Применение дискретных методов для моделирования течения жидкостей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 37.523.9

А.С. Чернявская, С.П. Бобков

ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ

(Ивановский государственный химико-технологический университет) e-mail: [email protected], [email protected]

Рассматривается применение метода решетчатого газа Больцмана как альтернативы реального физического эксперимента при моделировании движения жидкости. Приведены результаты моделирования, позволяющие наблюдать образование турбулентных потоков.

Ключевые слова: моделирование жидкости, клеточные автоматы, решетчатый газ, метод Больцмана, ячейка, скоростной канал, граничные условия

Моделирование движения жидкостей и газов является очень важной прикладной задачей при исследовании процессов в промышленных аппаратах. Эта задача относится к механике сплошных сред и привлекает пристальное внимание исследователей. Существует множество теорий, описывающих движение сплошной среды. К ним относятся представления классической гидродинамики, статистической физики, различные эмпирические теории.

Увидеть реальную картину протекания жидкости и образования в ней турбулентных вихрей позволяет только физический эксперимент, заключающийся в визуализации потока жидкости. Однако, с развитием вычислительной техники получила свое развитие новая методика, способная заменить реальный эксперимент компьютерным моделированием.

В основе такого моделирования лежит концепция клеточных автоматов, позволяющая рассматривать изучаемый процесс в дискретном пространстве и времени [1, 2]. Использование указанного подхода дает возможность моделировать макроскопические явления, изучая поведение микроскопических объектов - элементарных клеток-автоматов .

Традиционное моделирование движения жидкости (как и других физических процессов) обычно базируется на использовании дифференциальных уравнений в частных производных. В процессе анализа дифференциальные уравнения переводят в дискретный вид, заменяя производные конечными разностями. Полученная система алгебраических уравнений решается стандартными численными методами. В гидродинамике таким базовым классическим уравнением является уравнение Навье - Стокса.

Традиционный подход вносит в результаты моделирования определенную погрешность, допускаемую при переходе к конечным разно-

стям, а также при использовании численных методов. Стоит отметить, что трудоемкость использования классического подхода существенно возрастает при описании поведения среды с нелинейными границами или препятствиями, что ограничивает его применимость к реальным практическим задачам.

Идея, что интеграция микроскопических взаимодействий может приводить к тем же формам макроскопических уравнений, из которых исходит традиционное моделирование, привела к развитию дискретного подхода.

Первые дискретные модели жидкостей и газов (НРР и FHP) симулировали поведение каждой частицы вещества (молекулы или группы молекул), движущейся по квадратной (НРР) или шестиугольной ^НР) регулярной решетке и сталкивающейся с другими частицами [3]. Основным критерием при разработке данных моделей было соблюдение законов сохранения. Макроскопические параметры, такие как плотность, скорость, момент импульса, вычисляли путем усреднения величин, получаемых на микроскопическом уровне. Очевидно, что указанные модели являются очень ресурсоемкими, и применение их на практике к реальным объемам жидкости проблематично. Положительным моментом явилось то, что уже модель FHP дала результаты, которые соответствовали классическим представлениям, а именно уравнению Навье-Стокса, что свидетельствовало о правомерности существования дискретного подхода и привело к его дальнейшему развитию.

Продолжением и развитием дискретного подхода стала модель решетчатого газа Больцмана ^ВМ). В основу этой модели положены совершенно иные микроскопические представления.

Предыдущие модели решетчатого газа (НРР и FHP) содержали много упрощений. Один из наиболее значимых недостатков состоит в том,

что частицы, движущиеся по схеме столкновении, имеют значительную длину свободного пробега. Даже когда длина свободного пробега сводится к одноИ ячеИке, это не всегда дает возможности моделировать жидкость [4].

Чтобы преодолеть эту трудность, понятие конкретноИ частицы целесообразно заменить плотностью распределения частиц, а вместо итерационных правил взаимодеИствия использовать оператор столкновениИ, смысл которого будет рассмотрен ниже.

В модели LBM плоская сплошная среда разбивается на малые объемы-ячейки жидкости (газа). Количество материальных частиц в каждой ячейке характеризуется локальной плотностью р. Для каждоИ ячеИки предусмотрено наличие девяти направлений (скоростных каналов), по которым могут двигаться частицы. Это сама клетка и восемь ее соседей. Такая решетка получила название D2Q9 (2 измерения, 9 соседей) [4].

