CC BY
10ISSN ÜS6S-3SS6
НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2ÜÜ3, том 13, № 4, с. 41-4б
ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ
УДК 543.544 + 543.545 + 543.08 © А. В. Солдаткин
О КОМПЬЮТЕРНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ МИКРОФЛЮИДНЫХ СИСТЕМ
В работе приведены результаты расчета струйной модели микрофлюидной системы осесимметричной и плоской геометрии. Проанализировано влияние способа ввода пробы, тепловыделения и наличия частиц на микрогидродинамику потока.
Список обозначений
ё — диаметр капилляра;
иО — скорость (Гельмгольца—Смолуховского) частиц пробы (иО = £о-£-¿Е /л); ео — электрическая постоянная; е — диэлектрическая проницаемость буфера;
£ — электрокинетический потенциал;
Е — напряженность электрического поля;
Л — динамическая вязкость буфера; ф — потенциал внешнего электрического поля; Ь — длина капилляра;
Б — коэффициент диффузии; р — плотность буфера;
Т — температура буфера и пробы;
Я — газовая постоянная;
и, V — продольная и поперечная компоненты скорости пробы;
х, у — продольная и поперечная координаты; д — заряд;
у1 — плотность заряда;
С — концентрации пробы;
ср — теплоемкость при постоянном давлении;
О — массовый расход пробы; а — коэффициент температуропроводности;
V — кинематческая вязкость, V = л /р; в — коэффициент теплового расширения смеси;
Рг = v/a — число Прандтля;
8е = V /Б — число Шмидта;
Ог = в g АТ ё3/ V2 — число Грасгофа;
Яе = и ё/ V — число Рейнольдса; т — касательное напряжение в потоке; р — давление в потоке;
3 — толщина микроструи;
АТ = Т - Т^ — разность температуры смеси в капилляре и темературы стенки капилляра.
ВВЕДЕНИЕ
В развитие работ [1, 2] в данной статье приводятся результаты моделирования микрофлюидной
системы осесимметричной и плоской геометрии. Распространенная на практике процедура ввода пробы (стекинг) посредством электрического поля формирует струйное течение на входе в капилляр, и возникает необходимость анализа струйных потоков в микрофлюидных системах.
Микрофлюидные системы с выпуском представляют интерес при изучении электрокинетиче-ских течений в сложных геометрических конфигурациях с различными граничными условиями. В этой статье представлен анализ влияния инерционных эффектов и реологии в электрокинети-ческих течениях. В стандартных приложениях микрочипов поле электрокинетического потока можно разделить на внутреннюю область, где доминируют вязкие и электростатические силы, и внешнюю область, где доминируют силы инерции и силы давления. Эти две области разделяются условиями для скорости скольжения, которые определяются уравнением Гельмгольца—Смо-луховского. Справедливость этого предположения исследуется посредством анализа поля скоростей в двумерных течениях в канале с движением за счет давления и импульсным запуском электрического поля. Определены условия аналогии между полем скоростей и электрическим полем: однородный поверхностный заряд, малые числа Рейнольдса и Струхаля, однородные свойства жидкости, нулевой перепад давления между входом и выходом.
Электрокинетика представляет собой движение жидкости относительно фиксированной заряженной сплошной поверхности. Это движение происходит в том случае, когда электрическое поле прилагается к электрическому двойному слою, который спонтанно образуется при взаимодействии жидкости и поверхности при их контакте. Толщина этого двойного слоя определяется противоположно направленными силами электростатического притяжения и тепловой диффузии, а также реологией смеси и некоторыми другими факторами и имеет значение порядка длины Дебая. При разработке микрофлюидных техноло-
гий целесообразно использовать электрокинетиче-ский механизм в качестве метода контроля жидкостей в чипах микрофлюидных систем. Электро-кинетическая подача смеси в чипах широко используется при электрофоретическом и хроматографическом разделениях и в других "микрочипо-вых лабораториях", имея существенные преимущества по сравнению с автономными капиллярными системами, включая возможность мультипликации сетевых канальных потоков и уменьшения времени анализа.
В связи с обозначенным преимуществом чипов весьма актуален анализ процедуры ввода пробы (стэкинг) и учет реологии смеси, что является необходимым при анализе биологических жидкостей.
В различных исследованиях относительно теории электроосмотических потоков были проанализированы эффекты инерции потока, градиентов давления, неоднородность ^-потенциала в микро-флюидных каналах.
ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ
Анализ работ, посвященных течению в микро-флюидных системах показывает, что инерционные силы играют немаловажную роль. Процедура ввода пробы (стекинг) в микрочиповый крест несомненно носит струйный характер [3]. Струевидная форма пробы формируется посредством электрических сил в поперечном сечении перпендикулярно направлению ее ввода. Учет электрических сил микрофлюидных систем в уравнении движения можно осуществить двояким путем [4]. Первый — разбиение на две зоны области течения: в первой, прилегающей к стенке капилляра, пренебрежимо малы силы инерции и имеет место баланс сил давления, вязкости и электрических сил; во второй, вдали от стенки, силы инерции сравнимы с остальными, число Рейнольдса порядка единицы и более, а электрические силы стремятся к нулю на оси капилляра. Второй путь — более целесообразен при компьютерном моделировании микрофлюидных систем: моделирование электрических сил во всем профиле течения в капилляре. Помимо этого, в компьютерной модели учитывается тепловыделение при течении пробы с буфером в капилляре — наличием архимедовых сил в уравнении движения; наличие частиц (необходимое условие возникновения электрофореза) моделируется отрицательной архимедовой силой.
В данной статье в продолжение работ [1, 2] описывается компьютерное моделирование течения в микроканале с учетом электрических сил.
УРАВНЕНИЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ
Уравнения компьютерной модели микрофлю-идной системы имеют вид:
ди ди
р ■ и----+ р ■ V--=
дх ду
_др 1 д і дт
= аХ+7'ЇУ(у 'р ++ ^ рд(у_и) /К /■-) = 0_
дх ду
= V ■ Е, Еа = в ■ g■ АТ,
(1)
Р ■Ср ■и-
дАТ
дх
■+ Р ■Ср -V-
дАТ
ду
а д . і дАТ
=Тду(у ^
дС дС В д ґ і дСч
Р ■и------+ р ■V----= —:------( у-----),
дх ду уг ду ду
і = 0 — плоская геометрия; і = 1 — осесимметричный случай.
Рассматривается течение пассивной смеси пробы с буфером или течение смеси с незначительной скоростью химической реакции.
Следует заметить, что трансформация уравнений Навье—Стокса в уравнения пограничного
слоя обусловлена тем, что длина капилляра мно-
го больше его характерного поперечного размера, т. е. продольный масштаб много больше поперечного. Можно показать, что в этом случае вторые производные от скорости, избыточной температуры и концентрации пробы по продольной координате малы по сравнению со второй производной по поперечной координате: по терминологии Сантьяго X. [4] — во второй зоне, вдали от стенки капилляра.
Граничные условия:
и = и а, С = 0, АТ = 0 для у ^<*>;
ди дС 0 дАТ 0 0 (2)
— = 0, ----= 0, -----= 0 для у = 0.
ду ду ’ ду '
Начальные условия:
х = 0,
и = и0, С = 0 для |у| < ё; (3)
и = 0, С = 0 для |у| > ё.
Интегральные соотношения для рассматриваемой системы имеют следующий вид.
Для импульса:
р • | и2 • y • dy =| (Fq + Fa ) • y • dy;
0 0
для массового расхода:
р • | и • C • у • dy = const = G0.
0
Наличие инвариантов струйного течения позволяет получить численное решение задачи (1) при автоматическом контроле счета.
Введем замену переменных:
д = х, - =
dy
1/2
+ (Gr/Re)AT / u.
(4)
Аналогично преобразуется уравнение конвективной диффузии и переноса избыточного теплосодержания:
dC ini ,c 2 dC
— = (C /Sc ■-) —(uy -г-), дд д- -д-
dAT
----= (AT2 /Pr-)—(
дд v 'д-
uy
д ■AT 1 П ■ dn
(5)
А поперечная компонента скорости V определяется из уравнения неразрывности:
/ у J (1/и2) д-
J д-
v = -и
Запишем уравнение переноса импульса в новых переменных (2-я зона):
ди 2 ч Э , 2 Эи 7Т = (С /Ц) — (иу -—) +
Эд Эп цдц
+(с / п2)(1 - 1/8е)(иу2 ап ап)+
Эп Эп
у =
д-
(Gr / Re) (и / y)J(-J
12
' ( C/n
LV
n
и
2 ди 1
uy
д-
yj J
d- -
d-,
(6)
2
- ■ d-
и ■ C
(Все величины безразмерны. В качестве масштаба скорости, температуры, концентрации выбраны их начальные значения на входе в капилляр, а в качестве масштаба длины — диаметр капилляра).
Начальные и граничные условия в новых переменных имеют вид:
а
Зависимость U,Т ,С от х
Рис. 1. Изменение продольной (и) и поперечной (V) компонент скорости смеси, избытка температуры (Т) и концентрации пробы (С): а — вдоль оси капилляра; б, в, г — в поперечных сечениях (0.1, 0.2, 0.3, 0.4)
Рис. 2. Изменение продольной (И) и поперечной (V) компонент скорости смеси, избытка температуры (Т) и концентрации пробы (С) при тепловыделении (Ог/Яе =2): а — вдоль оси капилляра; б, в, г — в поперечных сечениях 0.1, 0.2, 0.3, 0.4
Т емпература
Рис. 3. Изменение продольной (И) и поперечной (V) компонент скорости смеси, избытка температуры (Т) и концентрации пробы (С) при наличии частиц или с охлаждением (Ог/Яе = - 0.5): а — вдоль оси капилляра; б, в, г — в поперечных сечениях 0.1, 0.2, 0.3, 0.4
и = 1, С = 1, АТ = 1: 0 <п< 1, I = 0;
и = 0, С = 0, АТ = 0: п = 1, Є = 0;
ди дС дАТ пег,
— = — = —— = 0 = V: п = 0; Є> 0; дп дп дп
(7)
и = иО, С = 0, АТ = 0: п = 1, 0.
