Приложение теории нечетких множеств в цифровой фильтрации случайных сигналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2004. Вып. 3

Теория сигналов

УДК 621.372.54:681.327.8

Ю. М. Вешкурцев, Е. Д. Бычков, Д. А. Титов

Омский государственный технический университет

Приложение теории нечетких множеств в цифровой фильтрации случайных сигналов

Разработан алгоритм цифровой фильтрации нестационарных случайных сигналов, статистические характеристики которых неизвестны и заменены информацией о обучающем сигнале, полученной с помощью теории нечетких множеств. Приведены результаты моделирования нечеткого цифрового фильтра.

Нестационарный случайный сигнал, цифровой фильтр, нечеткий фильтр, алгоритм цифровой фильтрации, обучение цифрового фильтра, обучающий сигнал, функция принадлежности

В ряде областей техники форму сигналов связывают с объектом исследования. Примером этого служат радиолокация, техническая диагностика, телеметрия, биомедицинские исследования и др. Как правило, в этом случае обработке подвергаются нестационарные случайные сигналы малой продолжительности во времени. Их анализ затруднен отсутствием априорных сведений относительно вероятностных характеристик. Для облегчения задачи используют классификацию сигналов в группы по условно отобранным признакам, а затем каждую группу сигналов обрабатывают отдельным оптимальным фильтром. Однако такая классификация не может быть выполнена определенно, так как граница между различными условными признаками обычно недостаточно выражена, например, прямоугольный импульс с конечной длительностью фронтов слабо отличается от импульса трапецеидальной формы. В результате этого при обработке сигналов, в частности с помощью цифрового фильтра (ЦФ), возникают большие погрешности определения правильной формы или вида нестационарного случайного процесса.

В настоящей статье предлагается восполнить отсутствие априорных сведений о статистических характеристиках сигнала с помощью процедуры обучения цифрового фильтра некоторым сигналом малой длительности для снижения погрешности идентификации нестационарного случайного процесса.

Известно [1], что работа линейного цифрового фильтра описывается уравнением

М N

У 0пТ) = -X а]У |> - №] + X ъкX[(« - к)Т], (1)

]=1 к=0

где х (пТ) и у (пТ) - п-е отсчеты входного и выходного сигналов фильтра соответственно; а^ и Ък - отсчеты решетчатых функций, зависящих только от п. В общем случае ЦФ неточно реализует алгоритм (1), так как операция умножения отсчетов цифрового сигнала

© Ю. М. Вешкурцев, Е. Д. Бычков, Д. А. Титов, 2004

3

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2004. Вып. 3======================================

на постоянное число неточна из-за округления (усечения) и поэтому выходной сигнал фильтра отличается от точного решения уравнения (1). Другими причинами искажения выходного сигнала ЦФ являются ошибки (погрешности) аппроксимации, неточности представления коэффициентов фильтрации и воздействие помех.

В этой связи классические ЦФ, представленные равенством (1), недостаточно адекватно восстанавливают нестационарные сигналы, упомянутые ранее, так как они рассчитаны на информационную и энергетическую избыточность речи, аудио, данных, изображения и т. д.

Одним из подходов идентификации нестационарных случайных сигналов при цифровой обработке является использование концепций теории нечетких (fuzzy) множеств. Задача распознавания сигналов уже рассматривалась на основе концепций нечетких множеств, в частности в работах [2], [3]. Например, в [2] представлена модель цифровой фильтрации, основанная на использовании функции принадлежности с двумя параметрами - разностью между отсчетами сигнала и положением отсчетов сигнала во времени.

