CC BY
67ISSN 0868-5886
НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2005, том 15, № 2, c. 51-66
— Материалы научного семинара
МИКРОЧИПОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ
УДК 517.958+532.5+536.252 © А. Л. Буляница
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МИКРОФЛЮИДИКЕ:
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Представлен обзор основных подходов к математическому моделированию процессов формирования скоростных, концентрационных, электрических и тепловых полей в элементах микрофлюидных аналитических систем. Рассматриваются и анализируются основополагающие базовые положения (уравнения, условия, режимы), используемые при описании процессов массо- и теплопереноса.
ВВЕДЕНИЕ
Условные обозначения: Re — число Рейнольдса;
Reкpитич. — критическое значение числа Рей-нольдса;
и — характерное значение скорости; й — характерный геометрический размер; р — плотность;
ц — динамический коэффициент вязкости; Я — радиус круглого микроканала; gr ^й) — гидродинамический радиус (диаметр); 2И — ширина щели;
Ь (а) — ширина (глубина) прямоугольной щели; 8 — толщина вытеснения; I — длина пластины; и — скорость конвективного движения;
V — максимальная скорость; < V > — средняя скорость;
У8 — скорость на границе пограничного слоя;
— площадь сечения канала; Р — периметр сечения;
г1, г2 — внутренний и внешний радиусы коак-сиала;
т1 — медиана треугольного сечения; и(г) — распределение скорости по сечению щели;
у — ортогональная координата (координата сечения);
г — нормированная координата сечения щели (г = у/И);
Кп — число Кнудсена;
Я — длина свободного пробега в газе или жидкости;
V — молярный объем;
№ — число Авогадро 6.02214-1026 моль-1; г8 — радиус Стокса;
— радиус инерции частицы; п7 — число жестких звеньев;
81 — длина одного жесткого звена молекулы;
С — концентрация анализируемого вещества; т — касательное напряжение в среде; £ — диэлектрическая проницаемость; £ — дзета-потенциал; Т — абсолютная температура; Т — характерная температура внешней среды (298 К);
Т — нормированная разность (Т - Т )/Т*; И — коэффициент, пропорциональный коэффициенту теплопроводности к;
с — постоянная Стефана—Больцмана; w(T — плотность энергии излучения; г — текущая радиальная координата; кг, Жг и Л — вспомогательные параметры, определяемые геометрией коаксиала;
g — проекция гравитационного ускорения на аксиальную координату х;
Б — коэффициент диффузии; X — коэффициент термодиффузии; 17 — валентность 7-го иона; е — заряд электрона; Б — постоянная Фарадея;
с0 — молярная концентрация ионов компонент; кь — постоянная Больцмана; Ф — потенциал;
(еЬ) — функция гиперболического синуса (косинуса);
Л0 — длина Дебая; д — заряд частицы;
10 — цилиндрическая функция Бесселя нулевого порядка первого рода;
Е — напряженность электрического поля;
Б * = Б / И2, и * = V * / И — нормированные коэффициент диффузии и максимальная скорость; Ре — число Пекле; ПДМС — полидиметилсилоксан; ПММА — полиметилметакрилат; ПК — поликарбонат; ПЕТ — полиэтилтетрахлорид.
Среди последних концептуальных публикаций, связанных с развитием микроаналитических систем и в первую очередь реализацией электрофореза на микрочипе, имеются статьи различной направленности. При этом основными направлениями исследований являются: а) анализ и изучение физико-химических явлений, происходящих в микроразмерных системах, и разработка математических моделей процессов переноса и взаимодействия веществ в микроканалах [1-3]; б) создание новых архитектур (топологий) микрочипов для выбранных методов анализа [4]; в) разработка высокочувствительных и селективных аналитических методов на микрочиповой платформе [5-7]; г) развитие нано-технологий получения микроразмерных устройств [8-10]. Нетрудно убедиться, что первое направление работ непосредственно связано с моделированием как натурным, так и имитационным; второе, третье и четвертое направления, по-видимому, должны включать математическое моделирование в качестве предварительного этапа работ.
Широкое разнообразие и взаимозависимость процессов переноса вещества и энергии (тепла) в сочетании со спецификой микрофлюидики (прежде всего микроразмеры конструктивных элементов микрофлюидных аналитических систем), а также необходимость развития методик анализа различных по природе, размерам и иным характеристикам объектов требуют изложения основополагающих моделей процессов. Бесспорные широкоизвестные преимущества математического моделирования позволяют решать задачи оптимизации конструкции микрофлюидной системы или ее отдельных элементов, а также осуществлять оптимальный выбор режима анализа или любых его стадий еще до проведения конструкторско-технологических работ.
В данной статье не будут рассматриваться различные постановки задач оптимизации, а также формулироваться ограничения разной природы — физико-химические, конструктивно-технологические и организационно-финансовые. Кроме того, поскольку рассматриваются физико-химические процессы переноса вещества и энергии, математические модели в большинстве своем имеют форму систем дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Методы решения таких уравнений — аналитические (Фурье и его модификации, например, метод Гринберга, Галеркина, в ряде случаев метод Даламбера и функций Грина, операторный метод Лапласа и т. д.) или численные (явные или, что более эффективно, неявные конечно-разностные схемы), они традиционны. Развитие затрагивает в основном численные методы и идет по пути экономии использования вычислительных ресурсов и увеличения быстродействия современной вычислительной техники.
С точки зрения постановки задач математического моделирования процессов в микрофлюидных системах основополагающим является формулировка базовых принципов. К таковым можно отнести: 1) гипотезу ламинарности потоков (иногда ее полагают само собой разумеющейся, если речь идет о микрофлюидике); 2) гипотезу сплошной среды (границы ее применимости); 3) законы формирования скоростного профиля, массопере-носа, распределения электрического и теплового полей; 4) граничные условия, связанные с геометрией элементов конструкций (стенки каналов, зоны смесителей потоков и т. д.).
Перечисленные выше и связанные с ними положения, определяющие постановки математических моделей и являются главным предметом статьи.
ГИПОТЕЗА ЛАМИНАРНОСТИ ПОТОКОВ
Микрофлюидика в своей основе предполагает движение жидкости или газа в микроканалах. Последние имеют размеры сечения от 1 мкм до 1 мм, хотя наиболее распространенными считаются размеры 30-300 мкм [11].
Как известно, ламинарность потока связывается с величиной числа Рейнольдса — одного из базовых показателей подобия гидродинамических явлений. Его величина определяется как
Яе =
Щр
(1)
где и и й — характерные скорость потока и геометрический размер канала; р и ц — плотность и коэффициент динамической вязкости среды соответственно. Заметим, что понятия характерных скоростей и размеров не имеют однозначной интерпретации. Этот вопрос будет обсужден позже. Однако очевидно, что от выбора указанных характеристик будут зависеть результат вычисления (1) и правила определения границ ламинарного и турбулентного режимов.
В случае сложной формы сечения в качестве характерных размеров используют гидродинамический (или гидравлический) диаметр — gd, определяемый как gd = 4^ / Р, где и Р — площадь и периметр сечения соответственно. Нетрудно убедиться в том, что в простейших случаях сечений гидродинамический диаметр совпадает с естественно выбираемым характерным размером. Например, в случае круглого сечения gd = 2Я (диаметр круглого канала), плоской щели — gd = 25 (удвоенная высота щели), коаксиального капилляра — gd=2(г2 - г1), прямоугольного сечения — gd= = 2аЪ/(а+Ъ) (гармоническое среднее ширины и высоты сечения), равностороннего треугольника —
gd = 2т1/3, где т1 — медиана (т. е. совпадает с рас- жести). В табл. 1 представлены характеристики мик-стоянием от вершин треугольника до его центра тя- ропотоков, реализованных в различных каналах.
