Динамическая устойчивость физически нелинейных пластинчатых систем Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Расчеты на устойчивость

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ПЛАСТИНЧАТЫХ СИСТЕМ

С.П. ИВАНОВ, д-р техн. наук, профессор,

АС. ИВАНОВА, аспирант,

Поволжский государственный технологический университет,

424000, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, д. 3;

E-mail: sp-ivanov@mail. ru, IvanovSP@,volgatech. net

В работе представлен метод расчета на динамическую устойчивость пластинчатых систем из физически нелинейных материалов. Получена система нелинейных дифференциальных уравнений для исследования динамической устойчивости пластинчатых систем. В качестве примера выполнен расчет на устойчивость П-образной оболочки.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: динамическая устойчивость, физическая нелинейность, пластинчатые системы.

Тонкостенные пространственные конструкции (в том числе пластинчатые системы) находят широкое применение в строительстве, авиастроении, машиностроении, приборостроении и других областях техники.

Современные конструкции изготавливаются в основном из высокопрочных материалов (железобетона, различных сплавов, композитов). Для большинства таких материалов характерна физическая нелинейность, т.е они имеют нелинейную диаграмму деформирования. Тонкостенные конструкции способны выдерживать различные виды нагрузок (например, статические и динамические). Особую опасность представляют динамические нагрузки. Поэтому задачи расчета тонкостенных пространственных конструкций на устойчивость при действии динамических нагрузок (или на динамическую устойчивость) с учетом физической нелинейности материала являются актуальными для науки и прак-

тики. Исследованиям устойчивости тонкостенных конструкций при статических и динамических воздействиях посвящены работы многих авторов [1, 2, 5, 6, 7].

Результаты численного анализа устойчивости цилиндрических оболочек из композиционных материалов при несимметричном статическом нагружении с учетом физической и геометрической нелинейности получены в работе [1]. Нелинейная динамика замкнутых цилиндрических оболочек при действии локальных поперечных динамических нагрузок различных типов исследуется в работе [2]. Рассмотрен вопрос о динамических критических нагрузках для замкнутых цилиндрических оболочек [2]. Метод расчета на динамическую устойчивость стержней из физически нелинейных материалов был ранее представлен авторами данной работы в [3]. Вопросам динамической и статической устойчивости стержней, пластин, конических и цилиндрических оболочек посвящены публикации некоторых иностранных авторов [4 - 7].

В большинстве рассмотренных работ расчеты на устойчивость выполнены без учета физической нелинейности материала. Почти нет опубликованных ранее работ, посвященных исследованиям динамической устойчивости пластинчатых систем типа призматических оболочек с учетом физической нелинейности материала. Таким образом, данное направление мало изучено и является перспективным.

Диаграмма деформирования физически нелинейных материалов хорошо аппроксимируется кубическим полиномом:

= Е е -£1 •е3, (1)

где стг- - интенсивность напряжений, е, - интенсивность деформаций, Е - начальный модуль упругости материала, а Е1 - постоянная, учитывающая степень физической нелинейности материала [8].

Рассмотрим пластинчатые системы типа призматических оболочек при действии сжимающей динамической нагрузки Р(0 (рис. 1).

Перемещения точки М оболочки в направлении оси х обозначим и, в направлении оси у - V, оси г - м>.

При решении задачи будем учитывать гипотезы Кирхгофа-Лява (сг = 0, 8хг = 0, 8уг = 0), гипотезу о нелинейно-упругом теле.

Запишем соотношения между деформациями и перемещениями:

(2)

8 х ех г1 х; 8 у = еу г1 у; 8ху еху 2 г1 ху,

ди дv ди дv _ д 2 м д 2 м д 2 м

где ех ; дх еу =дУ; еху =ёу + - ; X х дх п д > X у о ; ду2 х ху = ~ ~ дхду

Составим выражение интенсивности деформаций е, и объемной деформации 9 с учетом гипотез Кирхгофа-Лява (сг = 0, 8хг = 0, 8уг = 0):

1 К8х - 8 у )2 + (8 у - 8г )2 + (8г - 8х )2 + 3 ^ ,

г >/2(1 + УИ У У 2

о 1 - 2^ ч

9 = 8 х + 8у + 8 г = --(8 х + 8у X

1 - V

где V - коэффициент Пуассона материала оболочки.

