Применение анализа временных рядов в стратегии инвестора и торговой системе трейдера Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Рынок ценных бумаг

применение анализа временных рядов в стратегии инвестора и торговой системе трейдера

Е.Е. ЛЕщЕнКо Кафедра менеджмента инвестиций и инноваций Российской экономической академии им. г. В. Плеханова

С появлением компьютеров и современного программного обеспечения методы технического анализа, использующие математические подходы, получили широкое распространение. Метод скользящего среднего, MACD, RSI, различные виды осцилляторов и другие технические индикаторы специально были разработаны с целью повысить возможности инвестора в анализе и восприятии информации, с целью правильного прогнозирования и выработки прибыльной инвестиционной стратегии.

Еще одним подходом для анализа информации на финансовых рынках стало применение таких математических методов анализа, как корреляционно-регрессионный анализ, спектральный анализ и других универсальных математических подходов, которые уже давно успешно применялись для обсчета и анализа статистических данных во многих областях человеческой жизнедеятельности.

В данной статье описывается возможность применения анализа временных рядов, Фурье-преобразования и спектрального анализа в торговой системе трейдера или инвестиционной стратегии инвестора.

Анализ временных рядов применяется с целью понять причинные механизмы, обусловившие появление этого ряда.

Временным рядом называется упорядоченная по времени последовательность наблюдений.

Выделяют одномерные временные ряды, полученные при фиксированной количественной характеристике, и многомерные временные ряды, полученные при наблюдении нескольких характеристик выделенного объекта.

Временные ряды могут быть дискретными и непрерывными. В составе дискретных рядов выделяют

ряды для равноотстоящих моментов наблюдения и для произвольных моментов наблюдения.

Временные ряды также бывают детерминированными и случайными: первые получают на основе значений некоторой неслучайной функции; вторые — есть результат реализации некоторой случайной величины.

Для этого применяют Фурье-преобразование и спектральный анализ. Сущность анализа состоит в следующем. Предположим, имеется выборка Х из отклика Y, представленная массивом (Хп, Yn) n = 0,..., N содержащего N+ 1 точку. Значения Х расположены по равномерному возрастанию.

Предположив, что величина Х изменяется в интервале (0, Xmax), выборка фактора Хбудет задана рядом х = X ■ n/N.

* ^ n max '

Чтобы проверить предположение о наличии периодической зависимости между переменными Х и Y, необходимо на интервале (0, Xmax) исследовать данную зависимость функцией вида:

f (x) = у + C0S(m

+ bm sin(m 2 )].

m X'

Данная функция имеет зависимость от (2M+1) параметра (а0, a1v.., am, b1,..., bm). Количество неизвестных параметров 2M+1 не должно быть больше объема выборки N+1, поэтому M< N/2.

Тригонометрический ряд с параметрами минимального отклонения суммы квадратов этого ряда от выборочных значений отклика Y будет оптимальным и иметь следующий вид:

N

S = £[л - f (xn)]2 ^min.

n=1

В результате математических преобразование получаются формулы для получения искомых параметров:

58

финансы и кредит

m=1

2 . Inn. п

am = Nyn cos(m^rX0 ^m ^M;

n=0

N

Ъ = — + V у вт(т 2пП), \ < т < м.

Значения, полученные по вышеизложенным формулам, называются коэффициентами Фурье, а такой тригонометрический ряд — рядом Фурье.

Приближенное значение Yв точке хп—Хтах • п/Ы ряда Фурье будет найдено из уравнения вида:

/V \ а0 Мг /- 2пп . 2пп

/(X) = — + V [ат 00<т— + т 81п(^

При увеличении количества гармоник М погрешность в описании выборочного значения Yуменьшается, а при М = N/2 для любого п верно равенство у = (.

* ^ п ^ п

Как уже было изложено, основной задачей спектрального анализа является выявление повторений или цикличности в ценовом поведении финансовых инструментов. При использовании спектрального анализа это означало бы, что необходимо из всех имеющихся гармоник Мвыбрать те, которые имеют самую большую амплитуду или, другими словами, определить спектральную плотность временного ряда, так как с высокой вероятностью можно было бы утверждать, что именно ими описывается некий повторяющийся процесс.

Для того чтобы осуществить вышеизложенное, строится амплитудно-частотная характеристика разложения ряда Фурье.

