Решение физически нелинейной плоской задачи теории упругости и ее приложение к расчету балок, контактирующих со средой Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕИНОИ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К РАСЧЕТУ БАЛОК, КОНТАКТИРУЮЩИХ СО СРЕДОЙ

С. П. ИВАНОВ, д-р. техн. наук, профессор М. Н. АХМЕТШИН, аспирант

Марийский государственный технический университет, 424000, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, дом 3.

Разработана методика решения физически нелинейной плоской задачи теории упругости в перемещениях. Представлено приложение данной методики к расчету балок, взаимодействующих со средой, имеющих нелинейную диаграмму деформирования. Приведен пример расчета балки.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: плоская задача, нелинейность, балка.

Рассмотрим методику решения плоской задачи теории упругости с учетом физической нелинейности материала. При малых упругопластических деформациях, согласно теореме [1, 2 ] можно считать материал нелинейно-упругим. В частности для сплавов, бетона, сталей, композитов и различных сред (при активных деформациях) можно принять зависимость между интенсивностью напряжений о. и деформаций ei в виде полинома [2]

= Еег - Ехе], (1)

где Е - модуль упругости; Е1 - постоянная, учитывающая степень нелинейности материала, принимаются из экспериментальных данных. Рис. 1. Виды перемещений точки Задачу решаем в перемещениях. системы Перемещения в направлении осей г и х - у(х, z) и и(х, z) (рис. 1) принимаем в виде разложений по В. З. Власову [3]:

и (г, х)=Т и. (х)-фг (г); (. = 1, 2, 3, ..., п);

. (2) у(г, х) = Х Vk (х)-¥к (г), (к = 1, 2, 3, ..., т),

к

где и. (х) и V. (х) - обобщенные перемещения; ф. (г) и - координатные функции, которыми задаемся по физическому смыслу задачи. При выполнении дальнейших выкладок переменные х и г, указанные в скобках опускаем. Запишем выражения линейных и угловых деформаций:

си ^ '

= ~дХ = ;

Си ду ^ ТТ

с= — + — = X и.

дг дх ^

су ^ '

■ъ+Т V

(3)

к '¥к.

Для вывода уравнений равновесия используем энергетический метод. Запишем удельную энергию изменения объема и формы системы [2]:

1 2 е.

Ф = 1 Кв2 + 2 (1 + у)1аг

2 3 о

(4)

Б

Б

х

г

Б

Е

где К = ——0—^ - модуль объемного сжатия; О - объемная деформация; V -3 -(1 - 2у)

коэффициент Пуассона.

Запишем выражение интенсивности деформаций ei

е. -„2(е2 + е2 - е е ) +—е2 ,

г л/2(1 + у)Ч ( х 2 х 2) 2 2х,

то для квадрата интенсивности деформаций получим

е^+е2--+— е: ). (5)

Определим полную энергию деформации системы

П = | (Ф - Чхи - V) йх. (6)

2

Учитывая (2), выражаем полную энергию через обобщенные перемещения и их производные, и используя уравнения Эйлера-Лагранжа, определим ее экстремальное значение:

й дF д^ п й дF дF п

--г--= 0;----= 0, (7)

йх диг ди1 йх дV'k дVk

где F - подынтегральная функция выражения (6).

Раскрывая (7), получим систему (п + т) обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений:

, 1 — V 1 — V ¡1 —у2

^аи --— Xьи + Х(V t]k -— с]кГк + — Qí = ФГ;

i 2 i i 2 Е (8)

1 - V 1 - V " 1 - V2

-X (V -—сы и +—х гккук-х ^ + ^т- Qн = ФГ;

к 2 2 к к Е

(1 = 1, 2, 3, ... , п; к = 1, 2, 3, ... , т). Коэффициенты линейной части уравнений и свободные члены имеют следующий вид:

а], =\У}УгМ2'; ьа = Ц1Ьйг; tJk =\р}¥кЬй2; tк, = 1ШкМГ;

2 2 2 2

ск скг = \ШкЬй2'; гкк = ¡¥к¥кЬй2; 8кк = №'к¥кЬ2;. (9)

2 2 2 2

QJ = I<2к = I

22

Правые части уравнений учитывают физическую нелинейность материала (в развернутом виде здесь не представлены из-за громоздкости) и определяются следующим образом:

й дF дF й дF дF

фнел- = нел. + нел. . фнел- = нел. + нел. (10)

1 ~ йх диг ди, ' к ~ йх дУ'к дVk '

где Fнел - нелинейная часть выражения F.

