CC BY
14
Теория упругости
ПРИЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ К РАСЧЕТУ ПЛИТ, КОНТАКТИРУЮЩИХ С РАЗЛИЧНЫМИ СРЕДАМИ
С. П. ИВАНОВ, докт. техн. наук, профессор
О. Г. ИВАНОВ, канд. техн. наук, доцент; М. Н. АХМЕТШИН, аспирант Марийский государственный технический университет, 424000, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, дом 3.
Разработана методика решения физически нелинейной пространственной задачи теории упругости в перемещениях. Представлено приложение данной методики к расчету плит, взаимодействующих со средой, имеющих нелинейную диаграмму деформирования. Приведен пример расчета плиты.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: пространственная задача, нелинейность, плита. Получим уравнения для решения физически нелинейной пространственной задачи в перемещениях, и приложим их для составления уравнений изгиба плит, взаимодействующих с различными средами.
Роль такой среды могут выполнять различные материалы (бетон, композиты, в частности некоторые виды оснований и т. п.).Известно, из теории малых упругопластических деформаций, согласно теореме [1, 2] зависимость между
интенсивностями напряжений сг, и деформаций е, можно принять в виде полинома
= Евг - Е1вг
Рис. 1. Виды перемещений точки, графики координатной функции и ее производной
(1)
где Е и Е1 - некоторые постоянные, определяемые из экспериментальных данных. Для вывода уравнений используем известные соотношения между перемещениями и деформациями для среды:
(2)
£,„ =
ди £у = дv дw ^
дх ' ду '
дv = — + дz дw _ £хг = ди дw +- дх
ду '
где
и = и( х, у, z); V = у( х, у, z); w = w( х, у, z)- перемещения точки среды соответственно в направлениях осей координат х, уж(рис. 1). Запишем выражение для интенсивности деформаций
72(1+у)т/(е'-£у)2 + (£у-£г )2 + (£*-£х)2 + 2(£Ху+ < + 4).
Определим удельную энергию для системы [2]:
1 2 ег
ф = -ке2 + -1(1• ёвг,
2 3 о
е, = -
(3)
£х =
Е
где К = —у—0—г - модуль объемного сжатия; в = ех + еу + ег - объемная де-3 • (1 - 2v )
формация; V - коэффициент Пуассона.
Перемещения запишем в виде разложений [3]: и(х, у, г) = 2 и (х, у)• рг (г); ( = 1, 2, 3,..., т);
у(х, у, 2)=2 V, (х, у)• ^ (г) (и = 1, 2, 3,..., е); (5)
и
™(х, у, 2) = 2 (х, у) • ¥к (г) (к = 1, 2, 3,..., п),
к
где (х, у), Vd (х, у) и Жк (х, у) - обобщенные функции перемещений, а (г), Хи (г) и \ук (г) - координатные функции выбираются по физическому смыслу задачи. Запишем выражения полной энергии для системы, состоящей из работы внутренних и внешних сил рх, qy, qz, действующих на систему в направлении х, у, г
П = Ш(Ф - Рхи - qy V - qzw)dxdydz . (6)
Подставляя (5) в (6) получим энергию П, выраженную через обобщенные перемещения и их производные.
