Адаптивный полосовой фильтр на основе теории нечетких множеств Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Системы телекоммуникации, устройства передачи, приема и обработки сигналов

УДК 621.372.54:681.327.8

Ю. М. Вешкурцев, Е. Д. Бычков, Д. А. Титов

Омский государственный технический университет

Адаптивный полосовой фильтр на основе теории нечетких множеств

Разработан адаптивный алгоритм цифровой фильтрации нестационарных случайных сигналов, позволяющий изменять центральную частоту полосы пропускания фильтра в зависимости от характеристик сигнала. Приведены результаты моделирования полосового и режекторного фильтров.

Нестационарный случайный сигнал, цифровой фильтр, алгоритм цифровой фильтрации, обучающий сигнал, функция принадлежности

Одной из главных задач в области цифровой обработки является оценка нестационарных случайных сигналов, искаженных аддитивным шумом. Трудность обработки таких сигналов заключается в том, что они имеют малую продолжительность во времени и в большинстве случаев отсутствуют априорные сведения относительно их вероятностных характеристик. В результате этого при обработке сигналов возникают большие погрешности определения исходной формы нестационарного случайного процесса. Одним из подходов к идентификации нестационарных случайных сигналов при цифровой обработке является использование положений теории нечетких (fuzzy) множеств.

Задача кластеризации сигналов на основе теории нечетких множеств неоднократно рассматривалась ранее [1]-[3]. Например, в [1] был представлен алгоритм цифровой фильтрации, основанный на нечетком группировании компонентов сигнала. Представленные ранее модели фильтров в основном, имеют низкочастотную избирательность, а их адаптация к изменяющимся характеристикам сигнала осуществляется изменением ширины полосы пропускания фильтра.

В большинстве практических случаев спектральный состав сигнала не исчерпывается низкочастотными компонентами, т. е. возникают задачи, требующие создания полосовых или режекторных фильтров с изменяемой центральной частотой полосы пропускания (режекции).

Аналогично [1] будем полагать, что наблюдаемый входной сигнал представлен моделью х(nT) = xn = dn + un, где dn, un - отсчеты полезного сигнала и "белого" гауссов-

ского шума соответственно. Необходимо оценить полезный сигнал dn по имеющемуся

16

© Ю. М. Вешкурцев, Е. Д. Бычков, Д. А. Титов, 2006

xn xn-k

набору отсчетов входного сигнала

хп = {хп> хп+1. хп+N}; количество используемых отсчетов равно 2 N +1.

Для оценки отсчетов сигнала в [1] предложено использовать функцию принадлежности ц (хп-£ ) е [0,1], которая представляет степень близости отсчетов сигнала хп-£ и хп . В общем случае ц (хп-£ ) может

быть выражена как функция от разности (хп - хп-£ ) и иметь любой вид (например, показанный на рис. 1).

Оценка отсчетов сигнала на выходе фильтра производилась следующим образом:

N

X ^ (хп-к )хп-к

0

Рис. 1

Уп =

k=-N

N

X ^(xn-k)

k=-N

d

п .

(1)

Обозначим весовые коэффициенты ц (хп-£), имеющие фиксированное значение, символами Ь . В этом случае при N = 4 будет иметь место равенство

(ц(xn+4), ц(xn+з), Ц(xn), -, Ц(xn-4)} = {¿0. К

ЬЛ

Ы .

(2)

Тогда с учетом (2) выражение (1) запишем в виде разностного уравнения: Уп-4 = А ( Ь0 xn + hxn-l + Ь2 xn-2 + Ь3 xn-3 + Ь4 xn-4 + Ь5 xn-5 + Ь6 xn-6 + Ь7 xn-7 + ¿8 xn-8 ). где A = у (Ьо + \ + Ь2 + Ьз + Ь4 + Ь + Ьб + Ь7 + Ь8 ).