Для начала вводятся параметры (Лт, 9т) частоты и амплитуды соответственно, которые будут связаны с (ат, Ьт) следующими соотношениями:

Я =\1а2 + Ъ , 9 = -аШеЪт-, -п<9 < п;

т V т т ' о ? т '

ат

ат = Ят СОв Эт , Ът = -Ят 8Ш 9т ■

Далее перепишем разложение Фурье в виде: /(Х) = ^Г + V [Ят СОв 9 т СОв(т N +

^ т = 1

2%ns

+Rm Sin 0m Sin(m )L ИЛИ

/(X) = Ol + ±Rm cos(mN + 0„).

2 m=1 N

Частоту колебаний обозначают ш , ш = m/Д

J mm''

тогда в конечном виде разложение Фурье имеет вид:

а м

/(X) =f + 1 Rm COS(2n»m« + 6m ).

2 m=i

Благодаря вышеизложенным преобразованиям произошел переход от ряда синусов, косинусов к ряду одних синусов.

Теперь, построив график в координатах (ш m, Rm), где по оси абсцисс отложена частота, а по оси ординат амплитуда, можно наглядно увидеть частоты с максимальными амплитудами, период колебания связан с частотой соотношением T = 1/ш .

mm

Другой важной задачей остается определение фазовых характеристик указанных частот.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ), характеристика, выражающая зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе цепи, от частоты гармонических колебаний на входе, т. е. показывающая, насколько сдвинуты по фазе процессы с определенными амплитудно-частотными характеристиками относительно точки начала исследования. Логарифмической фазовой частотной характеристикой является частота в логарифмическом масштабе, по ординате отложена фаза.

Фаза колебаний — аргумент периодической функции cos (rat + ф0, sin (rat + ф0) или ё(rat+фо>> описывающей гармонический колебательный процесс (ш — круговая частота, t — время, ф — начальная фаза колебаний, т. е. фаза колебаний в начальный момент времени t = 0). Фаза обычно выражается в угловых единицах (радианах) или долях периода.

Существенной особенностью исследуемых данных является стационарность или нестационарность рядов. Качественно стационарный ряд — это такой ряд, который находится в статистическом равновесии, в том смысле, что он не содержит никаких трендов, тогда как нестационарный ряд таков, что его свойства изменяются со временем.

Ряды, встречающиеся на практике, принадлежат обычно к одному из трех видов: ряды, проявляющие свойства стационарности в течение долгих периодов времени, например выходные сигналы генераторов шумов; ряды, достаточно стационарные в течение коротких периодов времени, например измерения атмосферной турбулентности, и ряды, которые являются явно нестационарными в том смысле, что их видимые свойства непрерывно изменяются со временем.

Следует отметить, что процессы, происходящие в экономике и на финансовых рынках, описываются временными рядами нестационарного вида. Нестационарность данных процессов приводит к тому, что спектральная плотность колебаний одного и того же рынка будет зависеть от времени его вычисления, поэтому сложно выявить периодичность фактора,

Дни

Рис. 1. Ценовой график акции РАО ЕЭС России

0,120

£ 0,100

я 0,080

ч

¡? 0,060

а

ч в 0,040

К 0,020

0,000

РИАтиМФ

Л?

с?5

^

О' <5< О'

О' «V

</ / от сг

Частота, да/ЛГ

Рис. 2. Амплитудно-частотная характеристика временного ряда РАО ЕЭС

4,0 3,0 2,0

I 1,0 «г

0,0

-2,0 -3,0

Щ-

е

Частота, т/1У

Рис. 3. Фазо-частотная характеристика временного ряда РАО ЕЭС

инструмента, а временной ряд корреляции временного ряда финансового инструмента и временной ряд, построенный, по некоторой, нами заданной, функции. Затем проводим его спектральный анализ и строим модель и прогноз. В данной ситуации у нас будут прогнозные значения корреляции временного ряда финансового инструмента и временного ряда, заданного по функции, значения в будущем временного ряда, заданного по функции, нам известны.

На рис. 1 представлен ценовой график акции РАО ЕЭС России за 2 000 торговых дней, с 18 ноября 2000 г. по 29 июля 2006 г.

На рис. 2 и рис. 3 изображены амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики временного ряда ценной бумаги, полученные в результате спектрального анализа.

В таблице (1) представлены характеристики 10 гармоник, с помощью которых может быть описан данный временной ряд. Коэффициент корреляции между исходным временным рядом и построенной моделью ряда составляет 97,47 %.

оказывающего влияние на временной ряд экономического процесса или ценной бумаги.

В данной статье рассматриваются две ситуации применения Фурье-преобразования и спектрального анализа.

Первая ситуация, когда исследуется временной ряд финансового инструмента, строится его модель, на основе результатов, полученных с помощью спектрального анализа, и экстраполируется на некоторый период в будущее, т. е. строится прогноз.

