Разработка алгоритмов выделения циклических составляющих экономических данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2/2012

УДК 338.12 © В.Д. Богатырев, А.Ю. Ситникова

Разработка алгоритмов выделения циклических составляющих экономических данных

В данной статье проводится краткий анализ теории циклов, а также рассматривается проблема выявления циклических составляющих из общей динамики экономической конъюнктуры. В качестве решения этой проблемы предлагается алгоритм асинхронного гармонического анализа и алгоритм, основанный на спектральном анализе и цифровой фильтрации. Предложенные алгоритмы апробированы для выделения циклов котировок акций ОАО «ЛУКОЙЛ».

Ключевые слова: экономический цикл, экономическая конъюнктура, гармоника, тренд, спектральный анализ, спектральная плотность мощности, преобразования Фурье.

V.D. Bogatyrev, A.Yu. Sitnikova

Development of algorithms of cyclical components allocation of economic data

This article deals with a brief analysis of the theory of cycles and a problem of allocation of cyclic components from a general dynamics of economic situation is also considered. As a solution of this problem the asynchronous harmonic analysis algorithm based on spectrum analysis and digital filtering algorithm is proposed. The proposed algorithms have been tested for allocation of «Lukoil» stock quotes cycles.

Keywords: economic cycle, economic situation, harmonic, trend, spectrum analysis, power spectral density, Fourier transformations.

В.Д. Богатырев, А.Ю. Ситникова. Разработка алгоритмов выделения циклических составляющих экономических данных

С течением времени в экономических системах изменяются многие показатели и характеристики: уровень цен, объёмы производства, уровень занятости, денежная масса, загрузка производственных мощностей, прибыль, процентная ставка, скорость обращения денег и пр. Развитие экономических процессов и явлений носит циклический характер: рост сопровождается спадом, за которым следует восстановление и новый рост, поскольку по мере накопления изменений силы, придававшие импульс развития, убывают, и экономическая система начинает движение в обратном направлении.

Причинами возникновения и существования экономических циклов могут служить как внутренние факторы (обновление производственных фондов, изменение совокупных расходов, потребление и инвестиции, государственная экономическая политика), так и внешние (войны, революции, демографические процессы, крупные открытия и изобретения). Степень их влияния на экономическую систему зависит от ее внутренней структуры и способности приспосабливаться к изменениям. Поэтому понятие «экономический цикл» можно охарактеризовать как результат взаимодействия внутренних процессов саморазвития экономической системы и внешних импульсов, лежащих за ее пределами [1].

Проблема цикличности является одной из самых спорных и малоизученных. Впервые учёные попытались исследовать проблему циклических явлений в экономике в начале XIX в. Ж. Сисмонди считал, что экономические кризисы возникают из-за «недопотребления» или «чрезмерных сбережений». В 60-х гг. XIX в. К. Марксом была разработана теория циклических кризисов, которая дала толчок к изучению феномена длинных волн [2]. В 1860 г. К. Жугляр открыл фундаментальный механизм чередования периодов экономического благополучия и кризисов, описал общеэкономический цикл продолжительностью 8-10 лет, а также цикл фондового рынка длиной 9,25 лет.

В 1901 г. А.И. Гельфанд впервые сформулировал положение, согласно которому капиталистической экономике свойственны периоды длительного спада и застоя [1]. Причинами подъёма экономики в начале XX в. он считал открытие новых рынков, применение электричества и рост добычи золота. Позже длинные волны изучали голландские экономисты-марксисты Я. ван Гельден и С. де Вольф [2], которые в 1913 г., опираясь на статистику по ценам, объёмам производства, финансовым показателям, данные о международной торговле, миграции населения, занятости, разработали теорию волнообразного эволюционного движения при капитализме.

В 1923 г. проф. В.Л. Крам опубликовал результаты анализа котировок коммерческих векселей Нью-Йорка, где обнаружил наличие цикла длиной 40 месяцев. В это же время проф. Дж. Китчин обратил внимание на

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2/2012

циклические изменения в банковских безналичных расчетах, оптовых ценах и процентных ставках Англии и США в 1890-1922 гг.

