CC BY
35
ФИЗИКА
С.А.Дёмин, Р.М.Юльметьев, О.Ю.Панищев, Н.Т.Замалеева
ПРИЛОЖЕНИЕ НОВОГО МЕТОДА АНАЛИЗА НЕРАВНОИНТЕРВАЛЬНЫХ ВРЕМЕННЫХ СЕРИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ АСТРОФИЗИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
В данной работе представлена оригинальная концепция анализа временных серий с переменным шагом дискретизации. Концепция базируется на идее существования событийной корреляционной функции. Для обнаружения корреляций, проявляющихся в дискретном ряде событий, выполнен анализ временных записей интенсивности рентгеновского излучения двух аккрецирующих астрофизических объектов: GRS 1915+105 и Cygnus X-1. Выявлена ярко выраженная квазимарковская природа интенсивности рентгеновского излучения микроквазара GRS 1915+105 и объекта Cygnus X-1 и преобладание в ней антиперсистентных корреляций. Также мы различаем временные масштабы, персистентные в динамике рентгеновского излучения астрофизических объектов. Полученные результаты существенно расширяют представление о вероятностных событийных зависимостях (event-by-event correlations), возникающих в сложных временных системах.
1. Введение. Регистрация временных серий с постоянным и переменным шагами дискретизации
В настоящее время для исследования динамических особенностей сложных систем активно используются разнообразные статистические методы анализа временных серий (time-series analysis). Среди многообразия этих методов можно выделить следующие: 1) совокупность методов обнаружения корреляционной зависимости (корреляции) между случайными величинами и признаками, а также измерение тесноты и направления связи между этими признаками, установление аналитического выражения (формы) связи или вида зависимости между величинами - корреляционный и регрессивный анализы; 2) исследование значимости различия между средними двух (или нескольких) выборок, а также поиск фиксированных или переменных кова-риантов - дисперсионный и ковариационный анализы; 3) поиск эффективного метода описания сложных систем на основе их фрактальной природы (самоподобия) или, другими словами, отыскание простых закономерностей и четких законов, определяющих порядок в структуре сложных систем - фрактальный анализ; 4) представление временного сигнала в виде совокупности периодических (базисных) функций и анализ локальных возмущений - традиционный (спектральный) Фурье-анализ и вейвлет-анализ и т.д. Указанные методы находят широкое применение: в задачах кодирования и обработки сигналов и изображений в акустике, сейсмологии, медицине (речь, рентгенограммы внутренних органов, спутниковые изображения); при распознавании образов; при изучении отдельных свойств кристаллов и нанообъектов; для анализа, исследования, диагностики физиологических и патологических про-
цессов, а также текущих состояний в организме человека; при исследовании и обнаружении астрофизических объектов и т.д.
Как правило, при использовании вышеупомянутых методов анализа осуществляется обработка дискретных экспериментальных серий. При этом регистрация какого-либо показателя или параметра исследуемого объекта выполняется через постоянные промежутки времени. Такие временные серии в дальнейшем мы будем называть равно интервальными. Однако существует ряд сложных систем и природных объектов, для которых регистрация экспериментальных параметров и характеристик в силу некоторых причин не может быть осуществлена с постоянным шагом дискретизации. Это связано с физической природой исследуемой системы или техническими ограничениями регистрирующей аппаратуры. К таким системам относятся: сейсмическая активность различных локализованных участков земной коры, динамика интенсивности излучения разнообразных астрофизических объектов, различные физиологические показатели живых систем, экономические и экологические показатели, а также некоторые социальные и биологические модельные системы [1-3]. Регистрация временных вариаций динамических показателей и переменных для таких систем осуществляется через интервалы разной длины, то есть запись временных серий осуществляется с переменным шагом дискретизации (в дальнейшем подобные временные серии мы также будем называть неравноинтервальными). Такая регистрация позволяет осуществить запись всего спектра временных вариаций динамических переменных и показателей сложных систем.