Векторы с, имеют единичную длину и задают следующие направления скоростных каналов: с0 = <Ь0см = с2,4 = с5>6>7>8 = (1)

Количество частиц, движущихся по каждому из скоростных каналов /, характеризуется плотностью распределения частиц по скоростным каналам /¡(г,$, где г и * - координаты ячейки потока в пространстве и времени соответственно.

Локальная плотность потока для ячейки, в целом, вычисляется как сумма значений плотности распределения по всем скоростным каналам:

Р = Т/, г; • (2)

Сумма произведений плотности распределения потока на векторы скоростных каналов составляет плотность импульса. Разделив плотность импульса на плотность частиц, мы получим вектор локальной скорости для ячейки потока:

и =—Ус,./;, г,/ • (3)

Итерацию клеточного автомата, функционирующего по методу решетчатого газа Больцма-на, можно записать следующим образом:

/1г + а1,( + \- п / , (4)

где Д(/) - оператор столкновений.

Выражение (4) является дискретным аналогом известного из статистической физики уравнения Больцмана.

Физический смысл оператора столкновений можно трактовать, как релаксацию плотностей распределения к равновесному состоянию. Поэтому он вычисляется следующим образом:

Ц / =--[/, г,г -1,. Г,1 ], (5)

где г - время релаксации, которое связано с вязкостью жидкости V следующей формулой [4]:

г-0,5

3

(6)

Функция г, t обозначает равновесное

распределение частиц по скоростным каналам и зависит от локальной скорости и плотности среды. Для решетки 2D9Q ее можно вычислить, используя методику [5] по следующей формуле:

2 = Ш1р[\ + Ъс1и+9- ср 2-|у2]' (7)

Коэффициенты Ж, выбираются исходя из распределения Максвелла таким образом, чтобы получаемые моменты импульса соответствовали моментам импульса по распределению Максвел-ла-Больцмана вплоть до четвертого порядка. Они равняются следующим величинам:

4

1

1

К п ' Щ,2,3,4 п> ^5,67,8 ^^

У У 36

Таким образом, проверяется выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии.

Не менее важной и трудоемкой, чем поиск самого алгоритма вычислений, является задача поиска граничных условий. Трудность их определения связана, в первую очередь, с тем, что даже с точки зрения классической гидродинамики реальные граничные условия еще не были поняты до конца.

На практике подбор граничного условия определяется поставленной задачей. Проблема поиска оптимального способа задания граничных условий остается открытой и требует дальнейшего изучения.

Для реализации метода решетчатого газа Больцмана было создано программное приложение, моделирующее движение жидкости в двухмерном пространстве по вышеуказанному методу. Данное приложение позволяет отслеживать поведение жидкости при различных параметрах, таких как вязкость, плотность, молярная масса и скорость, варьировать размеры моделируемого потока и помещать в него препятствия.

Для описания поведения жидкости у стенок потока и препятствий использовался метод отражения «на полпути» от стенки. Фактически граница потока и стенки располагается между первым и вторым рядами ячеек. При этом в крайнем ряду не происходит никаких столкновений и перераспределений, а попавшие туда частицы принудительно возвращаются на следующем шаге назад в поток по классическим правилам отражения. Для задания движения потока левому граничному слою ячеек задавались постоянная скорость и плотность.

Был проведен ряд компьютерных экспериментов, связанных с анализом влияния параметров жидкости на характеристики потоков.

На рис. 1 показаны два фрагмента модельного потока, движущегося между параллельными стенками. В обоих случаях движение потока происходит с одинаковой начальной скоростью (2 м/с) слева направо. Оттенками серого на рис. 1 обозначен модуль скорости. Белый цвет соответствует нулевой скорости. С увеличением скорости цвет становится более насыщенным. На рис. 2, а представлено течение воды, кинематическая вязкость которой составляет 1 см2/с, а плотность -1 г/см3; на рис. 2, б - течение скипидара, кинематическая вязкость которого составляет порядка 100 см2/с, а плотность - 1,47 г/см3. Можно видеть, что при движении жидкости ее скорость уменьшается вблизи стенок (приграничный слой практически белый), причем с увеличением вязкости жидкости уменьшение скорости у стенок более значительно (ширина белой области на рис. 2, б шире), что соответствует аналитическим и эмпирическим представлениям о движении реальной жидкости.

