СТЕПЕННЫЕ ТЕЛА МИНИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6.011.8

DOI: 10.18384/2310-7251-2022-4-17-34

СТЕПЕННЫЕ ТЕЛА МИНИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ

Горелов С. Л., Нгуен В. Л.

Московский физико-технический институт

(национальный исследовательский университет)

141701, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9,

Российская Федерация

Аннотация

Цель. Для тела вращения со степенной образующей и сферическим, параболическим и гиперболическим затуплениями вычисляется сила сопротивления в газовом потоке. Процедуры и методы. Определяется степень в образующей тела минимального сопротивления и радиус затупления в критической точке в зависимости от удлинения в широком диапазоне чисел Рейнольдса.

Результаты. Для тела вращения со степенной образующей и сферическим, параболическим и гиперболическим затуплениями вычисляется сила сопротивления в высокоскоростном потоке разреженного газа на основе нескольких локальных моделей течения газа.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в данной работе, имеют большое значение для оптимизации геометрии летательных аппаратов. Ключевые слова: высокоскоростной поток, локальные модели, аэродинамическое сопротивление тела вращения, вариационная задача

Благодарности. Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 20-08-00790

POWER BODIES OF MINIMUM RESISTANCE IN A GAS FLOW

S. Gorelov, V. L. Nguyen

Moscow Institute of Physics and Technology

Institutskii per. 9, Dolgoprudnyi 141701, Moscow Region, Russian Federation Abstract

Aim. For a blunt body of revolution with a power generatrix and spherical, parabolic, and hyperbolic bluntnesses, we calculate the drag force in a gas flow.

Methodology. We determine the degree of minimum resistance and the bluntness radius in the generatrix of the body as functions of the elongation in a wide range of Reynolds numbers. Results. For a blunt body of revolution with a power generatrix and spherical, parabolic, and hyperbolic bluntnesses, the drag force in a high-speed rarefied gas flow is calculated based on several local gas flow models.

© CC BY Горелов С. Л., Нгуен В. Л., 2022.

Research implications. The results obtained in this work are of great importance for optimizing the aircraft geometry.

Keywords: high-speed flow, local models, aerodynamic drag of a body of revolution, variational problem

Acknowledgments. This work was supported by Russian Foundation for Basic Research (Grant No. 20-08-00790).

Введение

Задача построения геометрии тела - необходимая и существенная проблема в развитии аэрокосмической науки и техники, а также авиационной техники. В процессе движения с высокой скоростью в газе тело всегда находится под воздействием аэродинамических сил, которые определяются из локальных моделей, главное предположение этих моделей состоит в том, что каждый элемент поверхности тела взаимодействует со средой независимо от других участков тела и сила, действующая на него, зависит лишь от ориентации элемента относительно направления движения.

Классическая задача построения тела вращения минимального сопротивления с использованием формулы Ньютона решалась во многих работах [1-6]. Были разработаны эффективные численные методы решения таких задач [7]. В связи с развитием космической техники появился интерес к оптимальным задачам высокоскоростной аэродинамики на больших высотах в разреженном газе [8]. Дальнейшее упрощение таких задач связано с использованием целевых функций разного вида, зависящих от некоторого количества параметров, по которым и производится оптимизация [9; 10]. В частности, широкое распространение получила степенная целевая функция [11; 12].

В работе используется целевая степенная функция вместе с локальными методами (формулы свободномолекулярной аэродинамики, формула гиперзвуковой аэродинамики Ньютона), что позволило свести вариационную задачу минимизации функционала (сопротивление тела вращения) к задаче поиска экстремума функции от одной, двух или трёх переменных. Решаются задачи об определении формы тел вращения с затуплением в гиперзвуковом потоке в случае газа Ньютона и свободномолекулярной модели.

1. Локальный метод

Для вычисления аэродинамических сил, действующих на тело, движущегося в газе, необходимо знать поток импульса p на поверхности тела. Существующие результаты аэродинамики разреженных газов показывают, что для не очень сложных тел при больших скоростях обтекания функция p определяется, главным образом, локальными свойствами поверхности в данной точке [13]. В сильно разреженном газе на выпуклых телах это предположение оправдывается полностью (даже для малых скоростей), в континуальном режиме в его пользу говорит успех эмпирических обобщений формулы Ньютона.

Visy

Наибольшее распространение получила локальная модель из [14], в которой коэффициенты давления и трения равны (отнесённые к скоростному напору р„Vi /2 )

p = p0 cos2 9 + p1 cos9, т = T0 cos 9sin9 (1)

Функции po, pi, To зависят от числа Reo, температурного фактора tw и показателя степени адиабаты у , 9 - угол между внутренней нормалью к поверхности и направлением скорости газа (см. рис. 1).