Табл. 1. Характеристики микропотоков, реализованных в различных каналах
Числа Рей- Среда Описание канала Публи-
нольдса кация
30-20000 Азот Круглый; диаметр 3-81 мкм [12]
До 600 Вода Трапецеидальный; длина 12-36 мм, глубина 27-63 мкм, ширина 100-1000 мкм [13]
Для круг- » Круглый; диаметр 8-42 мкм; [14]
лого — до прямоугольный, трапецеидальный и треуголь-
1, 2; ный; длина 2.5-10 мм, глубина 13.4-
остальные 46 мкм, ширина 35-110 мкм
— не рас-
ечитаны
До 2500 » Круглый; диаметр 50-254 мкм [15]
1-18 » Массив прямоугольных каналов; глубина 30 мкм, ширина 600 мкм, длина 3 мм [16]
0.001-1 » Массив прямоугольных каналов; глубина 22.6126.35 мкм, ширина 150-600 мкм, длина 7.75 мм [17]
50-4000 » Прямоугольный; глубина 100-300 мкм, ширина 200-400 мкм, длина 50 мм [18]
Жидкости: п-Пропанол, си- Прямоугольный и трапецеидальный; глубина 0.48- [19]
<<1 до 80 ликоновое масло, азот, гелий 38.7 мкм, ширина 55-115 мкм, длина 10.2-10.9 мм
10-1450 Вода Трапецеидальный; глубина 28-114 мкм, ширина 148-523 мкм, длина 28 мм [20]
50-2500 » Круглый; диаметр 75-242 мкм [21]
200-600 » Массив травленных прямоугольных/ трапецеидальных каналов; глубина 50-56 мкм, ширина 287320 мкм, длина 1 см [22]
Вода: 17- Вода, биологиче- Трапецеидальный; глубина 20-40 мкм, ширина 40- [23]
126 ские (флюиды) 150 мкм, длина 11.7 мм
200-15000 Азот, гелий, аргон Трапецеидальный и-образный; глубина 2865 мкм, ширина 133-200 мкм, длина 7.6-40.3 мм [24]
200-20 000 Азот, вода Круглый; диаметр 19-102 мкм [25]
1-10 Смесь: вода + глицерин и вода Специальный смеситель [26]
50, 100, Вода Прямоугольный; глубина 115 мкм, ширина 200 мкм, [27]
470,900 длина 24 мм
<0.1 » Круглый; диаметр 100 и 205 мкм, длина 14 см [28]
0.1-10 » Прямоугольный; ширина 10-100 мкм, глубина 3 мкм; призматические элементы высотой 0.1-2 мкм [29]
Табл. 2. Критические значения чисел Рейнольдса, при которых возможен переход к турбулентному движению
Критическое Вид сечения канала Характерный Публикация
число Яе размер
2400 Плоская щель 2Н [30]
2300 Круглая труба 2Я [31]
2000 » 2Я [32, 33]
300-1500 » 2Я [34]
50 000 Бесконечная тонкая пластина 1 [34]
2100 Плоская щель, круглая труба 2Н [35, 36]
2000-2800 Коаксиальный капилляр gd [37]
1100 Круглая труба 2Я [38]
2000 Плоская щель, круглая труба 2Н, 2Я [39]
500000 Бесконечная тонкая пластина 1 [39]
100 000 » 1 [40]
300 Круглая труба, коаксиальный gr [41]
капилляр
6300 Бесконечная тонкая пластина 1 [41]
2000-2500 Круглая труба, коаксиальный gd [42, 43]
капилляр
2000-7700 Круглая труба, коаксиальный gd [44]
капилляр
5314 Плоская щель 2Н [45]
7084 » 2Н [45]
420 » 5 (*) [45]
1070-1125 » 2к [45]
340-527 Плоский диффузор 2Н [46]
1050 Квадратная труба а [47]
1260 Прямоугольная щель (Ъ/а < 3) а [48]
800-1400 Прямоугольная щель (Ъ/а < 30) а [45]
955-1050 Прямоугольная щель (Ъ/а <100) а [48]
1000-1344 Круглая труба Я [47]
1050-1075 Коаксиальный капилляр gr [49]
10 Разделительная сетка 2к [50]
500 Мембрана Я [51]
300000 Бесконечная тонкая пластина 1 [31]
Примечание. * — Под толщиной вытеснения д для плоской щели понимается по анало-
1
гии с [32] величина 5 = V*41 (V* - и(г))йг, где Щё) — распределение скорости по сече-
0
нию щели, I — нормированная ширина щели.
Для идентификации указанных режимов изучалась зависимость критических значений чисел Рейнольдса, определяющих переход к турбулентному режиму, от выбранного критического размера (й) и других показателей (скорость, тип сечения канала и т. д.). Некоторые из критических значений приведены в табл. 2. Сопоставление данных табл. 1 и 2 позволяет сделать вывод о том, что при движении жидкостей в каналах достаточно редко достигается турбулентный режим. В то же время движение газов, как правило, турбулентное. Вместе с тем некоторые из режимов, представленные в табл. 1, в частности (см. [21]) движение воды в круглом канале радиуса до 242 мкм с числами Рейнольдса до 2500, находятся близко или за границей ламинарного режима.
Также следует отметить, что как выбор характерного размера, так и соответствующее критическое значение числа Рейнольдса существенно различаются. Остается дискуссионным вопрос, следует ли оценивать ламинарность потока, исходя из поперечного числа Рейнольдса (взяв гидравлический диаметр в качестве характерного размера), либо следует оценивать продольные числа Рей-нольдса, выбрав характерным размером длину канала, как правило, на 2-3 порядка большую. При этом правила выбора критического числа Рей-нольдса, по-видимому, также будут различны. Например, рассмотрим микроканал прямоугольного сечения с соизмеримыми шириной и глубиной порядка 100 мкм и длиной 20 мм. С одной стороны, допустима интерпретация конструкции как "прямоугольная щель" (Ь/а < 3) с Яекритич = 1260 [47] и расчетами, основанными на величине глубины канала; в то же время возможна и интерпретация микропотока, обтекающего бесконечную плоскую пластину, каковой является дно и стенки канала с характерным размером — длиной канала и другими критическими числами Рейнольдса [34, 39-41].
Главной особенностью описанных режимов является управление давлением, а не электрокинетическое управление. Исключение составляют [26, 28, 29]. Возможно, что имеющиеся при электрокинетическом управлении традиционно признанные ограничения тепловой мощности, а следовательно и величины напряженности продольного электрического поля, приводят к недостижимости турбулентных режимов. Следствия указанных ограничений будут проанализированы далее.
ГИПОТЕЗА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Важнейшим положением, нуждающимся в проверке, является допустимость анализа массопере-носа вещества на основе модели сплошной среды, что позволяет использовать концентрационные зависимости вместо статистического анализа ан-
самбля отдельных частиц. В [11] положение о модели сплошной среды рассматривается как необходимое условие микрофлюидики. Анализ применимости гипотезы проводится на основе сравнения длины свободного пробега частицы с характерным размером сечения. Данный критерий — критерий Кнудсена — требует оценивания еще одного показателя гидродинамического подобия:
Кп = Я/й, (2)
где Я — длина свободного пробега в газе или жидкости.
На основе оценок (2) числа Кнудсена определяются два важных положения: а) при Кп более 10-3 следует учитывать неравновесные эффекты в среде; б) при Кп от 10-3 до 10-1 гипотеза сплошной среды еще правомерна и, кроме того, допустимо применение условия прилипания частиц к жестким стенкам канала. Сама формулировка последнего условия также может быть различна: как в форме и = 0, так и в более сложной форме, связанной с касательными напряжениями. Данные выводы сделаны на основе работ [52-55].
Расчет Я можно осуществить в соответствии с формулой [56]
Я ~ 31у
Ша
(3)
где V — молярный объем, № — число Авогадро. Для воды Я = 0.3 нм [11] и даже в микроканале 1 мкм число Кнудсена составляет 3.10-4. Тем самым гипотеза сплошной среды, бесспорно, применима.
Длина свободного пробега (3) может быть вычислена как Я~ 1/(^/2m^,¡2Na), если использовать в качестве Гц радиус Стокса как следствие сферической аппроксимации частицы. С другой стороны, для модели жесткоцепной молекулы характерный размер частицы — радиус инерции вып '8
числяемый как = 1 ' [57, 58].
Те
Например, полагая длину одного основания фрагмента ДНК (8 = 1 Ьр) как 3.4 А, получаем для одноцепочечного фрагмента п1 =100 Ьр — ^ = = 14 нм, если предположить фрагмент ДНК жест-коцепной молекулой. Однако критическим в этой ситуации будет применение модели сплошной среды не к веществу, а к буферу. В случае водопо-добного буфера следует брать радиус Стокса молекулы воды и оценивать для воды длину свободного пробега, поскольку наименьшим радиусом Стокса и наибольшей длиной свободного пробега, а следовательно и числом Кнудсена, будут обладать самые маленькие частицы в рассматриваемой системе.
