CC BY
7Приложение логик с векторной семантикой к описанию случайных событий и оценке риска1
Л.В. Аршинский
Восточно-Сибирский институт МВД России, г. Иркутск
Аннотация
На примере теории вероятностей исследуется вопрос о влиянии неопределенности и противоречия в логике предметной области на соответствующий формализм. Проблема рассматривается с позиции векторных логик, описывающих эту ситуацию. Показано, что вероятность в этом случае можно представлять векторной величиной. Затронут вопрос применимости векторной вероятности к прикладным задачам, включая анализ риска.
Ключевые слова:
векторная логика, векторная истинность, теория вероятностей, неопределенность, противоречие, риск
Application of Vector Semanics Logics for Description of Random Events and Risk Evaluation2
L.V. Arshinskiy
East-Siberian Institute of MIA of Russia, Irkutsk
Abstract
This essay investigates how incompleteness and contradiction in logic of phenomenon influence its mathematical model (in case of the theory of probabilities). This problem is considered from the point of view of vector logic, which is used to describe this situation. In this case, the random events (elementary events) are evaluated with both positive and negative point of view. It is shown, that one can describe probability as a vector with positive and negative components. The question of applying of probability vector for practical tasks (including risk analysis problems) is touched.
Key words:
vector logic, vector of truth, probabilistic theory, uncertainty, contradiction, risk
1 Первоначальный вариант работы депонирован в ВИНИТИ (Приложение логик с векторной семантикой к описанию случайных событий / Аршинский Л.В.; ВСИ МВД России. — Иркутск, 2004. — 35 с. — Рус. — Деп. в ВИНИТИ 06.08.2004, №1376-В2004)
2 Previous version of the paper was published in VINITI (Prilozeniye logik s vectornoi semantikoi k opisaniyu sluchainikh sobitiy / Arshinsky L.A. VSI MVD Rossii. — Irkutsk, 2004. — 35 s. — Rus. — Dep. VINITI 06.08.2004, №1376-V2004)
П
HP
Содержание
Введение
1. Вероятность простого события
2. Вероятность сложного события
3. Свойства нестрогих вероятностей
4. Меры над нестрогими вероятностями
5. Сравнение нестрогих вероятностей
6. Задача о прогнозировании результатов выборов
7. Нестрогая вероятность и анализ риска Заключение
Литература
Введение
Последние десятилетия характеризуются большим интересом исследователей к неклассическим логическим исчислениям и их приложениям к различным областям.
Одним из примеров таких исчислений являются многозначные логики с векторной семантикой [1, 2], в которых Истина и Ложь рассматриваются как не зависящие друг от друга компоненты (аспекты) вектора истинности. Взгляд на истинность как на векторную величину целесообразен, когда Истина и Ложь определяются различными группами не зависящих друг от друга свидетельств с различной мерой значимости («надежности») и т.д. Иначе говоря, когда недостаток или отсутствие аргументов (свидетельств) в пользу одного из этих аспектов не может автоматически служить аргументом в пользу другого [1, 2]. Как правило, это неопределенные и/или противоречивые явления. Представляется, что в логиках данного типа наиболее полно реализован «принцип свободы от логических принципов», имея в виду принципы противоречия и исключенного третьего.
Логики с векторной семантикой, в которых истинность описывается двухкомпонентным вектором с аспектами Истина и Ложь, названы К^-логиками.
Представление о разделимости Истины и Лжи может затрагивать любые виды фактов, событий и явлений, в т.ч. и случайного характера. Целью данной работы является приложение векторных логик к случайным событиям, методом исследования которых обычно служит теория вероятностей. При этом оказывается, что векторизация истинности приводит к векторизации самой вероятности с выделением в ней двух компонентов: вероятности совершения и вероятности несовершения событий, которые в силу предположения о независимости Истины и Лжи также не зависят друг от друга. Несмотря на су-
ществование различных трактовок в определении понятия вероятности [3], мы будем исходить из общепринятого ныне аксиоматического подхода [4].
В своей основе аксиоматика теории вероятностей опирается на ряд базовых положений, в частности:
1) всякое случайное событие А происходит постольку, поскольку происходит какое-либо элементарное событие ю из универсума (полной группы) элементарных, попарно несовместимых событий;
2) с каждым элементарным событием ю можно связать некое число р(ю) е [0, 1], удовлетворяющее ряду свойств и называемое вероятностью этого элементарного события;
3) всякое элементарное событие является благоприятным или неблагоприятным с точки зрения события А;
4) вероятность события А есть сумма вероятностей элементарных событий благоприятных для А.
Перечисленные положения приведены затем, чтобы обратить внимание на позиции, выделенные курсивом. Их анализ и стал предметом данной работы.
1. Вероятность простого события
Согласно аксиоматическому подходу, вероятность произвольного случайного события А есть сумма вероятностей элементарных событий ю, составляющих А. Обозначая полную группу (универсум) всех возможных элементарных событий за О, вероятность события А запишем как
Р( А) =Х Р(®), (1)
юеА
где А с О —(при необходимости суммирование заменяется интегрированием).
Посмотрим на факт благоприятности/небла-гоприятности более внимательно. Фактически, оценивая благоприятность некоторого ю для А, мы формулируем утверждение
F(®, A) = «Элементарное событие ю благоприятно для A».
(2)
В рамках классической логики подстановка конкретных констант в предикат ¥(ю, A) дает либо 1-Истину, либо 0-Ложь («Tertium non da-tur»). Обозначая истинность соответствующего утверждения ¥(ю, A) в виде ||¥(ю, A)||, мы можем переформулировать выражение (1) как:
Р( A) = SI F (®’ A )| p(ffl),
(3)
где суммирование уже идет по всему универсуму О (здесь также суммирование может быть заменено интегрированием).
Рассмотрим утверждение (2) с позиции векторных логик (точнее, двухаспектных векторных логик с аспектами Истина и Ложь, которые называем Кт¥-логиками [5]). В этих логиках истинность ||¥(ю, А)|| представляется вектором
||¥(ю, А)|| = (р + (ю, А);¥ ~ (ю, А^, (4)
где ¥ + (ю, А) е[0,1] — мера Истины, а
¥ - (ю, А) е [0,1] — мера Лжи утверждения (2). Подставляя (4) в (3), получаем:
Р(А) = ( £ ¥ + (ю, А)р(ю); £ ¥ - (ю, А)р(ю)| (5)
В результате скалярная вероятностьр(А) превращается в векторную величину
где
P (A) = ( P + (A); P - (A)),
P + (A) =S F + (ffl, A )p(ffl)
Р - (А) = £ Р - (ю, А )р(ю).
В дальнейшем, если не оговорено особо, символом р будем обозначать «обычную» (скалярную), а символом Р — векторную вероятность и ее компоненты.
Поскольку V тР-логики допускают не только строго истинные или строго ложные суждения (характеризуемые векторами истинности (1; 0) и (0; 1) соответственно), но и неопределенные, а также противоречивые суждения о фактах, эти логики названы «нестрогими» [1]. Суждения о благоприятности элементарных событий также являются нестрогими. «Нестрогими» (т.е. одновременно происходящими и непроисходящими) следует считать также любые случайные собы-
тия, составленные из так оцениваемых элементарных событий.
Вероятность (5) будем называть вероятностью нестрогого случайного события или просто «нестрогой вероятностью».
Интересно отметить, что в случае полного отсутствия к.-л. априорной информации о случайном событии, его (априорную) вероятность в рамках данного формализма естественно положить равной (0; 0) — Неопределенность, что соответствует здравому смыслу. Например, априорная вероятность того, что под выбранным наугад деревом зарыт клад = (0; 0). В рамках классической теории вероятностей мы (в условиях полного отсутствия какой-либо информации) вынуждены принимать ее равной 0,5, т.е. с вероятностью 1/2 клад там как бы действительно находится (?!).
Пример. Допустим, у нас имеется «правильный» игральный кубик. Требуется найти «нестрогую вероятность» (далее этот сокращенный термин употребляем без кавычек) того, что при выбрасывании на нем выпадет четное число очков. Причем считаем, что выпадение большего числа очков оказывается для нас более благоприятно, чем выпадение меньшего: «6» благоприятнее «4», а «4» благоприятнее «2» (например, чем больше очков, тем выше сумма выигрыша — позитивный компонент вектора истинности, и меньше моральный ущерб от его отсутствия — негативный компонент).
Зададим распределение векторов истинности утверждений о благоприятности каждого из элементарных событий в виде:
(0; 1) для «1», (0; 1) для «3», (0; 1) для «5»,
(1/3; 2/3) для «2», (2/3; 1/3) для «4», (1; 0) для «6».
Вектор (0; 1) для нечетного числа очков «1», «3» и «5» означает, что соответствующее утверждение о благоприятности строго ложное. Распределение векторов истинности для «2», «4» и «6» таково, что наиболее благоприятным является выпадение шестерки (выигрыш максимален, утверждение о благоприятности строго истинное). Чуть хуже — выпадение четверки (преобладание Истины = 2/3 над Ложью = 1/3). И, наконец, наименее благоприятным является выпадение двойки (преобладание Лжи над Истиной, выигрыш минимален).