(3)

Рис. 1. Общий вид пластинчатой системы с действующей нагрузкой Р(г) Тогда деформацию в2 определим по формуле:

1 -V

(в X +в у )•

(4)

Для решения задачи используем энергетический метод. Составим выражение для полной энергии L системы:

L = П - Т, (5)

где П - потенциальная энергия, Т - кинетическая энергия.

Выражение для определения потенциальной энергии системы имеет вид:

П = Я

А -1Р (г) 2

(я 2 ^ д м

дх1

+ Чу • м

dydх,

(6)

где чу - нагрузка, которая действует в направлении оси у и учитывает начальное несовершенство системы, А - работа внутренних сил, отнесенная к единице площади поверхности оболочки.

Определим работу внутренних сил А:

5/2

А = [ФСг, (7)

-5/2

где 5 - толщина составляющих пластин оболочки, Ф - удельная энергия изменения объема и формы. Удельная энергия Ф определяется по формуле [9]:

1 2

Ф = -К92 + -(1 + v)|аг • Сег

2 3 п

(8)

где К = Е /[3(1 - 2v)] - модуль объемного сжатия, V - коэффициент Пуассона материала оболочки.

Выражение для определения кинетической энергии системы имеет вид:

Т =1 [[Р5

2[[ Я

ди ( дv ( дм

дг

+ ГдГ

дг)

СуСх,

(9)

где р - объемный вес материала, я - ускорение свободного падения.

Перемещения и, V, м представим в виде разложений по В.З. Власову [10]:

V

¿(х, у, t) = Е и1 а )( (X, у); у( X, у, Г) = Е V ^ к (х, у);

к

^(х, у, t) = Е^(0Л(х, у); (г = 1,2,3,..., да; к, Л = 1,2,3,..., п)

(10)

где и(), Ук(^), Ж^) являются искомыми функциями и обобщенными перемещениями в направлении осей х, у и г, а фг(х,у), ук(х,у), /с(х,у) - координатные функции, которые выбираются по виду деформированного состояния системы.

Из условий совместности деформаций в узловых точках контура системы можно принять, что при й = к,

та = Ук(1). (11)

Учитывая соотношение (10), определим минимум функционала (5), используя уравнения Лагранжа:

дL Л дL

ди1 Л ди, t

= 0;

дL Л дL

д¥к Л дУк,

= 0.

(12)

Раскрывая (12), получим систему нелинейных дифференциальных уравнений:

к

Е (п aji - bji)и, -Е с]к V - -О Е aji иг,и = фj;

р(0 *

71 еЫк + ГЫк + еЫк - У1Чк а О

Ук +Есыиг + Qk = фh; (13)

, £О к

(г, у = 1,2,3,..., да; к, Ы = 1,2,3,..., п),

где у1 = 7 /(1 - V ), у = Е / О - отношение модуля упругости Е к модулю сдвига О, значение которого определяется по формуле О = Е /[2(1 + V)] . Величина а* - длина контура поперечного сечения оболочки, на который действует динамическая нагрузка Р^). Нагрузка Qk позволяет учитывать начальное несовершенство оболочки. Коэффициенты уравнений (13) имеют следующий вид:

а л =Я^х 5 йуйх;

х у

ху

еЫс = Ц Лхх йуйх;

ху

йhk = Ц^А fh + ¥к¥ь 5) йуйх;

х у

^ = Ц Jfl^,yyfкyy йуйх;

Ъ]г = Я^,у^,у5 йуйх;

ху

СЫг =\\УКх Рг,у 5 йуйх';

ху

г* = Ц^ь,х^к,х5 йуйх;

ху

И fh,xx А

' к,хх

ху

(14)

J = 53 /12.