2. Новый метод анализа временных серий с переменным шагом дискретизации
В этой работе мы представляем новый метод анализа неравноинтервальных временных серий. Развиваемый метод основан на статистической теории дискретных немарковских случайных процессов [4, 5]. В ней используется теоретико-функциональный формализм проекционных операторов динамических векторов состояний сложной системы.
Характерная особенность большинства традиционных методов анализа временных серий заключается в повышении степени достоверности извлекаемой информации при увеличении статистики (набора) регистрируемых параметров. Усреднение неравноинтервальных экспериментальных данных приводит к неизбежной потере определенного набора данных, а значит и части информации, а также к большим погрешностям полученных результатов. Предлагаемый метод позволяет осуществлять непосредственную обработку всего спектра "сырых" неравноинтервальных данных. Главная идея данного метода заключается в переходе от описания временных корреляций и флуктуации в обычной шкале реального времени к анализу динамики корреляций и флуктуации, проявляющихся в дискретном ряде событий. При этом временные сигналы, продуцируемые сложными системами, фиксируются в событийном представлении.
2.1. Основные понятия и положения теории дискретных немарковских случайных процессов, приложенной к анализу дискретных временных серий с неравноинтервальным шагом дискретизации
Представим временные вариации экспериментально измеряемого параметра или показателя сложной системы в виде последовательности событий:
Е = }, (1)
где ^.- событие, зафиксированное в момент времени ti, i =1,...,N-номер события. Среднее значение ^Е^, флуктуации 5£,ь,абсолютная дисперсия о2 для множества N-событий можно записать в следующем виде:
Е=N =4-Е, = N Р4' - Е )2
Определим корреляционную зависимость в дискретном ряде событий следующим образом:
N-m
Т~2 Z 0^г+ m (2)
) i=1
здесь n=mAn, An=1 есть шаг дискретизации. Введенная таким образом функция а(п) представляет собой "событийную" корреляционную функцию (СКФ). СКФ обладает свойствами нормировки и ослабления корреляций: lim a(n) = 1, lim a(n) = 0 . Для описания эволюции дискретной последова-
П—>1 n—w
тельности событий воспользуемся конечно-разностным уравнением движения Лиувилля:
мм=i
An
где 4(n +1) = U(n +1, n)4i (n), U(n +1, n) - "событийный" оператор эволюции. Эволюционный оператор U (n +1, n) и квазиоператор Лиувилля L(n,1) связаны между собой следующим образом: L(n,1) = (iAn)-1 (U(n + 1, n) -1) .
Представим совокупность значений случайной переменной 5^ в виде k-компонентных векторов состояния системы в линейном Эвклидовом пространстве, где
а) вектор начального состояния исследуемой сложной системы:
A1 ={^1,^2,.,^}, (4а)
б) в виде вектора конечного состояния системы представим следующий вектор:
Am + k {t?m ,4m + 1,“.,4m + k }, (4б)
где 1 < k < N.
L(n,1Wn),
(3)
in )=
m
1
Используя стандартное выражение для определения скалярного произведения векторов, а также соотношения (2, 4а, 4б) можно переписать нормированную событийную корреляционную функцию в более компактном виде:
,, (4а)Аг,(«)}
а(П) /II |Л (5)
(Ка)|)
Здесь скобки подразумевают суммирование по дискретному ряду событий по нижнему индексу векторов состояний.