Отсюда можно найти частотный коэффициент передачи (полагая шаг дискретизации Т = 1):

K (ю) = А{Ь0 + ^cos (ю ) + Ь2 cos (2(0 ) + Ьз cos (3ш) + Ь4 cos (4(0) + Ь5 cos(5ю) +

+Ьб cos (6ю) + Ь7 cos (7ю) + ^8 cos (8ю) - j [Ь sin (ю) + Ь2 sin (2ю) + Ьз sin (Зю) + +Ь4 sin (4ш) + Ь5 sin (5ю) + Ьб sin (to) + Ь7 sin (7ю) + Ь sin (8ю )]}. (3)

Аппроксимационные и реализационные возможности конкретного типа фильтра определяются теми значениями амплитудной функции (или амплитудно-частотной характеристики (АЧХ)), которые они приобретают на границах основного частотного диапазона, т. е. на нормированных частотах ю = юТ = 0 (/0 = 0) и ю = п (/0 = /д/2, где /д - частота дискретизации сигнала), и которые не зависят от коэффициентов ц (xn-k). Проанализировав значения функции (3), можно заключить следующее:

• Возможна реализация фильтров низкочастотной, многочастотной и режекторной избирательности.

• Невозможно конструирование полосовых и высокочастотных фильтров.

Перенос спектра сигнала в область высоких частот означает переход от видеоимпульса к радиоимпульсу. Аналогичное утверждение касается и АЧХ цифровых фильтров. В общем случае коэффициент передачи цифрового устройства при умножении его импульсной характеристики на гармоническую функцию определяется выражением [4]:

Кп (ю) = 0,5eJ%К (® - ®0 ) + 0.5e"-%К (® + ®0 ), а его спектр распадается на два слагаемых вдвое меньшего уровня, смещенных на ®о

вправо (ю + юо) и влево (ю-ю0) по оси частот. При этом разностное уравнение (3) приводится к виду

yn-4 = 2 A (b0 s0 xn + blslxn-1 + b2s2 xn-2 + b3s3 xn-3 + b4 s4 xn-4 +

+b5s5 xn-5 + b6 s6 xn-6 + b7 s7 xn-7 + b8s8 xn-8 ), (4)

где s - отсчеты гармонического сигнала. Для создания полосового фильтра необходимо,

чтобы выполнялось условие |Кп (®0 )| = 1, поэтому в выражении (4) появился множитель 2.

Для упрощения дальнейших преобразований обозначим cn = bnsn и запишем формулу частотного коэффициента передачи в виде

Кп (w ) = 2 A{c0 + Ci cos ^ + С2 cos (2(0) + С3 cos (to) + С4 cos (4ю) + С5 COS (to) +

+с6 cos (6ю) + С7 cos (7ш) + С8 cos (to) - J [ci sin (ш) + С2 sin (2ю) + С3 sin (to) + +С4 sin (4 ) С5 sin (to) С6 sin (6 ) С7 sin (7 ) С8 sin (8w )]}. (5)

С учетом выражений (4), (5), можно записать алгоритм цифровой фильтрации сигналов (который будет иметь АЧХ полосового фильтра):

N N

2 Е Cn-kxn-k 2 Е (xn-k ) sn-k ] xn-k

d = k=-N_= k=—N__(6)

dn N N ■ (6)

Е bn-k Е ^ (xn-k)

k=-N k=-N

В выражении (6) весовые коэффициенты ц (xn-k) определяют ширину, а sn-k =

= s (xn-k ) - центральную частоту полосы пропускания фильтра. Структурная схема полученного фильтра представлена на рис. 2.

Адаптация центральной частоты полосы пропускания фильтра (коэффициентов sn-k) может осуществляться следующим образом. Пусть на вход фильтра подана смесь

гармонического сигнала и гауссовского шума: xn = U cos (&0nT + Ф0 ) + un. Спектр гармонического сигнала представляет собой дельта-функции, расположенные на частотах ±®0 .

Поэтому необходимо выбрать фильтр, обладающий максимально узкой полосой пропускания. Наименьшей шириной полосы пропускания при заданном порядке обладает однородный фильтр [5]. Следовательно, все коэффициенты ц (xn-k ) будут иметь одно и то же

значение 1/(2N +1), а sn-k равны cos [«0 (n - k)T + 90 ] [6].