Русский ученый Н.Д. Кондратьев (1892-1938 гг.), исследовав динамику развития многих стран Европы за 100-150 лет по целому ряду показателей (уровень товарных цен, процент на капитал, номинальная заработная плата, обороты внешней торговли, добыча и потребление угля, производство чугуна и свинца), пришёл к выводу, что развитие рыночной системы происходит волнообразно, производство развивается в рамках больших циклов в связи с масштабными революционными изменениями в технологическом способе производства, структуре его потребностей [3].

Дальнейшее развитие теории длинных волн связано с именем Й. Шумпетера и его работой «Экономические циклы» (1939 г.). Главную причину долговременных колебаний экономики он видел во внедрении базовых нововведений, которые существенно изменяют набор производимых продуктов и технологию их изготовления [1].

Р.Н. Эллиотт (1871-1948 гг.) сделал открытие, состоящее в том, что поведение «толпы» носит определённые закономерности: стадии экспансии, энтузиазма, эйфории, успокоения, упадка и депрессии [4]. Подобная картина наблюдается в различных периодах времени: от нескольких минут до нескольких веков. Изменения массовой психологии можно проследить по колебанию цен на товары, услуги, ценные бумаги, валюту, фондовые и промышленные индексы.

Таким образом, в данное время существует большое количество теорий экономических циклов. Современной общественной науке известны более 1 300 типов цикличности. Малые, среднесрочные и большие циклы взаимодействуют, накладываясь друг на друга, и составляют единый процесс экономического развития.

Все вышеперечисленные теории с той или иной степенью достоверности объясняют причины, вызывающие циклические колебания. Но в целом на сегодняшний день нет единой теории, которая вызывала бы у экономистов различных школ единодушное признание. Нет единства и по вопросу о способах выявления экономических циклов из общей динамики экономических показателей и продолжительности этих циклов.

Главными характеристиками цикла считаются амплитуда, период и фаза (рис. 1). Амплитуда измеряет высоту волны. Период волны измеряет время, проходящее между нижними (верхними) точками. Фазой принято называть временное положение точки волны. Как только определены амплитуда, период и фаза цикла, то теоретически можно экстраполировать цикл в будущее.

В.Д. Богатырев, А.Ю. Ситникова. Разработка алгоритмов выделения циклических составляющих экономических данных

Дж. Мэрфи предлагал использовать циклический анализ в сочетании с другими методами технического анализа с целью определения времени продолжения и окончания определённых тенденций на рынке [5]. Существует четыре принципа, которые позволяют рассматривать ценовую модель как циклическую закономерность: суммирование, гармоничность, синхронность и пропорциональность.

Согласно принципу суммирования (рис. 2), любое ценовое движение можно представить в виде суммы циклов разного периода. Таким образом, если их выделить из общей динамики цен, а затем вновь сложить, можно определить дальнейшую динамику развития тренда, а также время возникновения последующего ценового максимума и минимума.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2/2012

Принципы гармоничности и синхронности (рис. 3) основаны на сочетании двух циклов. Гармоничность заключается в пропорциональности периодов, а синхронность - в соответственном возникновении максимумов и минимумов разных гармоник. В циклическом анализе предпочитается измерять протяженность периодов между двумя нижними точками. Принцип пропорциональности заключается в том, что амплитуды колебаний циклов прямо пропорциональны их периодам.

Таким образом, любую динамику цен можно представить в виде суммы некоторых пропорциональных, гармоничных и синхронных гармонических составляющих. Однако Мэрфи отмечает, что довольно сложно выявить компоненты, составляющие цикл. Численные методы (анализ Фурье, метод максимальной энтропии) предполагают сложные математические расчёты и редко используются на практике по причине отсутствия

В.Д. Богатырев, А.Ю. Ситникова. Разработка алгоритмов выделения циклических составляющих экономических данных

программных продуктов с применением указанных методов. Поэтому чаще всего используется метод «на глаз».