2.2. Вывод цепочки конечно-разностных уравнений немарковского типа для анализа временных серий с переменным шагом дискретизации
Перепишем уравнение эволюции случайной переменной Е в виде конечно-разностного уравнения Лиувилля (3) для вектора конечного состояния:
АЛА (п) = ¿Д п,1) л:+к п (6)
Ап
Введем проекционный оператор П, который проектирует конечный вектор Л:+ к (п) на начальный вектор Л1к (I) , и ортогональный проектор Р, который выделяет ортогональное направление. Операторы П и Р обладают следующими свойствами: П = Л\ (1)^Л\ (I) ^|Л^ (1)| ^, П2 = П, Р =1 - П, Р2=Р,
ПР = РП = 0. Они являются идемпотентными и взаимно дополнительными. Используя технику проекционных операторов, выполним расщепление векторного конечномерного пространства А (к) на два взаимно ортогональных пространства:
Л(к) = Л'(к) + Л" (к), Л'(к) = ПЛ(к), Л" (к) = РЛ(к),
Это позволяет расщепить и конечно-разностное Лиувилля (6) на два уравнения во взаимно ортогональных подпространствах:
АЛ(п) = ¿4 Л' (п) + ¿4 Л "(п), (7а)
Ап
АЛ (п) = ¿4 Л' (п) + ¿4 Л "(п), (7б)
Ап
здесь §г] = пгШ, П|=П, П2=р представляют собой матричные элементы квазиоператора
Лиувилля. Решая последовательно пошагово уравнение (76) и подставляя решение в правую часть уравнения (7а), получаем замкнутое конечноразностное кинетическое уравнение:
АЛ' (п + т)
■ ¿4Л'(п + т) + ¿4 {| + ¿4} Л"(п) ■
Ап
т ( V (8)
-^12 Е11 + ¿^22) ^^21Л' (п + [т - 3 ])
3=1
Учитывая проектирование, приводящее к появлению СКФ, и свойства идемпотентности проекционных операторов, получаем конечно-разностное уравнение немарковского типа для исходной событийной корреляционной функции:
= Л°(п) -АиЛ! ¿МД])а(и - ]). (9)
Ап ]=1
Если учесть, что Дп=1, то решение уравнения (9) можно представить в
т
виде: а(п +1) = {Д + 1}а(и) - Л1 ^М1 (j)а(п - j).
з =1
В уравнении (9) Д = ^А1к ^|4| ^ представляет собой собственную частоту квазиоператора Лиувилля,
Л1 = г(А1к(1))?12&21 А\())^А\\ ^ - релаксационный параметр сразмерно-стью квадрата частоты, функция памяти первого порядка
М1 (3) = (А1 (1^2 { + ^22 } ^^21А1 й)/(А1 (1))^12^21А1 ()) описывает эффекты памяти в линейной шкале событий. Последовательно повторяя вышеуказанную процедуру, можно записать следующее конечно-разностное кинетическое уравнение для нормированной событийной функции памяти первого порядка, а также функций памяти более высоких порядков 5 > 1. Для упрощения данной процедуры можно также воспользоваться процедурой ор-тогонализации Грамма-Шмидта [6]:
Ж ,ЖГ) = в,^Ж,\!),
где 5к,р - символ Кронекера. Теперь можно получить рекуррентную формулу Ж, = Ж/и) для нахождения новых ортогональных динамических переменных:
ж0 = А1, ж ={£-4^0, W2 4^-лК - л 1^0,...
Следуя соотношениям, указанным выше мы можем ввести последовательность проекционных операторов П и набор взаимно дополнительных проекторов Р8 которые обладают следующими свойствами:
П. = |Ж,)(Ж,|/(|Ж,|2), п; = П,, Р, = 1 - П,, Р; = Р,,
П,Р, = Р5 П5 = 0 П, П р = Я, р П, , Р5Рр = Я,, рР, . Каждая пара проекционных операторов П,, Р, расщепляет соответствующее пространство векторов состояний Ж, на два взаимно дополнительных подпространства: Ж, = Ж, + Ж,, Ж, = П,Ж,, Ж" = Р,Ж Следуя проекционной технике, для
новых ортогональных векторов состояний сложной системы получаем цепочку связанных конечно-разностных уравнений немарковского типа для нормированных событийных корреляционных функций , — го порядка:
= ¿MM - л«л2XM2(j)Mi(n - j(10а)
j=1
= ¿J+1 Ms (n) - AnAJ+1XX+1 (j)Ms(n - j). (106)
Дя j=1
Здесь введены нормированная событийная функция памяти первого порядка M1 (я) = (w1 (1){ + *Д2} W1 (n)^y^|W (1)|2 У функция памяти s-го порядка M s (я) = (ws (1){l + iLs) } Ws (n^ j ^|Ws (1)|2 собственная частота квазиоператора Лиувилля Äs+1 = i(WsLWs\j/|W5Г/, релаксационный параметр A„1 = ^W,J6W,+^(|W,|
В данной работе будет также использован параметр немарковости, представленный в спектральном виде. В дискретной шкале событий он будет иметь вид:
1
‘^=ЬмГ’ (11)
где jU1 (у) есть спектр мощности событийной корреляционной функции памяти i-го порядка:
Г N 1 2 Г N 1 2
^(v) = ^AnXM1(n)cos(2nnv)> ,...,- An^Mt(n)cos(2nnvH . (12)
Следует отметить, что полученные конечно-разностные уравнения являются аналогом кинетических уравнений Цванцига-Мори [7-10], широко используемых в современной статистической физике. Представленная выше техника позволяет выполнять анализ "событийных" корреляционных зависимостей, проявляющихся во временных сериях, регистрируемых с переменным шагом дискретизации.
