Расчет трехмерных композитных балок сложной формы с применением двухсеточных конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Технические науки

Выводы. Проведенное исследование показало, что применение внешнего быстродействующего высокоточного АЦП в сочетании с микроконтроллером позволяет достичь частоты работы ИСН порядка 40 КГц, которая ограничивается производительностью процессора, а также повысить качество стабилизации выходного напряжения.

Литература

1. URL: http://avr.ru/ready/contr/power/power.

2. URL: http://cxem.net/pitanie/5-144.php.

3. URL:http://vintehno.at.ua/news/stabilizator_setevogo_naprjazhenija_na_atmega8535_so_srednekv adratichnym_voltm etrom_n a_tiri sto rakh/2012-03-16-3.

4. Титовская Н.В., Титовский С.Н. Применение микроконтроллера ATxmega в устройстве управления импульсным стабилизатором напряжения // Вестник КрасГАУ. - 2015. - № 7.

5. Лукас В.А. Теория автоматического управления: учеб. для вузов. - М.: Недра, 1990.

6. Иванчура В.И., Краснобаев Ю.В. Модульные быстродействующие стабилизаторы напряжения с ШИМ. - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2006.

7. URL: http://catalog.gaw.ru/index.php?page=document&id=41617.

8. URL: http://catalog.gaw.ru/index.php?page=document&id=41616.

9. URL: http://datasheets.maxim-ic.com/en/ds/MAX1304-MAX1314.pdf.

УДК 539.3 АД. Матвеев

РАСЧЕТ ТРЕХМЕРНЫХ КОМПОЗИТНЫХ БАЛОК СЛОЖНОЙ ФОРМЫ С ПРИМЕНЕНИЕМ ДВУХСЕТОЧНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ*

В данной работе изложена процедура построения двухсеточных конечных элементов (ДвКЭ) для расчета трехмерных упругих композитных балок, имеющих постоянное поперечное сечение сложной формы. Предлагаемые ДвКЭ описывают трехмерное напряженное состояние в композитных балках, учитывают их неоднородную структуру и сложную форму, порождают дискретные модели малой размерности. Реализация метода конечных элементов для двухсеточных дискретных моделей трехмерных композитных балок требует меньше объема памяти ЭВМ и временных затрат, чем для базовых моделей.

Ключевые слова: композиты, упругость, балки, метод конечных элементов, двухсеточные конечные элементы.

A.D. Matveev

THE CALCULATION OF THE THREE-DIMENSIONAL IRREGULAR - SHAPED COMPOSITE BEAMS

USING THE DOUBLE-GRID FINITE ELEMENTS

The procedure of constructing the two-grid finite elements (TgFE) in order to calculate the threedimensional elastic composite beams having the constant cross section of the complex shape is presented in the article. The proposed TgFE describe the three-dimensional tense state in the composite beams, take into account their heterogeneous structure and complex form, generate discrete models of low dimension. Implementation of the finite element method for two-grid discrete models of the three-dimensional composite beams requires less computer memory and time costs than for the base models.

Key words: composites, elasticity, beams, finite element method, two-grid finite elements.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 14-01-0130)

92

ВестникКрасГАУ. 2015. №8

Введение. Расчет по методу конечных элементов (МКЭ) упругих трехмерных композитных балок со сложным поперечным сечением с учетом их формы и структуры сводится к построению базовых дискретных моделей высокого порядка [1, 2], что вызывает трудности при реализации МКЭ на ЭВМ. В [3, 4] разработаны многосеточные конечные элементы (МнКЭ) формы прямоугольного параллелепипеда, которые проектируются на основе базовых дискретных моделей и порождают многосеточные дискретные модели трехмерных тел меньшей размерности, чем базовые.

В данной работе изложена процедура построения трехмерных двухсеточных конечных элементов (ДвКЭ) сложной формы. Предлагаемые ДвКЭ применяются для расчета трехмерных упругих композитных балок, имеющих постоянное поперечное сечение сложной формы. Пусть трехмерная композитная балка сложной формы расположена в декартовой системе координат Oxyz так, что ось Oy параллельна оси балки, а поперечное сечение балки лежит в плоскости Oxz

(рис. 1). Балка представлена шестигранными ДвКЭ Vf (рис. 2), e = 1,...,24.

Основные положения процедуры построения ДвКЭ рассмотрим на примере построения шестигранного ДвКЭ Vea, показанного на рисунке 2.