Отличительной особенностью данной модели (кроме простоты) является то, что в предельных случаях она соответствует, либо свободномолекулярной модели, либо модели Ньютона.

Так, для свободномолекулярной модели (Reo ^0) [15]:

po = тo = 2, p 1 = yjntw (y- 1)/ Y (2)

В случае модели Ньютона (Reo [1]:

po =2, p1 = To =o (3)

Рассмотрим два случая применения локальных методов: формула Ньютона и свободномолекулярная модель.

2. Формула Ньютона 2.1. Степенные тела вращения

Рис. 1 / Fig. 1. Схема обтекания тела вращения / Scheme of flow around a body of revolution

Источник: составлено авторами.

Задано тело вращения длиной L и радиусом основания R. Требуется определить форму образующей y(x) такую, при которой это тело имеет минимальное

сопротивление в гиперзвуковом потоке газа. Причём давление на элемент поверхности определяется формулой Ньютона.

Коэффициент сопротивления Cx (аэродинамическая сила, действующая на тело вдоль вектора скорости, отнесённая к скоростному напору и характерной площади, в данном случае - это площадь основания, то есть nR2 ) будет равен:

Л R

R2

2 R I-

cx = —- J (cp - cos 9 + cT - sin Q)xyJ 1 + (dy / dx )2 dx (4)

Здесь Cp и cт нормальная и касательная аэродинамические силы, действую-

i л -1/2

щие на элемент поверхности ds, cos0 = (l+(dy/dx) ) (5)

Для формула Ньютона:

cp = 2cos2 0, cT = 0 (6)

Тогда выражение (4) запишется (линейные размеры отнесены к R)

i x

Cx = 4 í-dx (7)

J01+(dy / dx)2 ()

в случае, если образующая тела вращения - степенная функция: y=Lze, z=x / R, X=L/ R, уравнение коэффициента сопротивления (7) запишется в виде гипергеометрической функции F[a,b,c,d]

CX = 4 í-z--dz = 2F| 1,—,-R2X2 I

' 1 + (XPz e-i )2 l P-1 P-1 P J (8)

В этом случае задачу можно сформулировать так: найти величину в такую, чтобы коэффициент сопротивления был минимален при заданной величине L

В табл. 1 представлены величины в и cx в зависимости от удлинения L Заметим, что во многих работах ось вращения - это ось Ox. В этом случае величина показателя степени в степенной функции а = в-1. В табл. 1 также представлена величина а.

На рис. 2. показана зависимость а = в-1 от удлинения L При больших удлинениях эта зависимость стремится к а = % = 0.75, соответственно [4].

Таблица 1 / Table 1

Величины в и Cx в зависимости от удлинения к / Values of в and Cx as functions of elongation к

X ß a Cx

2 1.54 0.6493 0.3305

4 1.386 0.7215 0.0986

6 1.357 0.7369 0.0455

8 1.347 0.7424 0.0259

10 1.342 0.7451 0.0167

Источник: составлено авторами.

V20y

Рис. 2 / Fig. 2. Зависимость а = в-1 от величины удлинения X / Dependence of а = в-1 on the magnitude of elongation X Источник: составлено авторами.

2.2. Степенные тела вращения с плоским затуплением

0.2 0.4 0.6 0.3

Рис. 3 / Fig. 3. Схема обтекания тела с плоским затуплением / Scheme of body flow with a flat blunt Источник: составлено авторами.

Задано тело вращения (рис. 3) длиной L, радиусом основания R и плоским торцом с радиусом Го. Требуется определить форму образующей y(x) и величину Го такие, при которых это тело имеет минимальное сопротивления в гиперзвуковом потоке газа.

В случае формулы Ньютона для торца cp=2, а для образующей cp=2cos29. Уравнение для величины коэффициента сопротивления запишется (линейные размеры отнесены к R):

Cx = 2rn2 + 4

-dx

, 1+(у / dx)

Для затупленного степенного тела образующая имеет вид [16]

0, 0 < х < г0

7 (x ) =

к

xe- rf

1- г0

в '

< x < 1

Тогда для модели Ньютона запишем уравнение (9) в виде

Cx = 2r2 + 4

1 + 1 xe

(

= 2r„2 + 2 F

1 - tf

1 ß

dx - 4r02 J

1 + |kßrC x e

-dx =

kß

ß-1'ß-1' ^ 1 -г0

2

1 - Го

- 2 Го2 F

1 ß (kßrf-1

ß-1' ß-1' ^ 1 -r0

2

(9)

(10)

(11)

Вариационная задача свелась к поиску минимума функции (11) по двум переменным в и Го при заданном удлинении X. В Таблице 2 представлены результаты расчётов величин в, а = в-1 и Го в зависимости от удлинения X, при которых достигается минимум сх и, для сравнения, величины схо при тех же удлинениях, но без затупления (го=0).