3. Сравнительный анализ результатов обработки равноинтервальных и неравноинтервальных временных серий на примере исследования интенсивности рентгеновского излучения астрофизических объектов
Для апробации нового метода мы провели сопоставительный анализ результатов, полученных при обработке временных серий с постоянным и изменяющимся шагами дискретизации. Анализ был выполнен для исследования стохастической динамики интенсивности рентгеновского излучения двух аккрецирующих астрофизических объектов - GRS 1915+105 и CygnusX-1 (CygX-1, Лебедь Х-1) [11].
Двойная система GRS 1915+105 находится в созвездии Орла вблизи основной плоскости Галактики, примерно в 40000 световых годах от Солнца. Впервые она была открыта в 1994 году российский космической обсерваторией "Гранат" (GRS = GRanat Source), запущенной 1 декабря 1989 года. Микроквазар GRS 1915+105 представляет собой рентгеновскую двойную систему, состоящую из звезды-донора fOnm. (М) = 9.5±3.0М0) с массой 1,2±0,2 М0, которая вращается вокруг компактного массивного объекта -черной дыры (М = 14±4 М0). Лучевая скорость оптической звезды изменяется с периодом Р =33,5±1,5 суток. Орбитальная скорость, с которой звезда движется вокруг черной дыры, составляет около 140±15 км/с. На черную дыру происходит падение вещества маломассивной звезды с образованием горячего аккреционного диска, излучающего в рентгеновском диапазоне [12]. Отличительная черта GRS 1915+105 состоит в высокой светимости аккреционного диска, близкой к так называемой эддингтоновской светимости, при которой давление излучения на падающее вещество начинает превосходить его притяжение к центральному объекту. У других микроквазаров светимость диска на порядок ниже эддингтоновской, поэтому движением вещества в диске управляют гравитация, газовое давление и вязкость; их взаимодействие делает диск термически устойчивым. Но в аккреционном диске GRS 1915+105 доминирует давление излучения, поэтому его центральная часть квазисферическая, а движение вещества - неустойчивое. Возможно, этим объясняются сильные тепловые флуктуации в диске, проявляющиеся в мощных рентгеновских вспышках, а также формирование быстрых газовых струй (джетов). Предполагается также, что горячая рентгеновская двойная система GRS 1915+105 содержит черную дыру, которая очень быстро вращается [13]. Компактный объект, входящий в состав жесткого рентгеновского транзиент-ного источника GRS 1915+105, самый тяжелый из известных в Млечном Пути черных дыр звездного происхождения.
Cyg X-1 - мощный источник рентгеновского излучения с довольно жестким спектром. Его излучение представляет собой нерегулярную последовательность во времени импульсов различной мощности и длительности (вплоть до миллисекунд). Его оптическим компонентом является голубой сверхгигант 8,84m видимой звездной величины - звезда HD 226868. Голубой супергигант редкого спектрального типа 09.7 lab в ~18 раз больше по размерам и в 33±9 раза тяжелее Солнца. Температура поверхности около 31000 К. Видимая яркость оптической звезды невелика лишь из-за того, что она удалена от нас на расстояние около 6000 световых лет. Спектральные линии звезды меняются вследствие эффекта Доплера с периодом Р = 5,6 суток, что соответствует орбитальному периоду двойной системы. По кривой лучевых скоростей можно найти функцию масс оптической звезды (f'опт(М)=0.24±0.01 MQ), которая позволяет установить нижний предел и массу невидимого объекта - черной дыры как ~10 (16±5) масс Солнца [14]. Из атмосферы оптического сверхгиганта вещество медленно перетекает в направлении черной дыры. Вследствие того, что
система из двух тел вращается вокруг общего центра, падающий по направлению черной дыры газ, приближается к ней не прямо, а как бы "накручиваясь" вокруг нее, т.е. движется по спиральным траекториям. В конечном итоге вокруг черной дыры образуется плоский газовый диск. Его внутренние слои из-за столкновений атомов и ионов разогреваются до температуры в десятки и сотни млн. К. Высвечивание этого газа дает эффект рентгеновского источника.
