Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к исследованию многослойных пластин произвольной формы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.392

Э. С. Вентцель, И. В. Бойков, С. П. Алаткин

ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

Аннотация. Методами граничных интегральных уравнений и гиперсингуляр-ных интегральных уравнений исследована деформация трехслойных пластин произвольной формы.

Ключевые слова: метод граничных интегральных уравнений, гиперсингуляр-ные интегральные уравнения, композитные материалы.

Abstract: The article investigates deformation of three-layer plates of random form by means of boundary integral equations and hypersingular integral equations.

Key words: boundary integral equations, hypersingular integral equations composits.

Введение

В современной аэрокосмической технике широко применяются композитные матрицы, в частности, многослойные пластины со слоями различной толщины и с различнвми свойствами составляющих материалов. Исследование композитных материалов связано с большими теоретическими и вычислительными трудностями, особенно в случае, если изделия имеют произвольную форму.

Известно, что одним из наиболее распространенных методов решения задач теории упругости и теории оболочек является метод граничных интегральных уравнений [1]. В случае многослойных пластин произвольной формы непосредственное применение стандартой процедуры метода граничных элементов затруднительно и приходится использовать аппарат гиперсингу-лярных интегральных уравнений.

Напомним определения гиперсингулярных интегралов.

Определение 1 [1]. Интеграл вида

b A(x)dx

I (b - x)p+a

при целом p и 0< a <1 определяет величину («конечную часть») рассматриваемого интеграла как предел при x ^ b суммы

x A(t)dt B(x)

I (b -1)p+a + (b - x)p+a-1,

если предположить, что A(x) имеет p производных в окрестности точки b . Здесь B( x) - любая функция, на которую налагаются два условия:

а) рассматриваемый предел существует;

б) B(x) имеет по крайней мере p производных в окрестности точки

x = b .

Произвольный выбор В(х) никак не влияет на значение получаемого предела: условие (а) определяет значения (р -1) первых производных от В(х) в точке Ь, так что произвольный добавочный член в числителе есть

бесконечно малая величина по меньшей мере порядка (Ь - х)р .

Определение 2 [3]. Интегралом

Ь ф(т)^т

1 а < с < Ь,

,(т-с)р

в смысле главного значения Коши - Адамара называется следующий предел:

Ь ф(т)ат =

• (т-с)р 1^-т0

V ф(т)ат + г ф(т)а т + ьм

(т-с)р с1 (т-с)р Vр-1

где ^(v) - некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный предел существовал.

В концевых точках а и Ь гиперсингулярный интеграл определен следующим образом.

■ГЧ Т! Ь ф(т)а т

Определение 3. Интегралом ----------- называется предел

•’(т-а)р

а

Ь Ф(т)ат = 1.т

• (т-а)р V'-—0

.а +v

Ф(т)а т +¿<4 + ^1(v)ln|v |

(т-а)р vp-1 1

где ЬМ - некоторая функция, имеющая непрерывные производные до (р -1) порядка, удовлетворяющие условию Дини - Липшица в окрестности нуля; - некоторая функция, удовлетворяющая условию Дини -

Липшица в окрестности нуля. Функции Ь^) и ^1^) выбираются так, чтобы указанный процесс существовал.

Непосредственное вычисление гиперсингулярных интегралов и точное решение гиперсингулярных интегральных уравнений возможно лишь в исключительных случаях. Поэтому для решения прикладных задач активно развиваются численные методы.

Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов изложены в работах [4-6], причем в книге [4] приведена обширная библиография.

Численные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений в настоящее время активно развиваются. Разработан ряд приближенных методов решения одномерных гиперсингулярных интегральных уравнений, полигиперсингулярных интегральных уравнений, многомерных гиперсингу-лярных интегральных уравнений [7].

1. Постановка задачи

Рассматривается изотропная упругая трехслойная пластина й (одно или многосвязная), у которой внешние слои имеют толщину Ио, а внутрен-

ний слой - 1\ . Пластина й расположена в плоскости Оху , ограничена контуром Г и имеет поперечную нагрузку р(х,у), (х,у)єй.