Таблица 2 / Table 2

Величины в, a, r0, Сж, С„0 в зависимости от удлинения X / Values of в, a, r0, Сх, С%0 as functions of elongation X

x

X ß а Г0 Cx Cx0

2 1.448 0.691 0.123 0.321 0.3305

4 1.375 0.727 0.0293 0.0982 0.0986

6 1.355 0.738 0.00786 0.0454 0.0455

8 1.346 0.743 0.00346 0.0259 0.0259

10 1.342 0.745 0.00181 0.0167 0.0167

Источник: по данным авторов.

При малых удлинениях величина радиуса затупления велика а коэффициент сопротивления существенно меньше, чем без затупления. Начиная с Х=8, несмотря на затупление коэффициент сопротивления становится практически одинаковым в обоих случаях.

2.3. Степенные тела вращения с параболическим, гиперболическим, сферическим затуплениями

Рис. 4 / Fig. 4 Схема образующей осесимметричного степенного тела с затуплением / Scheme of forming a suspicimetric degree body with a blunt Источник: составлено авторами

Образующая осесимметричная степенная тела вращения у(х) (ось у - ось вращения) содержит 2 части: 1) парабола радиуса затупления Яр , либо гипербола радиуса затупления Ян , либо окружности радиуса Я при 0<х< г0; 2) степенная функция при Го<х<Я (Я - радиус основания). Расположим это тело таким образом, что у(го)=0. Расстояние от оси х до основания тела обозначим L, а расстояние от оси хдо критической точки обозначим 5.

Тогда уравнение для образующей тела вращения с параболическим затуплением будет иметь вид:

y(x )--

ys (x) = 5

( x2

yp (x) = (A,-5)

xß - rß 1 - rß

0 < x < Го

г0 < x <1

(12)

Здесь, учитывая равенство производных в точке x= Го, имеем:

Rp =■

1

rß-2

5

= IßrOß , L+5

2-(2-ß)r

R

(13)

2 -(2 -в)Гов

Коэффициент сопротивления такого тела (сила, действующая на тело, отнесённая к скоростному напору и площади основания) состоит из суммы сил, действующих на параболическое затупление и степенную часть. Схр = сх5 + с^ . Подставляя выражения (12), (13) в (7) и вычисляя интегралы, получаем:

Cxp —

2lg (1 + А2г0) ( 1 ß

А2

+2F

\

1,

ß-1 ß-1

, - B2

f

- 2roF

1,

ß-1 ß-1

ß-, - C2 ^

А2 — I 2—

B2 —

1 - roß

C2 —

(X-6)ßr0 1 - rß

ß-1 \

(14)

В табл. 3 показаны результаты расчётов величин в и г0, зависящие от удлинения X, при которых достигается минимум коэффициента сопротивления тела вращения с параболическим затуплением Схр . В табл. 3 также сравнение значений С х р для тел с затуплением и значений сх0 без затупления.

Таблица 3 / Table 3

Величины в, r0, R0, Cxp, Сx0 в зависимости от удлинения к / Values of в, r0, R0, Cxp, Cx0 as functions of elongation к

X 2 4 6 8 10

ß 1.42818 1.36994 1.35267 1.34529 1.34146

Го 0.23404 0.04950 0.01752 0.00809 0.00437

Rp 0.14711 0.02732 0.00897 0.00396 0.00208

Cxp 0.32648 0.09836 0.04543 0.025908 0.01668

Cx0 0.3305 0.0986 0.0455 0.02591 0.0167

Источник: по данным авторов.

Видно, что значения коэффициента сопротивления параболического затупления тела вращения меньше чем в случае отсутствия затупления (хотя разница не очень большая).