Для построения ДвКЭ Vf используем две вложенные сетки: мелкую и крупную. Мелкая

сетка hea порождена базовым разбиением ДвКЭ Vf, которое учитывает его неоднородную структуру и состоит из конечных элементов 1-го порядка формы куба (шестигранника, треугольной прямой призмы [1, 6]). На мелкой сетке определяем крупную сетку на, для узлов которой вводим целочисленную систему координат ijk. Причем оси i, j, к совпадают соответственно с осями Ox,

93

Технические науки

Oy, Oz декартовой системы координат Oxyz ДвКЭ У Р. На рисунке 2 показана мелкая сетка базового разбиения ДвКЭ У a, узлы крупной сетки Ha отмечены точками, сечения волокон закрашены, общее число узлов крупной сетки H% равно 40, i = , j = , к = 1,...,3. Отметим, что

узлы крупной сетки H% в плоскостях, параллельных плоскости Oxz, образуют четырехугольный конечный элемент (КЭ) ABCD второго порядка (рис. 2), который имеет 8 узлов. На рисунке 2 узлы отмечены точками. Интерполяционный полином Pa(x,z) для КЭ ABCD имеет вид

п , ч 2 2 2 2

Pa (x, z) = ai + a2 x + 03 z + a4 xz + a5 x + a5 z + aj x z + a% xz ,

где ai - постоянные, i = 1,...,8.

При построении базисных функций pp(x,y,z) ДвКЭ Vea используем полиномы Лагранжа Lp(y) и базовые функции Np(x,z), которые построены по алгоритмам МКЭ для двумерного интерполяционного полинома Pa (x, z). Общее число базисных функций pp равно 40 (т. е.

Р = 1,..,40).

Базисную функцию pp для узла p (крупной сетки Ha ДвКЭ У Р) представляем в следующем виде:

рр(x,y,z) = Nр(x,z)Lp(y) , (1)

где р = 1,...,40.

Отметим, что вместо полиномов Лагранжа Lp(y) можно использовать базисные функции

Nnp (у), отвечающие интерполяционному полиному Pn (y) n -го порядка. Для ДвКЭ У Р имеем n = 4, т.е. полином P4(y) имеет вид

2 3 4

P4(y) = b1 + b2 у + b3 у + b4 у + b5 у ,

где b - постоянные, i = 1,...,5.

Функции перемещений ua, va, wa ДвКЭ Vea (построенные на крупной сетке Ha) представим в виде

40 40 40

ua = £pp uP , va = ZPp vp , wa = Zpp wp , (2)

P=1 p=1 p=1

где pp, up, vp, wp - базисная функция и значения функций перемещений ua, va, wa p-го узла крупной сетки Ha, p = 1,...,40.

a T

Пусть qе = {u1,...,u40, v1,...,v40, w1,...,w40} есть вектор узловых перемещений крупной сетки h0 , т.е. qa - вектор узловых перемещений ДвКЭ У Р . На базовом разбиении ДвКЭ У/ строим функционал Пa полной потенциальной энергии. Причем Пa = Пa (qh), где qh вектор узловых перемещений базового разбиения ДвКЭ У Р. С помощью (2) вектор узловых перемещений q ^ (т. е. вектор узловых перемещений мелкой сетки ha) выражаем через вектор q a узловых перемещений ДвКЭ У е . В результате имеем Пе = Пе (qе). Из условия дП e (q a)/ dq a = 0 получаем формулы для вычисления матрицы жесткости и вектора узловых сил ДвКЭ У Р.

Достоинства ДвКЭ в композитных балках состоят в следующем:

94

ВестникКрасГАУ. 2015. №8

- описывают трехмерное напряженное состояние;

- учитывают неоднородную (микронеоднородную) структуру;

- учитывают сложную форму и сложный характер крепления балок;

- порождают дискретные модели малой размерности.

Реализация МКЭ для двухсеточных дискретных моделей трехмерных композитных балок требует меньше объема памяти ЭВМ и временных затрат, чем для базовых дискретных моделей.

Приведен пример расчета по МКЭ балки волокнистой структуры, имеющей поперечное сечение сложной формы. Анализ расчетов балки показывает высокую эффективность применения предлагаемых ДвКЭ.