В целом вышеуказанная процедура анализа временных серий с переменным шагом дискретизации заключается в вычислении корреляционной функции и функций памяти более высокого порядка и их спектров мощности, ортогональных динамических переменных, частотной зависимости параметра немарковости в линейной шкале событий.
На рис. 1а,Ь представлена временная зависимость интенсивности рентгеновского излучения микроквазара GRS 1915+105 (а) и Cyg X-1 (b), усредненная в течение одного дня. Экспериментальные данные регистрировались в период с 1 янв. 1996 г. по 1 янв. 2006 г.
На графиках заметно наличие квазипериодических структур, появление которых связано с усреднением экспериментальных данных. На рис. lc,d приведена неравноинтервальная ];|. ,
временная запись интенсивности рентгеновского излучения микроквазара GRS 1915+105 (с) и объекта Лебедь X-1 (d), представленная в виде последовательности событий. Экспериментальные данные фиксировались в течение периода, указанного выше. Статистика составила 3155 и 3357 точек (расхождения связаны с погрешностями регистрации), 49355 (в среднем, интервал между двумя последовательными событиями составил 106 мин.) и 59748 точек (в среднем интервал между двумя последовательными событиями составил 88 мин.) для объектов GRS 1915+105, Cyg X-1, соответственно.
3.1. Микроквазар GRS 1915+105
На рис. 2 представлен спектр мощности исходной временной корреляционной функции n0(v)(ä) и трех функций памяти более высокого порядка ^i(v) (b,c,d) для усредненной по дню интенсивности рентгеновского излучения GRS 1915+105. Для более детального анализа все графики приведены в двойной логарифмической шкале. На всех графиках в определенных диапазонах частот v = 2.3 *10-2 + 2.9 *10-2 f.u. и v = 5.9 *10-2 + 7.1 *10-2 f.u. обнаруживаются группы спектральных всплесков (они указаны на графике
стрелками). Данные частотные диапазоны соответствуют временным интервалам т = 34.5^43.5 дней и т = 14^16.9дней соответственно (1f.u.= 1/ т, т = 1 день). Первый временной интервал связан с орбитальным периодом обращения оптической звезды в двойной системе, который составляет Р =33,5±1,5 суток. Второй период согласуется с периодом т = 12^17 дней, обнаруженным в работе [15], и является персистентным для интенсивности рентгеновского излучения микроквазара GRS 1915+105. Спектр мощности исходной ВКФ juo(v)
~1/v(2H+1\ где Н - экспонента Херста. Отметим, что временные последовательности, для которых Н больше 0.5, относятся к классу персистентных, то есть сохраняющих существующую тенденцию. Чем больше Н, тем сильнее тенденция. В таких последовательностях обнаруживаются эффекты дальнодействующей памяти. При Н=0.5 анализируемый временной ряд отражает случайное блуждание (случай броуновского движения). Случай Н < 0.5 характеризуется антиперсистентными корреляциями. Чем меньше Н, тем больше степень выраженности таких корреляций. В нашем случае для спектра мощности исходной ВКФ показатель Херста составляет Н ~ 0.21 0.23. Таким образом, в исследуемой динамике интенсивности рент-
геновского излучения микроквазара GRS 1915+105 проявляются отрицательные или антиперсистентные корреляции. С увеличением порядка функции памяти показатель фрактальности резко снижается.