Аналогично для уравнения образующей тела вращения с гиперболическим затуплением будет вид (все размеры отнесены к R)

У(x)—

x

0 <x <г0

У, (x)—-a

Ур(x)— Л-a(1 -xß), Го <x<1 Здесь, учитывая равенство производных в точке x= Го, имеем:

ь2 лßгo^ д+ь-

Г02 + Г02+ß (ß- 1) - Ь2ß rß Л Г02 V ь2 ч У

Г02 + Г02+ß (ß- 1) - Ь2ß ^ -1+J+1) V ь2 V /

Rh — -

(15)

(16)

Тогда коэффициент сопротивления тела складывается из сопротивления гиперболического затупления с^ и поверхности вращения Схр

a 1 —

Имея в виду (15), (16), (7) и вычисляя интегралы, получаем:

2b2

c = -

^xs

(a2+b2)

(a2 + b2) + a2b2 Log | 1 + ^ + ^

Cxp = 2FI 1,

'ß-1 ß-1

ß , - a2ß2 I - 2ro2F (1, 1

ß

ß-1 ß-1

, - a2ß2 ro2ß-2

(17)

Cxh Cxs + Cxp

Таблица 4 / Table 4

Величины в, r0, b, Rh, Rp, Cxh, Схр в зависимости от удлинения к / Values of в, r0, b, Rh, Rp, Cxh, Cxp as functions of elongation к

я 2 4 6 8 10

ß 1.42818 1.36993 1.35267 1.34529 1.34146

Го 0.23404 0.04950 0.01752 0.00809 0.00437

b 60.1069 6.07575 3.50101 4.49887 0.90306

Rh 0.14711 0.02732 0.00897 0.003964 0.00208

Rp 0.14711 0.02732 0.00897 0.003964 0.00208

Cxh 0.32648 0.09836 0.04543 0.025908 0.016686

Cxp 0.32648 0.09836 0.04543 0.025908 0.016686

Источник: по данным авторов.

В табл. 4 даны значения в, г0, Ь, схЬ - коэффициент сопротивления с гиперболическим затуплением и схр в зависимости от удлинения X. Там также положены радиусы затупления Яь, Яр.

Аналогично для уравнения образующей тела вращения со сферическим затуплением будет вид (все размеры отнесены к Я):

'у5 (х) = л/Я2 - Го2 -л/Я

y(x) =

Ур (Х ) = Х-_

-Га

xß- rß

1 - rß

2 — x2, 0 < x < r0

<x <1

(18)

Здесь, учитывая равенство производных в точке х=Го, имеем:

Я, = ^го4 + Го4-2в-2го4-в+ Го2X2р2; 5 = Я, Я2 -Го2;X = Х1 +5 (19)

Л1Р

Тогда подставляя выражения (18), (19) в (7) и вычисляя интегралы, получаем коэффициент сопротивления по формуле Ньютона:

( . / л „ \2 Л ( . / „„», \2 Л

Cxs = 2k2

r4

2R2

+2F

x-L JLJ iß ' ß-1' ß-1' U-rß

-2r2F

МП

' ß-1' ß-1' 11-rß

(20)

ISSN 2072-8387 j Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика f 2022 / № 4 Таблица 5 /Table 5

Величины в, r0, Rs, Rh, Rp, Cxs, Cxh, Cxp в зависимости от удлинения X/ Values of в, r0, Rs, Rh, Rp, Cxs, Cxh, Cxp as functions of elongation X

Я 2 4 6 8 10

в 1.183 1.3524 1.3487 1.3439 1.3408

Го 0.3271 0.0613 0.020 0.00876 0.004578

Rs 0.3556 0.0682 0.0222 0.0097 0.0050

Rh 0.14711 0.02732 0.00897 0.003964 0.00208

Rp 0.14711 0.02732 0.00897 0.003964 0.00208

Cxs 0.3409 0.0984 0.04549 0.02591 0.016689

Cxh 0.32648 0.09836 0.04543 0.025908 0.016686

Cxp 0.32648 0.09836 0.04543 0.025908 0.016686

Источник: по данным авторов.

В табл. 5 представлены аналогично величины р, Го, Rs в зависимости от удлинения при которых достигается минимум Cxs - коэффициент сопротивления со сферическим затуплением и для сравнения Cxh, Cxp при тех же удлинениях. В табл. 5 также проведено сравнение радиуса затупления для различных случаев.

3. Свободномолекулярная модель 3.1. Степенные тела вращения

В случае свободномолекулярного модели в гиперзвуковом потоке газа можно записать (2)

cp =2cos2 8 + z cos 8, z = ^ntw (y-l)/ Y (21)

cT = 2cos 8 sin 8

Здесь tw- температурный фактор, у- показатель адиабаты, 0- угол между внутренней нормалью к поверхности и направлением скорости газа.