1. Процедура построения двухсеточных конечных элементов сложной формы. Основные положения процедуры покажем на примере построения композитного ДвКЭ сложной

формы, который расположен в декартовой системе координат Oxyz (рис. 3). ДвКЭ у/ есть прямоугольный параллелепипед размерами 18h х 24h x18h, имеющий отверстие сложной формы. Считаем, что между компонентами неоднородной структуры ДвКЭ у/ связи идеальны, а функции перемещений, напряжений и деформаций этих компонентов удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши, отвечающим трехмерной задаче теории упругости [5], т.е. во всей области ДвКЭ у/

реализуется трехмерное напряженное состояние. ДвКЭ у/ армирован непрерывными волокнами, параллельнными оси Oy. Область ДвКЭ у/ представляем базовым разбиением, состоящим из однородных односеточных КЭ yj 1-го порядка формы куба со стороной h [1], j = 1,...rM; где M - общее число КЭ У*. На рисунке 3 показано базовое разбиение ДвКЭ Уеь на КЭ Vj в плоскости Oxz, сечения волокон (размерами h х h) закрашены. Базовое разбиение ДвКЭ У^ учитывает его неоднородную структуру и порождает мелкую узловую сетку yh. На мелкой сетке yth определяем крупную сетку Иъе. На рисунке 3 узлы сетки Нъе отмечены точками. Общее число узлов крупной

сетки Нъе равно 60. Крупная сетка ViH вложена в сетку Нъ формы прямоугольного параллелепипеда размерности n1 х n2 х n3, которая расположена в целочисленной системе координат i, j, к;

i = 1,...,п1, j = 1,...,n2, к = 1,...,n3 (рис. 4), п1 = 4, n2 = 5, n3 = 4, узлы сетки h\ отмечены

точками. Заметим, что не все узлы сетки Нъ являются узлами крупной сетки Н%.

Рис. 3. ДвКЭ Уеъ сложной формы

Рис. 4. Сетка Н,

ъ

95

Технические науки

При построении базисных функций перемещений /,к (x, y, z) ДвКЭ используем полиномы Лагранжа Lj (y) и двумерный интерполяционный полином Pb (x, z). Общее число базисных

функций /ijk равно 60. Отметим, что узлы крупной сетки Иъе в плоскостях, параллельных плоскости

Oxz, образуют прямоугольный КЭ ABCD 3-го порядка (см. рис. 3), который имеет 12 узлов (узлы отмечены точками). Интерполяционный полином Ръ (x, z) для КЭ ABCD (см. рис. 3) имеет вид

222 23 333

Ръ (x, z) = ai + a2x + a3z + a4xz + a5x + a6z + ayx z + a8xz + agxz + a10zx + a^x + a^z ,

где at - постоянные, i = .

Базисную функцию /,к (x, y, z) для узла i, j, к (крупной сетки Hbe ДвКЭ Уеъ) с координатами xi, yj, zk представляем в следующем виде:

/ijk(x, У, z) = Nik(x, z)Lj(y). (3)

где Nik (x,z) - базисные функции перемещений четырехугольного КЭ ABCD (см.рис. 3), построенные по МКЭ и отвечающие полиному Ръ(x,z), i = 1,...,4, j = 1,...,5, к = 1,...,4; Lj(y)- полиномы Лагранжа, которые имеют вид

5

Lj (y) = П J-y^. (4)

j «=,,«*j-yj -ya

Узлу i, j,к крупной сетки Нъе ДвКЭ vjb определим число р и введем обозначение Np =/ijk, Р = 1,...,60. Тогда функции перемещений иъ, уъ, м?ъ ДвКЭ Уеъ (построенные на

крупной сетке Нъе) представим в виде

60 60 40

иъ = Yu/pир ’ уъ = Z/p vp- w =£vpwp, (5)

р=1 р=1 р=

где /р, up, vp, wp - базисная функция и значения функций перемещений иъ, vb, wb р-го

узла крупной сетки Нъе, р = 1,...,60.

1 гр

Пусть qe = [ul,...,u60, vl,...,v60, wx,...,w60}T есть вектор узловых перемещений крупной сетки Нъе, т.е. вектор узловых перемещений ДвКЭ У^ . Полную потенциальную энергию п е базового разбиения ДвКЭ Уеъ представим в форме [1, 6]

м ,

Пе =1 (2qj[kJ 14,- -qTjPj), (6)

j=1 2

где [Kj 1 - матрица жесткости; P, , qj - векторы узловых сил и перемещений КЭ У, базового разбиения ДвКЭ; T - транспонирование.

Используя (5), вектор q, узловых перемещений КЭ Vj выражаем через вектор qъ узловых перемещений ДвКЭ У^. В результате получим равенство

q j = [ Aj 1 qъ,

(7)

96

ВестникКрасГАУ. 2015. №8

где [Л® ] - прямоугольная матрица, j =

Подставляя (7) в выражение (6), из условия дПf / dq f = 0 получаем уравнение

[ K ] q b = F, где

M M

[Kb ] = £[ЛЬ ]T[Kj][ЛЬ ], Fb = £[ЛЬ ]T P

j

(8)

j=i

j=i

здесь [Ke ], Ff - матрица жесткости и вектор узловых сил ДвКЭ Vf.