Деформация пластины при небольших отклонениях описывается системой дифференциальных уравнений

А-1 (вх) + Ц2 (ву) + Аз (»)_ 0, і _ 1,2; (1)

¿31 (бх ) + ¿32 (ву ) + ¿33 (ю) + р _ 0 (2)

с дифференциальными операторами

А () _ р, а2 (..) | і а2 (..) ) _ і і+у а2 (..) _ э(_)

11 Од ах2 г ау2 (.')’ 12 ^21 - у ага,. ’ 1з(. ) аг ’

А ( ) А ( ) А ( ) о, а2 (. ) | 1 а2 (..) ( ! А ( ! а(..)

І12(..)_І21(.)-І22(..)_+7іх^ ^(.)_ ~аг,

¿3,(..) = Ое1!з(..), ¿32(..) = (..),¿33 (..)=ОдД(..), (3)

где О* и Од - коэффициенты, характеризующие изгиб и сжатие пластины соответственно:

Е.Ио И2 2 2Од И2

О* = / ^, И = И1 + Ио, ц2 = о д ), Од = --Сс. (4)

2(1 - v2) О* (1 - V И

2 2 2 2

Здесь Д = Э / Эх + Э / Эу - оператор Лапласа; v - коэффициент Пуассона внешних пластин; Е. - модуль упругости внешних пластин; О* -

модуль сдвига внутренней пластины.

Для решения системы уравнений вида (1)-(3) в работе [8] использован операторный метод, приведший к новому классу гиперсингулярных интегралов, численные алгоритмы вычисления которых даны в [9].

Наряду с методом работы [8] представляет значительный интерес и развитие других методов, в частности метода, предложенного в [10].

Введя оператор

ДЕ

Ь( Е ) = Е —- (5)

ц

и воспользовавшись представлением

<2Х = (¿12^23 -¿22^3^ = -Э-Х^(Е); (6)

Эх

_а_

ау'

ву = (¿21^13 -¿23^11^ = — ВД; (7)

" = (¿11^22 - ¿12¿21^ = А(^) - ДЦЕ), (8)

Ов

Э. С. Вентцель [10] показал, что этой подстановкой тождественно удовлетворены уравнения (1), а уравнение (2) сводится к уравнению

О* (ДДЦЕ )) = р, (9)

которое может быть переписано в следующем виде:

О* ДД(ц2 Е -ДЕ ) = ц2 р. (10)

Решив уравнение (10), можно найти общее решение системы уравнений (1), (2).

В самом деле, пусть ип - решение уравнения О*ДДи = ц р; {и.} -

множество нормированных линейно-независимых решений уравнения О* ДДи = 0.

Решив последовательность уравнений

ц2Е-ДЕ = ип, (11)

ц2 Е -ДЕ = и. (12)

и найдя линейно независимые решения уравнения

ц2 Е -ДЕ = 0, (13)

получаем полную систему линейно-независимых решений уравнения (9), из которой по формулам (6)-(8) получаем полную систему линейно-

независимых решений системы уравнений (1), (2). Произвольные константы в этой системе находятся из начальных условий. Описанный алгоритм численно реализован в [10].

В данной работе к решению системы уравнений (1), (2) применяется метод потенциалов.

Введем поверхностный потенциал Ф и граничный потенциал V

следующими формулами:

ЭФ ЭФ О*

Ох =------, Оу =----, w = Ф---- ДФ; (14)

^х Эху Эу Од У ’

ЭТ ЭТ

вх =-~Г, ду =—Э_, w = 0. (15)

Эу Эх

Тогда система дифференциальных уравнений (1), (2) может быть преобразована к следующим уравнениям, выраженным через потенциалы Ф и Т:

Ос ДДФ = р; (16)

ДТ-ц2Т = 0. (17)

Таким образом, задача определения малых прогибов изотропной

трехслойной пластины сведена к бигармоническому уравнению (16) и

уравнению Гордона - Клейна (17).

Изгибы, крутящиеся моменты и сдвиг средней поверхности пластины выражаются через потенциалы Ф и Т по формулам

Мх _ ~°,

Му _-°,

а 2ф

- + у-

а 2ф

-(1 -у)

а2 т

а 2ф

- + у

ау"

Мху _~°, (1 -у)

ау2 ' ' ахау

ф-(1 -у)-

а 2ф

а 2т

ах

а 2ф +1 ахау 2

ахау

(-Л 2

а2т а2т

2ш

ах2 ау2

а ат а ат

вх _ -О тт АФ + Од —, ву _ -О—ДФ + Од —.