Оценивать значения отсчетов сигнала будем отношением (операция дефазификации)

N

Z ^(xn-к)

n-к)xn-к

dn =

к=-N

N

Z »(xn-к)

к=-N

(2)

где (хп-£) е [0,1] - степень функции принадлежности значения хп-£ интервалу (-£, £)

(рис. 1). В отличие от работы [2] здесь оценка (2) определяет конкретное значение отсчета

сигнала хп-£, а не их разности Ахп-£ =

1n-к

^в (xn-к )

-+£ 1

--S

( xn-к )

/ /\

/ Цр ( xn-к )

/

I ^---I

Ax,

0

Рис. 1

y'

в

Рис. 2

J

Ax,

n-к

= \хп - хп_£ |. Оценка разности отсчетов

сигнала определяет крутизну нарастания реального сигнала в зависимости от величины шага дискретизации, что дает возможность оценивать скачки сигнала более адекватно в каждом отсчете сигнала. Функция принадлежности разности отсчетов будет определяться выражением

Ц ( Axn-к ) = max [цр ( Axn-к ) >Цр (Axn - к )],

(3)

где цр (Дхп-£) - функция принадлежности непоявления скачка сигнала на отсчете хп-£ интервала в; Др (Дхп-£) - функция принадлежности появления скачка сигнала на отсчете хп-£ интервала в . Функции принадлежности цр (Ьхп-£) * Цр (Ахп-£) и их пересечение непустое (Ахп-£ ) п цр (дхп-£) ф , что иллюстрируется рис. 2. В соответствии с (3), чем меньше разность отсчетов Ахп-к, тем меньше возможность появления скачка уровня

x

0

n

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2004. Вып. 3

сигнала на отсчете Хп-к . Решение о регистрации скачка уровня сигнала на отсчете хп-к принимается по условию р (Ахп-к ) > р (Ах о ) с определенной долей риска. С учетом (3) оценка значения отсчетов сигнала имеет следующий вид:

N

^ =

£ {тт [Ц (хп-к ), Ц (^п-к )]} хп-к

к=-N

п N

Е т1П [Ц (хп-к ), Ц (Ахп-к )] к=-N

(4)

Для нерекурсивного цифрового фильтра математическая модель (1) с учетом (4) преобразуется в выражение

(5)

N

У (пТ) = X Ъка [(п - к) Т].

к=0

По выражениям (2)-(5) разработан алгоритм цифровой фильтрации сигналов и проведено его моделирование в программной среде МЛТЬЛВ. В частности, построена модель нечеткого цифрового фильтра, а также получены обучающие сигналы и сигналы, которые необходимо обработать. При этом были промоделированы реакции фильтра при воздействии на него импульсных и непрерывных сигналов.

Алгоритм (рис. 3) имеет силу, если рассчитаны значения функции принадлежности. Однако для реальных сигналов функция принадлежности обычно бывает неопределена. Как известно [3], [4], существует множество методов построения функции принадлежности, а выбор того или иного метода определяется содержанием априорной информации о сигнале, требуемой точностью (достоверностью) получения конечного результата и квалификацией экспертов. При этом основной задачей адаптивного фильтра является подстройка весовых коэффициентов, при которой оптимизируется определенный критерий эффективности. Функции принадлежности модели найдены авторами статьи с помощью обучающих сигналов методом минимизации среднеквадратической ошибки. После этого модель фильтра применялась для обработки сигналов с наложенным на них аддитивным шумом от встроенного источника системы МЛТЬЛВ.

На рис. 4, а и 5, а представлены обучающие сигналы, использующиеся для регулирования величины функции принадлежности, а на рис. 4, б и 5, б - сигналы, обрабатываемые нечетким фильтром, оптимизиро- 3

О 100 200 300 400 п 0 100 200 300 400 и

б б Рис. 4 Рис. 5

ванным обучающими сигналами. Для сопоставления результатов взяты те же формы сигналов, которые опубликованы в работе [2]. Параметры сигналов и фильтра заданы в относительных единицах.

В ходе исследования были получены новые результаты идентификации сигналов. В таблице представлены значения оценки среднеквадратической погрешности идентификации сигналов, искаженных гауссовским шумом с нулевым математическим ожиданием и мощностью 0.01.

