
• ДвКЭ (граничные и первого типа) порождают двухсеточные дискретные модели балок, размерности которых меньше размерностей базовых моделей.
• ДвКЭ (граничные и первого типа) порождают решения, которые отличаются от решений, отвечающих базовым моделям балок, на заданную величину.
• С помощью варьирования соотношений шагов мелкой и крупной вложенных сеток ДвКЭ первого типа, для граничных ДвКЭ - варьирование размерами областей У (рис. 1) регулирует погрешность решений, построенных для двухсеточных дискретных моделей балок.
• Напряжения могут быть определены в любом компоненте неоднородной структуры ДвКЭ (граничных и первого типа).
• Процедуры построения ДвКЭ (граничных и первого типа) для балок базируется на известных алгоритмах МКЭ и поэтому удобно реализуются на ЭВМ. Реализация МКЭ для двухсеточных дискретных моделей балок требует меньше ресурсов ЭВМ и временных затрат, чем для базовых моделей.
2. Результаты численных экспериментов. Рассмотрим в декартовой системе координат Охуг модельную трехмерную задачу теории упругости для композитной балки У0 (рис. 2). Балка У0 длиной Ь прямоугольного сечения высотой Н и шириной ё имеет сложное закрепление (рис. 2), Ь = \28И, Н = \2И, ё = 8И, И = 0,5. По левому торцу балка У0 частично закреплена, при х = 0, 0 < г < 6И имеем и = V = и = 0. Граница крепления на рис. 2 показана штриховкой. Балка армирована непрерывными продольными волоконами с поперечным сечением 2И х 2И . На рис. 3 показано поперечное сечение балки У0, сечения волокон закрашены. Расстояние между волокнами по осям Ох, Ог равно 2И.
Базовая дискретная модель Я0 балки У0, состоящая из однородных КЭ первого порядка формы куба со стороной И [2], учитывает неоднородную структуру, сложное закрепление и порождает мелкую сетку УИ. Балка нагружена сосредоточенными вертикальными силами q = 0,0\ (векторы сосредоточенных сил
параллельны оси Ог, схема нагружения показана на рис. 2), которые приложены в узлах мелкой сетки УИ с координатами х1, у], г = \2И, где х{ = 32И + 4И(/ - \), у = 6И + 2И(_/ - \) , I = \,...,24 , = \,2.
/1
V.
н
Рис. 2.. Расчетная схема балки Уп
Рис. 3. Сечение балки Уп
Модуль Юнга волокон балки равен 1, связующего материала 10, коэффициент Пуассона для всей области балки равен 0,3. Двухсеточная дискретная модель Я1 балки У0 состоит из семи ДвКЭ Ур первого
типа размерами 16к х 8к х 12к и одного граничного ДвКЭ Уе (область У1 имеет размеры 2И х 8к х 12И, область У2 - 14к х 8к х 12Н (см. рис. 1), которые имеют одинаковые мелкие и крупные сетки. Двухсеточная дискретная модель Я2 балки У0 состоит только из восьми ДвКЭ Ур (первого типа).
Анализ результатов расчетов показывает следующее. Максимальное значение перемещений w1 = 142,528 (в направлении оси Ох) двухсеточной дискретной модели Я1 балки У0 (т.е. с применением граничного элемента Уе ) отличается от перемещений = 152,782 базовой модели Я0 балки на 6,71 %, максимальное перемещение = 122,063 дискретной модели Я2 (без применения граничного элемента Уе ) - на 20,1 %. Максимальные эквивалентные напряжения < = 4,177 дискретной модели Я1 и <г0 = 4,439 базовой модели Я0 балки отличаются на 5,9 %. Эквивалентные напряжения вычисляем в центрах тяжести КЭ первого порядка формы куба со стороной к по четвертой теории прочности. Максимальное эквивалентное напряжение <2 = 3,222 дискретной модели Я2 балки У0 отличается от напряжения <г0 на 27,41 %. Базовая модель Я0 балки У0 содержит 45090 узловых неизвестных, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 396. Двухсеточная дискретная модель Я1 балки У0 имеет 3264 неизвестных, ширина ленты СУ МКЭ равна 1164, т.е. лента СУ МКЭ модели Я1 занимает в 4,7 раза меньше объема памяти ЭВМ, чем лента СУ МКЭ базовой модели Я0. Отметим, что использование граничных ДвКЭ приводит к несущественному увеличению размерности дискретной модели балки. В данном примере двухсеточная дискретная модель Я2 (без применения граничного ДвКЭ Уе ) балки У0 имеет 2430 неизвестных,
т.е. модель Я2 имеет в 1,34 раза меньше неизвестных, чем двухсеточная дискретная модель Я1 балки У0 с применением граничного ДвКЭ Уе .
Заключение. На основании проведенных расчетов для трехмерной композитной балки У0 можно сделать следующие выводы. Применение граничного ДвКЭ Уе в двухсеточной дискретной модели балки У0 (рис. 2) приводит к трехкратному уменьшению погрешности для максимального перемещения и почти к пятикратному уменьшению погрешности для максимального эквивалентного напряжения. При этом реализация МКЭ для двухсеточной дискретной модели Я1 балки У0 (с применением граничного ДвКЭ Уе ) требует меньше ресурсов ЭВМ, чем для базовой модели.
Литература
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975.
2. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М.: Мир, 1984.
3. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981.
4. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов: деп. в ВИНИТИ. - М., 2000. - № 2990-В00. - 30 с.
5. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // ПМТФ. - 2004. - № 3. - С. 161-171.
6. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. - М.: Мир, 1982.
7. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высш. шк., 1982. - 264 с.