Согласно (5) нестрогая вероятность желаемого события определяется как Р = (1/3; 2/3) (интересно, что при таком распределении истинностей результат соответствует вероятности выпадения четверки или шестерки при обычной процедуре расчета, т.е. 1/3).
Примечание. Пример подобран так, что Р + (А) + Р - (А) = 1. Однако при иной расстановке
П
HP
и
П
НР
«векторов благоприятствования» возможны иные значения вектора вероятности, в т.ч. (0; 0), (1; 1) и любые другие варианты. Это означает, что в общем случае равенство
Р + (А) + Р - (А) = 1
не соблюдается, что составляет основное отличие нестрогой и строгой (классической) вероятностей. Более того, отсутствует и более слабое ограничение
Р + (А)+Р - (А) < 1,
существующее, например, в теории Шефера [5].
Разделение Истины и Лжи целесообразно проводить, когда свидетельства в пользу благоприятности того или иного элементарного события невозможно или нецелесообразно предпочитать свидетельствам в пользу неблагопри-ятности, и, наоборот, когда мы затрудняемся однозначно (Да/Нет) определить благоприят-ность/неблагоприятность того или иного элементарного события с точки зрения события А, когда благоприятность оценивается одними, а неблагоприятность — другими факторами. Областями приложения для нестрогих вероятностей могут служить явления, которые не поддаются однозначной оценке, не всегда достоверно регистрируемы, в отношении которых нет бесспорных свидетельств, сами «границы существования» которых имеют неясную и противоречивую природу.
Перейдем к определению вероятностей сложных событий.
2. Вероятность сложного события
Под сложным событием в классической теории вероятностей подразумевают три вида событий:
1) отрицание какого-либо события (противоположное событие);
2) выполнение сразу нескольких событий (произведение, пересечение, конъюнкция событий);
3) выполнение хотя бы одного из нескольких событий (сумма, объединение, дизъюнкция событий).
Разберем первое из них. Имея в виду замечание к формулам (1)—(2), вероятность противоположного события можно выразить в виде
Р (—А) = £||—¥ (ю, А )|р(ю).
юеО
В рассматриваемых нами V -логиках имеется две формы отрицания: отрицание в форме перестановки (1-я форма отрицания) и отрицание в форме дополнения (2-я форма отрицания). Истинность каждого из них определяется следующим образом:
||—а|| = ^а ;а
для отрицания в форме перестановки и ||~ а|| = (1 - а + ;1 - а ~
— для отрицания в форме дополнения [1, 2]. Здесь а — некоторое суждение. Компоненты вектора истинности а + е [0,1] и а- е [0,1] — меры того, что оно есть Истина и оно есть Ложь [1,2]. Проецируя эти выражения на вероятности нестрогих событий, получаем две формы противоположного события:
Р (—А) = £||—¥ (ю, А )р(ю) =
юеО
= (£ ¥ (ю, А )р(ю); £ ¥ + (ю, А)р(ю))
\юеО юеО /
(6)
и
Р(~ А) =£1 ~ ¥ (ю, А)|р(ю) =
юеО
= ( £ (1 - ¥ + (ю, А))р(ю); £ (1 - ¥ - (ю, А))р(ю)|
(7)
юеО
юеО
Назовем первую форму — —А — «отрицанием», а вторую — ~А — дополнением события А. В обычной теории вероятностей обе эти формы совпадают. Для нестрогих вероятностей они различны. В первом легко убедиться, подставляя в (6) и (7) уравнение связи
¥ - (ю, А) = 1 - ¥ + (ю, А).
Отметим, что если Р(А) = (1, 1), то Р(—А) = = (1, 1), но Р(~А) = (0,0).
Пример. Предположим, некое нестрогое случайное событие А связано с выпадением определенного числа очков на игральном кубике и определяется набором векторов истинности ||¥(ю, А)||:
(0; 1) для «1», (1; 1) для «2»,
(0; 1) для «3», (1; 1) для «4»,
(0; 1) для «5», (1; 1) для «6».
Т.е. выпадение нечетного числа заведомо неблагоприятно, а выпадение четного в максимальной степени и благоприятно и неблагоприятно. В этом случае нестрогая вероятность Р(А) = = (1/2; 1), а вероятности первой и второй форм противоположного события равны Р( — А) = = (1; 1/2) и Р(~А) = (1/2; 0).
Таким образом, приходим к заключению, что —А и ~А — два различных случайных события, связанных с событием А, и это различие обусловлено векторным представлением вероятности (добавим также — и истинности).
Перейдем к рассмотрению суммы и произведения нестрогих случайных событий.
Вероятности суммы и произведения двух событий А и В в классической теории вероятностей можно представить формулами:
Р(А + В) =£||¥(ю, А^ ¥(ю,В)р(ю) (8)
юеО
Р(АВ) =£||¥ (ю, А )&¥ (ю,В )|р(ю). (9)
юеО
Т.е. в случае суммы в качестве множителя при вероятностях р(ю) выступает истинность дизъюнкции утверждений ¥(ю, А) и ¥(ю, В), а в случае произведения — их конъюнкция (выражения (8) и (9) легко обобщаются на произвольное число случайных событий).
Особенностью V т¥-логик является наличие двух форм дизъюнкции и двух форм конъюнкции [1, 2]. Первая форма дизъюнкции вычисляется как
||а V Ь|| = ( а+ ® Ь+; а- • Ь-).
Здесь а и Ь некоторые суждения, ® и • — операции композиционного сложения и умножения, задаваемые аксиоматически:
1) X ф У = У ф X;
2) х'® у < X' ф у, при X < х";
3) х ф 0 = х;
4) х ® (у ® г) =
= (х ® у) ® г;
5) (1 — х) Ф (1- у) = = 1 - х • у;
х • у = у • х;
х • у < х' • у, при х < х";
х • 1 = х;
х • (у • г) =
= (х • у) • г;
(1- х) • (1- у) =
= 1 - х Ф у.
Аксиомы 1)—4) известны как аксиомы триангулированной ко-нормы и нормы [6, 7].
Из 1)—3) следует, что
х ф 1 = 1,
х • 0 = 0.
Пара аксиом 5) введена, чтобы обеспечить переход от нестрогих к нечетким логикам, когда вводится связь
а-=1- а+ (10)
(под «нечеткими» всюду понимаем логики со скалярной мерой истинности, принадлежащей интервалу [0, 1] и удовлетворяющей соотношению (10)).
Типичные операции композиционного сложения и умножения, это
х ф у = тах(х, у), х • у = тт(х, у);
х ф у = х + у - ху, х • у = ху;
(11)
(12)
х ф у = тт(1, х + у), х • у = тах(0, х + у - 1).
С учетом вышесказанного вторая форма дизъюнкции вычисляется как
||а v2 Ь|| = ( а+ ф Ь+; а- ф Ь-).
Первая форма конъюнкции как
||а & Ь|| = ( а+ • Ь+; а- ф Ь-).
И вторая форма конъюнкции как
||а &2 Ь|| = ( а+ • Ь+; а- • Ь-).
Учитывая это, для нестрогих случайных событий следует ввести две суммы и два произведения по формулам:
Р (А V В) = £| |¥ (ю, А) V ¥ (ю, В )||р(ю) =
юеО
£| ¥ + (ю, А) ф ¥ + (ю,В ) р(ю);
юеО
£ |¥ ~ (ю, А) • ¥ - (ю, В )р(ю)\;
юеО /
Р (А& В) = £ ||¥ (ю, А )& ¥ (ю,В ) р(ю) =
юеО
£| |¥ + (ю, А )• ¥ + (ю,В ) р(ю);
юеО
£ |¥ ~ (ю, А) ф ¥ - (ю,В )|р(ю А;
юеО /
Р (А V 2 В) = £| |¥ (ю, А К 2 ¥ (ю, В )||р(ю) =
юеО
£| ¥ + (ю, А) ф ¥ + (ю,В ) р(ю);
юеО
£ |¥ ~ (ю, А) ф ¥ - (ю,В )|р(ю Д;
юеО /
Р(А&2 в) = £||¥(ю, А)&2 ¥(ю,В)р(ю) =
юеО
£| |¥ + (ю, А )• ¥ + (ю,В ) р(ю);
юеО
£ | ¥ ^ (ю, А )• ¥ ~ (ю,В ) р(ю Д.
(14)
(15)
(16)
(17)
юеО
(Мы, в частности, переписали формулы (8) и (9), использовав более удобные здесь логические значки V и & для записи суммы и произведения случайных событий.)
Смысл всех этих форм достаточно очевиден. Уже говорилось, что первый компонент вектора нестрогой вероятности есть вероятность осуществления, а второй — вероятность неосуществления события А. В обычных вероятностях одно определяется другим, и независимый расчет смысла не имеет. В рассматриваемом случае подобной взаимосвязи нет. Поэтому мы вынужде-
П
НР
и
и
п
НР
ны рассматривать данные вероятности независимо, но в паре — векторе. Таким образом, первая форма суммы двух нестрогих случайных событий есть вероятность осуществления хотя бы одного из событий А и В (первый компонент вектора вероятности) и вероятность неосуществления обоих сразу (второй компонент). Вторая форма — вероятность осуществления хотя бы одного и вероятность неосуществления также хотя бы одного из событий А и В. Аналогичным образом интерпретируются и обе формы произведения.