ПспнлпЛ

Рис. 3. Гармоничные, синхронные и пропорциональные волны

Таким образом, актуальной является проблема выделения циклов с учётом сложной конъюнктуры финансовых рынков, поскольку в настоящее время отсутствует научно обоснованный метод выделения циклических колебаний котировок ценных бумаг.

Далее предлагается алгоритм реализации асинхронного гармонического анализа, позволяющий выделять циклические колебания с использованием вышеприведённого подхода. Согласно изложенным принципам, любой временной ряд может быть представлен как сумма долгосрочного тренда, гармоник (рис. 4) и случайной компоненты:

к

Г = Г"' + ^¥Г" + □ ,

А-=1

где У - тренд или долгосрочная компонента, отображающая основную

тенденцию; У/?''"- гармоника; О - случайная компонента.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2/2012

Рис. 4. Ряд динамики как сумма нескольких волн разных периодов

При выявлении циклов во временном ряду У = (У ,...,У^ _1 ) , состоящем из N наблюдений, сделанных через равные промежутки времени (час, день, месяц, год и т.д.) - I е[0; N - 1], можно использовать асин-

г

хронный гармонический анализ, согласно которому гармоника ряда представляется как ¡агт I еагт ¡агт еагт I

У, = V V )

где

У

¡агт

к ,г

= СИ + СИ ¡у-), Ак -амплитуда колебаний, определяемая по

формуле А г=о

к

яп(П *./ + □<*)

п -2П Т - частотаколебаний 1_1 — ,1 ~

к к

т,

к

t=о

период колебаний гармоники, т.е. время, за которое совершается один полный цикл колебаний; П0/г- - начальная фаза колебаний, т.е. фаза колебаний в начальный момент времени t = 0, определяемая по формуле

п ={Тк- 20,)0.

0к

выражается в угловых единицах; П - начальная фаза

колебания, измеренная в единицах времени, принадлежит интервалу

[0;Тк ) .

N-1

В.Д. Богатырев, А.Ю. Ситникова. Разработка алгоритмов выделения циклических составляющих экономических данных

Угг = (угг, ..., Угг ,....,У гг ); У/г = У -4 , У 2\ \jt-~ г ), где чо г N-1 ' 1 г2- (г )2 1

Этапы алгоритма представлены на рис. 5.

На первом этапе выбирается исходный динамический ряд данных У = (У0,...,у ,...,У^_}) длиной N (т.е. за N временных периодов), в котором необходимо выявить циклы.

Вторым этапом является определение начальной модели описания исходных данных. Для этого необходимо выявить тренд, к примеру, с помощью метода наименьших квадратов (МНК): , ч / \ _ (| -Уг___У - Л

г гг I т^гг т^ гг ^ гг | ^ гг _ ^ |

I ( ) )

N-1 N-1 N-1 N-1

Тг _ V Уг — VУг • г _ уг 2

г = г=0—; У = г=0—; Уг = г=0_• г 2 = Е

N N N ' N •

Таким образом, начальной моделью, описывающей ряд динамики

у = (У ,..,У ,...# )

, принимается трендУ = У г .

Третий этап алгоритма заключается в детрендировании исходных данных. Для снятия направленности временного ряда полученный линейный тренд У вычитается из исходного ряда У = (У ,...,У ,...,У ) . Цен-

о г N-1

трированный относительно оси абсцисс временной ряд имеет вид

о

-гг

У = У - У

да У

Г Тк Л

На четвертом этапе из ряда У х выделяется гармоника У%агт с пара-

метрами //- £ [2; Л'] и П ¿е| 0;— |, которая обеспечивает наибольший

I 2)

коэффициент детерминации Я2 , величину, характеризующую долю дисперсии (разброса) зависимой переменной, описанной найденным уравне-

£агт коэффи!

N-1 / ч?

V (у - у %агт г

г к

минации Я определяется по формуле Я2 = 1 - —-

нием в общей дисперсии. Так, для гармоники У ^агт коэффициент детер-

N-1 ,

N-1

Е(у - У)

На пятом этапе наилучшая с точки зрения Я2 , выявленная в каждом

цикле, гармоника у * = у ^агт добавляется в модель, описывающую ряд

к к ^^ ^^

динамики У = (Уо,Уь...,Удт-1 ): У = У + У/с .