В выражениях (14): р = др / дх, (Ру у = др; / ду, Дхх = д2Л/ дх^ • • • .

Получим систему (т + п) дифференциальных уравнений для исследования динамической устойчивости призматических оболочек. В системах уравнений (12) и (13) в функциях иц,

VК, и иа, * к,гг индексы после запятой указывают на дифференцирование по времени г.

Для оболочек средней длины можно принять коэффициенты екк = 0. Правая часть уравнений (13) учитывает физическую нелинейность материала и имеет следующий вид:

ф У = "II (М1, х Фу + ^2Ф;,у) 4у 4х;

*У (15)

фк = I I к " N3,х Vк + N4,хх/к + N5 А,уу " Н6,х/к ) 4У4х,

х У

где Nх = дЫ1 / дх, Nг,xx =52N / дх2, 1 = 1,2...,6.

Функции, находящиеся под интегралами в выражениях (15), имеют вид:

N =-Б1Ьо(у1ех + 0>2еу) - Д2[Ьх{У1Хх + 0,5^) + Ь2(ухех - 0,5у2еу)];

N2 =-ВД^еу + 0>2ех) - ДЖУхХу + 0,5^) + Ь2(ухеу - 0,5У2ех)]; N3 =-0,25В (Ьоеху)- 0,5Д2(Ь1Хху + 0,5Ь2еху);

N4 = ДгШ^гХх + 0,5У2^у) + ^(у^х + 0,5У2еу)] + Д Ь2{УхХх + 0>2^у); N5 = Д^У^у + 0>2^х) + ^(у^ у + 0>2 ех)] + Д1 Ь2(у^у + 0,5у2^);

N6 = Д2 (Ь0^ху + 0,5Ь1еху ) + Д1 Ь2Хху , (16) _ _ _

где В = 12Е2 5; Д} = 3Е2 55/20; Д2 = Е2 53; Е2 = Е1/Е(1+у)2;

2 2 12 Ь0 = у 1(ех + еу ) + у2ехеу + 4 еху;

Ь1 = 2у1 (ех! х + еу! у ) + у2 (ех! у + еу! х ) + еху! ху;

Ь2 =у1(Хх + !2 ) + у 2! х! у +12ху,

1 у 1 2у

у1 =т[-2 +1]; у2 =4[-2 -1].

3 (1 + у)2 3 (1 -у)2

Пример расчета. Исследуем на динамическую устойчивость П-образную оболочку (рис. 2), которая опирается торцами на диафрагмы.

Геометрические параметры оболочки: толщина пластин оболочки 5 = 0,1а; длина оболочки I = 5а. Коэффициент Пуассона материала оболочки у = 0,2; объемный вес материала р = 20кН/м3.

Пусть динамическая нагрузка изменяется по закону:

Р(г) = ^ • г • а* -5, (17)

где 5 - величина, характеризующая скорость изменения сжимающего напряжения.

Рис. 2. Общая схема П-образной оболочки с действующими нагрузками

а)

б)

//w/

0_y_

I

////У////

y

/777У7777

Рис. 3. Кососимметричная форма потери устойчивости П-образной оболочки (а), схема обхода контура поперечного сечения оболочки координатой y (б)

Для данной П-образной оболочки при кососимметричной форме потери устойчивости (рис. 3, a) перемещения можно представить в виде:

u(x,y,t)=иШ(ху); Vx,y,t)=v(íM(x,y); ЧадО=W(t)fí(x,y), (18)

где U¡(t), V¡(f), W¡(t) - обобщенные перемещения в направлении осей x, y и z; 91(x,y), ^1(x,y), f1(x,y) - координатные функции, которые задаем согласно схеме деформирования (рис. 3, a).