с)
v [1 / т] Рис. 3
На рис. 3 представлена частотная зависимость первых трех точек параметра немарковости в! (V), 1 = 1 (а),2 (Ь),3 (с) для равноинтервальной времен-
ной серии. Наибольший интерес вызывает значение первой точки параметра немарковости на нулевой частоте е1 (0).
Параметр е1 (0) содержит информацию о совокупности дальнодейст-вующих корреляций, которые проявляются во временном сигнале. Увеличение данного параметра соответствует усилению марковских эффектов, т.е. эффектов, при которых обнаруживается кратковременная статистическая память. Значения параметра немарковости е1 (0) ~ 1 соответствуют немарковским процессам, т.е. процессам, при которых проявляется дальнодействую-щая память. Квазимарковские процессы, т.е. процессы, с "промежуточной" памятью, занимают в этой классификации промежуточное место. В нашем случае имеем, Si (0) = 5.16, что соответствует квазимар-ковскому сценарию. На всех графиках в частотном диапазоне
v = 5.9 *10-2 + 7.1 *10-2 f.u. обнаруживается группа спектральных пиков.
На рис. 4 приведен
спектр мощности событийной корреляционной функции ^o(v) (а) и трех функций памяти более высокого порядка р^)(а) (b,c,d), представленный в дважды-логарифмиче-ской шкале. На всех частотных зависимостях в диапазонах
v = 1.8 *10-3 + 2.3 *10~3 f.u. (т = 32 + 40.9 дней) и
v = 5 *10-3 + 6.1 *10-3 f u. (Tt = 12 + 14.7 дней) обнаруживаются спек-
тральные всплески (они указаны стрелками). Показатель Херста для частотной зависимости исходной событийной корреляционной функции составляет Н ~ 0.25 ^ 0.29.
Данные расчеты согласуются с результатами, полученными в работе [16], и определяют антиперсистентные корреляции в интенсивности рентгеновского излучения микроквазара GRS 1915+105. Подобное фрактальное поведение наблюдается в спектрах мощности функций памяти (b,c,d) в широком интервале средних частот. В области низких частот v = 1.62 * 10-4 f.u., v = 2.81 * 10~4 f и. можно обнаружить два значительных спектральных пика. В целом можно сделать вывод о том, что событийное представление экспериментальных данных приводит к уточнению полученных качественных и количественных оценок и показателей.
V [1 / Ап]
Рис. 4
Рис. 5
На рис. 5 представлена частотная зависимость первых трех точек параметра немарковости в! (v), i = 1 (а),2 (b),3 (с) для временной серии с переменным шагом дискретизации. Значение параметра в0 (0) = 13.19 определяет ква-зимарковские эффекты в динамике интенсивности рентгеновского излучения микроквазара GRS 1915+105. В частотной зависимости первой точки параметра немарковости, представленной в дважды-логарифмической шкале (небольшое окошко на графике (а)), на частотах, аналогичных указанным на рис. 4, обнаруживаются спектральные всплески.
Таким образом, при усреднении экспериментальных данных можно говорить об утрате части извлекаемой информации, в результате чего исследуемая динамика становится более регулярной и робастной, в ней начинают преобладать немарковские эффекты. Более достоверная информация возникает при анализе динамических особенностей в дискретном ряде событий.
3.2. Cygnus X-1
На рис. 6 приведен спектр мощности ВКФ ^(уДа) и трех функций памяти более высокого порядка fr(v)(ä) (b,c,d) для усредненной интенсивности рентгеновского излучения аккрецирующего астрофизического объекта Cyg Х-1. Спектры представлены в дважды-логарифмической шкале.
Показатель Херста для спектра мощности исходной ВКФ
(а) равен Н~0.31^0.33. В равноинтервальной динамике интенсивности рентгеновского излучения объекта Лебедь Х-1 проявляются антиперсистентные корреляции. Однако степень их выраженности меньше чем в случае микроквазара GRS 1915+105. На всех зависимостях в области низких v = 1.2 *10-3 + 3.5 *10-3 f.u. обнаруживаются явно выраженные спектральные пики.