г=о

В.Д. Богатырев, А.Ю. Ситникова. Разработка алгоритмов выделения циклических составляющих экономических данных

Рис. 5. Алгоритм реализации асинхронного гармонического анализа

В.Д. Богатырев, А.Ю. Ситникова. Разработка алгоритмов выделения циклических составляющих экономических данных

На шестом этапе гармоника У * вычитается из центрированного ряда

о о о

*

У , образуя новый «очищенный» ряд У = У—У* .

Седьмым этапом является расчёт статистики Дарбина-Уотсона [6] на

о

основании ряда У* * , полученного на этапе 6:

— У )—(у_ — У_

ании ряда У ,

ШУ — у)—(у — — у,—))„

t I

БШ = м-

2

I I I II 1

~ V

Пу*~ ~ )

1=1

На восьмом этапе проводится сравнение полученного значения БШ с табличным, в результате чего можно сказать о наличии (отсутствии) автокорреляции остатков первого порядка с некоторой вероятностью (уровнем значимости). При выполнении условия алгоритм заканчивается. В вышеприведенном условии -табличное значение статистики Дарбина-Уотсона (для уровня значимости □ ,длины ряда N и одной объясняющей переменной). Невыполнение условия гово-

о

рит о наличии зависимостей во вновь «очищенном» ряде У , для выявления которых снова проводится процедура выявления гармоники (этап 4 -

о

этап 8). Если условие выполняется, то остатки «очищенного» ряда У носят случайный характер, т.е. все зависимости, присущие ряду

У = (Уд ,..., У|,...,УN—1 ) , уже выявлены, и модель, описывающая исходный

ряд динамики, представляется в виде У .

Зная зависимость У на временном отрезке I е[0; N — 1], можно вычислить значения У на следующем временном отрезке: I е^;N + т].

Здесь т - горизонт прогнозирования, т.е. период времени, на который делается прогноз.

Помимо асинхронного гармонического анализа существует другой способ выявления циклических составляющих в ряде динамики, основанный на спектральном анализе, представляющий собой совокупность методов качественного и количественного определения состава объекта.

График, описывающий динамику какого-либо экономического показателя, может иметь произвольную форму: гладкую, негладкую, ломаную, разрывную. Но даже такая неаналитическая функция может быть разложена на конечном интервале времени на ряд простых гармонических колебаний и в конечном счёте представлена тригонометрическим рядом вида [7]:

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2/2012

(2П \ ( 2и \

y = f(t) = A +А sin| _t + П \+А sin| 2_/+□

0 1 ^ у, 1 j 2 ^ j, 2 J

Приведенное утверждение является содержанием теоремы Фурье. Любые временные функции (сигналы) могут быть однозначно представлены функциями частоты, которые называются их частотными спектрами. Переход от временного описания сигнала к частотному для детерминированных (неслучайных) сигналов осуществляется с помощью преобразования Фурье.

В большинстве существующих программных продуктов (Microsoft Excel, Mattoad) используется быстрое преобразование Фурье (БПФ) из-за значительно меньшего числа совершаемых операций, но при БПФ длина входной последовательности может быть равной только 2а (а - натуральное число), что может негативно сказаться на результатах исследования.

Поскольку ряд динамики дискретный, то можно использовать дис-

N-1

кретное преобразование Фурье (ДПФ): Y(m)= ^Х(к)е~,2Пкт ' . где

k=0

Х (k ) - k-й элемент центрированного динамического ряда; k- индекс динамического ряда во временной области k е[0; N — 1]; N- длина динамического ряда значений исследуемого экономического показателя; Y (m) -m-й компонент ДПФ; m - индекс ДПФ в частотной области

m е[0; N — 1 ] ; j - мнимая единица.

