Применение формул Галкина для исследования эффекта смены знака коэффициента подъемной силы осесимметричных тел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.735

Ф. Е. Дорофеев, Е. А. Дорофеев

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Применение формул Галкина для исследования эффекта смены знака коэффициента подъемной силы

осесимметричных тел

Для тела вращения со степенной образующей исследовался эффект изменения знака подъемной силы, при котором подъемная сила становится отрицательной для интервала углов атаки [0,-^/2], при удлинениях тела меньше некоторого критического. Этот эффект проявляется как для свободномолекулярного потока, так и в случае высокоскоростных течений газа при любых числах Кнудсена. Для исследования эффекта используется метод вычисления аэродинамических сил, основанный на гипотезе локальности с помощью квадратурных формул для осесимметричных тел. Вычислено критическое удлинение степенного тела вращения в зависимости от степени образующей в широком диапазоне чисел Рейнольдса и для разных температурных факторов. Проведено сравнение результатов с результатами численного суммирования по триангуляциям тел. Результаты, полученные в данной работе, могут иметь практическое применение при создания летательных аппаратов в области авиакосмической промышленности.

Ключевые слова: гиперзвуковой поток, локальные модели, аэродинамические силы, действующие на тела вращения, триангуляция, тепловой поток

F. Е. Dorofeev, Е. A. Dorofeev

Moscow Institute of Physics and Technology

Application of Galkin's formulas to study the effect of sign reversal of the lift coefficient of axisymmetric bodies

For a body of rotation with a power-law generatrix, the effect of changing the sign of the lift force was studied, in which the lift force becomes negative for the range of angles of attack [0,^/2], with body elongations less than a certain critical one. This effect manifests itself both for free molecular flow and in the case of high-speed gas flows at any Knudsen number. To study the effect, a method for calculating aerodynamic forces is used based on the locality hypothesis using quadrature formulas for axisymmetric bodies. The critical elongation of a power-law body of revolution is calculated as a function of the degree of generatrix in a wide range of Reynolds numbers and for various temperature factors. The results are compared with the results of numerical summation over triangulations of bodies. The results obtained in this work are of great importance for the creation of aircraft in the aerospace industry.

Key words: : hypersonic flow, local models, aerodynamic forces acting on bodies of revolution, triangulation, heat flow

1. Введение

Эффект изменения знака подъемной силы при изменении угла атаки в высокоскоростных плоских течениях впервые был обнаружен в [1]. В свободномолекулярном течении

© Дорофеев Ф. Е., Дорофеев Е. А., 2023

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2023

такой эффект был найден в [2]. В работе [3] показано, что при обтекании клина разреженным газом при определенном соотношении угла полураствора и угла атаки подъемная сила клина может стать отрицательной. Причем этот эффект проявляется при любых скоростях газа и отношениях температур поверхности клина и газа. Более того, такой эффект есть и в случае гиперзвукового течения невязкого газа (модель Ньютона). Для высокоскоростных течений на основе локального метода [4] показано, что эффект изменения знака подъемной силы при определенных значениях угла полураствора существует для затупленных конических тел при произвольном числе Рейнольдса. Данная работа посвящена изучению этого эффекта для тел в форме степенных фигур вращения в гиперзвуковом потоке разреженного газа без предположения о режиме свободномолекулярного обтекания.

2. Локальный метод

Для исследования эффекта смены знака подъемной силы в высокоскоростном потоке возможно использовать метод, основанный на гипотезе локальности [6,7], которая состоит в следующем: аэродинамические коэффициенты сил, действующие на элемент поверхности, зависят только от местного угла наклона в этого элемента к вектору скорости набегающего потока V^, от характерного для всего тела числа Рейнольдса Reo = р0 V^L/ß0 и температурного фактора tw = Tw/То, где ßo ~ коэффициент вязкости, вычисляемый по температуре торможения; То = Тте[1 + S2 (7 — 1)/7], Tw - температура торможения и температура элемента поверхности, соответственно; S = л/Г)/2М,Х - скоростное отношение; М^ - число Маха набегающего потока; 7 - отношение удельных теплоемкостей; L - характерный размер тела. В соответствии с гипотезой локальности предполагается, что для аэродинамических коэффициентов давления и трения (отнесенных к скоростному напору p<x>V,2/2) справедливы соотношения [6,7]:

Ср = р0 sin2 в + pl sin в, Ст = то sin в cos в. (1)

Коэффициенты Ро,Р1, то являются функциями от числа Ыео, температурного фактора и показателя степени адиабаты 7. Отличительной особенностью данной модели (кроме простоты) является то, что в предельных случаях изменения числа Рейнольдса она соответствует либо свободномолекулярной модели, либо модели Ньютона. Так, в свободномо-лекулярном случае (Ые0 ^ 0) [8]:

ро = то = 2, р! = ^^(2)

а в случае невязкого высокоскоростного газа (Ые0 ^ те) имеет место формула Ньютона [9]:

ро = 2, рг = 0,то = 0. (3)

В промежуточной области коэффициенты Ро,Р1,то аппроксимируются следующими формулами [6,7] :

Ро = 2, рг = , ( —- ) ехр [-(0.125 + 0,078^)Ево] ,

5.2326

то = , =, (4)

у Re + 6.88 exp(0.0072Re — 0.000016Re2)

Re = Reo [0.25 + 0.75tw]-2/3 .

3. Квадратурные формулы Галкина

Для аэродинамических характеристик осесимметричного тела, обтекаемого под углом атаки а, существуют аналитические формулы в виде интегралов по продольной координате. Эти выражения были получены B.C. Галкиным и приведены в монографии [8], с. 360. Приведем эти формулы без вывода.

Пусть поверхность тела, обладающего цилиндрической симметрией, в прямоугольной системе координат Oxyz параметризована переменными x и р согласно формулам

у = r(x) cos р, z = r(x) sin р,

(5)

где

0 <x <L,

0 < р < 2 ■к.

Функция г (ж) предполагается дифференцируемой на всем отрезке [0, Ь], кроме, быть может, конечного числа точек, при этом будем полагать, что если у тела нет «затупления» при ж = 0, то г(0) = 0, то есть «носик» тела находится в начале координат. Введем также функцию, зависящую от угла атаки а и от координаты ж:

= (£) Ctga.

(6)

Тогда в этих обозначениях для коэффициента подъемной силы Су (а) осесимметричного тела имеет место выражение в виде квадратуры:

Су (а) = -

sin 2а Г1

Rb J о

dx r(x)

(P0 - ^^а N"(x)'a)+

+p i-

V1 + a (x) tg2 а

где функции N(z,а), L(z, а) имеют вид

L( ^(x)^)

(7)

N(z, а) = <

z2 tg2 а + I tg2 а — 1,

1 [[z2 tg2 а + 1 tg2 а — 1) arccos(—z) —

—z V1 — -г2 (1 — § tg2 а + з^

0,

если

z > 1,

если |z| < 1,

< —1.

(8)

L( , а) =

z2 tg2 а — 2, (z2 tg2 а — 2) arccos(—z) — z\/1 — z2 (2 — tg2 а)

0,

> 1,

если I zl < 1, если z < —1.

(9)

Для коэффициента силы сопротивления Сх(а) осесимметричного тела имеется выражение

Сх(а) = —2 dx r(x) Rt, Jo

£2 (x) sin2 а

+Pi

v/1 + & (x) tg2 а где функции F(z), G(z), H(z) даются выражениями

/ ч С« (x) sin3 а

(P0 — To) 1 + efr) tg2 а F(i"(x))+ G(ia(x)) + To ia(x) sin а H(£a(x))

Р (*) =

1 + -31 + 2х2 ■

(1 + 23т) агеео8(-^) + 1 + З^) ^Ь-^2

если если

г > 1,

ы< 1,

о,

1 +

ад =

(1 + 21з) агееов(-г) + ¿V1 - г2 0,

Н(ж) = < 1 (агеео8(-,г) + 1V! - ¿2)

если если если

если г <

если г > 1,

если N < 1,

если г < -1,

г > 1,

N < 1,

г < -1.

(11)

(12)

(13)

4. Тела вращения со степенной образующей

Рассмотрим тела вращения со степенной образующей. В этом случае образующая линия имеет вид

' х

г(®) = До( ,

Ь,

где 0 < х < Ь, До _ радиус основания тела, его длина. Удлинением тела будем

называть величину Л = .¿/До5 понятно, что тела с одинаковыми удлинением Л и степенью @ подобны и при равных числах Рейнольдса и температурного фактора имеют одинаковые аэродинамические коэффициенты. Примеры образующих с удлинением Л = 1 для разных степеней @ приведены па рис. 1. Схема обтекания тела потоком с углом атаки а приведена на рис. 2, а примеры триангулированных тел вращения приведены на рис. 3.

Рис. 1. Примеры образующих для степенных тел вращения

1

0

5. Эффект Галкина. Критическое удлинение

Таким образом, рассматривается обтекание степенного тела вращения с удлинением Л и углом атаки 0 < а < ^/2. Эффект Галкина состоит в том, что существует такое критическое значение удлинения Асг, что при Л < Асг коэффициент подъемной силы тела Су(а) < 0 при 0 < а < ^/2 , а пр и Л > Асг имее м Су (а) > 0 в некотором интервале значений угла атаки а из множества 0 < а < ^/2. На рис. 4 показан пример проведения функции Су(а) при разных А в окрестности Асг для степенного тела вращения.