Задача ставится также как и в п. 2.1. Уравнение (4) запишется:

i

cx = 2 + 2zJ , -dx (22)

0 Jl + (dy /dx)

Пусть образующая - степенная функция: y = l (yR ) .

Тогда уравнение (22) запишется:

cx = 2+2z\-.-==dx = FÍI-L-L, -p2X21 (23)

í^/i+ypxH )2 l2 P-1 P-1 J

В табл. 6 показаны величины в, а, и Cx в зависимости от удлинения X.

На рис. 5. изображена зависимость а = в"1 от удлинения X . При больших удлинениях эта зависимость стремится к а = 2/3=0.667, соответственно [12].

Таблица 6 / Table 6

Величины в, a, cx в зависимости от удлинения Л / Values of в, a, cx as functions of elongation Л

X ß а Cx

2 1.8895 0.52924 2.1168

4 1.6067 0.62239 2.06417

6 1.5511 0.6447 2.04364

8 1.5305 0.6534 2.03297

10 1.5204 0.65772 2.02646

Источник: по данным авторов.

Рис. 5 / Fig. 5. Зависимость а = в-1 от величины удлинения X, tw = 0.1, у = 1.4 / Dependence of а = в-1 on elongation X, tw = 0.1, у = 1.4 Источник: составлено авторами.

3.2. Степенные тела вращения с плоским затуплением

Задача ставится также как и в п. 2.2. Используя уравнение (4), (21), (22) получим:

(24)

=dx

Подставляя вы

сх =2+zr02 +zF

cx = 2 + zr02 + 2 z J^-

r. Jl + (dy / dx )

ражения (10) в (24) и вычисляя интегралы, получаем:

Г ß-r ß-r [l-r?,

-zr02F

1 -щ> r ß-r ß-r [ 1-r

(25)

Таблица 7/ Table 7

Величины в, r0, cx, cx0 в зависимости от удлинения X / Values of в, r0, cx, cx0 as functions of elongation X

Я 2 4 6 8 10

ß 1.6447 1.5621 1.53494 1.52262 1.5161

Го 0.23526 0.08243 0.03985 0.02319 0.01510

Cx 2.11388 2.06372 2.04353 2.03293 2.02645

Cx0 2.1168 2.06417 2.04364 2.03297 2.02646

Источник: по данным авторов.

В табл. 7 показаны результаты расчётов величин в и г0 в зависимости от удлинения Я, при которых достигается минимум сх в случае свободномолекуляной модели и сравнение с величиной сх0 при тех же удлинениях, но без затупления

(го=0).

3.3. Степенные тела вращения с параболическим, гиперболическим, сферическим затуплениями

Постановка задачи такая же, как и в п. 2.3. Используя уравнения (12), (13), (22), получим коэффициент сопротивления в свободномолекулярном случае:

(У1^) ) 1 в д21 , Г1 1 в

--+ гт -,-,——, - В2 - Яо-т -,-,——

А2 2 в-1 в-1 _ 0 _2 в-1 в-1

Cxp =2+2z-

,-с2

(26)

А2 =|2- | ; Б2 =

(X-8)ß

1-r„ß

; C2 =

(X-8)ßr0l

.ß-i ^

i-rß V 1 r0

Таблица 8 / Table 8

Величины в, r0, Rpcxp, cx в зависимости от удлинения X / Values of в, r0, Rpcxp, cx as functions of elongation X

Я 2 4 6 8 10

ß 1.60196 1.54591 1.52687 1.51794 1.51295

Го 0.4977 0.17611 0.08855 0.053177 0.03546

Rp 0.22104 0.0723584 0.034466 0.019960 0.012977

Cxp 2.11634 2.06399 2.04359 2.03295 2.02645

Cx 2.11388 2.06372 2.04353 2.03293 2.02645

Источник: по данным авторов

В табл. 8 представлены величины степени в и радиуса параболического затупления Rp в зависимости от удлинения Я в свободномолекулярном случае. В табл. 8 также помещены значения коэффициента сопротивления с плоским торцом.

ViV

Расчёты проводились при температуре фактора tw = 0.1 и отношения теплоём-костей у=1.4.