Две формы произведения и две формы отрицания порождают четыре формы разности двух событий:
Р (А - В) = Р (А& —В) =
= £ ||¥ (ю, А )& — ¥ (ю,В ) р(ю) =
юеО
£|¥ + (ю, А)• ¥ - (ю,В )р(ю);
юеО
£ | ¥ “ (ю, А) ф ¥ + (ю, В ) р(ю )\;
юеО /
Р (А - 2 В) = Р (А&~ В) =
= £11¥(ю, А)&~ ¥(ю,В)р(ю) =
юеО
£| ¥ + (ю, А )• (1 - ¥ + (ю,В)) р(ю);
юеО
£| ¥ - (ю, А) ф (1 - ¥ - (ю,В)) р(ю)\;
юеО /
Р(А-3 В) = Р(А&2 —В) =
= £1 ¥ (ю, А )& 2 —¥ (ю,В ) р(ю) =
юеО
£|¥ + (ю, А)• ¥ - (ю,В)р(ю);
юеО
£| ¥ - (ю, А )• ¥ + (ю,В ) р(ю)\;
юеО
Р (А - 4 В) = Р (А&2~ В) =
= £¥(ю, А)&2~ ¥(ю,В)р(ю) =
юеО
£| ¥ + (ю, А )• (1 - ¥ + (ю,В)) р(ю);
юеО
£| ¥ - (ю, А )• (1 - ¥ - (ю,В)) р(юЛ.
юеО
Их содержательная интерпретация следует из вида самих формул, которые есть простое комбинирование обеих форм произведения и разности и поэтому специального интереса не представляют.
Пример. Предположим, что подбрасываются две «правильные» монеты и полная группа событий состоит из четырех упорядоченных пар:
О = {{орел, орел}, {орел, решка},
{решка, орел}, {решка, решка}}.
Поскольку обе монеты «правильные», вероятности осуществления всех элементарных событий (пар) примем равными 1/4. Предположим далее, что нестрогое событие А связано с выпадением орла на первой монете, а нестрогое событие В - с выпадением орла на второй, причем множества значений истинности утверждений ¥(ю, А) и ¥(ю, В) распределены так:
¥({орел, орел}, А) = (1; 0),
¥({орел, решка}, А) = (1; 1/2), ¥({решка, орел}, А) = (0; 1),
¥({решка, решка}, А) = (0; 1);
и
¥({орел, орел}, В) = (1; 0),
¥({орел, решка}, В) = (0; 1),
¥({решка, орел}, В) = (1; 1/2), ¥({решка, решка}, В) = (0; 1).
Событие А состоит в выпадении орла на первой монете, причем выпадение на второй монете решки делает событие «несколько неблагоприятным». Аналогично интерпретируется и событие В.
Рассчитанные согласно (5) нестрогие вероятности событий А и В равны: Р(А) = Р(В) = = (1/2; 5/8). Обе формы противоположных событий: Р(—А) = Р(—В) = (5/8;1/2), Р(~А) = Р(~В) = = (1/2; 3/8).
Задавая композиционное сложение и умножение в соответствии с (11), по формулам (14)—(17) для обеих форм суммы и произведения получаем значения вероятности: P(AvB) = = (3/4; 1/2), Р^2В) = (3/4; 3/4), Р(А&В) = = (1/4;3/4), Р(А&2В) = (1/4; 1/2).
Такие же результаты здесь получаем для случаев (12) и (13). Однако очевидно, что при иных распределениях истинности различные представления композиционного сложения и умножения приводят к различным векторам. В настоящее время трудно указать «единственно верный» вид этих операций. Возможно, что его про-
тЛТ
сто не существует, а разные V - логики моделируют разные случаи вычисления нестрогой вероятности.
3. Свойства нестрогих вероятностей
Рассмотрим некоторые свойства введенных вероятностей. Все они следуют из соответствующих свойств логических операций и свойств операций композиционного сложения и умножения [1,2]:
Р(——А) Р(~ ~А) Р(~—А) = Р(—(А v B)) = Р(—(А & B)) = Р(—(А v2 B)) = Р(—(А &2 B)) = Р(~ (А х/ B)) = Р(~ (А & B)) = Р(~ (А /2 B)) = Р(~ (А &2 B))
= Р(А);
= Р(А);
Р(—~А);
Р(—А & —B); Р(—А v —B); Р(—1А V2 —iB); Р(—А &2 —B); Р(~А & ~B); Р(~А v ~B);
Р(~А &2 = Р(~А v2
“B);
“B).
Большой интерес представляет вычисление вероятностей (первой и второй формы) суммы двух событий через вероятности самих этих событий и вероятность (первой и второй формы) их произведения подобно тому, как это делается для обычных вероятностей. В общем случае такая взаимосвязь выглядит проблематичной, однако для некоторых частных случаев она может быть получена. В частности, если данные операций композиционного сложения и умножения имеют форму (11), (12) или (13), они относятся к классу триангулированных норм со свойством
[8]:
х + у = х ф у + х • у. (18)
Отсюда легко выводятся соотношения:
Р(А) + Р(В) = Р(А V В) + Р(А & В),
и
Р(А) + Р(В) = Р(А v2 В) + Р(А &2 В).
Или, что то же самое,
Р(А V В) = Р(А) + Р(В) - Р(А & В),
и
Р(А v2 В) = Р(А) + Р(В) - Р(А &2 В).
В связи с данными формулами рассмотрим еще одну форму представления выражений для сумм и произведений (14)—(17).
Обратим внимание на то, что позитивный и негативный компоненты векторов нестрогой вероятности Р(А) = (Р+(А); Р-(А)) и Р(В) =
(Р+(В); Р-(В)) есть «обычные» (скалярные) вероятности некоторых (вообще говоря, нечетких) и событий А+, А- и В+, В-, определяемые по формулам
р( А + ) = £ ¥ + (ю, А)р(ю) = Р + (А)
юеО
А+ = (ю: F+ (ю, А) > 0};
А- = (ю: F- (ю, А) > 0},
и
B+ = (ю: F+ (ю, B) > 0};
B- = (ю: F- (ю, B) > 0}.
Учитывая вышесказанное, а также предполагая выполнение свойства (18), выражения (14)—(17) можно представить как
Р(А v B) = (р(А+) + p (B+) - p (A+B+); p (А- B-)); Р(А & B) = (p^+B+); р(А-) + p(B-) - p (А- B-)); Р(А v2 B) = (p(Ä+) + p (B+) - p^+B+); p (А-)+ p(B-)- p (АТ));
Р(А &2 B) = (p (A+B+); p (A-B-)),
где
p( А+B + ) = £ (F + (ю, А )• F + (ю,B )^(ю);
toöQ
p( А - B ~) = £ (F ~ (ю, А )• F ~ ^,B Мю).
В силу свойств композиционного произведения также справедливо, что
p( А+B + ) = £ (F + (ю, А )• F + (ю,B Мю) =
юеА+
= £ (F + (ю, А )• F + (ю,B )^(ю);
и
p( А - B -) = £(F - (ю, А )• F ~ (ю^ Мю) =
юеА -
= £ (F - (ю, А )• F - (ю,B ))pfa).
aeB~
Обозначая
£(F + (ю, А) • F + (ю, B )Мю) юеА + - = p(B +1А + ) (19)
£ F + (ю, А ^(ю)
£ (F + (ю, А )• F + (ю, B Мю)
®eB+
£ F + (ю,B ^(ю)
= p( А +|B + ) (20)
р( А -) = £ ¥ - (ю, А)р(ю) = Р - (А).
юеО
При этом А+, А- и В+, В образованы элементарными событиями ю такими, что получаем
£(F (ю,А)• F (ю^))p(ю)
юеА~---------------------------= p(B~\А- ) (21)
£F (ю, А^(ю)
£ (F - (ю, А )• F - (ю,B ))p(ю)
„-----------------------= p( А-IB-) (22)
£F (ю,B)p((a)
п HP
5 237
и
р(А+В+) = р(А+ | В+) р(В+) = р(В+ | А+) р(А+); р(А-ВТ) = р(А- | В-) р(В-) = р(В- | А-) р(А-).
Откуда
Р(А V В) =
= (р(А+) + р (В+) - р(А+ | В+)р(В+);
р(А- | В-)р(В-)) = (23)
= (р(А+) + р (В+) - р(В+ | А+)р(А+); р(В- | А-)р(А-));
Р(А & В) =
= (р(А+| В+)р(В+); р(А-) + р(В-) - р(А- | В-)р(В-)) = (24)
= (р(В+ | А+)р(А+); р(А-)+ р(В-)- р(В- | А-)р(А-));
Р(А v2 В) =
= (р(А+) + р (В+) - р(А+| В+)р(В+); р (А-) + р(В-) - р(А- | В-)р(В-)) = (25)
= (р(А+) + р (В+) - р(В+ | А+)р(А+); р (А-) + р(В-) - р(В-|А-)р(А-));
Р(А &2 В) =
= (р(А+ | В+)р(В+); р(А- | В-)р(В-)) = (26)
= (р(В+| А+)р(А+); р(В- | А-)р(А-)).
Нетрудно видеть, что (19)—(22) играют роль условных вероятностей для событий А+, А- и В+, В .