Таким образом, для микроканалов (т. е. каналов
с гидравлическим диаметром сечения более 110 мкм) гипотеза сплошной среды выполнена. Следовательно, два основных нерасторжимых признака микрофлюидики — сплошная среда и ламинарность конвективного движения — не опровергнуты, в том числе и различными экспериментами!
Остальные положения: схемы загрузки анализируемой пробы, модели формирования скоростного профиля, уравнения массопереноса, уравнения формирования электрических и тепловых полей и связанные с ними граничные условия на жестких стенках канала — не являются универсальными, присущими исключительно микрофлюиди-ке, и зависят от типа микрофлюидной системы. Например, основополагающим является способ управления веществом: градиент давления или электрического поля. Указанные особенности реализации и моделирования микрофлюидных систем с разных позиций исследованы в работах [59-77].
СХЕМА ПЕРЕНОСА ВЕЩЕСТВА
Основная рассматриваемая схема — движение короткой пробки по длинному тонкому каналу. Прежде всего этой генеральной схеме соответствуют все режимы измерений, представленные в табл. 1 [12-25]. Кроме того, характерные размеры сечения укладываются не только в микродиапазон, но и в указанный в [11] интервал 30300 мкм.
Эта же общая геометрическая схема — длинный тонкий канал с пробой в виде короткой "пробки" реализуется в [59, 69, 70]. При этом в [70] исходная "пробка" аппроксимируется дельта-функцией, в [59] пробка аппроксимируется либо гауссовым распределением, либо равномерным (ограниченным длиной). В рассматриваемом [7277] случае речь также идет о длинном микроканале трапецеидального сечения (средняя полуширина 20-70 мкм, глубина 10-20 мкм и менее) и при равномерно заполненной пробке длиной до 1 мм. Объему пробы 100 пл при полуширине 20 мкм и глубине 10 мкм (т. е. самая длинная пробка) соответствует длина пробки 0.25 мм.
Сечение канала, как правило, круглое или канал представляет собой плоскую или прямоугольную щель [12-25], и реже анализируются сечения иной формы [70] (эллиптическое, треугольное или трапецеидальное). В [69] параметры прямоугольного сечения микроканала: глубина 20 мкм, ширина 200 мкм при длине несколько сантиметров.
В [70] схема аналогична: ширина канала 50 мкм, средняя скорость конвективного движения около 1 мм/с. Нетрудно убедиться, что указанный режим, предложенный для чип-реализации элек-
трофореза, при водоподобном буфере с /р = =10-2 см2/с обеспечивает ламинарность потока с большим запасом: Яе = 0.05. Даже так называемые продольные числа Рейнольдса, использующие в качестве характерного размера длину канала, например 3 см, приводят к оценке Яе = 30, что также далеко от перехода к турбулентности.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НА СТЕНКАХ МИКРОКАНАЛОВ
Традиционным граничным условием на стенке канала является ее непроницаемость для вещества. Это условие в форме д С / д I = 0 достаточно очевидно, и нет веских оснований для его опровержения.
Наложение аналогичных условий на скоростной профиль (конвективную скорость в микроканале) и на распределение температуры уже допускает различные подходы и трактовки.
1. Следствием уравнения неразрывности для несжимаемой ньютоновской жидкости при отсутствии гравитационных и электрических сил можно считать утверждение в форме ди / д I = 0. Это условие может быть рассмотрено вблизи жесткой стенки. Как следствие, поскольку т = /л- ди / д I, — равенство нулю касательного напряжения на стенке.
2. При не слишком больших скоростях, малых размерах и отсутствии электрокинетических эффектов [1], т. е. при U/gd менее 1012 с-1, граничное условие на стенке Щ = 0 допустимо.
3. В ряде случаев границей можно считать границу слоя Штерна внутри двойного электрического слоя, и условие задается на этой границе в форме и = -е^Е / / , где £ — диэлектрическая проницаемость, £ — дзета-потенциал, / — динамическая вязкость. Формально это условие не является граничным. Подобный подход принят в ряде работ [11, 78-80]. При этом на режим наложен ряд основополагающих ограничений: а) однородность дзета-потенциала; б) малость толщины двойного электрического слоя по сравнению с размерами сечения микроканала; в) электрически изолированная стенка канала; г) малые числа Рейнольдса (ламинарность); д) малое произведение чисел Рей-нольдса и Струхаля (дополнительно к предыдущему, малая нестационарность); е) однородность характеристик потока; ж) параллельность входного и выходного потоков.
Граничные условия на стенках канала применительно к моделированию процессов теплопере-носа анализируются, исходя из данных табл. 3 и 4.
Сравнение приведенных характеристик для воды свидетельствует о корректности температурных аппроксимаций, приведенных в табл. 3.
Табл. 3. Аппроксимация температурных зависимостей физико-химических характеристик вещества и материала микрочипа (по данным [68])
Характеристика Жидкость (среда) Стекло (стенка)
Плотность р, г/см3 1.00 2.15
Теплоемкость Ср 103,
Дж/(моль.К) 4.18 1.00
Коэффициент теплопроводно- 0.61 + 0.0012(Т - Т *) 1.38 + 0.0013 - (Т -Т*)
сти к, Дж/(К -м-с)
Молярная электропроводность
Я, м2/(Ом-моль) 12.64 + 0.025(Т -Т*)] 10-3 —
Динамическая вязкость
/л, кг/(см) 2.761 - ехр(1713/Т) -10-6 —
Диэлектрическая проницае-
мость £ 305.7 - ехр(-Т/219) —
Табл. 4. Физико-химические характеристики веществ при 1 атм. давлении и 15 оС [11]
Вещество Динамическая вязкость, г/(с-см) Кинематическая вязкость, см2/с Коэффициент теплопроводности к, Дж/(К-см-с) Коэффициент термодиффузии, см2/с
Вода 0.0114 0.0114 0.0059 0.00140
Этиловый спирт 0.0134 0.0170 0.00183 0.00099
Глицерин 23.3 18.50 0.0029 0.00098
Воздух 0.000178 0.145 0.000253 0.202
где Т представляет собой нормированную разность температуры с температурой внешней среды, а коэффициент к пропорционален коэффициенту теплопроводности к стенки. Следует подчеркнуть, что указанное условие (4) достаточно традиционно в задачах теплообмена. В частности, оно подробно обсуждается в [81]. В принципе модель ньютоновского потока является следствием линеаризации закона Стефана для плотности энергии излучения абсолютно черного тела в форме ^(Т) = сТ4, где с — постоянная Стефана— Больцмана вблизи стенки микроканала.
БАЗОВЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Скоростные и концентрационные профили
Теоретическую основу составляют а) уравнение неразрывности с системой уравнений Навье—
Оценка коэффициента динамической вязкости: по табл. 4 для воды при 15 оС (288 К) эта величина 0.0114 г/(см-с) или 1.14-10-3 кг/(м-с). Аппроксимация зависимости / = /(Т) из табл. 3 дает величину 1.057-10-3 кг/(м*с).
Оценка коэффициента теплопроводности дает количественно схожие величины: 0.598-10-4 (аппроксимация зависимости, табл. 3) и 0.59-10-4 Дж/(м-К-с) (табл. 4).
Кроме того, совершенно очевидно (см. табл. 3), что стеклянная стенка микроканала не является теплоизолирующей. Таким образом, условие непроницаемости (граничное условие второго рода) на стенке для температурного поля неприемлемо!
В [68] сформулировано граничное условие третьего рода — ньютоновский поток
д Т * ~
— + к -Т = 0, (4)
д I
Стокса (для ввода вещества давлением); б) система уравнений Пуассона—Больцмана для электростатического потенциала и для скоростного профиля (для электрокинетического управления потоками); в) дополнительно к предыдущему, теория двойного электрического слоя; г) при наличии нескольких побудителей движения потока, например давление и электрокинетика, соответствующие конвективные скорости складываются. Такая аддитивность следует из принципа суперпозиции только при условии линейности!