Этот диапазон частот соответствует временному интервалу т = 285 833 дней. Подобный период обнаружили авторы в работе [16], которые определяют его персистентным (устойчивым) в динамике интенсивности рентгеновского излучения объекта Cygnus Х-1. На спектрах мощности второй и третьей функций памяти на частоте V = 0.18/и. (т = 5.56 дней) и у=0.19/.и. (т = 5.26 дней) отчетливо проявляются всплески (они указаны стрелками). Данные всплески соответствуют орбитальному периоду (Р=5.6 суток) обращения двойной системы вокруг общего центра.
а) 1°’ -V \ láiit : С) Л
Г 1 1 1СГ* V \Jf0 У
áiái. 05 О 05 *0
V [1/ X]
Рис. 7
На рис. 7 представлена частотная зависимость первых трех точек параметра немарковости Sj (v), i = 1 (а),
2 (b), 3 (с) для усредненной интенсивности рентгенов-
ского излучения.
Значение параметра s1 (0)=17.44 определяет ква-зимарковские эффекты (т.е. эффекты с промежуточной по времени существования памятью) в динамике интенсивности рентгеновского излучения Cygnus X-1. На частотных зависимостях второй
(b) и третьей (с) точек параметра немарковости обнаруживаются спектральные всплески (указаны стрелками), которые соответствуют периоду изменения спектральных линий оптической звезды в двойной системе Cyg X-1 вследствие эффекта Доплера. Значение параметра s1 (0) указывает на более значительную степень проявления марковских эффектов в динамике интенсивности рентгеновского излучения CygX-1 по сравнению с микроквазаром GRS 1915+105.
На рис. 8 представлен спектр мощности событийной корреляционной функции no(v)(á) и трех событийных функций памяти более высокого порядка (b, c, d). Частотная зависимость СКФ носит ярко выраженный фрактальный (линейный) характер. Показатель Херста равен H ~0.34 ^ 0.36.
Самоподобное поведение обнаруживается в частотных зависимостях функций памяти в области средних частот. На частоте V = 0.011/.и. появляется спектральный всплеск, соответствующий орбитальному периоду двойной системы. В области сверхнизких частот проявляются спектральные пики. Максимальный пик соответствует временному интервалу тt = 407 дней (т = (1Л7) * т, где т - средний интервал между двумя последовательными событиями »7 = 88 мин.=0.062 дн.).
ь) 2г£)___________
1.5
а5
- 01--------------------------■-
О 0.2 04 О 02 04 О 0-2 0.4
V [1 / т]
Рис. 9
На рис. 9 представлена временная зависимость первых трех точек параметра немарковости в случае событийного представления неравноинтервальных экспериментальных данных интенсивности рентгеновского излучения аккрецирующего астрофизического объекта Cyg Х-1. Значение первой точки параметра немарковости на нулевой частоте составляет 31.81 (значение отмечено на графике кружком). Таким образом, при неравно-интервальной регистрации интенсивности рентгеновского излучения объекта Лебедь Х-1 можно обнаружить усиление марковских эффектов и кратковременной статистической памяти по сравнению с результатами, полученными для усредненной в течение дня временной записи.
4. Заключение. Преимущество нового метода анализа временных серий с переменным шагом дискретизации
В данной работе представлен новый метод анализа неравноинтервальных временных серий. Развиваемый метод базируется на представлении о событийной корреляционной функции. СКФ и связанные с ней функции памяти выступают как: новые физические характеристики, определяющие вероятностные взаимосвязи внутри последовательности событий. Главная идея нового метода заключается в переходе от описания корреляций и флуктуации в обычной временной шкале к описанию динамики корреляций в линейной шкале событий.
Полученные в данной работе результаты указывают на то, что информация, извлекаемая из усредненных временных сигналов интенсивности рентгеновского излучения астрофизических объектов (GRS 1915+105, Cygnus Х-1), заметно искажается. Усреднение экспериментальных данных сглаживает фиксируемые временные вариации регистрируемых параметров, что приводит к появлению относительной регулярности и усилению немарков-
ских эффектов. Для получения более достоверной и детальной информации о природе исследуемого объекта необходимо учитывать весь спектр экспериментальных данных. Новый метод анализа временных серий с изменяющимся шагом дискретизации позволяет детально учитывать все регистрируемые показатели.