Сигнал Фильтр

Усредняющий SC-TC SF-TC SF-TF SF-TF-V

Среднеквадратическая погрешность идентификации

Импульсный 0.0133 0.0028 0.0022 0.0020 0.0019

Непрерывный 0.0035 0.0034 0.0028 0.0024 0.0023

Фильтры SC-TC, SF-TF и SF-TC (см. таблицу) заимствованы из работы [2]. Для сравнения приведены данные для усредняющего фильтра. Фильтр, использующий предложенную в данной статье оценку значения отсчета сигнала, обозначен SF-TF-V, так как нечеткое группирование значений сигнала (разности между отсчетами) и положения отсчетов во времени дополнен нечетким группированием конкретного значения отсчета сигнала. Соответственно, к обозначению SF-TF добавлена латинская буква V (от английского слова value - значение, величина). Все фильтры, кроме усредняющего, оптимизированы обучающими сигналами. Обучающий сигнал подобран так, чтобы его характеристики были подобны характеристикам обрабатываемого сигнала, т. е. для импульсного сигнала используется импульсный обучающий сигнал, а для непрерывного сигнала - непрерывный. Для обучения фильтра, т. е. нахождения функции принадлежности, был использован градиентный метод минимизации среднеквадратической ошибки выходного сигнала фильтра [5], [6]. Все значения в таблице найдены по выборке объемом 500 отсчетов обрабатываемого сигнала. На рис. 6 и 7 представлены формы функции принадлежности импульсного сигнала с применением ступенчатой аппроксимации. Рис. 6 иллюстрирует функцию принадлежности значения отсчетов. На рис. 7 показана функция принадлежности разности отсчетов р (Axn-к ) при к = ±1, ± 2, ± 3, ± 4.

В синтезированной модели фильтра используются стандартные блоки библиотеки Simulink, позволяющие организовать выполнение различных математических операций и

6

Ц

_ '-1

L

0.6

1.0

1.4 1.8 Рис. 6

2.2

xn-k

необходимую задержку сигнала. Модель (рис. 8) представляет собой цифровой нечеткий фильтр, который производит взве- 0.5

шенное усреднение отсчетов сигнала со- _Г

гласно выражению (2). Вес отсчетов соответствует значениям функции принадлежности (см. рис. 6, 7). Для упрощения структуры модели блоки вычисления весовых коэффициентов объединены в подсистемы. Как видно из рис. 9, в них вычисляется значение Axn-к = \xn - xn-, которое затем подается

на вход блока Matlab Function. Этот блок выдает на выход значение функции принадлежности, которая была задана программно в виде файла-функции (М-файла). ц ц ц ц

к = ±1 к = ±2 к = ±3

0.5 -

0.5

0.5

k = ±4

0.5 -

0.6

0.6

Рис. 7

Вес конкретного значения отсчета сигнала определяется по тому же принципу с той лишь разницей, что в этом случае значение Ахп-к не вычисляется, а вместо него используется хп-к (см. рис. 7). Все подсистемы вычисления весовых коэффициентов имеют аналогичную структуру. Интервал дискретизации сигналов взят равным одному шагу модельного времени.

Вход

щ

Mxn+4

Subí

xn+3

Г

Mxn+3

Sub2

X

Product2

Productí

xn+2

Mxn

Sub4

Г

Mxn+2

"Ur

X

Sub3

Product3

xn+1

Mxn+1

X

Product4

Sub5

X

Product5

1 z

Mxn-1

xn-1

Sub6

xn-2

Mxn-2

Sub7

xn-3

С

Mxn-3

JT

Product7

Sub8

xn-4

Г

Mxn-4

Sum1

Product6

Product8

"Ur

Sum2

Вых.

Product10

Sub9

Product9

Рис. 8

0

0

xn xn-k

xn xn-k

X

X

X

X

X

X

xn-4

Abs

MATLAB Function

И ( xn+4 )

Рис. 9

Из таблицы можно видеть, что наилучшими характеристиками обладает фильтр, использующий предложенную в данной работе оценку значения отсчета сигнала. На рис. 10, а и 11, a представлены виды обрабатываемых сигналов при наличии аддитивного шума, а на рис. 10, б-е и 11, б-е - виды выходных сигналов пяти типов фильтров в соответствии с таблицей. Выходные сигналы фильтра SC-TC (рис. 10, в и 11, в) содержат шумовую составляющую, что свидетельствует о недостаточной эффективности четкой кластеризации. Также можно наблюдать, что нечеткое группирование значений отсчетов сигналов позволяет снизить шум без искажения формы сигнала, в то время как усредняющий фильтр (рис. 10, б и 11, б) искажает эти формы. Результаты обработки исходного сигнала при отсутствии шума визуально не отличается от него и практически совпадают с рис. 4, б и 5, б.