Определим минимум полной энергии, используя уравнения Эйлера-Лагранжа:
д дF д дF д^ п д дF д дF дF
■ +----= 0;--+----= 0;
дх ди1х ду ди1у диг дх дVdx ду дVd у дVd
д дF д дF дF
--+----= 0,
дх дЖк,х ду дЖку дЖк
где F - подынтегральная функция выражения (6); индексы после запятой показывают частные производные по указанным переменным. Раскрывая уравнения (7), получим:
2 °Л
1
1д2иг 1 -2у д2Пг Л + -
1 -и, + *2}
дх2 2(1 -у) ду2 I 2(1 -у) 7 } 1 2(1 -у) , } дудх
V , 1 )дЩ (1 + у)(1 - 2у) ^нел / ч
а}к-}Ы + р} = ФН ,(} =1, 2, 3,... ,т);
к ^ 1 -у } 2(1 -у)
(д2Vd + 1 - 2у д2Vd ^ — ' -2
2 Щи •
а
■ и . - - - - а - п V 1 ^ , д^ +
ду2 + 2(1 -у) дх2 )2(1 -у)2^ и 2(1 -у)У* дудх +
■ t 1 - 2у к )дЩ , (1 + у)1 - 2у) Фнел (р 123 )
к
I у 1 - 2у | ди, I у 1 - 2у )дVd
-2{1-уи* -2ру)Ск1"2ки -кмУЬ+
-2^ •Ъ = ФТ
1
( Я2 ИГ Я2 П7 ^
, 1 - 2у „
д 2Ък + д 2Ък
2(1 -у) к к {дх2 ду2 ) к ^ Е(1 -у) (к = 1, 2, 3,..л)
+
Коэффициенты линейной части уравнений (8) имеют следующий вид:
а]г = аг] = |ф] ■ фг ■ ь]г = ьг] = \ф'] ■ ф\ ■ с^ = \ф) -уk 'ё2'>
2 2 2
ёк = |ф] -уk •т = гкъ = 1Уh-уk ■shк = sкh = 1Уи-уk ■
2 2 2
khd =\уиё ■ё2; =\уиё ■ё2; Щё = т<Е,=\Н''кё ■ё2; (9)
2 2 2
п^ё = ё ■ ё2; к^ =|ъ'^-у k ■ ё2; I^ =|Ъ^-у k • ё2;
2 2 2
сЫ = 1у и -ф 'г ■ё2; = IУ и 'Фг ' ё2'> = 'Фг ' ё2'> 1 = IФ ] ё '^
2 2 2 2 Свободные члены определяются по формулам:
Р) = I Рх -V] 'ё2; Ч4 = I Чу ■ ^ ■ё2; Чъ = IЧ2 Уи 'ё2- (10)
2 2 2
Правые части (8) Фнел, Ф^", Ф™" учитывают физическую нелинейность
фнел = д д д^л +
] дх ди,х ду дииу диг
д дР д дР дР материала:ФГ =- — - — +-нел-; (11) Р 4 дх дVdx ёу дVdy дVd
^нел _ д д^ел д д^ел , дКел Фи =—:--:---:--:--г-
ъ дх дшКх ду дшку дwк
где Fнел - нелинейная часть функции F.
Уравнения (8) совместно с граничными условиями на краях системы позволяют решать пространственную задачу теории упругости при наличии физической нелинейности материала. Правые части в развернутом виде здесь не представлены из-за громоздкости.
Полагая при действии вертикальных нагрузок перемещения точек среды в направлении осей х и у малы:
и(х, у, 2) = 0; v(x, у, 2)= 0, (12)
то учитывая только перемещения в направлении оси 2
м^(х, у, 2) = W(х, у)-у(2). (13)
Координатную функцию (рис. 1) принимаем в виде у(2) = (Н - 2)/Н . Тогда из системы (8) останется только одно уравнение из третьей группы:
1 - 2v
( д2W д2Wл
- ■W +(1 V Ч = фнел , (14)
2(1 -V) 11 ^ дх2 ду2 ) 11 Е(1 -V)
где г11 = ¡у2 ■ ё2 = Н; 511 = ¡(у')2 ■ ё2 = —;Ч-вертикальная нагрузка, действую-о 3 о Н
щая на поверхность среды.Вводя следующие обозначения:
г Е V
Ео =-—г; V =■
1 -V2 1 -V'
íд2W д2^ 1 --2
дх 2 ду 2
1 -V
- *11 ■W + Ч = Фнел. (15)
Ео
1 -V!:) получим: —
Составим уравнение для плиты, лежащей на поверхности среды высотой Н, тогда можем записать
DV^ = р(х, у)- ч(х, у), (16)
Е • 5Ъ
где D =--- - цилиндрическая жесткость плиты; р(х, у) - внешняя на-
12(1 -V-)2
грузка, приложенная к плите; q(x, у) - реакция среды; Еп, vп - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала плиты; 3 - толщина плиты. Исключим из уравнения (16) q(x, у), используя уравнение (15), получим нелинейное дифференциальное уравнение изгиба плиты, контактирующей со средой
У4Ж- 2г2У2Ж +54 • Ж-^^ = Фнел, (17)
D
2 Е0Н 4 Е0 ..