ах ау ау ^

ах

(18)

(19)

Различным методом решения уравнений (16) и (17) посвящено большое число работ. В частности, детальный анализ нескольких численных методов приведен в [11].

Ниже для решения уранений (16), (17) применяется метод граничных интегральных уравнений.

Опишем ограничения, при которых будем решать поставленную выше задачу:

1) верхний и нижний слои имеют одиниковую тощину И0 , причем И) <где И1 - толщина внутреннего слоя;

2) изгибом внешних слоев можно принебречь;

3) во внутреннем слое рассматривеются только поперечная деформация сдвига;

4) прогиб w постоянный по всей толщине пластины ( = w(х,у));

5) и внешние и внутренний слои сделаны из изотропного материала.

Перечисленные выше условия дают возможность перейти от трехмерной трехслойной пластины к двумерной задаче моделирования деформации средней поверхности однородной пластины, определенной несколькими физическими параметрами: жесткостью на изгиб О* и жесткостью

поперечного сдвига Од .

Излагаемый ниже метод может быть использован для решения уравнений (1), (2) при следующих граничных условиях, сформулированных для функций Ф и Т .

1. Граница Г. закреплена:

^ о, а* п аф ат аФ

ф —— дф _ о,

О

в

ап а, а,

ат

ап

(20)

2. Легкий тип свободно опертой границы Г j:

а (аФ ат

Ф--^ДФ _ 0, (1 -и)—І-------I + иДФ_ 0;

О

в

ап і ап а,

А Г + "| _ I Дт = 0.

дп ^ д$ дп ) 2

3.Тяжелый тип свободно опертой границы Гj :

дТ

Ф = 0, -----= 0, ДФ = 0. (21)

дп

4. Свободная граница Гj:

п ч д ГдФ дТ^ Л . п д ГдФ дТ^ 1 лш п

(1 _"и)—I----------I + "иДФ = 0, —I-------+-I —ДТ = 0,

дп ^ дп д5 ) дп ^ д5 дп у 2

д дТ

_ ДФ + — = 0. (22)

дп д5

Здесь д / дп и д/дБ означает дифференцирование в направлении внеш-

^ ч д2(..) 1 д(..) д2(..)

ней нормали и касательной к контуру Г ,■; Д(..) =---------------------------— Н-\-— -

1 дп1 Р дп д52

оператор Лапласа; 1/ р - кривизна границы в рассматриваемой точке.

Для краткости ниже ограничимся рассмотрением уравнений (1), (2) при жестко закрепленной границе. Остальные случаи рассматриваются аналогично.

2. Многослойная пластина с жестко закрепленной границей

Рассмотрим случай, когда граничный компонент Гу закреплен. Получим систему следующих уравнений:

^ дФ дТ дФ дТ

Ф----— ДФ = 0,---=--------,---=------,

Бд дп д5 д5 дп

где д / дп и д/дБ - частные производные по нормали и направлению каса-

^ А, ч д2(..) 1 д(..) д2(..)

тельной к обходу границы Г ,■; Д(..) =--— +----------+-— - оператор

1 дп2 Р дп д52

Лапласа; 1/Р - кривизна границы в интересующей точке, а неизвестные функции Ф и Т имеют следующее интегральное представление:

Ф(х,у) = | Ор (х,у; £,л)^п (£,л) + д°Ф (дУ;^Л) тп (£,Л) * + \\офрё£, (23)

Г- -1 £

Т(х, у) = | От (х, у; £, л)0; (£, л№ ; (£, л) еГ, (х, у) е£ . (24)

Г

Функции Грина уравнений (23), (24) при рассматриваемых граничных условиях имеют следующий вид:

Оф (х, у; £, л) = -1- г21п г;

От (х, у; 5, л) = — К0 (цг), 2л

где г =

(х-5) + (у-Л)2

1/2

; К0 (цг) - модифицированная функция Бесселя

нулевого порядка.