Значение Асг для тела с заданной степенью образующей @ и при заданных параметрах Ыео и определяется с помощью следующей процедуры, функция Су(а) вычисляется па отрезке 0 < а < атах в некотором количестве точек N по формуле (7) численным интегрированием методом Симпсона. После получения N значений функции Су(а) эта функция

интерполируется сплайном. Используя этот сплайн, находится максимум этой функции на отрезке 0 < а < атах. Таким образом, получаем функцию С^ах(А). Численное исследование этой функции позволяет определить максимальное значение переменной А, при которой (А) < 0. Это максимальное значение и есть Асг, так так при А > Хсг имеем С^тах(А) > 0. Проведенное исследование показало, что описанная процедура надежно определяет критическое значение Хсг при атах = 10 град и при Ж = 5. С помощью описанной процедуры получены результаты, которые представлены на рис. 5 и 6.

Рис. 2. Схема обтекания тела, а - угол атаки, - скорость набегающего потока

Рис. 3. Примеры степенных тел вращения для /3 = 0.1, 0.3, 0.5,1.1 соответственно

На рис. 5 представлена зависимость критического удлинения Асг от степени образующей ß. Анализируя эти результаты, можно отметить не сильную зависимость Асг от температурного фактора tw. Кроме того, существует точка на графике с координатами ß = 0.21, Acr = 0.89, в окрестности которой, проходят все линии зависимостей.

Чтобы подробно рассмотреть это явление, на рис. 6 представлены зависимости Асг от числа Рейнольдса Reo при разных показателях степени ß в интервале 0.18 < ß < 0.26. На рис. 6 можно видеть некоторый кроссовер поведения функции Acr(Reo) при разных ß, она из возрастающей делается убывающей. Это происходит в окрестности ß ^ 0.21. При этом

o

Рис. 4. Поведение коэффициента подъемной силы Су при удлинениях тела вблизи критического. При Л < Хсг коэффициент отрицателен при всех углах атаки

а)

б)

Рис. 5. Критическое удлинение степенного тела вращения как функция степени @ при разных числах Рейнольдса Б,ео и температурном факторе: а) Ьш = 0.01, б) = 0.1

Рис. 6. Критическое удлинение степенного тела вращения как функция числа 11ео при степенях равных 0.18-0.26, и температурном факторе Ьш = 0.1

6. Сравнение с суммированием по триангуляции

Возникает интерес сравнить результаты вычислений аэродинамических характеристик, полученных вычислением с помощью формул Галкина, с численным суммированием но триангуляции тела. Хорошо известно, что получение одинакового результата двумя раз-

ными способами повышает уверенность в его правильности. В работе были найдены критические удлинения степенного тела вращения в зависимости от показателя степени образующей так же и с помощью программы «ГМ&Т - Вычислитель аэродинамических характеристик тел по триангуляциям методом локального давления» [10]. Процедура была проверена на устойчивость относительно увеличения числа треугольников в триангуляции. Так, увеличение количества треугольников вдвое изменяет значение Асг в четвертом знаке.

Таблица 1

Критические удлинения степенного тела вращения для разных режимов

обтекания

Показатель Reo = 10-4 Reo — 1 Reo — 104

ß Ас (Г) Хсг (Q) Асг (Г) Хсг (Q) Асг (Г) Хсг (Q)

0.3 0.9474 0.9483 0.8826 0.8837 0.7868 0.7880

0.5 1.0750 1.0756 0.9385 0.9390 0.7922 0.7926

0.7 1.2071 1.2063 1.0317 1.0321 0.8625 0.8629

0.9 1.3433 1.3440 1.1403 1.1409 0.9509 0.9513

1.1 1.4845 1.4855 1.2598 1.2607 1.0506 1.0512

В табл. 1 приведены критические удлинения Хсг(Т), вычисленные по триангуляциям, а также критические удлинения Хсг (ф), вычисленные с помощью квадратуры по формуле (7). Как видно из таблицы, имеем хорошее совпадение результатов расчета обоими методами. Поскольку результаты, полученные двумя разными методами, отличаются меньше, чем на 0, 01 % относительной ошибки, то это дает уверенность, что, во-первых, оба метода не содержат ошибок, а во-вторых, полученные результаты для критического удлинения являются надежными.