Сопоставительный анализ временных записей интенсивности рентгеновского излучения с постоянным и переменным шагами дискретизации указывает на проявление промежуточной по времени существования статистической памяти, квазимарковских эффектов, антиперсистентных (отрицательных) корреляций в динамике микроквазара GRS 1915+105; усиление марковских эффектов и эффектов кратковременной памяти, снижение степени проявления антикорреляций во временной серии аккрецирующего астрофизического объекта Cygnus X-1. Представленный анализ обнаруживает также временные интервалы, которые являются персистентными (устойчивыми) в интенсивности рентгеновского излучения астрофизических объектов. В спектрах мощности ВКФ, СКФ и функций памяти более высокого порядка также проявляются временные интервалы, связанные с периодами орбитального движения в рассматриваемых рентгеновских двойных системах.
Таким образом, наша работа демонстрирует определенные преимущества статистического анализа случайных физических процессов в событийной шкале.
В завершении мы хотим отметить, что представленная работа является лишь первым шагом по созданию оригинальной концепции анализа корреляций, проявляющихся в шкале событий. Можно надеяться, что данная работа станет основой для исследования временных сигналов, продуцируемых сложными системами, регистрация которых в силу ряда причин не может быть осуществлена через равные промежутки времени.
Настоящая работа поддержана фондами: грант РФФИ №05-02-16639-а, грант Федерального агентства по образованию Министерства образования и науки РФ.
Литература
[1] Abe S., Suzuki N. Aging and scaling of earthquake aftershocks // Physica A 332 (2004) 533-538.
[2] Tirnakli U., Abe S. Aging in coherent noise models and natural time // Phys. Rev. E 70 (2004) 056120-1-4.
[3] Abe S., Sarlis N.V., Skordas E.S., Tanaka H.K., Varotsos P.A. Origin of the Usefulness of the Natural-Time Representation of Complex Time Series // Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 170601-1-4.
[4] Yulmetyev R., Hanggi P., Gafarov F. Stochastic dynamics of time correlation in complex systems with discrete time // Phys. Rev. E 62 (5) (2000) 6178-6194.
[5] Yulmetyev R., Hanggi P., Gafarov F. Quantification of heart rate variability by discrete nonstationary non-Markov stochastic processes // Phys Rev. E 65 (2002) 0461071-15.
[6] Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics. I. Functional Analysis // Academic Press, New York and London, 1972.
[7] Zwanzig R. Ensemble method in the theory of irreversibility // J. Chem. Phys. 3
(1960) 106-141.
[8] Zwanzig R. Memory effects in irreversible thermodynamics // Phys. Rev. 124
(1961) 983-992.
[9] Mori H. Transport, collective motion and brownian motion // Prog. Theor. Phys. 33 (1965) 423-455.
[10] Mori H. A continued fraction representation of the time correlation functions // Prog. Theor. Phys. 34(1965)399-416.
[11] Экспериментальные данные доступны на интернет-ресурсе по ссылке: http://xte.mit.edu/lcextrct/asmsel.html
[12] Greiner J., Cuby J.G., McCaughrean M.J. An unusually massive stellar black hole in the Galaxy // Nature 414 (2001) 522-525.
[13] Сурдин В.Г. Самая массивная черная дыра звездного происхождения // Природа 6 (2002) 13-15.
[14] Гнедин Ю.Н. Небо в рентгеновских и гамма-лучах // Соросовский Образовательный Журнал 5 (1997) 74-79.
[15] Greenhough J., Chapman S.C., Chaty S., Dendy R.O., Rowlands G. Identification of a 12-17 d time-scale in X-ray observations of GRS 1915+105 //Mon. Not. R. Astron. Soc. 340 (2003) 851-855.
[16] Greenhough J., Chapman S.C., Chaty S., Dendy R.O., Rowlands G. Characterising anomalous transport in accretion disks from X-ray observations // A&A 385 (2002) 693-700.