Функция Бесселя представима в интегральной форме следующим образом:

К

Подставляя интегральные представления (23) и (24) в граничные условия, приходим к системе гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений

I

пі е \ к у;5л) * ч

Оф (х, у; 5, л) дп (5, Л) +------------ тп (5, Л)

ап

■ +

НЯОф(х,у;5,л)а-Овд |

а в і г

у; 5 л) ч +------------------------ тп (£, л)

ап

Оф(х, у; 5, л) (5, л) +

|| Оф(х, у; 5 л)а

а

= 0;

_Э_

ап

г

пі е \ к у;5л) * ч

Оф(х, у; 5, л)п (5, л) +-------Ч------ тп (5, л)

ап

а

а,

а

(

||Оф(х,у;5,л)ёа =а, |От(х,у;5,л)(5,л)<*

I

О ( 5 ) (5 ) у;5л) (5 )

Оф (х, у; 5, л )Чп (5, л ) +----ап----- тп (5, л )

Л (

а

а

IIОф(х,у;5,л)а = — IОт(х,у;5,л)(5,л)ё,

і Г

(25)

относительно неизвестных функций источника дп, тп и 9Г.

Аналитическое решение данной системы представляется невозможным, и поэтому приходится рассмотреть численные методы. При разработке численного метода необходимо задать границу исследуемой пластины. Для простоты обозначений будем рассматривать единичный квадрат (отметим, что в общем случае в рамках сплайн-коллокационного метода нулевого порядка необходимо границу области аппроксимировать кусочно-линейной границей).

В этом случае границей является периметр единичного квадрата. Приближенное решение будем искать в виде кусочно-постоянных функций. Для этого каждую из сторон квадрата £ = [0,1; 0,1] разобъем на конечное число сегментов точками (хк ,0), хк = к / п, к = 0,1,..., п; (1, ук), ук = к / п, к = 0,1,..., п; (1, хк), хк = к / п, к = 0,1,..., п; (0, ук), ук = к / п, к = 0,1,..., п.

Функции д(^,л ), т(^,л ), 9(^,л ) аппроксимируются кусочно-постоянными функциями

4п_1 4 п—1

Чп &л ) = 2 «к ¥ к (^л X тп (^л ) = 2 Рк ¥ к (^л X

к=0 к=0

4п_1

бп (^Л ) = 2 у к ¥ к (^Л X

к=0

где ¥ к (£, л) =

Г1, (^л)еДк

хл)^дк.

Здесь Д/ (/ = 0,1,..., 4п _ 1) - пронумерованные в положительном направлении (против часовой стрелки) сегменты: [хк, хк+1 ], к = 0,1,..., п _ 1, лежащие на прямой у = 0; [ук, ук+1 ], к = 0,1,..., п _ 1, лежащие на прямой х = 1; [хк, хк+1 ], к = п _ 1,..., 0, лежащие на прямой у = 1; [ук, ук+1 ], к = п _ 1,..., 0, лежащие на прямой х = 0.

Положим для определенности N = 4п.

Так как граница области - квадрат, лапласиан примет вид

д(.) ^+*и.

дх2 ду2

О ( 0) д(..) д(..) д(..) д(..)

Отметим также, что для точек (х,0): ---=----, а----=-------.

^ ’ д5 дх дп ду

Приближенная система состоит из четырех систем уравнений - отдельной для каждой стороны квадрата. Для стороны (х,0),0 < х < 1, система примет вид

0р(x, у; ^ л) _т~"

Д

Г д 2Ор(х, у; ^, л) + д 2Ор(х, у; ^, л)

б

дх2

Чп & л) _

//

ГдОр (х,у;£,л) _ Д5 Гд3Ор(х,у;^,л) + д3Ор(х,у;^,л)^

ду

Д

б

дх2ду

ду3

тп (£, л)

/у

■и

£

Д,

Га 2

0р(x, у; ^ л)_7~

Д

б

д Ор (х,у;^,л) + д Ор(х,у;^,л)

дх2

SI7

ff

+ (U Ъ)иь

Л

w

(и‘^‘х)ф£) о (U‘^‘х)ф07^

-SL-(ky‘x)<S>D

У.

яр wp лр ф /

ñé=ñé*‘ñé=ñé :(I5'f5»)'('f'1) ,,HOdOM'!irï

и

хб ГГ

•О = Ï5pd, ' — - sp

(и‘^ет777Г7

xe

4?