Таким образом, в статье рассмотрен один из подходов цифровой фильтрации, который может быть применен в случае, когда имеющаяся информация о характеристиках и параметрах сигнала является неполной с точки зрения исследователя. Проведенное машинное моделирование продемонстрировало, что изложенная оценка позволяет значительно улучшить характеристики фильтра по сравнению с существующими аналогами. В частности, достигнуто

кn-k

100

200 300 400

Уп-k

2 -

100

Усредняющий фильтр

200

300

400

Уп-k

100

Фильтр SC-TC

200

300

400

yn-k

ЛО

100

Фильтр SF-TC

200

300

400

yn-k

AI

100

Фильтр SF-TF

200

300

400

yn-k

Л1

100

Фильтр SF-TF-V

200

300

400

Рис. 10

2

1

1

0

0

n

n

б

а

2

2

1

1

0

0

n

n

в

г

2

2

1

1

0

0

n

n

д

е

xn-k

yn-k

Усредняющий фильтр

100

200

300

400

100

200 300 б

yn-k

Фильтр SC-TC yn-k

400

Фильтр SF-TC

100

200 300 400

yn-k

Фильтр SF-TF yn-k

1 -

0

100 200 300 400 n

г

Фильтр SF-TF-V

100

200

300

400

1 -

О

100

200

300

400

д

Рис. 11

снижение среднеквадратической погрешности идентификации сигналов в пределах от 5 до 14% по отношению к нечетким фильтрам, рассмотренным в [2]. Предложенный фильтр снижает среднеквадратическую погрешность в семь раз по сравнению с усредняющим фильтром.

Библиографический список

1. Цифровые фильтры в электросвязи и радиотехнике / А. В. Брунченко, Ю. Т. Бутыльский, Л. М. Голь-денберг и др; Под ред. Л. М. Гольденберга. М.: Радио и связь, 1982. 224 с.

2.Arakawa K., Arakawa Y. Digital signal processing using clustering for nonstationary signal // Proc. of Int. Fuzzy Engineering Symposium (IFES-91). Yokohama. 13-15 November 1991. Japan: Fuzzy Engineering toward. Human Friendly Systems, 1991. Vol. 2. P. 877-888.

3. Бычков Е. Д. Диагностирование и распознавание состояний сложных цифровых систем, функционирующих в нечеткой (fuzzy) среде // Приложение теории нечетких (fuzzy) множеств в математических моделях систем связи. Исследования и материалы: Прил. к журн. "Омский научный вестник". Омск: ОГМА, 2000. С. 97-186.

4. Бычков Е. Д. Дистанционное диагностирование цифровых устройств при нечетких условиях // Исследование элементов сетей связи и узлов электрической связи: Сб. науч. тр. / ТашГТУ. Ташкент, 1991. С. 30-33.

5. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

6. Adaptive Noise Cancelling: Principles and Applications / B. Widrow, J. R. Glover-Jr., J. M. McCool et al. // Proc. IEEE. 1975. Vol. 63, № 12. P. 1692-1716.

1

1

0

0

n

n

a

1

1

0

0

n

в

n

n

e

J. M. Veshkurtsev, E. D. Bychkov, D. A. Titov

Omsk state technical university

Application of the Fuzzy Sets Theory in a Digital Filtring of Casual Signals

The algorithm of a digital filtering of non-stationary casual signals is developed, which statistical performances are not known and are replaced by an information about a training signal obtained with the help of the theory of fuzzy sets. The outcomes of simulation of a fuzzy digital filter are indicated.

Non-stationary casual signal, digital filter, fuzzy filter, algorithm of digital filtering, training of the digital

filter, training signal, membership function

Статья поступила в редакцию 22 января 2004 г.