Для данной оболочки в случае потери устойчивости по одной полуволне в направлении оси х координатные функции можно записать в виде:

(Pi (x, y) = cpi (y) eos X x; x, y) = (y) sin X x; f (x, y) = f (y) sin X x, (19)

где = л/l, l - длина оболочки.

При составлении функций ф1(у), ^1(y), f1(y) обходим контур поперечного сечения оболочки по часовой стрелке, начиная с левой опоры (рис. 3, б). Эпюры координатных функций представлены на рис. 4. Тогда дифференциальные уравнения динамической устойчивости (13) для данной призматической оболочки принимают следующий вид:

(Y1a11 - ^1) U1 - cnV1 —77 a11U1,tt=ф1;

gG

p(t) * p

(11 el 1 - T1n11)V1 + c11 U1 - d11 VUt + Q1 = ф2.

a G

gG

о

5

5

о

a

а/2

¿к

^00

7 © 1

Г . . . . ^ПГК Г ©

/10)

///// /7777 /7^77 У/7//

Рис. 4. Схема эпюр координатных функций

Если пренебречь продольными колебаниями, можно принять и1 й « 0. Тогда система уравнений (20) сводится к дифференциальному уравнению:

Ри)

Г11 + *

а G

еи - Г1Пи +

Х1а„ - Ьи

VI -р du Уи1 + Ql = Ф, g G

(21)

Правая часть в уравнении (21) определяется по формулам (15). Найдем коэффициенты уравнения (21):

а11 5 dxdy = 0,025а3;

у х

си = 5 dxdy = 0,1а2;

у х

"11 =Я) dxdy = 0,33 • 10

у х

Ц(//12 + ^5) dxdy = 0

Ь11 =^у\у5 dxdy = 0,15а2;

у х

г11 = Я^2х 5 dx dy = 0,1а2;

у х

е* = 11 //12хх dxdy = 0,429/ а7

(22)

у ^^

d11 =

= 0,25а3

Введем следующие обозначения:

Ркр = 0,00713£а2; t * = ^^; С = —; 5 * = 23,81-

кр ' ' Р 5

2 (а*)252 • I •

Р

(23)

& • &

где Ркр. - величина статической критической нагрузки; * - безразмерный параметр времени; £ - безразмерная величина прогиба пластин оболочки; - параметр скорости изменения напряжения.

Используя обозначения (23) в уравнении (21), получим окончательно дифференциальное уравнение для исследования динамической устойчивости П-образной оболочки:

(1 + 0,656t )•С -5

а 2с *2

+ Q = Ф,

(24)

В уравнении (24) правая часть учитывает физическую нелинейность материала, а нагрузка Q - начальное несовершенство оболочки.

Интегрирование дифференциального уравнения (24) выполнено численным методом Рунге-Кутта на ПЭВМ.

1

2

С

11

-3

С

3.6 3.2 2.8 2.4 2 1.6 1.2 0.8 0.4 0

Рис. 5. Графики зависимости прогиба £ от параметра времени *

Таблица 1

Номер графика Степень физической нелинейности Е1/Е Нагрузка Q Скорость изменения напряжения в МПа/сек2 Динамический коэффициент Кд

1 0 10-6 105 « 1,70

2 103 10-6 105 « 1,50

3 104 10-6 105 « 1,43

4 105 10-6 105 « 1,35

5 106 10-6 105 « 1,28

6 0 10-8 105 « 2,0

7 106 10-8 105 « 1,65

8 0 10-6 2^105 « 2,80

9 103 10-6 2^105 « 2,52

10 104 10-6 2^105 « 2,37

11 105 10-6 2^105 « 2,22

12 0 10-8 2-105 « 3,40

13 103 10-8 2^105 « 3,13

14 104 10-8 2^105 « 3,0

15 105 10-8 2^105 « 2,85

По результатам расчета на динамическую устойчивость П-образной оболочки построены графики зависимости прогиба £ от параметра времени t* = Р^)/ Ркр при различных значениях параметров Е]/Е, Q, s (см. рис. 5 и

табл. 1).