Заметим, что с вычислительной точки зрения представление обеих форм суммы и произведения нестрогих случайных событий формулами (14)—(17) или формулами (23)—(26) равнозначно. И в том и в другом случае для вычисления нам необходимо знать распределения ¥+(ю, А), В(ю, А) и ¥+(ю, В), ¥"(ю, В). Соотношения (23)—(26) лишь несколько более привычны, да и то если операции композиционного сложения и умножения подчиняются свойству (18).
4. Меры над нестрогими вероятностями
В [1] и [2] для удобства анализа суждений с векторной истинностью были введены меры, характеризующие их «скалярным образом». Похожие меры, по-видимому, следует ввести и для вероятностей.
Первой из рассматриваемых мер является мера определенности (определенность)
цо (а) = а+ ф а-,
где |до(а) е [0, +1]. Данная мера характеризует степень «удаленности» а от вектора (0; 0). Она равна 0, если ||а|| = (0; 0), и равна 1, когда хотя бы одна из компонент вектора истинности есть 1.
Далее — мера противоречия (противоречивость)
Цп(а) = а+ • а-,
где Цп(а) е [0, +1]. Данная мера характеризует близость а к вектору (1; 1). Она равна 1, если ||а|| = = (1; 1), и равна 0, когда хотя бы один из компонентов вектора ||а|| есть 0.
Интерес представляет мера строгости (строгость)
цс(а) = цо(а) - цп(а) = а+ ф а- - а+ • а-,
где Цс(а) е [0, +1]. Ее назначение - оценивать то, насколько а близко к «строгой истине» (1; 0) или «строгой лжи» (0; 1). Она достигает максимума, равного 1, когда ||а|| = (1; 0), или ||а|| = (0; 1) и минимума, равного 0, когда выполняются эквивалентности ||а|| = (1; 1) или ||а|| = (0; 0).
А также мера достоверности (достоверность)
Цд(а) = а+ - а-,
где Цд(а) е [-1, +1].Она принимает значение +1 для строго истинных и 1 — для строго ложных суждений. Содержательно данная мера близка к цс(а), однако позволяет определить не просто близость ||а|| к (1; 0) или (0; 1), но уточнить, с каким конкретно случаем мы имеем дело. На основе этой меры можно сформировать еще один вариант меры строгости:
Ма) = К(а)| = |а+- а1.
Своеобразным «аналогом» меры достоверности, но для неопределенного (0; 0) и полностью противоречивого (1; 1) суждений является мера избыточности (избыточность):
Ци(а) = а+ + а- - 1,
которая равна -1 для неопределенности и +1 для
полного противоречия. Равенство 0 здесь озна-
— 1 +
чает выполнение соотношения а = 1 - а , характерного для нечетких логик. Позитивные и негативные свидетельства в этом случае «сбалансированы» между собой. Нулевой баланс (нулевая избыточность) существует, в частности, когда отсутствие свидетельств «за» рассматривается как свидетельство «против», а отсутствие свидетельств «против» — как свидетельство «за». Это типично именно для нечетких логик.
Все перечисленные меры можно без изменений перенести и на случай вероятностей.
Так, мера определенности
Цо (А) = Р(А+) ф Р(А-) (27)
характеризует, насколько «реализовано» событие А в универсуме. В какой степени о нем можно говорить как о случающемся или неслучаю-щемся.
Мера противоречивости
Цп (А) = Р(А+) • Р(А-) (28)
отражает противоречивость события, насколько оно случается и не случается. Для классической вероятности, для которой справедливо равенство
Р-(А) = 1 - Р+(А),
максимальное значение данной меры равно 0,5. В нестрогом случае эта мера принадлежит интервалу [0, 1].
Мера строгости в любой из форм:
цс (А) = Р(А+) ф Р(А-) - Р(А+) • Р(А-) (29)
или
Цс (А) = | Р(А+) - Р(А-) | (30)
позволяет оценить, насколько нестрогое событие близко к достоверному или невозможному событиям, выражаемыми векторами (1; 0) или (0; 1).
Аналогичную функцию выполняет мера достоверности
Цд (А) = Р(А+) - Р(А-) (31)
с той разницей, что значение -1 здесь соответствует невозможному, а +1 — достоверному событиям. Эта мера позволяет в известной степени говорить, какое из двух нестрогих событий «вероятнее» другого.
Наконец, мера избыточности
Цд (А) = Р(А+) + Р(А-) - 1 (32)
характеризует близость к неопределенному или полностью противоречивому событиям.
Здесь сознательно оставлены прежние («логические») названия мер, поскольку они вполне точно отражают смысл соответствующих показателей и для случайных событий.
5. Сравнение нестрогих вероятностей
В отличие от классической теории, в которой мы можем сравнивать вероятности двух случайных событий и говорить, какое из них более вероятно, а какое менее, в нестрогом случае приходится сравнивать не скаляры, а векторы, что является более сложной задачей. Тем не менее, как и в случае мер, воспользуемся подходами, которые были предложены в векторных логиках.
Один из способов сравнения в векторных логиках состоит в сопоставлении аспектов истинности, которыми для Утг-логик являются Истина и Ложь. В [1, 2] отмечается, что над суждениями в этих логиках можно строить отношения правдоподобия и доминирования по правилам:
а > Ь (а правдоподобнее Ь), если а+ > Ь+ и а- < Ь-, и
а >> Ь (а доминирует над Ь),
если а+ > Ь+ и а- > Ь-.
Считаем, что более правдоподобное суждение для нас предпочтительнее, а при отсутствии отношения правдоподобия предпочтительнее то, что доминирует.
В случае, когда а и Ь находятся одновременно в отношении правдоподобия и в отношении доминирования, выбираем для сравнений отношение правдоподобия (т.н. соглашение о выборе [1]). Пара этих отношений, дополненная соглашением о выборе, формирует т.н. нестрогую импликацию [1, 2], которая при более внимательном взгляде оказывается для Ут¥-логик не чем иным, как лексикографическим упорядочением, когда для нас предпочтительнее суждение с большим значением позитивного аспекта истинности, а при равных позитивных аспектах — то, у которого меньше негативный аспект.
В логиках Утг используется и другой тип отношений: отношения предпочтения, когда вводится набор числовых критериев (для этих логик достаточно двух критериев) и упорядочение выполняется сначала по одному и потом — при неизменном первом — по второму критерию. Безусловно, в качестве отношения предпочтения можно рассматривать и упомянутую нестрогую импликацию. Однако не меньший, а может, и больший практический интерес представляет упорядочение по паре мер: Цд(а) и Цо(а), или по паре мер Цд(а) и Ци(а). И в том и в другом случае сначала выбираются наиболее достоверные суждения, а потом, среди них, наиболее определенные (т.е. наиболее подкрепленные фактами).
Аналогичные схемы можно распространить и на вероятности. Так, можно ввести понятия правдоподобия и доминирования для нестрогих случайных событий:
А > В (А правдоподобнее В),
если Р+ (А) > Р+ (В) и Р~(А) < Р~(В), а также
А >> В (А доминирует над В),
если Р+(А) > Р+(В) и Р-(А) > Р~(В). Таким же образом действуем и в случае отношения предпочтения:
А > В (А предпочтительнее В),
если Цд(А) > Цд(В), а при Цд(А) = Цд(В), если Цо(А) > Цо(В) (или Ци(А) > Ци(В)). При равенстве этих мер оба события эквивалентны (их вероятности равны). Случайные события эквивалентны также (А = В), если А > В и В > А. При этом А >>В и В >> А. Нетрудно видеть, что эквивалентность нестрогих случайных событий означает
выполнение равенств Р+(А) = Р+(В) и Р-(А) = = Р- (В).
6. Задача о прогнозировании результатов выборов
В качестве примера предметной области, где возможно применение нестрогой вероятности, рассмотрим задачу о прогнозировании результата выборов. Предположим, что на некоторой территории предполагается провести выборы, в которых будут участвовать четыре кандидата: Кх, К2, К3 и К4. На этой территории производился выборочный опрос общественного мнения, в котором раздавались карточки типа:
Вы готовы проголосовать за кандидата... ? Да Нет
К1
К2
К3
К4
допускающие совместно как положительный, так и отрицательный ответ при противоречивом отношении к кандидату (пример - президентские выборы в России в 1996 г.), а также отсутствие какого-либо ответа, если человек для себя еще не определился (не знает, что отвечать).
Предположим далее, что для опроса было выделено четыре социальных слоя: £х, £2, £3, £4, (допустим: государственные служащие, наемные рабочие, крестьяне, предприниматели; ко-
личество и состав принципиального значения не имеют).
Из каждого социального слоя опросили по группе респондентов. Обозначим отдельного респондента группы как s¡J■, где I = 1,... , 4 — индекс слоя, а J =1,., /(¡) — номер респондента. Поскольку постановка иллюстративная, считаем, что количество опрошенных /(¡) = 3 для каждого слоя (рассматриваемая схема легко обобщается на произвольное число опрошенных, поэтому их количество здесь значения не имеет). Считаем, что, когда каждый из респондентов заполнил соответствующую карточку, были получены следующие результаты (табл. 1), где крестиками отмечены ответы на поставленные вопросы.
Попробуем спрогнозировать исход выборов с помощью вышеописанной техники.