•0 = 0^777^77

z и

JJ + sp

(и‘5^‘х)Ф£,Є

xp

(^‘5)^7777Г777

+ (иЮМг«7777Г777

/Ср

___L 4S) _______________

(и‘5^‘х)Ф£,гЄ (и‘5^‘х)Ф£,Є

•0 =

/Є

+ sp

(L ^)иш

ff

{\i^‘x)^oze (и‘^‘*)фЭгеу (i Л ¿e7xe

9(7

— -(\х‘уЛ‘х)фО

ö

№

w

(іі‘^‘х)Ф£) о (ие5^езс)Ф£) Є Г(7

9

(7

¿Є

+ (U Ъ)иь

Л

,хе

V V

í(p up xp sp и

Я + *

Xp

•0 = 0Р^Т777Г777

Dp ‘{(>X(>

¡{p

(^УЄтт-гттІ

(k‘^.<{‘x)<bDp

xp

+ (U ‘5) Uiu ---------(U ‘5) ub -.---------r——

(k^‘x)®Dp

JÍ£

\k^‘x)®Dp

и

•0 = VPd-7Г^7777Т7ЇЇ^Я “ SP

(и‘5)^7777Г7

xp

'(Ь.‘Ъ‘Л‘х)ф07Р

úp

+ (^)^77-Г77І

(U^tf'x)®op

DmiUDWdlUD]/\[ 'TlMoH дПУІОдНПШОШдШОШ-ОУІПЕПф

HOZ ‘(6Т) s 5К

ГдОр (х,у;£,л) _ Д^Гд3Ор(х,у;£,л) + д3Ор(х,у;£,л)^

дх

Д

б

ду 2дх

дх3

тп (£, л)

йи +

УУ

-л

£

Ор (х,у;£,л) _

Д

б

I

дОр (х,у;^,л)

д Ор (х,у;^,л) + д Ор(х,у;^,л) дх2 ду2

д 2Ор(х, у; ^, л)

рр £ = 0;

п

дх

дОт(х, у; £, л)

Чп &л) +

дх2

тп (£, л) _

ду

дОр (х,у;£,л) ду

дОт(х, у; £, л)

9Г & л)

йи +

Л

£

2

дОр (х,у;£,л) дх

■рй £ = 0;

Чп(£,л) + д 0р,(х’у;^л) тп(£,л) _

дх

9Г & л)

и

£

дхду

дОр (х,у;£,л) ду

■рй £ = 0;

для стороны (0,у),(0<у < 1): М= -%! , а &> = _&>

д5 ду дп дх

Ор (х,у;£,л) _

Д

б

д Ор (х,у;^,л) д Ор(х,у;^,л)

дх2

л) _

/у

ГдОр (х,у;£,л) _ Д5 Гд3Ор (х,у;£,л) д3Ор(х,у;£,л)^

дх

Д

б

ду 2дх

дх3

тп (£, л)

й5 +

у

■и

£

Д,

Га 2

Ор( у; ^ л)_7~

Д

б

д Ор (х,у;^,л) д Ор(х,у;^,л)

дОр (х,у;£,л)

дх ду'

д2Ор (х,у;£,л)

рр £ = 0;

п

дх

дОт(х, у; £, л)

Чп & л) +

ду

дОр (х,у;£,л) " ду

9{ (£, л)

■Л

£

2

дх2

дОр (х,у;£,л) дх

тп (£, л) +

■рй £ = 0;

(е ч + д 0р(x,у;^л) (е ч +

Чп (£, л) +-------------- тп (£, л) +

дхду

ЭО™(х, у;л)

& л)

Эх

А

й

ЭОф (х,у;л)

Эу

■рй й = 0.

(26)

В этом случае система будет включать частные производные функций Грина следующего вида:

ЭСф - 1 -(21пг + 1)(х-£); Э^ф-т-1-(21иг + 1)(у-л);

Эх 8л£>

Эу 8кО,.

Э2О

Ф

1

(

Эх2 8пОя

21п г +

1+ 2 (х

Э 2О

(

ф

Эу2 8иВ5

21п г +

1+ 2 (у-л)

Э 2Оф = 1 2 Xх-£)(у-л);

Э3О

ТФ __________

ЭхЭу 8кО.

(

Ф

1

Эх3 8я£5

2(х-£) + 4(х-£)г -2(х-£)'

Э3О

ф

Эу3 8иВ5

(2(у-л) + 4(у-л)г2 -2(у-л)3 ^

Э3Оф

Эх Эу 8лД5

2(у-л) 4(х-£) (у-л)

Э3Оф

Эу Эх 8пД5

2(х-£) 4(у-л) (х-£)

Э( (х, у; £, л) )= 1 7цт(х-£) йт

Эх

- М

2л ■>

ге

цгт

4

т2 -1

Э(((х,у;л)) - -7цх((-л) йх Эу 2л | ге^х ^/х2 -1 '

Подставляя эти функции в систему уравнений (26), приходим к системе гиперсингулярных интегральных уравнений, в состав которой входят гипер-сингулярные, сингулярные и слабосингулярные операторы.