Переход от временного описания сигнала к частотному описанию лучше всего осуществлять для динамического ряда, очищенного от направленности. Один из способов детрендирования, основанный на выделении линейного тренда по МНК, был описан ранее.

Поэтому первым этапом алгоритма выявления циклов на основе спектрального анализа является выбор исходного ряда.

На втором этапе проводится «очищение» исходного динамического ряда данных от направленности.

На третьем этапе осуществляется перевод «очищенных» данных из временной области в частотную посредством ДПФ.

На четвертом этапе исследования оценивается спектральный состав колебаний. Обычно случайные процессы представляются спектральной плотностью мощности (СПМ). В литературе оценку СПМ авторегрессионного процесса часто называют спектральным анализом [8]. Современные методы спектрального анализа включают в себя два основных класса: параметрические и непараметрические методы. К категории параметрических методов относятся те, в которых задаётся некоторая модель СПМ и ставится задача оценки параметров на основании результатов наблюдения соответствующего процесса на ограниченном промежутке времени. Не-

В.Д. Богатырев, А.Ю. Ситникова. Разработка алгоритмов выделения циклических составляющих экономических данных

параметрические методы отличаются отсутствием каких-либо заранее заданных моделей в постановке задачи спектрального оценивания.

В связи с тем, что в данном исследовании анализируются ограниченные временные ряды, а не непрерывная бесконечная функция, как предполагается в теории цифровой обработки сигналов, то ряд методов даёт несостоятельные оценки спектра. Для поставленной задачи лучшим образом подходит использование параметрических методов спектрального анализа, в частности, метод максимальной энтропии (ММЭ). Энтропия -мера «неопределённости» появления некоторого события. Чем выше энтропия, тем выше неопределённость. Основная идея ММЭ состоит в выборе такого спектра, который соответствует наиболее случайному временному ряду, чья корреляционная функция совпадает с заданной последовательностью оцененных величин.

Оценка спектральной плотности мощности по ММЭ имеет такую же аналитическую форму, как и оценка СПМ, получаемая с помощью авторегрессионной (АР) модели порядка СИ вида:

2

S(ej2D 'n ) 1=-b

-у4Ши, г-1 -}2 □ □ / и

Идентификация параметров

-модели выполняется путем решения П +1 уравнений Юла-Уокера, которые в матричном виде записывают как:

с(0Ы-1)... гД-D) ]Г1 1

с(ГК(0) ... rx(-D+l)|| Dj

I bo I

!_/-,(□)/-х(п-1)... гДо) Л||Пп ][о ]

где гл.(/ — /) (1 </'<□ + 1. 1 < / < □ + 1 ) - автокорреляционные коэффициенты, рассчитываемые по формуле:

/ \ 1 ^ "1" I ' " 3 I / \

гх ( " 3 ) = —г-Т £ х(к )х(к +| ' " 3) •

Т " ' " 3 ■ к=о

Система Юла-Уокера решается при помощи метода Левинсона-Дарбина, носящего итеративный характер.

На основе вышесказанного далее для анализа циклических колебаний экономических явлений и процессов предлагается алгоритм (рис. 6), включающий в себя адаптацию данного метода [10].

0

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2/2012

Рис. 6. Алгоритм выделения циклов на основе спектрального анализа

В.Д. Богатырев, А.Ю. Ситникова. Разработка алгоритмов выделения циклических составляющих экономических данных

Следует увеличивать порядок АР-модели, пока вычисляемая ошибка предсказания не достигнет максимума. Но, как правило, дисперсия ошибки монотонно убывает с увеличением порядка I_I модели. Поэтому для определения порядка используется статистически значимый критерий длины минимального описания:

ДМО[П] = МЦЬ0\2+П \nN, где □ - порядок АР-модели; \Ь0\2 -

оценочное значение дисперсии белого шума, которое используется в качестве ошибки линейного предсказания и находится в процессе реализации итеративной процедуры Левинсона-Дарбина.