Введем понятие динамического коэффициента Кд, который равен отношению динамической «критической» нагрузки к статической критической нагрузке [11]. Динамическую «критическую» нагрузку определяем, исходя из бурного выпучивания оболочки, т.е. резкого возрастания прогиба Динамический коэффи-

тг *

циент Кд равен такому значению параметра времени t, которое соответствует бурному выпучивания оболочки. Например, из графика 3 (рис. 5) видно, что

2 6 8 1 1 2 !

13 1 1

3 1 1 1 1

1 > 1

1 1 1

1 1 1 14 1

4 > 1 10 1 ' 1 1 г

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 / 11 / 1 5 / / *

5 ■'I7 / А * А /

резкое возрастание прогиба Z оболочки наблюдается, когда параметр времени t* = P(t)/Ркр « 1,43. Динамический коэффициент Кд = t* « 1,43. Графики 1, 6, 8,

12 построены без учета физической нелинейности материала оболочки (Е1 = 0), остальные графики - с учетом степени физической нелинейности Ej/E (рис. 5 и табл. 1). Рассмотрим графики 1 и 2 - 5 (рис. 5 и табл. 1). При учете физической нелинейности материала кривая зависимости прогиба от параметра времени Z(t*) смещается влево, динамический коэффициент Кд уменьшается. Таким образом, если материал физически нелинейный, то бурное выпучивание оболочки наступает раньше, по сравнению с оболочкой, имеющей линейную диаграмму деформирования (Е1 = 0).

Из графиков 2 - 5 видно, что с увеличением степени физической нелинейности Ej/E динамический коэффициент Кд уменьшается (рис. 5 и табл. 1) (при Е/Е = 103 : Кд « 1,5 (график 2), при Е/Е = 106 : Кд « 1,28 (график 5)). Таким образом, чем больше степень физической нелинейности материала оболочки, тем меньше динамическая «критическая» нагрузка, т.е. при меньшем значении динамической нагрузки P(t) происходит бурное выпучивание оболочки.

С увеличением скорости изменения напряжения s динамический коэффициент Кд возрастает. Если s увеличивается в 2 раза, то динамический коэффициент Кд возрастает « 1,7 раза (графики 2 и 9, 3 и 10, 4 и 11, 6 и 12).

На динамический коэффициент Кд влияет величина нагрузки Q, которая учитывает начальное несовершенство оболочки. С уменьшением Q динамический коэффициент Кд возрастает (графики 1 и 6, 5 и 7, 9 и 13, 10 и 14, 11 и 15).

Выводы: Разработан метод расчета на динамическую устойчивость пластинчатых систем из физически нелинейных материалов. Получена система нелинейных дифференциальных уравнений для исследования динамической устойчивости пластинчатых систем типа призматических оболочек. В качестве примера выполнен расчет на динамическую устойчивость П-образной оболочки. Рассмотрено влияние таких параметров, как степень физической нелинейности материала оболочки, скорость изменения сжимающего напряжения, начальное несовершенство оболочки, на критерии динамической устойчивости оболочки.

Л и т е р а т у р а

1. Трушин, С.И. Устойчивость нелинейно деформируемых цилиндрических оболочек из композиционного материала при действии неравномерных нагрузок / С.И. Трушин, Е.В. Сысоева, Т.А. Журавлева // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2013. - №2. - С. 3-10.

2. Крысько, В.А. Нелинейная динамика замкнутых цилиндрических оболочек при действии локальных поперечных нагрузок / В.А. Крысько, К.Ф. Шагивалеев // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2010. - №4.- С. 3-11.