Вторая ситуация, когда для исследования берется не сам временной ряд финансового

Таблица 1

Номер гармоники Rm Частота Фаза

1 0,1112 0,0005 1,0302

2 0,0566 0,0010 1,5438

3 0,0548 0,0020 0,3415

4 0,0410 0,0015 0,3712

5 0,0227 0,0030 0,0039

6 0,0194 0,0035 0,2691

7 0,0133 0,0070 2,2334

8 0,0120 0,0060 -1,0187

9 0,0113 0,0040 -0,5124

10 0,0102 0,0158 1,8413

60

финансы и кредит

1,60

Рис.

1,60

Дни

4. Ценовой график акции РАО ЕЭС России и его модель, включая прогноз на 530 торговых дней

0,80

Дни

Рис. 5. Ценовой график акции РАО ЕЭС России с 18 ноября 2000 г. по 29 июля 2006 г. (2 000 торговых дней) и временной ряд, построенный по 10 гармоникам (включая прогноз на 530 торговых дней)

126 251 376 501

1126 1251 1376 1501 1626 1751 1876

Рис. 6. Корреляционный ряд показателей реального временного ряда акции и временного ряда, построенного по 10 гармоникам

Далее, на рис. 4 представлена модель временного ряда акции за 2 530 торговых дней (530 последних торговых дней являются прогнозом) на основе гармоник, по результатам спектрального анализа, а также временной ряд самой ценной бумаги за 2 530 торговых дней с 18.11.2000 по 12.01.2008.

Коэффициент корреляции между прогнозным и реальным временным рядом в 530 торговых дней (с 29.07.2006 по 12.01.2008) составил - 20,64 %, т. е.

в данном случае применение в качестве средства прогнозирования экстраполяции модели временного ряда, полученного по результатам спектрального анализа временного ряда ценной бумаги, оказалось малоэффективным.

Рассмотрим вторую ситуацию.

Для исследования возьмем тот же временной ряд акции РАО ЕЭС России за тот же период. Теперь построим временной ряд. В данной ситуации используем 10 гармоник из табл. 1, т. е. используем для исследования ту же модель, что и в первом исследовании (рис. 5).

Затем построим временной ряд корреляции временного ряда финансового инструмента и временного ряда, построенного по заданным нами гармоникам (рис. 6). Каждый член корреляционного ряда будет показателем корреляции между показателями реального временного ряда акции и временного ряда, задан -ного нами, за несколько торговых дней, в данном случае взят отрезок в 43 торговых дня.

Изменение временного ряда корреляции

будет происходить от — 1 до +1, в местах, где его показатели будут близки к +1, направления отрезков временного ряда акции и временного ряда, построенного по заданным гармоникам, будут совпадать.

Теперь строим модель данного временного ряда на основе гармоник, полученных по результатам Фурье-преобразования и спектрального анализа (рис 7).

126 251 376 501 626 751 876 1001 1126 1251 1376 1501 1626 1751 1876

Дни

Рис 7. Модель корреляционного ряда, построенного по результатам спектрального анализа

2001

Реальный временной ряд корреляции

2126

2251 Дни

Прогноз временного ряда корреляции

2376

2501

Рис. 8. Реальный временной ряд корреляции и его прогноз на 530 торговых дней (29.07.2006 -12.01.2008

На рис. 7 видно, что показатели модели корреляционного ряда в некоторых местах больше + 1 или меньше — 1, в реальности показатель корреляции больше или меньше 1 по модулю, быть не может.

Данная модель, есть не что иное, как интегральный показатель гармоник на некотором временном периоде, в отдельности амплитуда каждой из них не может превышать единицы по модулю, однако в местах, где происходит наложение гармоник, амплитуды суммируются. В таком случае это указывает на то, что показатели реального временного ряда корреляции в данном месте лишь стремятся к единице или к минус единице.

Итак, экстраполируем построенную модель временного ряда корреляции на 530 торговых дней вперед.

На рис. 8 представлена экстраполяция модели корреляционного ряда на 530 торговых дней, построенного по 10 заданным гармоникам из табл. 1; на ней отмечены номера временного ряда: № 2098, 2153, 2207, 2265, 2317, 2369, 2480 с максимальными значениями, а также представлен реальный корреляционный ряд 29.01.2006 по 12.01.2008.

Предполагается, что каждой отмеченной точке соответствует временной отрезок в 43 дня, на

котором направление движения цены акции будет соответствовать временному ряду, построенному по 10 гармоникам из табл. 1, экстраполированному на прогнозный период.