где г =—т-ч—; 5 =—*-— .Нелинейная часть имеет следующий вид
12(1 + ^ )0 Н (1 -Vo2 D
2 Е1 Л ,, ¥4
ФНеЛ = 1 ^ (1")3 ^1 [2ЖЖ + Ж2)+ Ж2 ^ + Жуу )]+
(18)
+ _ т11 4 11
ххх у ^ х уу х
2 Л I уу I л 2
Ж1 Ж2 + - Ж2\ + ж„ ,(Ж2 + 3 Ж2 1 + 3ЖЖЖ
-4ииЖ3}
Коэффициенты определяются по формулам:
н н н Н н 1
пи = I(М)2 м2 •иг =—; ти = 1м4 •иг =—; и11 = I(М)4 •иг = —3. ПОЧ 0 3 0 5 0 Н (19)
Индексы при функциях Ж показывают частные производные:
дЖ дЖ
Жх =-, Жу =-, . . . .
дх ду
Приведем двумерную задачу к одномерной, принимая прогиб плиты в виде разложения [3]:
Ж(х, у) = 2Жк (у)• Л (х);(к = 1, 2, 3,..,п), (20)
к
где Жк(у) - искомая величина обобщенного прогиба, Л(х) - координатная функция, которой задаемся заранее по физическому смыслу задачи.
Работу реактивных давлений среды на возможном перемещении элементарной полоски плиты можно получить, используя преобразованную формулу (15) с учетом (20)
q(x,у) = к1 •2Жк • Л -2Г1 •2Жк • Л"-21 •2Ж1'• Л + Фнел, (21) Е Н Е
т,™ /1 0п . / 1 с0
где ' = Т!^' к = Н^
Работа реактивных давлений среды на перемещениях Л равна:
Щ =2 Р0 • Ж1 - 2 4Жк - I Фнел • Лг • их. (22)
к к 0
Коэффициенты имеют вид:
-Н г, , Е0Н 2 (1 '____ • , ]
I 0:
р0 Е0Н а + Е0Н2(1 -'0) * Д а.
Ргк =7^7.-Лк ■ Л г ' их + —Г-ч ,, ч Рк 'Л ] 0;
12(1 + '0) 0 24(1 + '0 У 6(1 -'0 V
4 Л^ • Л • их+^^аЛ • Л'-их+\[Лк• Л] а}.
Н- '0) }0 60 6 }
(23)
Двойная скобка |[ ] 0 показывает сумму значений произведений функций
1 0
на краях пластины при х=0 и х=а.
Присоединяем уравнение (22) к уравнению изгиба плиты (16) и получим:
а к ' WlV - 2
.о Л
Ьгк +
Ргк
Б
w1k1 +
.о Л
Б
W,
- а = ф,
(24)
(г = 1, 2, 3,.., п).
Данное дифференциальное уравнение является уравнением изгиба плиты, взаимодействующей со средой, имеющей нелинейную диаграмму деформирования. Коэффициенты линейной части (24) вычисляются по формулам:
а а V а
а,к =1Я ■ Я ■ ёх; Ьк =1 /'•Я ■ ёх--[/{■ fk + /г ■ fk ] 0а; сгк =1 /"•Л ■ ёх. (25)
о о 2 о
Выражение в квадратных скобках означает разность значений произведений по концам каждого участка. Свободный член записывается так
а = -1
г Б
| р(х, у)' / ■ ёх + Е Рс ■ / (с )+Е Мс ■ / (с)
(26)
где р(х, у) - поверхностная распределенная нагрузка, действующая на плиту; Ргс Мгс - сосредоточенные силы и моменты, действующие на плиту в сечениях х=с.Нелинейная часть Ф, имеет вид
2
Фг = 2 (1 ^о )3 Е1
+
Б
V (
Н к 2^ Wk ■ Як
у
(
+
V
Е Wk ■ Я + Е w¿■ Як
К к
ЕWk ■ я ■ ЕWk ■ п+Еw"■ /к
К k
J \ k
//
+ о.
,15Н К Е Wk ■ л
Е wl ■ я
К к
3
+—
2
/ К к Яг ■ёх +
( V
+
Е Wk ■ л
К к
Е w"■ я
2
Е Wk ■ я + -Е wl ■ /к
К к
К к
(27)
■3Е Wk ■ я Е w¿ ■ я Е w¿ ■ л)л ■ ёх - 1 [Е Wk ■ я
к J к
Я ' ёх\.