При управлении давлением распределение конвективной скорости в круглом микроканале и коаксиальном капилляре имеет вид соответственно
u = V*(1 - r2 /R2),
2 < V >
u=
Wr
1 —- + Л ln
r
r
V J J
(5)
(6)
1 d(p -pgx) Au =--. , где g
p
dx
онного ускорения на аксиальную координату х. Оператор Лапласа традиционно обозначен как А.
При этом же предположении распределение концентраций будет описываться как
дС ти . дС п
-+ U (у)-= D
dt дх
д 2С д 2С дх2 + ду2
(7)
Здесь С = С(х, у, О — распределение концентрации вещества; и(у) — профиль аксиальной составляющей конвективной скорости; х — аксиальная координата; у — ортогональная координата сечения; В — коэффициент диффузии. (7) соответствует модели плоской щели. Система уравнений Навье—Стокса имеет в общем случае более слож-
ный вид: правая часть должна содержать ВАС . Она позволяет численно рассчитывать нестационарный скоростной и концентрационный профили в трехмерном пространстве.
В частности, система уравнений Навье—Стокса для компонент скорости г = 1, 2, 3 представляется в форме
Р
(дv
дt
v
+ V • Vv,
= PAv,; v = {vl,v2,v3 }•
(8)
Уравнение (6) представлено в [32, 34, 38] в несколько иной форме. Здесь г — радиальная координата сечения микроканала (коаксиала); Я — радиус канала; г12 — внутренний и внешний радиусы коаксиала; максимальная V и средняя <У> скорости пропорциональны градиенту давления; вспомогательные параметры определяются геометрией
коаксиала — кг = г2 /г1; Л = -(кг~2 - 1)/1п(кг);
Жг = кг "2 + 1 - Л .
Первые результаты (5) и (6) были приведены в классических работах [82-84] и очень хорошо известны с середины XIX века. Аналогично круглому каналу описывается скоростной профиль в плоской щели с точностью до замены радиусов на полуширину щели. Все эти результаты получены исходя из уравнения Навье—Стокса в приближении Пуассона при дополнительном предположении о наличии только аксиальной составляющей вектора конвективной скорости движения:
проекция гравитаци-
Здесь V — вектор скорости конвективного движения. Чаще всего в прямолинейных каналах микрофлюидных систем он имеет только одну аксиальную составляющую [11]. Систему Навье—Стокса (8) традиционно дополняет уравнение неразрывности (сплошности) pVv = 0.
Для расчета массопереноса (профиль концентраций С = С(х, у, г, 0) и теплопереноса (профиль температур Т = Т(х, у, г, ф используются аналогичные уравнения с заменой коэффициента динамической вязкости ц на коэффициент диффузии В или термодиффузии х В правой части уравнений (8) производится замена "вязкого" слагаемого цАу на диффузионное ВАС или термодиффузионное хАТ соответственно, и также могут быть дополнительные источниковые/стоковые слагаемые, связанные с выработкой или расходованием вещества или тепла. Заметим, что такой вид имеют уравнения при предположении о постоянстве коэффициентов динамической вязкости, диффузии и термодиффузии.
Двойной электрический слой и распределение поперечного электрического поля
Рассмотрим уравнение Пуассона—Больцмана для распределения потенциала в случае симметричного электролита с двумя моновалентными ионами:
dV _ 2F/,c0
dz2
sh
z)Л
kbT
(9)
Здесь — валентность i-го иона, е — заряд электрона, F — постоянная Фарадея, с0 — молярная концентрация ионов компонент, Т — температура, kb — постоянная Больцмана, ф — потенциал, z — нормированная пространственная координата сечения, sh — функция гиперболического синуса. Теоретические исследования уравнения (9) проводились в работах [85-87].
Выделяют два пристеночных слоя [11]: слой Штерна (Stern layer) и Гоуи—Чепмена (Gouy-Chapman layer), причем толщина второго связана с дебаевской длиной электролита В большинстве случаев допускается линеаризация уравнения
2
r
£
Пуассона—Больцмана и использование т. н. приближения Дебая—Хаскела. В частности, оно использовано для оценки Ят в работах [86, 87].
10 -
екТ
2!?¥2 с
(10)
и — -
и —
Че0Е 6л//лг, ' ££оСЕ Л :
г, << 1 т
г, >> 1 т
(11)
Здесь г, — радиус Стокса, ч — заряд частицы. Второе равенство представляет собой известное уравнение Смолуховского [90].
Для второго варианта (11) получено явное выражение скоростного профиля для круглого микро-
канала г = а [91]: и(г) —
еС Е
(
1 -
1о(г /1 т)
1о(г / а)
При типичной биохимической концентрации буфера 10 мМоль эта величина (10) составляет несколько нанометров [86]. Характерной величиной дзета-потенциала является 50 мВ [11].
Важная физико-химическая характеристика анализа — толщина двойного электрического слоя составляет несколько Ят. В частности, в [28] говорится о четырехкратной дебаевской длине при Ят = 3 нм. Количественно эта толщина при традиционных условиях анализа оценивается около 10 нм [29]; в [68] упоминается о единицах-десятках нанометров по сравнению с микрометровыми размерами канала. В [11] утверждается, что типичным является отношение 1 т/gd < 10-4. Другая характеристика — величина потенциала на границе слоя Штерна, называется дзета-потенциалом (£). Именно эту величину (порядка 10-100 мВ) используют в качестве граничного условия (потенциал на стенке канала) для решения уравнения Пуассона—Больцмана. Вторым естественным граничным условием для симметричной конструкции берется симметрия электрического профиля в форме д(р / д z — 0 на геометрической оси микроканала.
На основе предыдущего приближения были рассмотрены профили электроосмотического потока, а также результирующий (аддитивный) профиль [88, 89, 91-93]. Результирующий профиль складывался из электроосмотической составляющей и из составляющей, обусловленной градиентом давления или электрофоретической подвижностью [68]. Так, в работе [88] составляющая, вызванная градиентом давления, описана уже практически упомянутым ранее дифференциальным уравнением Ди — Ур / /л .
В [89] исследовалось влияние дзета-потенциала на электроосмотическую составляющую скорости. Также и в [11] показано, что последняя имеет различный вид для маленьких (по сравнению с Ят и больших частиц):
где 10 — цилиндрическая функция Бесселя нулевого порядка первого рода. Качественно схожим будет выражение для скорости электроосмотического потока в плоской и прямоугольной щелях [77,
92-94]: и( z) — V
1-
, где коэффициент
сИ(а)
V у
пропорциональности а выражается по-разному.
Например, уравнение для скоростного профиля в плоской щели примет вид [77]
и (^ —
2Е£ее0 сИ(Я)
/
1-
сЬ^)
где
Я —
— /(е ят)
сИ(Я)
Ч У
(Б, Я и е0 — постоянные ФаЕ — напряжен-
радея, газовая и электрическая, ность электрического поля).
В [93, 94] аппроксимация скоростного профиля уже для прямоугольного сечения в вертикальном поле (вдоль оси z) имеет вид: и (у, z) —
(
— и (у)
1-
сЬ(л/3г / а)
где а — глубина прямо-
сИ(л/з / а)
угольного сечения. При всем отличии механизмов формирования скоростного профиля, его аппроксимации качественно одинаковы.
Достаточно важным аспектом является невозможность в большинстве случаев получить точное аналитическое решение профиля электрического потенциала и, как следствие, скоростного профиля. В то же время традиционные численные методы типа метода конечных элементов позволяют моделировать профили численно. Основная проблема, отмеченная, в частности, в работах [95, 96], состоит в сложности "склеивания" решений, поскольку двойной электрический слой многократно тоньше микроканала.
Приближенные аналитические решения, как правило, при дополнительных упрощающих предположениях, можно получить на основе метода моментов. Введем моменты порядка п, определяемые как
-|-СО
/лп (z, I) — | хпС (X, z, I )йг,
д/п (0, 0 — 0 д/п (1, Г) — 0
(12)
дz
дz
Данная формула содержит граничные условия 2-го рода, являющиеся следствиями непроницаемости стенок для вещества и симметричности канала (плоской щели).