Каждый ответ респондента по каждому из кандидатов формирует истинность утверждения
Д^., Кд) = «респондент SjJ готов (3 3)
проголосовать за кандидата Кд», )
которое в зависимости от ответа принимает значение (1; 0) — «только Да», (0;1) — «только Нет», (1; 1) — «и Да и Нет», (0; 0) — «не знаю».
Совокупная оценка может быть получена как совмещение свидетельств (мнений отдельных респондентов) по каждому из слоев. При этом в силу равной значимости каждого из аспектов истинности (ибо нет оснований предпочитать один аспект другому), для совмещения свидетельств используем схему 11-композиционного совмещения (вторую форму дизъюнкции), см. [1,2]. Чтобы вклад каждого из опрошенных в со-
Таблица 1
Результаты «опроса»
П
ЯР
вокупное значение истинности был одинаковым, целесообразно от вышеупомянутых векторов (1; 0), (0; 1), (1; 1) и (0; 0) для Р^у, К,) перейти, соответственно, к векторам (1//(г);0), (0; 1//(г)), (1//(г); 1//(,)) и (0; 0), где /(,) — общее число опрошенных (в нашем случае это векторы (1/3; 0), (0; 1/3), (1/3;1/3) и (0; 0)), а композиционную сумму брать по формуле (13). В результате совокупная («совмещенная») оценка истинности утверждения
Р(£,, К,) = «слой £ готов голосовать за (^ кандидата К,» ( )
(у нас q = 1, ... ,4) будет равна
| | Р(Б,, Kq)|| = (Р+(Б,, К,); Г(Б, К) =
= (®К8 , F+(s J, К,); ®К8 , К,)).
Здесь ®К8 , — символ композиционной суммы по всему множеству респондентов, представляющих слой £, (т.е. по всему). Для нашей «выборки» из трех опрошенных это
Р+(БР К,) = F+(s¡1, К,) ® p+(sй, К,) ® ^(^ К,) и
¥-(£, К,) = К,) ® К,) ® F-(sй, Kq),
где К,) и Р-(.у К,) — позитивный и нега-
тивный аспекты вектора истинности | | Р($ у, К,)| | утверждения (33).
Таким образом, если композиционная сумма взята по формуле (13), что приводит к усреднению мнений в слое по каждому из кандидатов, для рассматриваемого примера получаем следующие значения векторов истинности утверждения (34) (см. табл. 2).
Теперь попытаемся рассчитать нестрогую вероятность победы для каждого кандидата.
Поскольку мнения потенциальных избирателей (опрошенных) обобщались по слоям, элементарным событием считаем голосование £,-го социального слоя (утверждение (34) можно переписать так: «голосование £,-го социального слоя благоприятно для кандидата К,»). Так как речь идет о прогнозе, вероятностью (априорной) такого события можно считать предполагаемое отношение числа будущих голосов представителей данного слоя к общему числу тех, кто придет на участки. Обозначив эту вероятность как р,, получаем:
Р(К,) = ^£ Р + (Б¡К, )р,; £ Р - (Б¡К, )р, ^.
Здесь Р(К,) — нестрогая вероятность победы К,-го кандидата, I — число социальных слоев (у нас I =4). Значения вероятностей р , в данном случае произвольны, поэтому для простоты расчетов примем
Р1 = Р2 = Р3= Р4 = 1/4.
Получается:
Р(КХ) = (Р + (£1К1 )р! + Р + (£ 2К1 )р 2 +
+ Р + (£ 3 К 1)р 3 + В + (£ 4 К 1)р 4;
Р - £ К!)Р! + Р - (Б 2 К,)р 2 +
+ Р - (£3К! )р3 + Р - (£4 К1)р4 ) =
= (1-1/4 + 2/3-1/4+ 1/3 1/4 + 2/3-1/4;
1/3 1/4 + 1/3 1/4 + 2/3-1/4+ 2/3-1/4) =
= (2/3; 1/2);
Таблица 2
Векторы истинности утверждения (34)
£1: Р(Б,, К1) Р(£х, К2) Р(£х, К,) Р(£„ К4) = (шш(1, 1/3 + 1/3 + 1/3 ); шт(1, 0 + 1/3 + 0 )) = (1; 1/3); = (шт(1, 1/3 + 0 + 1/3 ); шт(1, 1/3 + 1/3 + 1/3 )) = (2/3; 1); = (шт(1, 0 + 0 + 0 ); шт(1, 1/3 + 1/3 + 0 )) = (0; 2/3). = (шт(1, 0 + 1/3 + 0 ); шт(1, 1/3 + 0 + 0 )) = (1/3; 1/3).
£2: Р(£2, кх) р(£2, К) Р(Б2, К3) Р(£„ К4) = (шт(1, 1/3 + 0 + 1/3 ); шт(1, 0 + 1/3 + 0 )) = (2/3; 1/3); = (шт(1, 1/3 + 1/3 + 1/3 ); шт(1, 1/3 + 0 + 0 )) = (1; 1/3); = (шт(1, 0 + 0 + 0 ); шт(1, 1/3 + 1/3 + 1/3 )) = (0; 1). = (шт(1, 0 + 1/3 + 0 ); шт(1, 0 + 0 + 0 )) = (1/3; 0).
£3: Р(Б3, Кх) Р(£3, К) Р(£3, К3) Р(£„ К4) = (шт(1, 1/3 + 0 + 0 ); шт(1, 1/3 + 0 + 1/3 )) = (1/3; 2/3); = (шт(1, 1/3 + 1/3 + 1/3 ); шт(1, 0 + 1/3 + 0 )) = (1; 1/3); = (шт(1, 0 + 0 + 1/3 ); шт(1, 1/3 + 1/3 + 0 )) = (1/3; 2/3). = (шт(1, 1/3 + 0 + 0 ); шт(1, 0 + 0 + 0 )) = (1/3; 0).
Р(£4, К!) р(£4, К) р(£4, К3) р(£4, К) = (шт(1, 1/3 + 1/3 + 0 ); шт(1, 1/3 + 0 + 1/3 )) = (2/3; 2/3); = (шт(1, 0 + 0 + 0 ); шт(1, 1/3 + 1/3 + 1/3 )) = (0; 1); = (шт(1, 0 + 1/3 + 1/3 ); шт(1, 0 + 0 + 1/3 )) = (2/3; 1/3). = (шт(1, 0 + 0 + 0 ); шт(1, 0 + 0 + 1/3 )) = (0; 1/3).
П
ПР
P(K2) = (F + (SK 2 )py + F + (S2K 2 )p2 +
+ F + (S 3 K 2 )p 3 + F + (S 4 K 2 )p 4;
F - (Sj K 2 )pi + F - (S 2 K 2 )p 2 +
+ F - (S 3K 2 )p 3 + F - (S 4 K 2 )p 4 ) =
= (2/3-1/4 + 1-1/4 + 1-1/4 + 0-1/4;
1-1/4 + 1/31/4 + 1/31/4 + 1-1/4) =
= (2/3; 2/3);
PK3) = (F + (SXK 3 )л + F + (S 2K 3 )p 2 +
+ F + (S 3K 3^p 3 + F + (S 4 K 3)p 4;
F - (SXK 3)px + F - (S 2K 3)p 2 +
+ F - (S3K 3)p 3 + F - (S 4 K 3)p 4 ) =
= (0-1/4 + 0-1/4 + 1/3 1/4 + 2/3-1/4;
2/3-1/4 + 1-1/4 + 2/3-1/4 + 1/3-1/4) =
= (1/4; 2/3);
PK4) = (F + SK4 )pl + F + (S2K4 )p2 +
+ F + (S3K3^3 + F + (S4 K4 )p4;
F - (SXK4)p + F - (S2K4 )p2 +
+ F - (S3 K 4 )p 3 + F - (S 4 K 4 )p 4 ) =
= (1/3-1/4 + 1/31/4 + 1/3 1/4 + 0-1/4;
1/3 1/4 + 0-1/4 + 0-1/4 + 1/3-1/4) =
= (1/4; 1/6).
Для «скалярного» анализа каждого из кандидатов можно воспользоваться мерами (27)—(32). При этом для простоты воспользуемся «минимаксным» представлением операций композиционного сложения и умножения согласно (11). В результате в качестве меры определенности получаем:
Цо(*1) = P+(KX) ® P~(Kl) =
= max(2/3; 1/2) = 2/3 * 0,67;
= P+K2) ® P-(K2) =
= max(2/3; 2/3) = 2/3 * 0,67;
^(K») = P+K3) ® P~(K3) =
= max(1/4; 2/3) = 2/3 * 0,67;
K« = P+(K3) ® P~(K3) =
= max(1/4; 1/6) = 1/4 = 0,25.
Для меры противоречия:
Цп(Ах) = P+K) • P~(Kl) =
= min(2/3; 1/2) = 1/2 = 0,5;
M*2) = P+K2) • P-(K1) =
= min (2/3; 2/3) = 2/3 * 0,67;
MK>) = P+(K3) • P-(K3) =
= min (1/4; 2/3) = 1/4 = 0,25;
Цп^) = P+K3) • P(K3) =
П = min (1/4; 1/6) = 1/6 * 0,17.