Согласно принципам, изложенным в [1], ширина спектра сигнала оценивается с использованием разностей Ахп-£ = хп - хп-£ . Эти же разности могут быть применены и для

оценки частоты сигнала «о . В рассматриваемом случае полезный сигнал является периодическим, т. е. выполняется условие ё (пТ) = ё (пТ + Тс ), где Тс - период сигнала. При

наличии синхронного канала формирования опорных колебаний равенство оцениваемого отсчета сигнала яп и отсчета, отстоящего по времени на £ периодов дискретизации, означает, что центральная частота сигнала принимает значение из совокупности «о = = 2л/д/£; £ = ±2, ±3, ..., ±N, £ ф±1. Иными словами, каждый отсчет сигнала хп-£ может быть рассмотрен с точки зрения принадлежности нечетким множествам = = <СИГНАЛ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЧАСТОТОЙ СПЕКТРА ПРИМЕРНО /д/£; £ Ф ±1>. Одна из возможных форм функции принадлежности р (хп-£) нечетких множеств имеет вид, представленный на рис. 1.

Для нахождения значений 8п-£ необходимо реализовать £ нечетких правил: " ^:

если Ахп-£ близка к нулю, то центральная частота полосы пропускания фильтра должна быть близка к /д/£ ". Эти правила в дальнейшем будут объединены между собой и на основе результатов их объединения будет получена оценка частоты сигнала «о . Представление диапазона изменения центральной частоты полосы пропускания фильтра в нечетком пространстве (фазификация [7]) выполнено в виде семейства нечетких множеств

Рис. 3

fk = <ЦЕНТРАЛЬНАЯ ЧАСТОТА ПОЛОСЫ ПРОПУСКАНИЯ ФИЛЬТРА ПРИМЕРНО Уд/k > с отдельными функциями принадлежности рk (fo) (рис. 3).

На рис. 4 представлен способ объединения (агрегирования [7]) правил нечеткого вывода Rk для случая, когда необходимо перестраивать центральную частоту полосы пропускания фильтра в пределах fg/ 5... fgj 3 1.

Пусть имеются значения разностей между отсчетами сигнала (будем рассматривать

i i* i i* i i* i i* их модули), обозначенные как \xn -xn_k , а именно, \xn -xn_з , \xn -хп+з\ , \xn -xn-4 ,

I I* I I* I I* / \

\xn -xn+4 , \xn -xn_5\ и \xn -xn+5 . Им соответствуют значения цF (xn-k) (рис. 4). Логическое произведение (оператор min) используется для объединения правил относительно переменных |xn -xn_k|* и |xn -xn+k|*, а также для перехода от \i*F (xn-k) к (fo).

Значения p k (fo) соответствуют аргументам fok, из которых необходимо выбрать один. Решение о выборе аргумента может быть принято на основе выражения fope3 =

= arg max Pk (fo). В рассмотренном случае fope3 = arg max [цз (fo), Ц4 (fo), Ц5 (fo)] .

k k

Проанализируем изменение отсчетов сигнала sn-k при k = ±1, ± 2, ± 3, ± 4 в зависимости от частоты. Аналогично [1] будем считать, что вес оцениваемого отсчета всегда равен единице, т. е. зададим n = o, 9o = o. Вследствие симметрии функции косинуса относительно нуля знак k не имеет значения, поэтому рассмотрим только те отсчеты сигнала, которые соответствуют отрицательным значениям k. В общем случае sn-k =

= cos [o>o(n - k) T + 9o ] .

Подставив значения k, найдем: sn+1 = cos (®oT), sn+2 = cos (2^T), sn+3 = cos (3^T), sn+4 = cos (4®oT). Таким образом, в зависимости от частоты гармонический сигнал, на который необходимо умножить импульсную характеристику низкочастотного фильтра, представляется как функция принадлежности некоторого нечеткого множества. При этом s (xn-k ) е [-1, l] (рис. 5) и равенство s (xn-k) нулю является точкой перехода [8].

1 Данный способ заимствован из [7] и не является единственным.

2o

шш-►

Рис. 4

Нижняя граница диапазона перестройки частоты определяется порядком фильтра, так что для оценивания сигналов с частотой / < /д/N может быть использован цифровой фильтр порядка N. Например, для построения функции принадлежности нечеткого множества FN+! = <СИГНАЛ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЧАСТОТОЙ СПЕКТРА ПРИМЕРНО

/д/(N +1) > достаточно использовать разности хп- хп-N либо хп-1 - хп+N.

На основе полосового фильтра преобразованием его передаточной функции можно построить режекторный фильтр. Известно [9], что фильтр верхних частот представляет

-4

z

Кп (ш)

Рис. 6

собой разность между всепропускающим Уп = хп и низкочастотным фильтрами. Одним из вариантов построения режектор-ного фильтра служит параллельное включение всепропускающего и рассмотренного ранее полосового (с частотной характе-

ристикой Кп (ю)) фильтров по схеме, показанной на рис. 6.