Особый интерес представляет оценка полученной СПМ. Пример таковой приведён на рис. 7 для динамики котировок акций ОАО «ЛУКОЙЛ» за 120 торговых дней. При анализе графиков СПМ особое внимание уделяется локальным максимумам. Для приведённого примера можно сказать, что наибольшую значимость в динамике котировок акций ОАО «ЛУКОЙЛ» имеет цикл с периодом 54 торговых дня.

Рис. 7. СПМ котировок акций ОАО «ЛУКОЙЛ»

Проанализировав оценки СПМ, необходимо провести цифровую фильтрацию, которая представляет собой процесс изменения частотного спектра сигнала в некотором желаемом направлении. Этот процесс может привести к усилению или ослаблению частотных составляющих в некотором диапазоне частот, к подавлению или выделению какой-либо конкретной частотной составляющей.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2/2012

Рис. 8. Торговый индикатор для котировок акций ОАО «ЛУКОЙЛ»

Предложенные алгоритмы могут быть практически реализованы для анализа динамики экономических данных различного характера, в частности - в виде торговых индикаторов технического анализа, подробное описание которых представлено в других работах авторов (рис. 8) [11].

Литература

1. Экономическая теория / под ред. И.П. Николаевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби, Проспект, 2008. - 576 с.

2. Крепкий Л.М. Регулирование экономических циклов. - М.: Экономика, 2007. - 184 с.

3. Кондратьев Н.Д. Большие циклы конъюнктуры и теория предвидения. -М.: Экономика, 2002. - 767 с.

4. Пректер Р., Фрост А. Волновой принцип Эллиотта. Ключ к пониманию рынка. - М.: Альпина Бизнес Букс, 2009. - 272 с.

5. Мэрфи Дж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика / пер. с англ. - М.: Евро, 2008. - 592 с.

6. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике / под общ. ред. А.В. Сидоровича. - М.: Дело и Сервис, 2004. - 386 с.

7. Ситникова А.Ю., Богатырев В.Д. Разработка торгового индикатора для рынка ценных бумаг на основе асинхронного гармонического анализа // Вестник международного института рынка, №2 (3), 2007. - С. 30-35.

8. Кравчук В.К. Новый адаптивный метод следования за тенденцией и рыночными циклами // Валютный спекулянт, №12, 2000. - С. 48-53.

9. Кравчук В.К. Спектральный анализ колебаний валютного курса EUR/USD по методу максимальной энтропии // Валютный спекулянт, №1, 2001 - С. 14-17.

Ш.И. Алибеков. Установление фиктивных и подложных документов в процессе судебно-бухгалтерской экспертизы_

10. Ситникова А.Ю. Метод спектрального анализа для выявления циклов экономической конъюнктуры // Вестник Самар. гос. эконом. ун-та, №9 (59). - 2009. - С. 107-112.

11. Ситникова А.Ю. Совершенствование инструментов технического анализа ценных бумаг посредством применения спектрального анализа и теории цифровой фильтрации // Вестник Самар. гос. аэрокосм. ун-та, №3 (23). - 2010. - С. 153-163.

Богатырев Владимир Дмитриевич, доктор экономических наук, профессор, проректор по образовательной и международной деятельности Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королева (национального исследовательского университета). 443086, г. Самара, Московское Шоссе, 34; тел. (846) 335-18-01, 267-43-03, e-mail: samelev@rambler. ru

Ситникова Анастасия Юрьевна, кандидат экономических наук, ассистент кафедры экономики Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета), г. Самара, Московское Шоссе, 34; тел. (846) 267-43-34, 8-927655-60-99; e-mail: [email protected].

Bogatyrev Vladimir Dmitrievich, doctor of economic sciences, professor, vice-rector for educational and international activities, S.P. Korolev Samara State Aerospace University (national research university), 443086, Samara, Moskovskoe Shosse, 34; ph. (846) 335-18-01, 267-43-03, e-mail: [email protected] Sitnikova Anastasiya Yurievna, candidate of economic sciences, assistant, department of economics, S.P. Korolev Samara State Aerospace University (national research university), Samara, Moskovskoe Shosse, 34; ph. (846) 267-43-34, 8-927655-60-99; e-mail: [email protected]