С использованием уравнений (8) совместно с граничными условиями на краях системы можно решить физически нелинейную плоскую задачу теории упругости.

При действии только вертикальных нагрузок перемещениями и(х, 2) в направлении оси х можно пренебречь, тогда уравнения (8) упростятся 34

1 -V

1 -V

_ XгшГк - XэккУк Qh = ФН

2 к к Е

Если рассматривается задача плоской деформации, то вводя следующие Е vn = —--соответственно модуль деформации и

обозначения: Еп =-

1 -V

1 -V

коэффициент Пуассона, для к, h = 1 получим

Еп

2(1 )

г У -

Е0 ^11 1 -V2

V + р(х) = Ф?

(12)

В уравнении принято обозначение V вместо У. Принимаем высоту деформируемой среды, находящейся в условиях плоской деформации, равной Н и координатную функцию у = (Н-г)/Н (см. рис. 2).

Рис. 2. Схема деформируемой среды, вид координатной функции и ее производной

Положим, что с верхней частью среды контактирует балка, то можем составить уравнение изгиба балки

Еь 3 У/У = д(х) - р(х), (13)

где р(х) и д(х) - соответственно реакция среды и внешняя нагрузка, действующие на балку; Еь/ - жесткость балки.

Исключив р(х), с учетом (12) получим следующее уравнение изгиба балки, лежащей на слое высотой Н

Еь 3 У/У -

.^Ц г у у=ф)--Е_

2(1+^) 11 1-Vo2 * ) 12(1+^ )3

— У2У" +1.37н(у)2у

н у '

н

, (14)

где Ь -ширина балки; Н- высота деформируемого слоя среды.

Коэффициенты определяем по формулам (9):

н 2 ЬН н ь

Гц = ЬЛ2 = —; sп = |bdz = —. (15)

о 3 о Н

В качестве примера рассмотрена шарнирно-опертая балка, контактирующая с нелинейной средой и загруженная равномерно распределенной нагрузкой д, со следующими данными: Еь= 300000 кг/см2; 3 = 416666 см ; Е0 = 100 кг/см ; У0 = 0,3; I = 400 см; Н = 300см; Ь = 40см; h = 50см; Е1= 9-105кг/см2.

Для решения нелинейного дифференциального уравнения вида (14) применялся численный метод Рунге-Кутта. Для определения недостающих граничных условий краевой задачи использовался итерационный метод типа Ньютона.

На рис. 3 представлена качественная и количественная картина перемещения сечения балки в центре пролета в зависимости от действующей нагрузки. Кривая 1 получена из линейной теории расчета, а кривая 2- с учетом физиче-

ской нелинейности среды. В системе координат

q

приняты следующие обозначения: q =

Eh

* v v = — h

q'-Ю"6

••ю-3

О

1

3

Рис.3. Графики зависимости прогиба балки в середине пролета от действующей нагрузки: 1 - по линейной теории; 2- с учетом физической нелинейности

- соответственно приведенная величина нагрузки и прогиба.

На основании приведенных в статье результатов можно сделать выводы:

1. Разработанная методика позволяет решать физически нелинейные плоские задачи теории упругости и применить ее к расчету балок, контактирующих с различными средами, имеющих нелинейную диаграмму деформирования материала.

2. При учете нелинейности материала среды с увеличением нагрузки прогиб балки значительно увеличивается по сравнению с результатом, полученным по линейной теории.

Л и т е р а т у р а

1. Ильюшин А.А. Пластичность. - М.: Гостехиздат, 1948. - 342с.

2. Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики. - М.: Стройиздат, 1978. - 204с.

3. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы.- М.: Госстройиздат,1958.

- 502с.

THE DECISION OF PHYSICALLY NONLINEAR FLAT PROBLEM OF

THE THEORY OF ELASTICITY AND ITS APPLICATION TO CALCULATION OF THE BEAMS CONTACTING WITH BED

S.P. Ivanov, M.N. Akhmetshin

The technique of the decision of physically non-linear plane problem of the elastic theory in moving is developed. The application of the given technique to calculation of the beams cooperating with the bed, having the non-linear diagram of deformation is presented. The example of analysis of a beam is resulted.

KEYWORDS: a plane problem, nonlinearity, a beam.

Hh Hb -0-