Полученные соотношения были реализованы в виде моделей устройств в среде Mat-lab, которые в дальнейшем применялись для фильтрации сигналов с наложенными на них "белым" гауссовским шумом и гармоническими помехами. Предварительно выполнено обучение разработанных моделей устройств методом минимизации среднеквадратической ошибки в пределах 0.002. После оптимизации модели устройств использовались для фильтрации звуковых (речевых) сигналов, имеющихся в Matlab.

Для рассматриваемых далее примеров применялась частота дискретизации сигналов 8 кГц. Информационным сигналом служил входящий в состав среды сигнал mtlb (рис. 7, а). В качестве помехи использовался гармонический сигнал urn длительностью 0.5 c (рис. 7, б), мгновенная частота которого изменялась от /д/ 5 до /д/3 . Спектрограмма этого сигнала представлена при /д = 1 на рис. 8.

На рис. 9 показана форма сигнала mtlb с наложением гармонической помехи, а на рис. 10, а - сигнал, прошедший через режекторный фильтр. Разность портретов сигналов на рис. 7, а и 10, а не превышает 40%.

Задачей полосового фильтра считалось выделение из смеси сигналов гармонической помехи (рис. 7, б), т. е. на его выходе необходимо было получить dn = игп. Результат воздействия полосового фильтра показан на рис. 10, б. Разность портретов сигналов на рис. 7, б и 10, б не превышает 42 %.

dn 2 0

-2 -4

f0 0.3

0.2 0.1

_L

игп

0.5 0

-0.5 -1

1000

2000 а

3000

п

Рис. 7

xn

2

0

-2 -4

1000 2000 Рис. 8

3000

1000 2000 Рис. 9

3000

x

n

0

0

0

n

n

-4_I_I_I_

0 1000 2000 3000

n

0

1000

2000

б

3000

n

а

Рис. 10

В моделировании использовался цифровой фильтр восьмого порядка. При частоте дискретизации сигнала 8 кГц ширина его полосы пропускания составила 0.79... 1.45 кГц, а центральная частота - 1.6.2.67 кГц.

Таким образом, авторами статьи разработан алгоритм цифровой фильтрации сигналов, позволяющий адаптивно подстраивать характеристики фильтров в зависимости от меняющихся характеристик сигнала и помех. Полученные результаты дают возможность рекомендовать изложенные положения к применению в цифровых фильтрах в условиях неполной, с точки зрения исследователя, информации о характеристиках и параметрах сигнала.

1. Arakawa K., Arakawa Y. Digital signal processing using fuzzy clustering for nonstationary signal // Fuzzy Engineering toward. Human friendly systems: Proc. of int. fuzzy engineering symposium. Nov. 13-15, 1991. Yokohama, Japan (IFES-91). Vol. 2. P. 877-888.

2. Вешкурцев Ю. М., Бычков Е. Д., Титов Д. А. Приложение теории нечетких множеств в цифровой фильтрации случайных сигналов // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2004. Вып. 3. С. 3-9.

3. Khriji L., Gabbouj M. Rational-based adaptive fuzzy filters // Int. J. of computational cognition. 2004. Vol. 2, № 1. P 113-132.

4. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. шк., 1988. 448 с.

5. Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь,

6. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

7. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. М.: Высш. шк., 2002. 440 с.

8. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / А. Н. Аверкин, И. З. Ба-тыршин, А. Ф. Блишун и др.; Под ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука, 1986. 312 с.

9. Хемминг Р. В. Цифровые фильтры. М.: Недра, 1987. 221 с.

Yu. M. Veshkurtzev, E. D. Bychkov, D. A. Titov Omsk state technical university

Adaptive band pass filter based on fuzzy sets theory

Библиографический список

1990. 256 с.

The adaptive algorithm of digital filtering of non-stationary random signals enabling to change a center frequency of a filter pass band depending on the characteristics of a signal is designed. The results of simulation of band pass and rejection filters are reduced.

Non-stationary random signal, digital filter, digital filtering algorithm, learning signal, accessory function

Статья поступила в редакцию 8 июня 2005 г.