HP
Для меры строгости в форме (29):
Цс(Кх) = Цо(Кх) - Цп(Кх) = 1/6 * 0,17;
Цс(К2) = ц0К) - Цп(К2) = 0;
Цс(К») = Цо(К3) - Цп(К3) = 5/12 *0,42;
Цс(К4) = Цо(К3) - Цп(К3) = 0,08.
То же самое по (30):
Цс(К1) = |2/3 - 1/2| = 1/6 * 0,17;
Цс(К2) = |2/3 - 2/3| = 0;
^с(Кэ) = |1/4 - 2/3| = 5/12 * 0,42; цс(К4) = | 1/4 - 1/6| = 1/12 = 0,08.
Для меры достоверности:
Цд(Кх) = 2/3 - 1/2 = 1/6 *0,17; ц д(К2) = 2/3 - 2/3 = 0; ц д(К») = 1/4 - 2/3 = -5/12 * -0,42;
ц д(К4) = 1/4 - 1/6 = 1/12 * 0,08.
И, наконец, для меры избыточности:
Ци(К1) = 2/3 + 1/2 - 1 = 1/6 * 0,17; цК = 2/3 + 2/3 - 1 = 1/3 * 0,33;
МК») = 1/4 + 2/3 - 1 = -1/12 * -0,08;
Ци(К4) = 1/4 + 1/6 - 1 = -7/12 * -0,58.
Попробуем прокомментировать данные результаты.
Высокая степень определенности для первых трех кандидатов означает, что избиратели знакомы с их политическими позициями и имеют о них какое-то представление. Низкий показатель определенности для последнего, четвертого, кандидата показывает, что он для избирателей малоизвестен.
Мера противоречия высока для первого кандидата и весьма высока для второго: почти 0,67 при максимуме 1. Анализ таблицы 2 показывает, что наиболее противоречивое отношение ко второму кандидату проявляется в первом социальном слое (мера противоречия для высказывания (34) равна 2/3), а наименее — в четвертом, где эта мера равна 0. Высокая противоречивость характеризует «колеблющуюся» позицию большинства избирателей. Наименьшие колебания они испытывают по отношению к кандидату К3. Низкое значение этого показателя для четвертого кандидата обусловлено уже упомянутым «отсутствием мнения» о нем, в то время как мнение о третьем кандидате, очевидно, вполне сложилось. О сложившемся же отношении к третьему кандидату говорит и относительна высокая мера строгости для него: 0,42 при максимуме 1. У пер-
вого кандидата она низка: только 0,17, еще ниже у четвертого: 0,08, а у второго вообще имеет наименьшее возможное значение, равное 0. Низкое значение данного показателя в случае четвертого кандидата обусловлено его малоизвестно-стью, а в случае второго — уже упомянутым существенно противоречивым отношением к кандидату. Вообще говоря, мера строгости в данном примере характеризует категоричность общественного мнения.
Второй вариант меры строгости при выбранном варианте композиционного умножения и сложения дает те же самые значения.
Мера достоверности показывает «шансы» кандидатов на победу в выборах. Как видно, наиболее высоки они у первого кандидата. Однако «срединный» порог, равный 0, превышен незначительно. Около нуля данный показатель также у четвертого кандидата и равен 0 — у второго. В принципе, эти три кандидатуры — наиболее реальные соперники. При этом чтобы повысить свои шансы на победу, первый и второй кандидат должны ослаблять негативное отношение к себе, а четвертый — увеличивать позитивное. Явный аутсайдер здесь — третий кандидат. Он имеет показатель достоверности —0,42 при теоретическом минимуме —1. Его шансы на победу в выборах по результатам опроса минимальны.
Наконец, мера избыточности показывает то, насколько в обществе «сбалансировано» мнение о том или ином кандидате. Близкий к «идеальному» показатель здесь — нулевой. Его рост в сторону положительного значения говорит о противоречивом отношении к человеку, а убывание в сторону отрицательных — об отсутствии сведений о нем. Данный показатель должен «коррелировать» с мерами определенности и противоречия. Действительно, наиболее «противоречивый» — второй кандидат — имеет значение данного показателя 0,33, а наименее известный — четвертый — значение —0,58. Мнение, при этом негативное, наиболее четко сформировалось по третьему кандидату.
В целом ситуация согласно «проведенному опросу» достаточно сложная: два явных лидера — первый и второй кандидат — имеют заметный груз отрицательных оценок избирателей. В то же время четвертый кандидат малоизвестен, но при соответствующей работе с общественным мнением может составить конкуренцию лидерам. Наименьшая надежда на победу в выборах, как уже говорилось, у третьего кандидата, мнение о котором в обществе «почти однозначно» отрицательное и надежды на его победу невелики.
7. Нестрогая вероятность и анализ риска
Приведенная выше модельная задача в принципе может рассматриваться с точки зрения анализа риска как один из подходов к оценке риска смены политической власти в результате выборов. Однако если взглянуть на предлагаемый формализм внимательнее, то легко обнаружить более глубокую аналогию между нестрогой вероятностью и риском.
В современной литературе понятие риска связывают со случайными событиями или процессами, которые способны повлечь за собой определенные (как правило, негативные) последствия [9]. При этом, если сами события могут быть вызваны объективными и не зависящими от воли человека факторами, оценка их последствий зачастую носит субъективный характер (в определенной мере к субъективной оценке можно отнести и оценку того или иного события социумом; типичный пример — отношение к человеческой жизни, которое весьма различается в разное время и у разных народов). В работе [10] риск (показатель риска) рассматривается как функция двух переменных:
Риск = /(Р, С),
где Р - частота нежелательного события; С -мера его серьезности. Во многих задачах вместо частоты используют вероятность события [9]. При этом в качестве функции /(Р, С) нередко берут обычное произведение
Риск = РС. (35)
Например, риск как произведение частоты Р (или вероятности р) на величину возможного ущерба С. Нельзя не заметить определенное сходство в способе оценивания риска по формуле (35) и определением вероятности нестрогого случайного события (5). В обоих случаях мы имеем дело с произведением вероятности некоторого события (в (5) мы говорим об элементарном событии) на меру его значимости (в (5) — благоприятности). Отличие (5) от (35) состоит в том, что при оценке нестрогой вероятности в данной работе принимаются во внимание свидетельства не только в пользу благоприятности, но и в пользу неблагоприятности соответствующего элементарного события. С точки зрения анализа риска это означает, что явление рассматривается и как опасное, несущее риск (позитивный аспект нестрогой вероятности) и как (возможно) полезное (негативный аспект нестрогой вероятности). Простейший пример здесь — явление разлива рек. С одной стороны, разливы, особенно катастрофические, приводят к материальному ущербу, гибели людей и т.п., с дру-
п
НР
гой — они, например, благоприятствуют сельскохозяйственному производству. Классический случай — значение разливов Нила для древнеегипетской цивилизации.
Вторым отличием изложенной в статье схемы расчета нестрогих вероятностей является принадлежность вектора истинности ||Р(ю, -4)|| квадрату [0, 1]х[0, 1]. Если продолжать аналогию с (35), это означает, что показатель С из формулы (35) приводится к шкале [0, 1]. В этой же шкале выражается и мера полезности события — негативный (с точки зрения риска) аспект вектора вероятности.
Как представляется, оба отличия выглядят непринципиальными. Более того, первое обогащает представление о рисках, делает их оценку более сложной и многоплановой (противоречивая природа риска отмечена и в монографии
[9]), а второе может быть снято отображением множества значений С на отрезок [0, 1]. Т.е. рисковые явления обладают всеми признаками нестрогих случайных событий, показателем возможности осуществления которых выступает нестрогая вероятность. В самом деле, вполне однозначное и четко регистрируемое явление «отягощается» достаточно сложной, неоднозначной и (нередко) противоречивой его оценкой: явление вполне может оказаться нежелательным и желательным одновременно. При этом мера нежелательности формирует позитивный (с точки зрения риска), а желательности — негативный аспект вероятности нестрогого события. Количественный анализ баланса этих двух сторон риска, их совместное изучение и может проводиться на основе вышеизложенной техники.
В качестве иллюстрации вернемся к примеру с разливом рек. Как уже говорилось, данное событие можно оценивать двояко. С одной стороны, оно способно нести ущерб (гибель, разрушение и т.п., особенно при катастрофическом характере), с другой — быть желательным, например, с точки зрения поддержания плодородия почвы, эффективности работы гидроэлектростанций и т.п. (конкретные причины не важны; главное, что они существуют).
Последствия изменения уровня воды в реке оцениваем с двух позиций: экономической (убытки/прибыль) и социальной (гибель людей). При этом, как уже говорилось, гибель людей и экономические потери формируют позитивную составляющую вектора нестрогой вероятности рискового явления, а прибыль и другие приобретения — негативную.