Отметим, что процедура построения ДвКЭ неоднородной структуры формы прямой треугольной призмы аналогична процедуре п. 1. На рисунке 5 показаны мелкая и крупная сетки ДвКЭ формы прямой треугольной призмы, узлы крупной сетки отмечены точками, сечение волокна, параллельного оси Oy, закрашено.

Рис. 5. ДвКЭ формы треугольной призмы

Узлы крупной сетки в плоскости Oxz образуют треугольный КЭ 2-го порядка (6 узлов), для аппроксимации перемещений которого используем интерполяционный полином вида

2 2

P( x, z) = ai + а.2 x + а3 z + а4 xz + а5 x + a6 z [6], где aj = const.

2. Результаты расчетов. В качестве модельной задачи рассмотрим расчет композитной консольной балки V0 волокнистой структуры (рис. 6). Балка V0 расположена в декартовой системе координат Oxyz , при y = 0 имеем u = v = w = 0, т.е. балка жестко закреплена. Волокна парал-

лельны оси Oy. Базовое разбиение R0 балки V0 состоит из однородных КЭ Vj 1-го порядка формы куба со стороной h.

Рис. 6. Балка V

Разбиение R учитывает неоднородную структуру балки и порождает мелкую сетку j

размерности 19 х193 х19. Двухсеточная модель балки V0 состоит из ДвКЭ Veb с размерами 18hх24hx18h (см. рис. 3), построенные по процедуре п. 1, e = 1,...,N, N - общее число ДвКЭ

Ve, для балки V N = 6. На рисунке 6 показано разбиение балки V0 на ДвКЭ Vf. В узлах мелкой сетки j базового разбиения балки V0 с координатами xt, yj, z = 18h, где xi = 6h(a-1),

97

Технические науки

а = , yj = 12h + 6h(p~ 1), р = 1,...,31, на балку V0 действуют вертикальные силы

Pz = 0,015. На рисунке 6 схематично показаны силы Pz. Модуль Юнга связующего материала равен 1, волокна - 10, коэффициент Пуассона для волокна и связующего материала равен 0,3. Длина балки L = 192h, поперечное сечение балки с характерными размерами 18h x18h имеет отверстие сложной формы (см. рис. 3).

Результаты расчетов балки V0 показывают следующее. Максимальное эквивалентное напряжение <jh = 3,659 (перемещение wh = 224,697) двухсеточной дискретной модели R балки V отличается от максимального эквивалентного напряжения а0 = 3,940 (перемещения w0 = 228,802) базовой дискретной модели R0 на 7,13 % (на 1,79 %). Размерность базовой модели R0 балки V равна 178560, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 1985. Двухсеточная дискретная модель Rh балки V0 имеет 1152 узловых неизвестных (т.е. имеет в 155 раз меньше неизвестных базовой модели R0), ширина ленты СУ МКЭ равна 359 (в 5,5 раза меньше ширины ленты СУ МКЭ модели R0). Реализация МКЭ для двухсеточной модели Rh требует в 855 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем для базовой модели R0. Эквивалентные напряжения определяются по 4-й теории прочности.

Литература

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975.

2. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. - М.: Мир, 1982.

3. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов. - Деп. в ВИНИТИ № 2990-В00. 2000.

4. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // ПМТФ. - 2004. - № 3.

5. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высш. шк., 1982.

6. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981.

УДК 539.371 И.О. Богульский

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНОГО НОРМАЛЬНОГО УДАРА ПО СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ

ПРЕГРАДЕ

В работе проведено моделирование взаимодействия большого числа жестких цилиндрических ударников с упругой, слоисто-неоднородной плитой. Решение основано на эффективном численном решении задачи о взаимодействии одного жесткого цилиндра с неоднородной преградой и алгоритме сборки полного решения путем суперпозиции элементарных решений.

Ключевые слова: упругая среда, суперпозиция, численное решение.

I.O. Bogulskii

MODELING OF THE COMPLEX NORMAL IMPACT ON THE LAYERED-INHOMOGENEOUS BARRIER

The interaction modeling of a large number of rigid cylindrical projectiles with the elastic, layered-inhomogeneous plate is conducted in the article. The solution is based on the task efficient numerical solution of one rigid cylinder interaction with the inhomogeneous barrier and on the algorithm of the complete solution integration by superposition of elementary solutions.

Key words: elastic medium, superposition, numerical solution.

98