3. Иванов, С.П. Колебания и устойчивость стержней из физически нелинейных материалов / С.П. Иванов, А.С. Иванова // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2011. - №3. - С. 3-6.

4. Fujita K., Gotou A. Dynamic stability of an elastic beam subjected to follower forces // ASME 2012. Pressure Vessels and Piping Conference, PVP 2012, Volume 8, 2012, P. 241-249.

5. Shafei E., Kabir M. Z. Dynamic stability optimization of laminated composite plates under combined boundary loading // Appl. Compos. Mater, 2011, 18, № 6, p. 539-557.

6. Deniz A., Sofiyev A. H. The nonlinear dynamic buckling response of functionally graded truncated conical shells // Journal of Sound and Vibration, 2013, № 4, p. 978-992.

7. Wu J., Cheng Q.H., Liu B., Zhang Y.W., Lu W.B., Hwang K.C. Study on the axial compression buckling behaviors of concentric multi-walled cylindrical shells filled with soft materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2012, 60, № 5, p. 803-826.

8. Иванов, С.П. Пластинчатые системы, контактирующие с упругой средой: монография / С.П. Иванов, О.Г. Иванов. - Йошкар-Ола: МарГТУ, 2008. - 164 с.

9. Лукаш, П.А. Основы нелинейной строительной механики / П.А. Лукаш. - M.: Стройиздат, 1978. - 204 с.

10. Власов, В.З. Тонкостенные пространственные системы / В.З. Власов. - M.: Гос-стройиздат, 1958. - 502 с.

11. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Вольмир. -М.: Наука, 1972. - 432 с.

R e f e г e n с e s

1. Trushin, SI, Sysoeva, EV, Juravleva, TA (2013). The stability of nonlinear deformable cylindrical composite shells under the action of non-uniform loads. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, №2, p. 3-10.

2. Krysko, VA, Shagivaleev, KF (2010). Nonlinear dynamics of closed cylindrical shells under the action of local transverse loads. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, №4, p. 3-11.

3. Ivanov, SP, Ivanova, AS (2011). The vibrations and stability of bars with physically nonlinear materials. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, №3, p. 3-6.

4. Fujita, K, Gotou, A (2012). Dynamic stability of an elastic beam subjected to follower forces, ASME 2012 Pressure Vessels and Piping Conference, PVP 2012, Volume 8, p. 241-249.

5. Shafei, E, Kabir, M Z (2011). Dynamic stability optimization of laminated composite plates under combined boundary loading. Appl. Compos. Mater, 18, № 6, p. 539-557.

6. Deniz, A, Sofiyev, AH (2013). The nonlinear dynamic buckling response of functionally graded truncated conical shells. Journal of Sound and Vibration, № 4, p. 978-992.

7. Wu, J, Cheng, QH, Liu, B, Zhang, YW, Lu, WB, Hwang, KC (2012). Study on the axial compression buckling behaviors of concentric multi-walled cylindrical shells filled with soft materials. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 60, № 5, p. 803-826.

8. Ivanov, SP, Ivanov OG (2008). Plate systems, contacting with elastic medium. Yoshkar-Ola: MarSTU, 164 p.

9. Lukash, P A (1958). Fundamentals of nonlinear structural mechanics. Moscow: Stroizdat, 204 p.

10. Vlasov, VZ (1958). Thin-walled space systems. Moscow: Gosstroyizdat, 502 p.

11. Volmir AS (1972). Nonlinear dynamics of plates and shells. Moscow: Nauka, 432 p.

THE DYNAMIC STABILITY OF PHYSICALLY NONLINEAR PLATE SYSTEMS

S.P. Ivanov, A.S. Ivanova

Volga State University of Technology, Yoshkar-Ola

In the article, the technique of dynamic stability analysis of plate systems having the nonlinear diagram of material deformation is presented. The example of calculation of a flat-topped shell is given.

KEY WORDS: dynamic stability, physical nonlinearity, plate systems.

' -0- Hh ^ '