В качестве примера рассматриваем загруженную равномерно-распределенной нагрузкой Ч шарнирно-опертую по контуру квадратную плиту, взаимодействующую со средой толщиной Н (рис. 2).Расчет проводим в первом приближении. Функцию прогиба принимаем по (2о)
м^(х, у)= W1 (у)■ /1 (х). (28)
Запишем дифференциальное уравнение вида (24) и его нелинейную часть по (27):
а11 ■ W11V - 2
.о Л
Ьи +
Р11 Б
W111 +
.о Л
Б
Wx - а, = Ф1 , (29)
сгк +
2
+
2
2
+
3
с11 +
Ф = I-у0)3 Е 1Я1(2^3 • /; • (/;')2 + Ж • (Ж;')2 • /;3 + Ж!3 • у;2 • //'+
3 В у 0 *
\ а , 3
+ Ж;2 • Ж;" /;3)/; • dX + 0,15Я | (Ж; • (Ж;' )2 • /;2 • /;"+ 3 Ж;' • (/;' )2 • /;" +
где
(30)
+ Ж;2 • Ж;" /; • (/;')2 + "(Ж;' )2 • Ж;" /;3 + 3Ж; • (Ж;')2 • /; • (/;' • dX ~
4
1 Ж;3 • /;4 • ОА
Н о J
Согласно граничным условиям и действующей нагрузке координатную функцию/ можно принять в виде полуволны синусоиды (рис. 2)
. тсс
/; = вш —, а
Тогда коэффициенты линейной части уравнений и свободный член будут равны:
Ч
I ^
Р
а
тс
а;; =|/; • dx = П эт— I • dx = 0,5а;
о V а .2
а
Ъ;; = "¡{/¡)2 • dx = —|| соэ — I • dx = 0,5—;
0 а 0 V а 1
2
— а
2
тППП 11111 >И 11 1 II
I- -г
Н
а 4 / \2 4
сп =\{/;)2 • dx = эш —\ • dx = 0,5 —-
4 3
а V а I а
л\\ч\\\\\\ч\" Рис.2. Схема плиты в плане и вид координатной функции
а^ , q а ■ ж 2qa
= 1—/ • ax = — 1 эт — ax =-.
0 В В 0 а жВ
Для решения нелинейной краевой задачи использовался численный метод. Нелинейное дифференциальное уравнение интегрировалось методом Рунге-Кутта. Для определения недостающих краевых условий использовался итерационный метод типа Ньютона.
По результатам расчета на рис. 3 представлены графики изменения прогиба плиты, полученные с учетом и без учета нелинейности материала среды.
ело5
У/"-10
О 2 4 6 8 10 Рис.3. Графики зависимости прогиба центральной точки плиты от действующей нагрузки при Н=а: ; 2 - по линейной и нелинейной теории (Е; /Еп = Ю; Е0/Е; = Ю -3; к/а = 0,;; V = v0 = 0,3); 3, 4 - по линейной и нелинейной теории Е; /Еп = Ю;
Е0/Е; = Ю-4; к/а = 0,;; V = 0,3)
2
На рис. 3 приняты следующие обозначения координат: Q* = q/En - отношение действующей нагрузки к модулю упругости материала плиты; W * = W/ 8
- отношение прогиба к толщине плиты.
Результаты проведенных исследований позволяют сделать следующие выводы:
- получены уравнения в перемещениях для решения пространственной физически нелинейной задачи;
- составлены уравнения для расчета плит, взаимодействующих с нелинейной средой;
- из рис. 3 видно, что учет физической нелинейности может существенно влиять на НДС плиты. В частности учет нелинейности (рис. 3) значительно влияет на величину прогиба (см. кривые 2 и 4).
Л и т е р а т у р а
Х.Ильюшин А.А. Пластичность. - М.: Гостехиздат, 1948. - 342с.
2.Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики. - М.: Стройиздат, 1978. - 204с.
3.Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы.- М.: Госстройиздат,1958.
- 502 с.
4.Иванов С.П., Ахметшин М.Н. Решение физически нелинейной плоской задачи теории упругости и ее приложение к расчету балок, контактирующих со средой// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2012. - № 2. - С. 3336.
THEAPPLICATIONOFANALYSISOFTHREE-DIMENSIONALPHYSICALLY NONLINEARPROBLEM TO CALCULATION OF THE PLATES CONTACTING WITH DIFFERENT MEDIUMS
S.P. Ivanov, O.G. Ivanov, M.N. Akhmetshin
The technique of the decision of physically non-linear of three-dimensional problem of the elastic theory in displacements is developed. The appendix of the given technique to calculation of the plates cooperating with medium, having the non-linear diagram of deformation is presented. The example of calculation of a plate is resulted.
KEYWORDS: three-dimensional problem, nonlinearity, a plat