Предположим, что некая служба ведет периодический статистический учет уровня воды в реке. Считаем, что текущий уровень является случайной величиной, а полная группа событий некоторый интервал возможных уровней:
- < 0 < +к2, где нулевая отметка означает «нор-
мальную» ситуацию. Пусть р(к) - вероятность достижения рекой уровня ке[-А1,+А2]. Полагаем далее, что величина этой вероятности может быть некоторым образом оценена. Например, на основании тех же статистических наблюдений. Согласно (5) нестрогая вероятность экономических потерь (ЭЛ), связанных с изменением уровня воды («экономический риск»), может быть вычислена по формуле
Р(ЭЛ) =
М *2 \
= ( |||Р(к,ЭЛ)+р(кЩ; |||Р(к,ЭЛ)-р(к)ёк\ =
\-А -к I
1*2 *2 \
= ( | Р + (к,ЭЛ )р(к Щ; | Р - (к, ЭЛ )р(к
\-к -к I
для непрерывного отрезка [-кх,+к2] и по формуле
Р(ЭЛ) =
= 1 £ | |Р (к, ЭЛ ) + р(к); £ | |Р (к, ЭЛ ) - р(к )\ =
\ к к / (36)
= 1 £ Р + (к, ЭЛ)р(к); £ Р - (к, ЭЛ )р(к)\,
\ к к /
если мы пользуемся дискретными отсчетами к. В дальнейшем все выражения записываем в форме (36). Здесь Р+(к, ЭЛ) — приведенная к шкале [0, 1] мера убытков (потерь), а Р(к, ЭЛ) — приведенная к той же шкале мера приобретений. Т.е. Р+(к, ЭЛ) - степень Истины утверждения
(37)
Р(к, ЭЛ) = «Уровень воды к благоприятен с точки зрения ЭЛ»,
тогда как Р (к, ЭЛ) - степень его Лжи (еще раз следует подчеркнуть, что всюду в примере слово «благоприятен» носит негативный оттенок: это благоприятность с точки зрения появления риска).
Аналогичным образом нестрогая вероятность социальных потерь (СП) (т.е. «социальный риск», под которым здесь понимаем риск гибели людей) вычисляется по формуле:
Р(СЛ) =
= / £ | |Р (к, СЛ ) + р(к); £ | |Р (к, СЛ ) - р(к )\ =
\ к к /
= 1 £ Р + (к, СЛ )р(к); £ Р - (к, СЛ )р(к Л,
\ к к /
где вместо (37) фигурирует утверждение
Р(к, СЛ) = «Уровень воды к благоприятен с точки зрения СЛ».
В отличие от (36) показатель Р" (к, СЛ) можно положить равным нулю (гибель естественно считать только нежелательным, несущим «чистый риск» явлением). Тогда имеем:
(38)
Р(СП) = ( £ ¥ * (к, СП )р(к );0).
Как и в предыдущем примере, совокупный (и своего рода «полный») риск определяем как нестрогую вероятность второй формы суммы двух нестрогих событий: ЭЛ и СЛ:
Р(ЭЛ v2 СЛ) =
= ^£1Р(к,ЭЛ)V 2 Р(к,СЛ)+р(к);
£| |Р (к, ЭЛ К 2 Р (к, СЛ ) - р(к )\ =
£(¥ * (к ,ЭП) ф ¥ + (к, СП)) р(к);
(39)
? (¥ - 'к ,ЭП) Ф 0) р'к )| =
?(¥ * (к,ЭП) Ф ¥ + (к, СП)) р'к);
£ ¥ - (к ,ЭП )р(к )|
Вторая форма произведения двух нестрогих событий дает вектор, который можно было бы назвать «гарантированным риском»:
Р(ЭП &2 СП) =
= (х| |¥ (к,ЭП )&2 ¥ (к,СП )+р(к);
£| |¥ (к, ЭП )&2 ¥ (к ,СП р(к )| =
£(¥ * ,ЭП )• ¥ + (к, СП)) р(к);
к
£(¥- (к,ЭП)• 0)р(к)
£(¥ * (к ,ЭП )• ¥ + (к, СП)) р(к );0І
Наконец, риск возникновения хотя бы одного из двух нестрогих событий определяется как нестрогая вероятность первой формы их суммы, а обоих вместе — как первой формы их произведения соответственно:
Р(ЭЛ V СЛ) =
= &|Р (к, ЭЛ )v Р (к,СЛ ) + р(к);
£| |¥ (к, ЭП )v ¥ (к, СП )Г р(к )| =
£(¥ * (к ,ЭП) Ф ¥ + (к, СП ))р(к);
к
£(¥ - (к,ЭП)• 0)р(к)
£(¥ * (к, ЭП) Ф ¥ * (к, СП)) р(к); 0\;
Р( ЭП & СП) =
= (£11¥ (к, ЭП )& ¥ (к ,СП ) * р(к);
£| |¥ (к,ЭП )&¥ (к, СП р(к )| =
£(¥ * (к ,ЭП)• ¥ * (к, СП))р(к);
к
? (¥ - (к ,ЭП) ф 0) р(А)
£(¥ * (к ,ЭП)• ¥ * (к, СП))р(к);
к
£ ¥ - (к, ЭП )р(к )|
Довольно интересно с точки зрения рисков интерпретируется первая и вторая формы противоположного события. Например, если (36) нестрогая вероятность, связанная с экономическими потерями, то вероятность первой формы противоположного события:
Р(—ЭЛ) =
= ( £||—Р (к,ЭЛ ) + р(к); £ ||—Р (к,ЭЛ ) - р(к )\ =
\ к к /
= /£ Р - (к, ЭЛ )р(к); £ Р + (к, ЭЛ )р(кЛ,
\ к к /
—это показатель своего рода экономических приобретений, или, если так можно выразиться, «экономической удачи» (как антитезы риску). В то время как нестрогая вероятность второй формы противоположного события:
Р(~ЭЛ) =
= 1 £||~ Р(к,ЭЛ) + р(к); £||~ Р(к,ЭЛ)-р(к)\ =
£(1 - ¥ * (к,ЭП))р(к);
к
£(1 - ¥ - (к ,ЭП)) р (к)
можно проинтерпретировать как показатель отсутствия риска.
Обратим внимание на то, что рассуждения в терминах нестрогих вероятностей позволили эффективно совместить два различных типа оценок: стоимостную (т.е. ЭЛ) и натуральную (т.е. СЛ).
Если нас интересует не риск последствий изменения уровня воды «вообще», а например, конкретно риск экономических потерь от паводка (Лв), мы вместо (36) используем выражение
П
НР
к
к
к
к
к
Р(ЭЛ & Лв ) =
£(р+ (к, Лв )• Р + (к ,ЭЛ)) р(к);
к
£(р - (к, Лв) ® Р - (к ,ЭЛ ))р(к А,
(40)
где Р(к, Лв) утверждение вида
Р(к, Лв) = «Уровень воды к благоприятен с точки зрения Лв».
Т.е. рассчитываем нестрогую вероятность первой формы произведения двух событий: экономических потерь/приобретений вследствие изменения уровня воды и собственно паводка. Если паводком считать любой подъем воды выше некоторой отметки ккр , то в силу аксиом триангулированной нормы и ко-нормы (в нашем случае — композиционного умножения и сложения) выражение (40) можно записать в виде
Р(ЭЛ & Лв ) = = / £Р + (к,ЭЛ)р(к);
\к>кк„
(41)
£ р(к) + £ р - (к, эл )р(к Д
к<ккр к>ккр /
Здесь учтено, что Р(к, Лв)= (0; 1) при к < ккр и
кр ‘
Р(к, Лв) = (1; 0) при к > к
Видно, что позитивная часть вектора определяется неблагоприятными экономическими последствиями чрезмерного подъема воды, а негативная — вероятностью недостижения водой критической отметки ккр плюс благоприятными последствиями такого подъема, если он все же произойдет.
«Гарантированный» экономический риск паводка вычисляется по формуле Р(ЭЛ &2 Лв ) =
£(Р + (к,Лв )• Р + (к, ЭЛ)) р(к);
к
? (р - <к ,Лв)«Р (к,ЭЛ))р(к)
или аналогично (41):
Р(ЭЛ &2 Лв ) =
= ( £Р + (к,ЭЛ )р(к); £Р - (к,ЭЛ)р(кД
\к>ккр к<ккр /
Здесь негативная часть определяется благоприятными последствиями невысокого уровня воды. Ясно, что это своего рода «гарантированный минимум пользы» от всех уровней воды меньших ккр (тогда как позитивная часть - «гарантированный минимум вреда»).
Упростим задачу, введя следующую дискретную шкалу уровней: {к-1 — маловодье, к0 — норма, кх — паводок, к2 — катастрофический паводок}. Введем соответствующие этим значениям уровней вектора истинности утверждений (37) и (38) и вероятности р(к -х), ..., р(к2) и рассчитаем риски как нестрогие вероятности изменения уровней воды в реке (пример также модельный, поэтому все значения условные). Нестрогую вероятность вычисляем согласно (39), а композиционную сумму и произведение — по формулам (12). Результаты представлены в табл. 3. Здесь Р(ИУБ) = Р(ЭЛv2 СП) — вероятность нежелательных последствий (риск) изменения уровня воды, вычисленная по формулам (5), (12), (39).
Дополнительную информацию для анализа риска в обсуждаемом здесь смысле дают меры над нестрогими вероятностями. Однако, когда мы имеем дело с рисками, обычно предполагается, что эти события достаточно редкие [9]. Соответственно малы и компоненты вектора вероятности. В связи с этим указанные меры лучше нормировать на величину меры определенности цо(А) (по этой же причине, как представляется, для задач анализа рисков не интересна мера избыточности, которая обычно будет близка к 1). Получаемые выражения назовем показателями противоречивости, достоверности и строгости:
П п( А) =
, П д( А) =
Ц д( А)
Ц о( А У
, П с( А) =
Ц с( А) Ц о( А).