Подобный метод решения — метод моментов предложен в работе [97], а решение аналогичной задачи применительно к хроматографии описано в ряде работ, например в [98] и [99]. Нетрудно убедиться, что по аналогии с теорией вероятностей [100] момент р0 имеет смысл количества вещества, отношение СТ = р/ро определяет центр тяжести аналитического сигнала, его дисперсия
определяется как а2 = р2 / р0 - СТ2.
Уравнение (7) преобразуется для моментов (12) в нормированных параметрах к виду
др
д(
п - в* д Рп
дг 2
= пи (1 - щт)рп-1 + п(п - 1)Б р
п-2 '
(13)
п = 0,1,2,3...
Здесь Б = Б / к , и = и / к ; к — полуширина щели, Б, и — коэффициент диффузии и максимальная конвективная скорость, г — относительная координата сечения, отсчитываемая от оси (г = = 0 на оси щели, г = 1 на стенке).
В работе [75] для описанного случая на основе рекуррентной формулы (13) получены формулы для усредненных по сечению микроканала в форме плоской щели координаты центра тяжести аналитического пика компоненты и дисперсии пика:
< СТ > = и В0Г,
<а > =
2 + Ре2 X
в } 2
=Г(П )2
Б I +
Д
2 1 и
0 3 Ре2£
] 2
32
1 (П)
Здесь Ре = и /Б , Д0 — нормированная на к длина пробы, В — коэффициенты разложения конвективного скоростного профиля (1- гт) в ряд Фурье по косинусам.
Таким образом, в большинстве работ в качестве теоретических предпосылок для описания процессов массообмена в микрофлюидных системах используют уравнение Навье—Стокса, систему уравнений Пуассона—Больцмана и ее линейное приближение Дебая—Хаскела для распределения электрического потенциала по сечению микроканала и электроосмотического потока и принцип аддитивного сложения скоростей в случае электроосмоса в сочетании с градиентом давления.
При этом очевидно, что наличие двух составляющих при формировании конвективной скорости приводит к весьма широкому разнообразию форм профиля. Поэтому собственно положение о параболическом скоростном профиле аксиаль-
ной (маршевой) составляющей конвективной скорости не только в случае ввода вещества давлением [60-62], но и при электрокинетическом вводе пробы [59, 61-63, 70], а также для достаточно сложного случая параболического потока после смешивания [64] представляется малообоснованным, несмотря на весьма широкое его признание.
Тепловые поля
До недавнего времени в литературе практически отсутствовал количественный анализ влияния температурного поля и состояния поверхности канала на процессы конвективно-диффузионного массопереноса в микроканале чипа при констатации на качественном уровне значимости указанных эффектов. Например, в работе [69] обсуждено влияние джоулева тепла на дисперсию пробы, проанализирована температуропроводность различных чиповых материалов (ПДМС, ПММА, ПК, ПЕТ, стекло), а также рассмотрено распределение температуры по сечению широкого микроканала (к = 500 мкм). В цикле лекций [70] влияние температуры исследовано только с позиций изменения коэффициента динамической вязкости.
В последнее время появилась серия работ [6568, 77, 101], в которых экспериментально и методом численного моделирования изучены закономерности формирования продольных и поперечных тепловых полей и их влияние на процессы конвективно-диффузионного массопереноса.
Уравнение Навье—Стокса для температуры имеет аналогичную приведенной ранее форму с учетом замены динамической вязкости на коэффициент температуропроводности (термодиффузии), а также дополненную источниковыми слагаемыми, в частности связанными с тепловым действием электрического поля. Естественными граничными условиями являются смешанные условия второго (симметрия на оси) и третьего (ньютоновский поток на стенке) рода.
В работе [101] достаточно полно представлены зависимости, характеризующие температурное изменение базовых характеристик процесса мас-сопереноса, а именно коэффициента динамической вязкости и коэффициента диффузии. Данные по аппроксимации зависимости динамической вязкости от температуры р = р(Т) приведены в [68] (см. табл. 3) и в [101]. В работе [102] эта зависимость подтверждается, в [103] данные отличаются при Т > 25 0С на 3 %. В общем случае можно утверждать, что 1п(р) = в / Т, где константа в может быть отлична от 1713. В табл. 5 даны другие значения коэффициента в.
Коэффициент диффузии также достаточно сильно меняется с изменением температуры —
+
это зависимость Стокса—Эйнштейна [112, 113]
О — —к * . Здесь А — гидродинамический диа-3п/А
метр частицы. Кроме того, диэлектрическая проницаемость буфера также обладает достаточно сильной температурной зависимостью (см. табл. 3). Следовательно, как и было отмечено в [77], изменения температуры через коэффициенты в уравнениях Пуассона—Больцмана, через величину деба-евской длины влияют на профиль конвективной скорости и поперечное распределение потенциала.
Наиболее подробно базовые дифференциальные уравнения теплопереноса описаны в [68]. Рассмотрен практически реализуемый случай круглого микрокапилляра, стеклянная стенка и внешнее термоизолирующее покрытие. Уравнения примут вид: — для теплопереноса в микрокапилляре Г'дт Л
■ + V • УТ I — У • [к(Т)УТ]+ Я(Т)СЕ • Е,
рСр
д(
— для теплопереноса в стеклянной стенке и в покрытии
рСр дТ — У-|к*(Т)УТ]. дt
Соответственно для стенки и термозащитного покрытия будут различные плотности р , удельные изобарические теплоемкости Ср и температурные зависимости коэффициента температуропроводности или термодиффузии. Изменение температуры в микрокапилляре зависит от конвективного потока тепла V • УТ и от внешнего источника тепла, связанного с электрическим полем, Я^)СЕ • Е , где С — концентрация водоподобного буфера, Е — {Еак,, ЕгаА } — вектор напряженности электрического поля. Т. е. помимо конвективного и термодиффузионного массопереноса, в микроканале имеется источник тепла — тепловое действие электрического поля. Вместе с тем граничное условие связано с ньютоновским потоком через стеклянную стенку, обеспечивающим частичный отвод тепла (см. раздел "Граничные условия на стенках микроканалов"). В работе [68] подробно
Табл. 5. Значения температурного коэффициента в в аппроксимации 1п(/) — в * + в / Т
Величина в Публикация
1820 [104]
2400 [105-108]
2040 [109]
2234 [110]
1600 [111]
описан метод обезразмеривания уравнений и некоторые численно полученные решения.
Нетрудно заметить, что уравнение теплопере-носа в микроканале отличается от уравнений для стеклянной стенки и покрытия. Однако все они являются аналогами уравнения Навье—Стокса.
Следует отметить существенную особенность, связанную со вкладами продольной (аксиальной Еак,) и поперечной (ЕгаА) составляющих электрического поля. Типичными значениями напряженности управляющего (продольного) электрического поля при электрокинетическом управлении являются 10-20 кВ/м, в отдельных случаях до 75 кВ/м [68] и 5-15 кВ/м [66]. Также отмечено, что на отдельных стадиях анализа напряженность продольного электрического поля не превосходит 200 В/см [11]. Большинство анализов в [72-74, 76] проводилось при напряженностях продольного электрического поля от 150 до 500 В/см. Т. е. характерным масштабом напряженности электрического поля является 104 В/м. Вклад поперечного электрического поля можно оценить косвенно, основываясь на уравнении Пуассона—Больцмана. Поскольку потенциал на оси микроканала может быть достаточно близок к нулю, а на стенке он равен дзета-потенциалу, то приближенной оценкой напряженности электрического поля можно считать ЕгаА - £ / г, где г — радиус (или полуширина) канала. Величина дзета-потенциала имеет порядок 10-100 мВ (10-2-10-1 В), типичная полуширина микроканала — 10-10-4 м (10-100 мкм). Следовательно, ЕгаА = 102-104 В/м, и эта составляющая может быть соизмерима с продольной. При этом методы управления составляющими электрического поля принципиально разные. Продольное поле регулируется выбором управляющих потенциалов; для поперечного поля требуется управление (модификация) поверхности канала с подбором величины дзета-потенциала. Кроме того, поперечное распределение потенциала еще зависит от температуры.
Модель жидкости
Характер жидкости в значительной степени определяется характеристическим числом Шмидта
Бс — —/ . Принято считать, что для водоподобных
ро
жидкостей это число порядка 1000. В частности, в работе [114] принято 2450. Кроме того, кинематическая вязкость V — /л / р имеет порядок 10-2 см2/с.