Аналогично, для гиперболического затупления, используя уравнение (15), (16), (22), получим:

zb2

(

Cxp — zF I -,

+b2) \

1 1 ß

, , a2b

)- b2 +—,-Log

2 V a2 + b2

2 +2r02 )+2b(b2 + r02 )(b+a^a2 +b2)

b2 Ua2 +b2 +b)2

CXh — C xs + Cxp

2 ß-1 ß-1

b 2Xßr0ß,

,-a?ß2 I-zro2FI —,—1—,-aiß2Го2 1 1 2 ß-1 ß-1

1 + П

Го2 +ro2+ß(ß-1)-b 2ßrß Xro2

• R = b2 "> Rh —-

-1 +11 + ¥

ro2 +ro2+ß (ß-1) -b2 ßrß

-; a2 = 1 +

-1 + 1 + —

b2

b2 (b2 + ro2)

(27)

Cxs 2 +

Таблица 9 / Table 9

Величины в, r0, b, Rh, Rp, cxh, cxp в зависимости от удлинения X / Values of в, r0, b, Rh, Rp, cxh, cxp as functions of elongation X

Я 2 4 6 8 10

ß 1.60136 1.54595 1.52687 1.51793 1.51294

Го 0.49834 0.17594 0.088512 0.0531947 0.03547

b 168.282 10.2585 5.78814 2.51043 6.22285

Rh 0.221083 0.072322 0.034455 0.019958 0.012978

Rp 0.22104 0.072358 0.034466 0.019960 0.012977

cxh 2.11634 2.06399 2.04359 2.03295 2.02645

Cxp 2.11634 2.06399 2.04359 2.03295 2.02645

Источник: по данным авторов.

В табл. 9 показаны зависимости величины в, г0 и Ь от удлинения Я, при которых достигается минимум схй. В табл. 9 также проведено сравнение значений схр, сЛ. Кроме того, в Таблице также помещены величины радиусов затупления Rp и Rh. Заметим что коэффициенты сопротивления схр, схь и радиусы затупления в критической точке совпадают в обоих случаях.

Для случая сферического затупления используя уравнения (18), (19), (22), получим следующую формулу коэффициента сопротивления:

V2V

Cx, = 2 +

2z 3Rs

R3 - re2 )3

+

+zF

11 ß f A,iß

2 ß-i ß-i Vi-r0

2

■ zro2 F

1 1 ß f biß rß-1 Vi

2 ß-1 ß-1

1 -rß

V 1 ro J

(28)

Таблица 10 / Table 10

Величины в, r0, Rs Rh, Rp, cxs, cxh, cxp в зависимости от удлинения X / Values of в, r0, Rs, Rh, Rp, cxs, cxh, cxp as functions of elongation X

Я 2 4 6 8 10

ß 1.1 1.4824 1.5078 1.50967 1.508

Го 0.51122 0.1821 0.0874 0.0506 0.03283

Rs 0.5354 0.19382 0.09337 0.05406 0.03507

Rh 0.221083 0.072322 0.034455 0.019958 0.012978

Rp 0.22104 0.072358 0.034466 0.019960 0.012977

cxs 2.11913 2.06439 2.04367 2.03298 2.02647

cxh 2.11634 2.06399 2.04359 2.03295 2.02645

Cxp 2.11634 2.06399 2.04359 2.03295 2.02645

Источник: по данным авторов.

В табл. 10 показаны минимальные коэффициенты сопротивления cxs для сферического затупления, полученные по формуле (28). В этой таблице проведено сравнение радиуса затупления между сферическим затуплением тела вращения и параболическим, гиперболическим случаями в свободномолекулярном режиме. Очевидно, что значения коэффициента сопротивления для сферического и параболического затуплений близки. А значения для гиперболического и параболического затуплений совпадают.

На рис. 6, 7 изображены зависимости Rs, Rp и Rh от удлинения тела Я для разных случаев.

2 4 6 8 10

Рис. 6 / Fig. 6. Формула Ньютона / Newton's formula Источник: составлено авторами

г 4 в в ю

Рис. 7 / Fig. 7. Свободномолекулярная модель / Free molecular model Источник: составлено авторами

Отметим что, радиусы затупления монотонно уменьшаются с увеличением \ для всех случаев (сферическое, параболическое, гиперболическое затупление). Более того, при увеличении удлинения \ радиус кривизны сферического затупления снижается существенно быстрее по сравнению с другими случаями. При больших удлинениях радиус затупления стремится к нулю для всех случаев.

Заключение

В данной работе сравнивают силы минимальных сопротивлений для тела вращения со степенной образующей и для затупленных тел вращения в высокоскоростном потоке разреженного газа на основе нескольких локальных моделей. Решением вариационной задачи определяется степень в образующей тела минимального сопротивления и радиус затупления в критической точке в зависимости от удлинения.