Так, показатель цп(А) характеризует степень противоречивости рискового события. Показатель лд(А) — степень желательности/нежелательности последствий. Если он положительный, событие имеет главным образом вредные последствия (является рисковым), если отрицательный — последствия в целом полезны. Просто факт преобладания одного исхода над другим оценивается показателем строгости лс(А). При этом для расчета мер воспользуемся композиционной суммой и композиционным произ-
Таблица 3
П
ЯР
Уровень Вероятность \№,эп)\\ \т,СП)\\ Слагаемые для (17)
к 1 0,1 (0,3; 0) (0; 0) (0,03; 0)
к0 0,6 (0; 0) (0; 0) (0; 0)
к1 0,2 (0,2; 0,4) (0,1; 0) (0,056; 0,08)
к2 0,1 (0,7; 0,3) (0,5; 0) (0,085; 0,03)
Р(ИУВ) = (0,171; 0,11)
ведением в форме (11). Тогда эти операции будут просто выбором наибольшего и наименьшего из двух чисел. Приведем значения мер и связанных с ними показателей для взятого примера:
Цо(ИУВ) = 0,171, Цп(ИУВ) = 0,11, цд(ИУВ) = 0,061, цс(ИУВ) = 0,061;
пп(ИУВ) = 0,643, пя(ИУВ) = 0,357, пс(ИУВ) = 0,357.
Согласно полученным результатам последствия от изменений уровня воды на данной территории довольно ощутимы — цо(ИУВ) = 0,171; их влияние противоречиво — пп(ИУВ) = 0,643 и пс(ИУВ) = 0,357, и носит главным образом нежелательный характер — пд(ИУВ) = 0,357.
Предметом данной работы не являлось исследование подходов к оценке истинности суждений типа (37)—(38). Тем не менее по этому поводу следует сказать несколько слов.
В простейшем случае величину позитивного аспекта истинности данных суждений можно оценивать, например, по формуле
Р+(к, ...) = шт(1, w/Wкр),
где w — потенциальный ущерб от природного явления (например, паводка), а Жкр — максимально допустимый (критический) ущерб соответствующего типа (экономический, социальный, ущерб для отрасли и т.п.). Аналогичным образом может быть оценен и негативный аспект истинности:
Р ^ ■■•) = т1п(1, е/Ежел)-> где е - прирост эффективности в отраслях, испытывающих благоприятное воздействие явления (для паводка — это гидроэнергетика, с/хозяйство); Ежел — желаемый уровень прироста. В случае оценки риска для различных отраслей экономики можно использовать весовые коэффициенты, учитывающие доли этих отраслей в экономике территории. Подходящей может оказаться и такая оценка, как
Р- (к,...)= "
е + Е
где Е - «нормальная» валовая продукция территории в стоимостном выражении, а е прирост в отраслях, испытывающих благоприятное влияние в целом нежелательного природного явления.
Интересно, что одни и те же стоимостные показатели для одной и той же отрасли могут, вообще говоря, войти как в позитивную, так и в негативную часть вектора риска. Например, разрушение зданий от катастрофического подъема воды — это, безусловно, ущерб, но инвестирование необходимых для восстановления средств в строительную отрасль территории — это при-
рост ее эффективности. Здесь мы ясно видим противоречивую природу рисков как нестрогих случайных событий. Возможен и иной подход: получить общую, интегрированную оценку экономического влияния того же паводка или другого исследуемого явления — и в зависимости от знака результата задать позитивный или негативный аспект вектора истинности ||Р(...)||. Если эффект больше 0, задается негативная часть (т.е. Ложь) вектора ||Р(.)|| (явление полезно), если меньше 0 — позитивная (т.е. Истина; явление несет вред). Величина соответствующего аспекта будет определяться модулем полученной оценки.
Значения Р+(...) и Р~(...) могут задаваться и экспертно в соответствии с имеющимися приоритетами. Как и в рассматриваемом примере, если риск оценивается с нескольких позиций, значения Р+(. .) и Р~(...) устанавливаются для каждой из этих позиций, а совокупный риск рассчитывается как вторая форма суммы получающихся нестрогих случайных событий. Разные задачи могут формировать различные методики. Обязательное условие: если ущерб или польза отсутствуют, вклад в соответствующий аспект истинности должен быть равен нулю (см. напр. вторую строку табл. 3).
Более подробно мы этот вопрос не рассматриваем.
Заключение
Суммируем вышеизложенное. В работе показано, что переход от классической к векторной логике из класса УтР-логик превращает скалярную вероятность в векторную. Пара компонентов вектора вероятности интерпретируется как вероятности совершения и несовершения некоторых событий, названных здесь нестрогими случайными событиями. Нестрогость обусловлена совместной благоприятностью и неблаго-приятностью соответствующих элементарных событий, невозможностью дать однозначный ответ на этот вопрос.
Получены формулы для вычисления нестрогих вероятностей простого и некоторых сложных событий. Отмечено, что в отличие от классического случая мы здесь имеем две формы отрицания, две формы суммы и две формы произведения нестрогих случайных событий. Имеется также четыре формы разности, но, поскольку все они лишь сочетания двух форм произведения и отрицания, подробно эти вероятности не рассматривались.
Введена система мер над нестрогими вероятностями, воспроизводящая систему мер УтР-логик и позволяющая количественно оценивать такие качественные характеристики нестрогих
п
НР
случайных событий, как их определенность, противоречивость и строгость.
Предложена система отношений над векторами вероятности, позволяющая некоторым образом упорядочивать их и строить предпочтения между векторами. Это целесообразно, когда мы хотим «скалярно» сравнить события и выбрать среди них «более вероятные» и «менее вероятные».
На основе представленной техники предложен подход к решению задачи о прогнозировании результатов выборов. Социальные системы, в силу своей противоречивости и неопределенности границ, — вполне подходящий объект для анализа с помощью нестрогих вероятностей.
Прогнозирование выборов может рассматриваться в свете анализа риска смены политической власти в результате выборов. В связи с этим рассмотрена проблема применения данной техники к анализу рисков вообще. Показано, что рисковые события в общем случае обладают всеми признаками нестрогих случайных событий, а значит, предлагаемая техника применима и к анализу рисков. В свете этого разобрана также модельная задача оценки риска изменения уровня воды в реке.
Поскольку существует более одного вида векторных логик, различающихся способом задания операций дизъюнкции и конъюнкции, постольку возможны различные схемы вычисления нестрогих вероятностей для сложных событий. Вопросы предпочтительного выбора той
или иной логики требуют дальнейшей проработки.
Литература
1. Аршинский Л.В. Методы обработки нестрогих высказываний. — Иркутск: изд-во ВСИ МВД РФ, 1998. - 40 с.
2. Многозначные логики с векторной семантикой/ Аршинский Л.В.; ВСИ МВД России. — Иркутск, 2003. — 46 с.: Рус.— Деп. в ВИНИТИ 13.02.03, № 281-В2003.
3. Рузавин Г.И. Вероятность и правдоподобные рассуждения. Философия науки. Вып. 2: Гносеологические и логико-методологические проблемы. М., 1996. — С. 163—190.
4. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. 2 изд. М.: Наука, 1950.
5. Shefer G. A mathematical theory of evidence. — Princeton and London: Princeton University Press, 1976. — 297 p.
6. Menger K. Statistical metrics// Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 8, 1942. — p. 535—537.
7. Menger K. Selected Papers in Logic and Foundations, Didactics, Economics. — Reidel, Dordrecht, 1979.
8. Frank H.J. On the simultaneous associativity of F(x,y) and x + y — F(x,y) // Aequationes Math. 19, 1979. — p. 194—226.
9. Акимов В.А., Лесных В.В., Раднаев Н.Н. Риски в природе, техносфере, обществе и экономике. — М.: Деловой экспресс, 2004. — 352 с.
10. Быков А.А., Акимов В.А., Фалеев М.И. Нормативно-экономические модели управления риском // Проблемы анализа риска. 2004, том 1, №2.— С. 125—137.
В. А. АКИМОВ В. В. ЛЕСНЫХ Н.Н.РАДАЕВ
РИСКИ
в ПРИРОДЕ, ТЕХНОСФЕРЕ, ОБЩЕСТВЕ И ЭКОНОМИКЕ
п
HP
24В
В. А. Акимов, В. В. Лесных, Н. Н. Радаев
Риски в природе, техносфере, обществе и экономике
В монографиии с единых научно-методических позиций рассмотрены и систематизированы результаты исследований и практической деятельности в области анилиза и управления рисками в природе, техносфере, обществе и экономике.
Приведены методологические, методические и модельные подходы к идентификации, оценке и прогнозу качественных и количественных показателей риска. Центральной темой монографии является управление риском жизнедеятельности человека и жизнеспособности организаций.
Отдельные главы монографии посвящены основам анализа риска в различных сферах; методам оценки опасностей и ущербов при чрезвычайных ситуациях; характеристикам и системам управления рисками в природе, техносфере, обществе и экономике; принципам, методам и технологиям риск-менеджмента.
Книга предназначена для специалистов в области анализа и управления риском в различных сферах жизнедеятельности человека, общества и государства.