Более существенным является разделение на ньютоновские и неньютоновские жидкости. Для ньютоновских жидкостей динамическая вязкость не зависит от режима движения, но при этом существенно зависит от температуры. Неньютонов-
ские жидкости еще называют аномально-вязкими или структурно-вязкими. К таким жидкостям относятся, в частности, суспензии, эмульсии, растворы и расплавы полимеров и т. п. Их динамическая вязкость зависит от характера движения, т. е. р = р(Яе) даже для малых чисел Рейнольдса (при ламинарном движении).
Типичными неньютоновскими жидкостями являются растворы полимеров. Зависимости их физико-химических характеристик, в том числе и вязкости, от концентрации полимеров и других параметров рассматриваются в работах [57, 58, 115-117]. Примерный метод расчета вязкости суспензии при допущении сферической формы частиц дан, например, в [118]. Там же поясняется, что оценивание коэффициента динамической вязкости при произвольной симметричной форме частиц связано со значительными вычислительными трудностями, поскольку требует использования тензора напряжений. В целом неньютоновские свойства жидкости приведут к существенному усложнению уравнений и граничных условий. Эти жидкости являются предметом реологии. Некоторые из реологических моделей растворов полимеров представлены в [57, 58].
Одной из удобных реологических моделей является модель степенной жидкости Оствальда— де Виля, хорошо зарекомендовавшая себя на практике. Она характеризуется двумя параметрами: т (консистентность смеси), N (параметр неньютоно-вости). N определяет отклонение от ньютоновской жидкости (для воды N=1, для концентрированной суспензии N больше 1, а для полимеров N — меньше 1). При таком подходе связь между касательными напряжениями т в среде и скоростью конвективного движения имеет вид
т = т-
ди
ди
дг
N -1
Следовательно, уравнение Навье—Стокса изменит форму вязкого слагаемого, которое станет
функцией N и(г) и т, а именно —1—— (ук дТ) .
У ду ду Здесь у — поперечная пространственная координата, к = 0,1,2 для декартовых, цилиндрических и сферических координат соответственно. Рассмотренный ранее случай предполагал ньютоновскую водоподобную жидкость (Ы = 1) и постоянную величину динамической вязкости (т = р).
Видно, что реологическая модель жидкости содержит на один параметр больше, чем ньютоновская. Таким образом, выбор режима анализа с неньютоновской средой разделения имеет большее число степеней свободы (управляющих параметров), что дает дополнительные возможности оптимизации.
ВЫВОДЫ
Анализ теоретических положений, лежащих в основе разработки микрофлюидных аналитических систем, позволяет утверждать:
— Реализованные варианты анализов на микрочипах не ограничиваются режимами ламинарных потоков. Прежде всего это относится к системам не с электрокинетическим вводом, а с вводом вещества давлением.
— Практически во всех случаях гипотеза сплошной среды обоснована.
— Уравнения массопереноса базируются на системе уравнений Навье—Стокса. Профиль конвективной скорости должен быть отличен от параболического, поскольку требуется учет электроосмотического потока. Граничное условие на жесткой стенке при этом состоит в непроницаемости последней для вещества. Условия, связанные с конвективной скоростью могут быть различными.
— Электроосмотический поток описывается системой дифференциальных уравнений Пуассо-на—Больцмана, включающей в себя уравнения для электрического потенциала и теплопереноса. Характерный геометрический параметр — толщина двойного электрического слоя — связан с деба-евской величиной и составляет порядка 10-100 нм и весьма мал по сравнению с характерным размером сечения микроканала. Последнее обстоятельство приводит к вычислительным осложнениям, поскольку требуется стыковать различные решения на несоизмеримых по толщине слоях.
— Дифференциальное уравнение для теплопе-реноса в микроканале по форме напоминает концентрационное уравнение Навье—Стокса при необходимой замене переменных на их аналоги. Существенными являются две особенности: а) наличие источникового слагаемого, связанного как с продольным, так и с поперечным электрическими полями; б) граничное условие третьего рода на стенке в форме ньютоновского потока.
— Модели неньютоновских жидкостей в качестве буфера и разделительной среды требуют использования реологических моделей, что приводит к потере линейности вязкого слагаемого в уравнении Навье—Стокса, но позволяет использовать реологический показатель как управляющий параметр для оптимизации процесса анализа.
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках гранта РФФИ № 03-0139003 ОБЕК_а "Теоретические и экспериментальные исследования явлений переноса и взаимодействия биологических объектов в микрофлюидных устройствах".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Viovy J.-L. Electrophoresis of DNA and other polyelectrolytes: Physical mechanisms //Reviews of Modern Physics. 2000. V. 72, N 3. P. 813-866.
2.Mohammadi B. and Santiago J.G. Simulation and design of extraction and separation fluidic devices // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 2001. V. 35, N 3. P. 513-523.
3. Qiao R., Aluru N.R. A compact model for elec-troosmotic flows in microfluidic devices // J. Mi-cromech. Microeng. 2002. N 12. P. 625-635.
4. Dolnic V., Liu S., Jovanovich S. Capillary elec-trophoresis on microchip // Electrophoresis. 2000. N 21. P. 41-54.
5. Khandurina J., Guttman A. Bioanalysis in microfluidic devices // Chromatography. A. 2001. V.924,N 1-2. P. 233-238.
6. Carey L., Mitnik L. Trends in DNA forensic analysis // Electrophoresis. 2002. N 23. P. 13861397.
7. Verpoorte E. Microfluidic chips for clinical and forensic analysis // Electrophoresis. 2002. N 23. P. 677-712.
8. Chen Y., Pepin A. Nanofabrication: Conventional and nonconventional methods // Electrophoresis. 2001.N 22. P. 187-207.
9. Huang Y., Mather E.L., Bell J.L, Madou M.J. MEMS-based sample preparation for molecular diagnostics // Anal. Bioanal. Chem. 2002. V. 372. P. 49-65.
10.Madou M.J. Fundamentals of microfabrication: The science of miniaturisation, 2nd ed. CRC Press, Boca Raton, 2002.
11. Sharp K.V., Adrian R.J., Santiago J.G., Molho J.I. The MEMS Handbook. Chapter 6. Liquid flows in microchannels / Eds. by M. Gad-el-Hak. Boca Raton-London-New-York-Washington, CRC Press LLC, 2002. P. 6-1-6-38.
12. Choi S.B., Barron R.F., Warrington R.O. Fluid flow and heat trasfer in microtubes // ASME Winter Annual Meeting, Atlanta, GA, 1991. DSC, V. 32, Micromechanical Sensors, Actuators and Systems. P. 123-134.
13. Flockhart S.M., Dhariwal R.S. Experimental and numerical investigation into the flow characteristics of channels etched in <100> silicon // J. Fluids Eng. 1998. V. 120. P. 291-295.
14. JuiangX.N., Zhou Z.Y., Yao J., Li Y, Ye X.Y. Micro-fluid flow in microchannel // Transducers'95: Eurosensor IX, 8th Int. Conf. on Solid-State Sensors and Actuators and Eurosensors IX, Sweden, 1995. P.317-320.
15.Mala G.M., Li D. Flow characteristics of water in microtubes // Int. J. Heat Fluid Flow. 1999. V. 20. P.142-148.
16. Papautsky I., Brazzle J., Ameel T., Frazier A.B. Laminar fluid behavior in microchannels using
micropolar fluid theory // Sensors and Actuators A. 1999. V. 73. P. 101-108.
17. Papautsky I.,Gale B.K., Mohanty S., Ameel T., Frazier A.B. Effect of rectangular microchannel aspect ratio on laminar friction constant // SPIE Conf. on Microfluidic Devices and Systems II, Santa Clara, CA, 1999. V. 3877. P. 147-158.
18. Peng X.F., Peterson G.P., Wang B.X. Frictional flow characteristics of water flowing through rectangular microchannels // Exp. Heat Transfer. 1994. V. 7. P. 249-264.
19. Pfahler J., Harley J., Bau H., Zemel J.N. Gas and liquid flow in small channels // ASME Winter Annual Meeting, Atlanta, GA, 1991. DSC, V. 32, Micromechanical Sensors, Actuators and Systems. P.49-59.