7. Заключение

Для тел вращения со степенной образующей исследован эффект Галкина, который состоит в том, что существует критическое удлинение тела Хсг, такое, что при всех А < Хсг подъемная сила отрицательна при всех углах атаки а в интервале (0,^/2). Исследована зависимость Асг от степени образующей ß, числа Рейнольдса Reo и температурного фактора tw. Обнаружено явление кроссовера в поведения функции Хсг(Reo), при ßc ~ 0.21, так что при ß > yöc эта функция возрастающая, а при ß < ßc убывающая. Соответственно при ß = ßc критическое удлинение не зависит от числа Рейнольдса.

Список литературы

1. Галкин B.C., Гладков A.A. О подъемной силе при гиперзвуковых скоростях // ПММ. 1961. Т. 25, вып. 6. С. 1138-1139.

2. Галкин B.C. О подъемной силе в свободномолекулярном потоке // ПММ. 1962. Т. 26, вып. 3. С. 567.

3. Горелов С.Л., Могорычная A.B. О подъемной силе в потоке разреженного газа // ПММ. 2022. Т. 86, вып. 2. С. 196-202.

4. Василенко Д.А., Дорофеев Ф.Е., Дорофеев Е.А. Построение нейросетевого аппрокси-матора для определения критического угла полураствора в эффекте смены знака коэффициента подъемной силы для затупленных конических тел // Труды МАИ. 2021. Вып. 119.

5. Горелав С.Л., Дорофеев Ф.Е. Эффект изменения знака подъемной силы для степенных тел вращения // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2022. Вып. 2. С. 42-50.

6. Галкин B.C., Ерофеев А.И., Толстых А.И. Приближенный метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом разреженном газе // Труды ЦАГИ. 1977. Вып. 1833. С. 6-10.

7. Гусев В.Н., Ерофеев А.И., Климова Т.В., Перепухов В.А., Гябов В.В., Толстых А.И. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гиперзвуковым потоком разреженного газа // Труды ЦАГИ. 1977. Вып. 1855. С. 43.

8. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Москва : Наука, 1967. 440 с.

9. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Москва : Наука, 1989. 688 с.

10. Свид. 2023615373 Российская Федерация. Вычислитель аэродинамических характеристик тел по триангуляции методом локального давления/ заявители и правообладатели Дорофеев E.A.(RU), Дорофеев Ф.Е.(1Ш), Горелов C.il.(RU), Жаров B.A.(RU). №2023612633; заявл. 11.02.2023; опубл. 14.03.2023, Реестр программ для ЭВМ. 1 с.

References

1. Calkin V.S., Gladkov A.A. On lifting force hypersonic speeds. J. Appl. Math. Mech. 1961. V. 25, N 6. P. 1138-1139. (in Russian).

2. Calkin V.S. On lifting force in free molecular flow. J. Appl. Math. Mech. 1962. V. 26, N 3. P. 567. (in Russian).

3. Corelov S.L., Magarychnaya A. V. On lifting force in rarefied gas gas flow. J. Appl. Math. Mech. 2022. V. 86, N 2. P. 196-202.

4. Vasilrnko D.A., Dorofeev F.E., Dorofeev E.A. Developing neural network approximator for critical half-opening angle determining in the effect of lift coefficient sign changing for blunted conical bodies. Trudy MAI. 2021. V. 119. (in Russian).

5. Corelov S.L., Dorofeev F.E. Effect of changing in the sign of the lifting force for power-law bodies of revolution. Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics. 2022. V. 2. P. 42-50. (in Russian).

6. Calkin V.S., Erofeev A.I., Tolstykh A.I. An approximate method for calculating the aerodynamic characteristics of bodies in a hypersonic rarefied gas. Proceedings of TsAGI. 1977. V. 1833. (in Russian).

7. Gusev V.N., Erofeev A.I., Klimova T.V., Ferepukhov V.A., Ryadov V.V., Tolstykh A.I. Theoretical and experimental studies of the flow of simple bodies around a hypersonic rarefied gas stream. Proceedings of TsAGI. 1977. V. 1855. (in Russian).

8. Kogan M.N. Dynamics of a rarefied gas. Moscow : Nauka, 1967. 440 p. (in Russian).

9. Newton I. The mathematical principles of natural philosophy. Moscow : Nauka, 1989. 688 c. (in Russian).

10. Dorofeev E.A.,Dorofeev F.E., Corelov S.L., Zharov V.A. LM&T - Calculator of the aurodvnamic characteristics of bodies by trian- gulation by the method local pressure. Certificate of state registration of the computer program № 2023615373. 2023. 1 p.

Поступим в редакцию 26.09.2023