После приведения к каноническому виду гиперсингулярные интегралы в системе уравнений (26) имеют следующий вид:

г /(х)йх

Определение интеграла в смысле главного значения по Коши, а также определения 1 и 2 к этому интегралу не применимы. Введем следующее определение, аналогичное определению 3.

2

г

Определение 4. Пусть функция /(х) имеет производную / (х), удовлетворяющую условиям Дини - Липшица. Тогда

/(х)йх _

——---------11Ш

Iх I л^0

/ (х)йх г / (х)йх

л

где Е(л) - произвольная функция, удовлетворяющая в окрестности нуля условиям Дини - Липшица и выбираемая таким образом, чтобы предел существовал.

После этих предварительных замечаний изложим построение квадратурных формул, используемых при решении системы уравнений (26) и аналогичных систем, на примере интеграла, определенного на отрезке прямой.

Рассмотрим интеграл

Г / (х)й х

-1

х-*

(27)

Введем две сетки узлов:

2к - 2к +1

Хк _-1 + —,к _ 0,1,...,N, *к _-1 + -^-,к _ 0,1,...,N -1.

Интеграл (27) будем вычислять на сетке узлов *к по квадратурной формуле

Г /(х)йх _ у г

-1 х-}к I_0 I х~(к

N-1 _

_ У /(*1 )1п

I _0

N -14+1

/(х)йх _

N-1 _ 7+1

у /Си) г ■

I _0

*1+1 - *к

й х

х - tk

*1 *к

(28)

На классе функций Гельдера Иа погрешность квадратурной формулы

(28) оценивается неравенством

|RN (/ )|<^- 1п N;

N а

на классе функций Жг (1) погрешность квадратурной формулы (28) оценивается неравенством

|RN (/ )|<^- 1п N.

N

В случае, если сингулярный интеграл задан на гладкой кривой Ь, то квадратурная формула строится следующим образом. Рассмотрим интеграл

ГФ(х)

-й х.

(29)

1

На кривой Ь построим две сетки узлов. Пусть р - длина кривой Ь. Построим на кривой Ь последовательность узлов Sk, к _0,1,..., N, в которой узел ^0 совпадает с началом кривой, узел SN совпадает с концом кривой, а узлы Sk - равноотстоящие. Введем еще одну сетку узлов: sk, к _0,1,..., N -1,

в которой узел ,^к находится на равном расстоянии от узлов ,?к и ,?к+1, к _0,1,.., N -1.

Квадратурная формула имеет вид

N-1

х =

I ф( sk )| + RN (ф) =

і=0 т,х-

х- Sk

і=0 ^ т sk I

N-1

= |ф( sk )1п

і=0

Ч=1 - sk

sk - sk

Погрешность этой формулы равна О

N 0

на классе Гельдера Н0

О

1п N

+°у

- на классе WrHa (1).

Рассмотрим способ вычисления гиперсингулярных интегралов. Вначале опишем способ вычисления гиперсингулярного интеграла на отрезке прямой. Рассмотрим интеграл

-1'

ф(х)

І х-ґ |

ё х.

Введем две системы узлов:

2к - 2к +1 *к _-1 + N, к _ 0,1,., N, *к _-1 + -^-, к _ 0,1,., N -1.

Гиперсингулярный интеграл будем вычислять на сетке узлов *к, к _ 0,1,..., N -1, по квадратурной формуле

ф(х)

х- ґk

-—ё х =

N-1 ґ/+1

I 1

і=0

ф(х)

х- ґk

k -1ґ1+1

ёх = I 1 ^ ёх + I 1

і=0 ґ ґ* -х і=k+1 ґ х~ґ]і

N -1 ґ/+1

7

7

ґk - ґ1+1

ґ* -ґ1

N-1 _

+ I ф(ґ/ )1п

і=k+1

ґІ+1 - ґk

ґІ- ґ*

+ф(ґ* )1п

ґ*+1 _ ґ* 1 ґ* - 1

N-1

■RN (ф)= I ф(ґі )1п

І=0

ґІ+1 -_ ґk 1 ґі- Ь1

+ RN (ф).