20. Qu W., Mala G.M., Li D. Pressure-driven water flows in trapezoidal silicon microchannels // Int. J. Heat Mass Transfer. 2000. V. 43. P. 353-364.
21. Sharp K.V., Adrian R.J., Beebe D.J. Anomalous transition to turbulence in microtubes // Proc. Int. Mech. Eng. Cong. Expo., 5th Micro-Fluidic Symp., 5-10 Nov. 2000, Orlando, FL.
22. Tuckerman D.B., Pease R.F.W. Highperformance heat sinking for VLSI // IEEE Electron Device Lett. EDL-2, 1981. P. 126-129.
23. Wilding P., Pfahler J, Bau H, Zemel J.N., Kricka L.J. Manipulation and flow of biological fluids in straight channels micromachine in silicon // Clin. Chem. 1994. V. 40. P. 43-47.
24. Wu P., Little W.A. Measurement of friction factors for the flow of gases in very fine channels used for microminiature Joule-Thomson refrigerators // Cryogenetics. 1983. V. 23. P. 273-277.
25. Yu D., Warringtton R., Barron R., Ameel T. An experimental and theoretical investigation of fluid flow and heat transfer in microtubes // Proc. of ASME/JSME Thermal Engineering Joint Conf., March 19-24, 1995. Maui, HI. P. 523-530.
26. Ying Zheng Liu et al. Two-fluid mixing in a microchannel // Int. J. of Heat and Fluid Flow. Dec. 2004. V. 25, Iss. 6. P. 986-995.
27. Shou-Shing Hsieh et al. Liquid flow in a microchannel // J. Micromech. Microeng. Apr. 2004. V. 14. P.436-445.
28. Sinton D.A., Li D. Microfluidic velocimetry with near-wall resolution // Int. J. of Thermal Sciences. 2003. V. 42. P. 847-855.
29. Yandong Hu, Carsten Werner, Dongqing Li Electrokinetic transport through rough Microchannels // Anal. Chem. 2003. V. 75. P. 57475758.
30.Духин С.С., Сидорова М.П., Ярощук А.Э. Электрохимия мембран и обратный осмос. Л.: Химия, 1991. 192 с.
31. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. Для инженеров и студентов ВУЗов. М.: Наука, 1971. 940 с.
32. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Госуд. изд-во технико-теорет. литературы, 1957. 784 с.
33. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.-Л.: Машгиз, 1962. 455 с.
34. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959. 700 с.
35. Берд Р., Стъюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. М.: Химия, 1974. 686 с.
36. Бейли Дж., Оллис Д. Основы биохимической инженерии / Пер. с англ. В 2 частях. Ч. 2. М.: Мир, 1989. 590 с.
37. Петухов Б. С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. М.: Энергия, 1967. 412 с.
38. Тарг С.М. Основные задачи теории ламинарных течений. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. 420 с.
39.Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.: Энергия, 1977. 344 с.
40. Ньюмен Дж. Электрохимические системы. М.: Мир, 1977. 463 с.
41. Патрашев А.Н., Кивако А.А., Гожий С.И. Прикладная гидромеханика. М.: Воениздат МО СССР, 1970. 605 с.
42. Астарита Дж. Массопередача с химической реакцией / Под ред. Серафимова А. А., пер. с англ. Л.: Химия, Лен. отдел., 1971. 414 с.
43. Лыков А.В. Тепломассообмен (Справочник). М.: Энергия, 1971. 560 с.
44. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммания Б. Свободно-конвективные течения, тепло- и массообмен. В 2 кн. Кн. 1: пер. с англ. М.: Мир, 1991. 678 с.
45. Богачева А.В. Пневматические элементы систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1966. 239 с.
46. Бородин В.А., Дитякин Ю.Ф. Об устойчивости плоских течений вязкой жидкости между двумя стенками // Прикладная математика и механика. Т. XXVII, № 5. 1953.
47. Шиллер Л. Течение жидкостей в трубах. М.: ОНТИ, 1936.
48. Богачева А.В. Исследование ламинарного течения воздуха в капиллярных каналах элементов пневматических систем // Автоматическое регулирование авиадвигателей. М.: Оборон-гиз, 1959.
49.Дыбан Е.П., Швец И.Т. Экспериментальное исследование гидравлического сопротивления и теплообмена при течении воздуха в капиллярных каналах // Известия АН СССР. № 2. 1956.
50.Марцулевич Н.А. Гидродинамика и массопе-ренос в аппаратах, снабженных каналами с проницаемыми стенками. Автореф. дис. ... док-ра техн. наук. СПб., 1997. 43 с.
51. Kanamoru T., Sakai K., Awaka T., Fukuda M. Mass transfer in laminar flows around single
holow-fiber membranes for hemodialisys // J. Chem. Eng. Jap. 1994. V. 27, N 6. P. 830-832.
52. Gad-el-Hak M. The fluid mechanic of microdevices. The Freeman Scholar Lecture // J. Fluids Eng., 1999. V. 121. P. 5-33.
53. Janson S.W., Helvajian H., Breuer K. // MEMS, Microengineering and Airspace Systems, in 30th AIAA Fluid Dyn. Conf., June 28-July 1, 1999, Norfolk, VA, AIAA 99. P. 3802.
54. Arkilic E.B., Schmidt M.A., Breuer K.S. Gaseous slip flow in long microchannels // J. MEMS. 1997. V. 6. P. 167-178.
55. Harley J.C., Huang Y., Bau H.H., Zemel J.N. Gas flow in microchannel // J. Fluid Mech. 1995. V. 284. P. 257-274.
56. Probstein R.F. Physicochemical hydrodynamics: an introduction. 2n ed. New-York, John Wiley & Sons. 1994. 416 p.
57.Дой М., Эдвардс С. Динамическая теория полимеров. Пер. с англ. М.: Мир, 1998. 440 c.
58. Готлиб Ю.Я., Даринский А.А., Светлов Ю.Е. Физическая кинетика микромолекул. Л.: Химия, 1986. 272 c.
59. Bharadwaj R., Santiago J.G., Mohammadi B. Design and optimization of on-chip capillary electrophoresis // Electrophoresis. 2002. N 23. P. 2729-2744.
60. Anders Brask, Goran Goranovic', Henrik Bruus Theoretical analysis of the low-voltage cascade electro-osmotic pump // Sensors and Actuators B. 2003. V. 92. P. 127-132.
61. Pedersen L., Nielsen B., Piil H. Microvalwes in polymers // (www.mic.dtu.dk/research/MIFTS/ publications/threeweek.htm). January 2003. 25 p.
62. Heller M., Jakobsen S., Rasmussen T. Theory and simulation of instability microfluidic generator // (www.mic.dtu.dk/research/MIFTS/publications/ threeweek.htm). January 2004. 67 p.
63. Plamboeck C., El-Safadi H. Mass transfer across two-fluid interfaces in microfluid system // (www.mic.dtu.dk/research/MIFTS/publications/ threeweek.htm). June 2003. 26 p.
64. Okkels F., Tabeling P. Spatiotemporal resonances in mixing of open viscous fluids // Physical Review Letters. 2004. V. 92, N 3. (038301).
65. Watarai H., Monjushiro H., Tsukahara S. et al. Migration analysis of micro-particles in liquids using microscopically designed external fields // Analytical Sciences. March 2004. V. 20. P. 423434.
66.Xiangchun Xuan, Bo Xu, David Sinton, Dongqing Li Electroosmotic flow with Joule heating effects // Lab on a Chip. 2004. N 3. P. 230-236.
67. Ren L., Sinton D., Li D. Numerical simulation of microfluidic injection processes in crossing microchannels // J. Micromech. Microeng., 2003. V. 13, N 5. P.739-747.
68.Xuan X., Sinton D., Li D. Thermal end effects on
electroosmotic flow in capillary // Int. J. of Heat and Mass transfer. 2004. V. 47. P. 3145-3157.
69. Lim D.S.W., Kuo J.S., Chiu D.T. Parametric investigation on the effect of channel topologies on electrophoretic separations // J. of Chromatography A. 2004. V. 1027. P. 237-244.
70. Bruus H. Exersices for theory of lab-on-a-chip systems. (www .mic. dtu. dk/re search/MIFTS/ publications/booknotes.htm), 2003. 23 p.