Рис. 3. Шкала соответствия оттенков серого и угла вектора скорости

Fig. 3. Scale of correspondence of color of grey and angle of velocity vector

а

а

б

Рис. 1. Течение жидкостей между параллельными стенками: а

- вязкость 1 см2/с; б - вязкость 100 см2/с Fig. 1. Fluid flow between parallel walls: a - viscosity is 1 cnr/s; б - viscosity is 100 cnr/s

I I

I I

а б

Рис. 2. Протекание жидкости через щель: а - величина скорости; б - угол отклонения от горизонтали Fig. 2. The fluid flow through the slit: a - velocity value; б - the angle of inclination from the horizontal

б

Рис. 4. Вихревые дорожки при обтекании препятствий: а - величина скорости; б - угол отклонения от горизонтали Fig. 4. Vortexes tracks at flow around obstacle: a - absolute velocity; б - the angle of inclination from the horizontal

При компьютерном исследовании движения жидкости наблюдались модельные турбулентные потоки при обтекании препятствий, в том числе вихри на выходе из щели и вихревые дорожки Кармана. Данные явления представлены на примере потока скипидара.

На рис. 2, а показано изменение величины скорости при движении жидкости через щель. Условные обозначения соответствуют рис. 1. Начальная скорость жидкости в данном примере составляла 2 м/с. При этом внутри щели жидкость разгонялась до 3,3 м/с.

На рис. 2, б показано изменение направления вектора скорости. Белым цветом обозначены ячейки потока, в которых направление движения основной массы частиц совпадает с направлением движения потока (угол равен 0). Отклонение от оси движения потока обозначается оттенками серого. Соответствие между цветом и углом отклонения показано на рис. 3. Можно видеть, что в самой щели скорость максимальна и направлена

строго горизонтально (вправо). Модель показывает, что перед стенкой скорость падает (светлая полоса на рис. 2, а) и жидкость движется вдоль стенки (серая полоса на рис. 2, б соответствует углу примерно в 90 градусов). Непосредственно на выходе из щели можно наблюдать значительные изменения направления движения (вихри).

На рис. 4 показан процесс обтекания жидкостью небольших препятствий (так называемые дорожки Кармана). Условные обозначения соответствуют рис. 2.

В ходе компьютерного моделирования было выявлено соответствие модельных результатов существующим представлениям о реальном течении жидкости. Это, в свою очередь, позволяет говорить о возможности применения метода решетчатого газа Больцмана для имитации турбулентных потоков. Преимущества практического применения данного метода, с одной стороны, заключаются в отсутствие необходимости проведения

Кафедра информационных технологий

реального физического эксперимента, а с другой стороны - позволяет предсказать поведение жидкости в системах сложной геометрической формы, что затруднительно при использовании классических математических моделей.

ЛИТЕРАТУРА

1. T. Cellular Automata Machines. Massachusetts Institute of Technology. M.: Mir. 1987. 253 p. (in Russian).

2. Бобков С.П. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 3. C. 109-114;

Bobkov S.P. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V. 52. N 3. P. 109-114 (in Russian).

3. Chopard B., Dupuis A., Masselot A., Luthi P. // Advances in Complex Systems. 2002. V. 5. N 2. P. 1-144.

4. Dieter A. Wolf-Gladrow. Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models: An Introduction. Editors: A. Dold, Heidelberg F. Takens, Groningen B. Teissier, Paris. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2000. P. 1725- 2005.

5. Erlend Magnus Viggen. The Lattice Boltzmann Method with Applications in Acoustic. E.M. Viggen; NTNU; Department of Physics. 2009. 156 p.

УДК 621.9

М.П. Цыганков, Д.С. Кручинин

ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ

ТЕПЛООБМЕННИКОВ

(Ярославский государственный технический университет) e-mail: [email protected], [email protected]

Рассматриваются особенности построения математических моделей теплообменников в условиях высокотемпературного теплообмена. Указывается на необходимость учитывать распределение значений коэффициента теплопередачи вдоль поверхности теплообмена во избежание искажения температурных профилей, приводящего к ошибкам математического моделирования теплообменной аппаратуры, выполняемого в целях оптимизации технологических режимов ее эксплуатации и технического диагностирования.

Ключевые слова: высокотемпературный теплообменник, схема движения теплоносителя, функциональная диагностика, тепловой баланс, математическая модель, теплообмен, коэффициент теплопередачи

Техническое диагностирование высокотемпературных теплообменных аппаратов по данным автоматического контроля температур и расходов материальных потоков - важнейшее условие их безаварийной эксплуатации. В [1] проанализированы возможности и предложен алгоритм технического диагностирования путем использования данных контроля их технологиче-

ских режимов в рабочих условиях протекания процессов теплообмена. Диагностирование выполняется на базе использования ячеечной математической модели теплообменника, включающей, в частности, выражения теплопередачи от горячего теплоносителя к нагреваемой среде.

При моделировании принимается допущение о независимости коэффициента К теплопе-