Сравнение показывает, что во всех вариантах для случая гиперзвукового сво-бодномолекулярного течения при больших удлинениях показатель степени ß стремится к величине ß=1.5, а в случае формулы Ньютона к ß=1.333. Причём значения коэффициента минимального сопротивления для сферического и параболического затуплений близки. А значения для гиперболического и параболического затуплений совпадают.

Радиус затупления монотонно уменьшается с увеличением А для всех случаев (сферическое, параболическое, гиперболическое затупление). Для одного и того же удлинения затупленные по сфере тела вращения минимального сопротивления имеют наибольший радиус затупления, что способствует уменьшению теплового потока в критической точке [17].

Статья поступила в редакцию 19.09.2022 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М.: Наука, 1989. 688 с.

2. Черный Г. Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 220 с.

3. Крайко А. Н., Пудовкин Д. Е., Якунина Г. Е. Теория аэродинамических форм, близких к оптимальным. М.: Янус-К, 2001. 132 с.

4. Миеле А. Теория оптимальных аэродинамических форм. М.: Мир, 1969. 508 с.

5. Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. М.: Машиностроение, 1975. 328 с.

6. Остапенко Н. А., Якунина Г. Е. О телах наименьшего сопротивления, двигающихся в средах при наличии закона локальности // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 1992. № 1. С. 95-106.

7. Черноусько Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. 240 с.

8. Бунимович А. И., Якунина Г. Е. Исследование формы поперечного контура конического пространственного тела минимального сопротивления, движущегося в разреженном газе // Известия Академии наук СССР. Механика жидкости и газа. 1986. № 5. С. 112-117.

9. Якунина Г. Е. К построению оптимальных пространственных форм в рамках модели локального взаимодействия // Прикладная математика и механика. 2000. № 64. № 2. С. 299-310.

10. Таковицкий С. А. Аналитическое решение задачи минимизации волнового сопротивления осесимметричной носовой части в рамках локальной линеаризации // Прикладная математика и механика. 2018. Т. 82. № 6. С. 775-782. DOI: 10.31857/S003282350002741-5.

11. Благосклонов В. И., Гродзовский Г. Л. Осесимметричное обтекание тел вращения степенной формы при сверхзвуковых скоростях набегающего потока // Ученые записки ЦАГИ. 1974. Т. V. № 6. С. 6-22.

12. Горелов С. Л., Нгуен В. Л. Тело вращения минимального аэродинамического сопротивления в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Труды МАИ (сетевое научное издание). 2020. № 113. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=117962 (дата обращения: 22.09.2022). DOI: 10.34759/trd-2020-113-4.

13. Баранцев Р. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М.: Наука, 1975. 342 с.

14. Галкин В. С., Ерофеев А. И., Толстых А. И. Приближенный метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Труды ЦАГИ. 1977. Вып. 1833. C. 6-10.

15. Гусев В. Н., Коган М. Н., Перепухов В. А. О подобии и изменении аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока // Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. 1. № 1. С. 24-33.

16. Горелов С. Л., Нгуен В. Л. Затупленное осесимметричное тело минимального сопротивления в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Труды МФТИ. 2021. T. 13. № 1 (49). С. 96-107. DOI: 10.53815/20726759_2021_13_1_96.

17. Горелов С. Л., Нгуен В. Л. Тепловой поток в критической точке осесимметричных тел минимального сопротивления // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2021. № 4. C. 43-53. DOI: 10.18384/23107251-2021-4-43-53.

REFERENCES

1. Newton I. Matematicheskie nachala natural'noi filosofii [Mathematical principles of nat-

ural philosophy]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 688 p.

2. Chernyi G. G. Techenie gaza s bol'shoi sverkhzvukovoi skorost'yu [Course of gas with a

high supersonic speed]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1959. 220 p.

3. Krayko A. N., Pudovkin D. E., Yakunina G. E. Teoriya aerodinamicheskikh form, blizkikh

k optimal'nym [Theory of close-to-optimal aerodynamic forms]. Moscow, Yanus-K Publ., 2001. 132 p.

4. Miele A. Teoriya optimal'nykh aerodinamicheskikh form [Theory of optimum aerody-

namic shapes]. Moscow, Mir Publ., 1969. 508 p.

5. Lunev V. V. Giperzvukovaya aerodinamika [Hypersonic aerodynamics]. Mosocw, Mash-

inostroyeniye Publ., 1975. 328 p.

6. Ostapenko N. A., Yakunina G. E. [Least-drag bodies moving in media subject to locality

hypothesis]. In: Izvestiya Rossiyskoi akademii nauk. Mekhanika zhidkosti i gaza [Fluid Dynamics], 1992, no. 1, pp. 95-106.