71. Arnoldus M., Hansen M. Asymmetric electrode micropump. (www.mic.dtu.dk/research/MIFTS/ publications/Bsc.htm), 2004. 87 p.
72. Беленький Б.Г., Курочкин В.Е., Евстрапов А.А. и др. Микрофлюидная аналитическая система с детектором лазер-индуцированной флуоресценции // Аллергология и иммунология.
2000. Т. 1, № 3. С. 101-102.
73. Евстрапов А. А. и др. Микрофлюидные аналитические системы на основе электрофоретических методов анализа // Новости науки и техники. Серия Медицина. Аллергия, астма и клиническая иммунология.
2001. № 1. С. 190-193.
74. Евстрапов А.А. и др. Экспресс-анализ олиго-нуклеотидов на планарном микрофлюидном чипе // Журнал аналитической химии. 2004. Т. 59, № 6. С. 587-594.
75. Буляница А.Л., Евстрапов А.А., Рудницкая Г.Е. Метод моментов при расчете параметров каналов в микроразмерных системах // Научное приборостроение. 2003. Т. 13, № 4. С.28-40.
76. Евстрапов А.А. и др. Микрофлюидные аналитические системы на основе методов капиллярного электрофореза и микрочиповых технологий // Аллергия, астма и клиническая иммунология. 2003. Т. 7, № 9. С. 205-211.
77. Буляница А.Л. Управление микропотоками вещества в канале микрофлюидного чипа с помощью регулируемых тепловых полей // Научное приборостроение. 2005. Т. 15, № 1. С.56-61.
78. Overbeek J.T.G. Electrokinetic phenomena // Colloid Science. V. 1: Irreversible Systems / Ed. H.R. Kruyt. Elsevier, Amsterdam, 1952. 389 p.
79. Cummings E.B., Griffits S.K., Nilson R.H. et al. Conditions for similitude between the fluid velocity and electric field in electroosmotic flow // Anal. Chem. 2000. V. 72. P. 2526-2532.
80. Santiago J.G. Electroosmotic flows in microchannels with finite inertial and pressure forces // Anal. Chem. 2001. V. 73, N 10. P. 2353-2365.
81. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. 288 c.
82. Hagen G. On the motion of water in narrow cylindrical tubes [German] // Pogg. Ann. 1839. V. 46. P.423.
83. Poiseuille M. Recherches experimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de tres petits diametres // CR Hebdomaires des Seances Acad. Sci. 1840-1841. V. 11.
84. Reynolds O. An experimental investigation of the circumstances which determine whwther the motion of water will be direct or sinous, and the law of resistance in parallel channels // Phyl. Trans. R. Soc. London. 1883. V. 2. P. 51.
85. Hunter R.J. Zeta potential in colloid sciences. London, Academic Press. 1981. 386 p.
86. Hiemenz P.C., Rajagopalan R. Principles of colloid and surfaces chemistry, 3rd eds. New-York, Marcel Dekker. 1997.
87. Adamson A.W., Gast A.P. Physical chemistry of surfaces, 6th eds. New-York, John Wiley&Sons. 1997.332 p.
88. White F.M. Viscous fluid flow, 2nd ed. / Eds. J.P. Holman and J.R. Lloyd. New-York, McGraw-Hill, 1991.
89. Herr A.E., Molho J.I., Santiago J.G. et al. Electroosmotic capillary flow with nonuniform zeta potential // Anal. Chem. 2000. V. 72. P. 10531057.
90. Smoluchowski M. Handbuch der electrizitaet und des magnetismus. Leipzig, Germany, 1914. V. 2. P. 366-428.
91. Rice C.L., Whitehead R. Electrokinetic flow in a narrow cylindrical capillar // J. Phys. Chem. 1965. V. 69. P. 4017-4024.
92. Burgreen D., Nakache F.R. Electrokinetic flow in ultrafine capillary slits // J. Phys. Chem. 1964. V.68. P.1084-1091.
93. Takahashi T., Gill W.N. // Chem. Eng. Commun. 1980. V. 5. P. 367.
94. Андреев В.П., Рейфман Л.С., Хидекель М.И. К вопросу о трехмерной модели проточного фракционирования // Научное приборостроение: Приборы и средства автоматизации для научных исследований (Сб. научных трудов) / Под ред. Александрова М.Л. Л.: Наука, 1987. С. 39-48.
95. Bianci F., Ferrigno R., Girault H.H. Finite element simulation of an electroosmotic-driven flow division at a T-Junction of microscale dimensions // Anal. Chem. 2000. V. 72, N 9. P. 19871993.
96. Patankar N.A., Hu H.H. Numerical simulation of electroosmotic flow // Anal. Chem. 1998. V. 70. P.1870-1881.
97. Туницкий Н.Н., Каминский В.А., Тимашев С.Ф. Методы физико-химической кинетики. М.: Химия, 1972. 198 c.
98. Андреев В.П., Брезгун А.А., Павленко И.В. Математическое моделирование процессов мас-сопереноса в противоточной распределительной хроматографии // Журнал физической химии. 1988. Т. LXII, № 9. C. 2448-2454.
99. Андреев В.П., Хидекель М.И. К математической модели проточно-инжекционного анализа. Часть 1. Химическая реакция первого порядка в прямой трубке // Препринт № 55. СПб.: ИАнП РАН, 1993. 21 с.
100. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 6-е изд. М.: Наука, 1988. 175 с.
101. Petersen N.J., Nikolajsen R.P.H., Mogensen K.B., Kutter J.P. Effect of Joule heating on efficiency and performance for microchip-based and capillary-based electrophoretic separation systems: A closer look // Electrophoresis. 2004. V.25. P.253-269.
102. Knox J.H., McCormack K.A. // Chromatographia. 1994. V. 38. P. 207-214.
103. Weast R. CRC Handbook of Chemistry and Physics. Student Edition. CRC Press, Boca Raton, FL., 1987.
104. Burgi D.S., Salomon K., Chien R.L. // J. Liquid Chromatogr. 1991. V. 14. P. 847-867.
105. Hjerten S. // Chromatogr. Rev. 1967. V. 9. P.122-219.
106. Grushka E., McCormick R.M., Kirkland J.J. // Anal. Chem. 1989. V. 61. P. 241-246.
107. Davis J.M. // J. Chromatogr. 1990. V. 517. P. 521-547.
108. Hjerten S. // Electrophoresis. 1990. V. 11. P. 665-690.
109. Gas B. // J. Chromatogr. 1993. V. 644. P. 161174.
110. Knox J.H., Grant I.H. // Chromatographia. 1987. V.24. P.135-143.
111. Porras S.P., Marziali E., Gas B., Kenndler E. // Electrophoresis. 2003. V. 24. P. 1553-1564.
112.Atkins P.W. Phys. Chem. Oxford Univ. Press, Oxford, 1994.
113. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967. 492 с.
114. Ross T.K., Wragg A.A. Electrochemical mass transfer in annuli // Electrochimika Acta. 1965. V.10. P.1093-1105.
115. Grossman P.D. // Capillary electrophoresis, Theory and practice / Eds. Grossman P.D. and Colburn J.C. Acad. Press Inc., San Diego, 1992. P.215-233.
116. Barron A.E., Soane D.S., Blanch H.V. Capillary electrophoresis of DNA in uncross-linked polymer solutions // J. of Chromatography. A. 1993. V. 652. P. 3-16.
117. Grossman P.D., Soane D.S. Experimental and theoretical studies of DNA separations by capillary electrophoresis in entangled polymer solutions // Biopolymers. 1991. V. 31, N 10. P.221-1228.
118. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. 3-е изд. М.: Наука, 1986. 111 с.
Институт аналитического приборостроения РАН, Санкт-Петербург
Материал поступил в редакцию 13.04.2005.
MATHEMATICAL MODELING IN MICROFLUIDICS:
BASIC CONCEPTS
A. L. Bulyanitsa
Institute for Analytical Instrumentation RAS, Saint-Petersburg
The paper presents an overview of main approaches to mathematical modeling of processes of forming velocity-, concentration-, electric and thermal fields in the elements of microfluidic analytical systems. Basis foundations (equations, conditions, modes) used to describe mass- and heat transfer processes are discussed and analyzed.