Таким образом, решение задачи свелось к численному интегрированию уравнений (4-6)
с начальными и граничными условиями (7) в конечной полосе интегрирования по п от 0 до 1. Непосредственно численное интегрирование осуществляется методом прямых при равномерном разбиении полосы интегрирования (£ > 0, 0 < п < 1) на Р частей (Р в расчетах варьировалось от 10 до 20).
На рис. 1-3 приведены результаты расчета полей продольной и поперечной компонент скоро-
а
а
г
сти, концентрации пробы, избыточной температуры в различных поперечных сечениях капилляра и вдоль его оси. Продольная скорость на границе 2-ой зоны (uG) полагалась равной нулю.
При отсутствии тепловыделения и при его наличии профили продольной скорости, температуры и концентрации быстро становятся пологими и выходят на автомодельный режим (на расстоянии порядка 0.4 диаметра капилляра); при охлаждении ситуация принципиально иная: продольная скорость быстро уменьшается вдоль оси капилляра, а профили характерных величин "помнят" начальные значения. Кроме того, в этом случае вдоль оси вблизи входа в капилляр поперечная скорость имеет значительные градиенты, что приводит к генерации возмущений в потоке.
Другой характерный вариант расчета течения в микроканале приведен ниже для плоской геометрии (рис. 4, 5).
Следует отметить, что при компьютерном моделировании течения в микроканале использовалось выражение для функции тока в уравнении движения
¥ = cos h [kh (у - 1/2)]/ cos(kh/2),
Y — функция тока; k — величина, обратная длине Дебая; h — ширина канала.
Из рис. 4 видно, что наименьшие поперечные градиенты продольной скорости пробы при вводе в капилляр наблюдаются на расстоянии около 0.5-
0.6 (равенство скоростей на оси капилляра и около его поверхности).
На рис. 5 показано изменение продольной ком-поенты скорости (U) вдоль оси микроканала. Следует отметить, что учет электрических сил приводит к характерной перестройке профиля серповидной формы примерно с расстояния порядка 0.6 от входа в микроканал. В данном случае профили становятся фрактальными (афиноподобными), т. е. осуществляется выход на автомодельный режим.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Анализ результатов компьютерного моделирования течения пробы с буфером с учетом ее ввода посредством электрического поля позволяет выбрать адекватную микрогидродинамическую модель и оптимальные области проведения концентрирования пробы и ее измерения.
Работа выполнена при поддержке грантов:
1. Научная программа Санкт-Петербургского научного центра РАН "Аналитические приборы на основе микрофлюидных технологий" (раздел 2, проект 2, 2003 г.);
2. Межведомственная научно-техническая программа "Вакцины нового поколения и диагно-
Рис. 4. Изменение продольной скорости смеси пробы с буфером вдоль оси микроканала.
--------- изменение скорости на оси микроканала,
---------вблизи поверхности микроканала
Рис. 5. Профили скорости смеси пробы с буфером вдоль оси микроканала на расстоянии
---------- 0.1,
----------0.4
от входа в микроканал
стические системы будущего. Новые принципы детекции и разработка на их основе приборов для автоматизации лабораторно-диагностических методов исследования" (ГК N43.269.11.0206, 20022006 гг.).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Солдаткин А.В. Микрогидродинамическое моделирование проточных аналитических систем // Научное приборостроение. 2003. Т. 13, № 1. С. 40-44.
2. Солдаткин А.В. Струйная модель микрореактора в микрофлюидных аналитических системах // Научное приборостроение. 2003. Т. 13, № 3. С. 56-61.
3. Santiago J.G. Electroosmotic flows in microchan-ells with finite inertial and presurres forces // Anal. Chem. 2001. V. 73. P. 2353-2365.
4. Bharadwaj R., Santiago J.G., Mohammadi B. Design and optimization of on-chip capillary electrophoresis // Electrophoresis. 2002. N 23. P.2729-2744.
Институт аналитического приборостроения РАН, Санкт-Петербург
Материал поступил в редакцию 27.10.2003.
ON THE COMPUTER SIMULATION OF MICROFLUIDIC SYSTEMS
A. V. Soldatkin
Institute for Analytical Insrumentation RAS, Saint-Petersburg
The paper presents the results of numeric calculations for a microfluidic flow system model in the axially-symmetric and plane geometry. The effect of the sample injection mode, heat release and particle content on the flow microhydrodynamics is considered.