7. Chernous'ko F. L., Banichuk N. V. Variatsionnye zadachi mekhaniki i upravleniya [Vari-

ational problems of mechanics and control]. Moscow, Nauka Publ., 1973. 240 p.

8. Bunimovich A. I., Yakunina G. E. [Investigation of the shape of the transverse contour of

a conical spatial body of minimal resistance moving in a rarefied gas]. In: Izvestiya Akademii nauk SSSR. Mekhanika zhidkosti igaza [Fluid Dynamics], 1986, no. 5, pp.112-117.

9. Yakunina G. E. [On the construction of optimal spatial forms within the framework of the

local interaction model]. In: Prikladnaya matematika i mekhanika [Journal of Applied Mathematics and Mechanics], 2000, no. 64, no. 2, pp. 299-310.

10. Takovitskiy S. A. [Analytical solution to the wave-drag minimization problem for an ax-

isymmetric fore-body using local linearization]. In: Prikladnaya matematika i mekhanika [Journal of Applied Mathematics and Mechanics], 2018, vol. 82, no. 6, pp. 775-788. DOI: 10.31857/S003282350002741-5.

11. Blagosklonov V. I., Grodzovskiy G. L. [Axisymmetric flow past power-law bodies of rev-

olution at supersonic velocities of the oncoming flow]. In: Uchenye zapiski TSAGI [Scientific Notes of Central Aerohydrodynamic Institute], 1974, vol. V, no. 6, pp. 6-22.

12. Gorelov S. L., Nguyen V. L. [Rotation body of minimal aerodynamic drag in hypersonic

rarefied gas flow]. In: Trudy MAI (setevoe nauchnoe izdanie) [Electronic journal "Trudy MAI"], 2020, no. 113. Available at: https://trudymai.ru/published.php?ID=117962 (accessed: 22.09.2022). DOI: 10.34759/trd-2020-113-4.

13. Barantsev R. G. Vzaimodeistvie razrezhennykh gazov s obtekayemymi poverkhnostyami

[The interaction of sparse gases with streamlined surfaces]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 342 p.

14. Galkin V. S., Erofeev A. I., Tolstykh A. I. [An approximate method for calculating the aer-

odynamic characteristics of bodies in a hypersonic rarefied gas flow]. In: Trudy TSAGI [Proceedings of Central Aerohydrodynamic Institute], 1977, Iss. 1833, pp. 6-10.

15. Gusev V. N., Kogan M. N., Perepukhov V. A. [On the similarity and change of aerody-

namic characteristics in the transition region at hypersonic flow velocities]. In: Uchenye zapiski TSAGI [Scientific Notes of Central Aerohydrodynamic Institute], 1970, vol. 1, no. 1, pp. 24-33.

16. Gorelov S. L., Nguyen V. L. [Blunted axisymmetric body with a minimal resistance in a

hypersonic rarefied gas flow]. In: Trudy MFTI [Proceedings of MIPT - Proceedings of Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)], 2021, vol. 13, no. 1 (49), pp. 96-107. DOI: 10.53815/20726759_2021_13_1_96.

17. Gorelov S. L., Nguyen V. L. [Heat flux at a critical point of axisymmetric bodies of minimum resistance]. In: VestnikMoskovskogogosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Ser-iya: Fizika-Matematika [Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics 2021], no. 4, pp. 43-53. DOI: 10.18384/2310-7251-2021-4-43-53.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Горелов Сергей Львович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры компьютерного моделирования Московского физико-технического института (национального исследовательского университета); e-mail: gorelovsl@yandex.ru;

Нгуен Ван Лам - аспирант кафедры компьютерного моделирования Московского физико-технического института (национального исследовательского университета); e-mail: lamvqtc1990@gmail.com

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Sergey L. Gorelov - Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Department of Computer Modeling, Moscow Institute of Physics and Technology; e-mail: gorelovsl@yandex.ru;

Van Lam Nguyen - Postgraduate Student, Department of Computer Modeling, Moscow Institute of Physics and Technology; e-mail: lamvqtc1990@gmail.com.

ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ

Горелов С. Л., Нгуен В. Л. Степенные тела минимального сопротивления в газовом потоке // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2022. № 4. С. 17-34. DOI: 10.18384/2310-7251-2022-4-17-34.

FOR CITATION

Gorelov S. L., Nguyen V. L. Power bodies of minimum resistance in a gas flow. In; Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics, 2022, no. 4, pp. 17-34. DOI: 10.18384/2310-7251-2022-4-17-34.