1

(1п N Л

Погрешность этой формулы равна О ----------------- на классе функций

I N “

( 1п N Л

Гельдера На и О —-^7 на классе функций №гНа (1).

v Nr+a j

При вычислении интеграла Г ф Т йт на гладком контуре Ь, точно так

же как в предыдущем случае (для сингулярных интегралов), вводится две системы узлов Sk, к _0,1,..., N, и sk, к _0,1,..., N -1. Интеграл вычисляется по квадратурной формуле:

Г ф(т) л ^ Г ф(т) л Г йт г>/ч

Г-—й т _ ^ Г,—й т _ Еф(5/м,—(ф)_

ЬIт-^к I I_01\Х~5к\ I_0

N-1 - й

_ Еф(5/) Г—- 2 т—+Км (ф).

I_0 1г (Т1 - хк ) + (т2 - Ук )

Погрешность этой формулы оценивается величиной O

ln N

N

a j

на классе

( ln N |

функций Гельдера и O ----------- на классе WrHa. Интегралы в последней

V Nr+a j

формуле вычисляются по хордам, соединяющим точки Sfc и Sfc+J. При достаточно большом числе узлов и достаточно высокой гладкости контура L погрешность, вносимая заменой дуги L^ на хорду, не превышает погрешности квадратурной формулы.

Применение этих квадратурных формул для решения системы уравнений (26) при различных областях й продемонстрировало высокую эффективность изложенной модификации метода граничных элементов и используемого алгоритма вычислений.

Список литературы

1. Бенерджи, П. Метод граничных элементов в прикладных задачах / П. Бенер-джи, Р. Батерфилд. - М. : Мир, 1984. - 494 с.

2. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. - М. : Наука, 1978. - 351 с.

3. Чикин, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярные интегральные уравнения / Л. А. Чикин // Уч. зап. Казанского гос. ун-та. - 1953. -Т. 113, № 10. - С. 53-105.

4. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингу-лярных интегралов. Часть вторая. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. -Пенза : Изд-во ПензГУ, 2009. - 252 с.

5. Bо 1коv, I. Y. Numerical methods of computation of singular and hypersingular integrals / I. Y. Во&оу // International Journal of Mathematics and // Mathematiical Sciences. - 2001. - V. 28, № 3. - P. 127-179.

6. Bоукоv, I. V. Accuracy optimal methods for evaluating hypersingular integrals / I. V. Воук^, E. S. Ventsel, A. I. Bоykоva // Applied Numerical Mathematics. -

2009. - V. 59, № 6. - P. 1366-1385.

7. B о уко v, I. V. An approximate solution of hypersingular integral equations / I. V. Bоykоv, E. S. Ventsel, A. I. Bоykоva // Applied Numerical Mathematics 60. -

2010. - V. 6. - P. 607-628.

8. B о уко v, I. V. Fundamental Solutions for Thick Sandwich Plate / I. V. Bоykоv, A. I. Bоykоva, E. S. Ventsel // Engineering Analisis and Boundry Elements. - 2004. -V. 28. - P. 1437-1444.

9. B о уко v, I. V. An approximation methods for evaluating hypersingular integrals / I. V. Bоykоv, A. I. Bоykоva, E. S. Ventsel // Engineering analisis with Boundry elements. - 2006. - V. 30. - P. 799-807.

10. Ventsel, E. S. A Boundary element method applied to sandwich plates of arbitrary plan form / E. S. Ventsel // Engineering Analisis with Boundry Elements. - 2002. -V. 27, № 6. - P. 597-601.

11. Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович. - Л. - М. : ГИТТЛ, 1949. - 696 с.

Вентцель Эдуард Сергеевич доктор физико-математических наук, профессор, Пенсильванский государственный университет (США)

E-mail: math@pnzgu.ru

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: math@pnzgu.ru

Алаткин Сергей Павлович аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: math@pnzgu.ru

Ventsel Eduard Sergeevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, The Pennsylvania State University

Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,

Penza State University

Alatkin Sergey Pavlovich Postgraduate student, Penza State University

УДК 517.392 Вентцель, Э. С.

Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к исследованию многослойных пластин произвольной формы / Э. С. Вентцель, И. В. Бойков, С. П. Алаткин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 3 (19). - С. 37-51.