В табл. 2 представлены данные по данным точкам, временные отрезки, им соответствующие, а также достоверность наших прогнозов.

Таблица 2

Номер вре- Прогноз Достоверность

менного ряа Дата Дата прогноза

начала окончания

2098 28.04.2006 30.06.2006 40,81 %

2153 10.07.2006 15.09.2006 -58,62 %

2207 03.10.2006 01.12.2006 87,17 %

2265 26.12.2006 05.03.2007 81,20 %

2317 20.03.2007 21.05.2007 -54,14 %

2369 01.06.2007 01.08.2007 76,64 %

2480 07.11.2007 12.01.2008 79,86 %

Из табл. 2, видно, что четыре наших прогноза оказались достаточно верными. С 03.10.2006 по

15.09.2006 - корреляция 87,17 %, с 26.12.2006 по

05.03.2007 - корреляция 81,2 %, с 01.06.2007 по 01.08.2007 - корреляция 76,64 %, с 07.11.2007 по

12.01.2008 — корреляция 79,86 %. Это означает, что на этих временных отрезках направление ценового график акции совпадет с экстраполяцией его модели, построенной по гармоникам из табл. 1. В двух случаях наш прогноз оказался абсолютно неверным и в одном случае — малодостоверным.

Таким образом, в статье приведены два подхода к применению спектрального анализа. Первый подход заключается в том, что мы проводим Фурье-преобразование временного ряда ценной бумаги, выделяем основные гармоники, строим по ним модель и экстраполируем ее, строя наш прогноз.

Второй подход основан на том, что в качестве объекта анализа временных рядов мы используем не сам временной ряд ценной бумаги, а построенный нами временной ряд корреляции между временным рядом ценной бумаги и временным рядом, построенным нами по известной функции или по известным нам гармоникам, как в нашем примере.

Достоверность прогноза, построенного с помощью первого подхода, равна — 20,64 %; прогноз, построенный с использованием второго подхода, в

двух случаях оказался абсолютно неверным, в одном случае — малодостоверным, а в четырех случаях — достаточно точным (см. табл. 2).

В обоих подходах важной задачей является выделение гармоники или нескольких гармоник, которые, во-первых, имели бы большую амплитуду, а во-вторых, присутствовали бы в различных выборках данного временного ряда.

Литература

1. Бендат Дж. Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. Мир, 1989. ISBN 5-03-001-071-08.

2. Арженовский С. В., Молчанов И. Н. Статистические методы прогнозирования. Ростов-на-Дону, 2001. ISBN 5-7972-0379-0.

3. Тихонов Э. Е. Методы прогнозирования в условия рынка. Невинномысск, 2006. ISBN 5-89571-077-8.

4. Булашев С. В. Статистика для трейдеров. М.: Компания «Спутник+», 2006. ISBN 5-93406-577-7.

5. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1971.

6. www. rbc. ru.

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ФОРУМ «ОПЫТ РЕФОРМИРОВАНИЯ ФИНАНСОВО-БАНКОВСКИХ СИСТЕМ РОССИИ И КИТАЯ»

15-16 октября 2008 г. Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» в сотрудничестве с рядом высших учебных заведений Китая и посольством КНР в России проводит Международный форум «Опыт реформирования финансово-банковских систем России и Китая». Ожидается участие в Форуме представителей государственных структур, учреждений науки и высшего образования, государственных и коммерческих банков, финансовых, страховых и промышленных компаний России, Китая, Германии, Англии и других стран. Общее число участников — свыше 300 человек. На Форуме предполагается обсудить широкий спектр актуальных проблем, в частности:

• Современные тенденции и перспективы развития финансово-банковских систем России и Китая;

• Опыт проведения бюджетных реформ в России и Китае: бюджетная поддержка инноваций;

• Финансовые проблемы реформирования социальной сферы в России и Китае;

• Взаимодействие государства и банков в рыночной экономике;

• Международные стандарты банковской деятельности и особенности развития национальных банковских систем;

• Роль банков развития в инновационной экономике;

• Финансово-экономические инструменты инновационного развития экономики России и Китая;

• Институциональное развитие страхования в инновационной экономике;

• Развитие финансово-банковских систем России и Китая как фактор укрепления их позиций на мировом рынке в XXI веке;

• Проблемы модернизации финансово-экономического образования в современных условиях.

В рамках Форума будут проведены пленарные и секционные заседания, а также заседания «круглых столов». Участие в форуме бесплатное. Заявки следует направлять в оргкомитет: 8(499)943-94-21; 8(499)943-95-01; omns@rambler.ru