Математические модели обработки неполных и противоречивых данных на основе логик с векторной семантикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

М2 — Ипр — информационная модель проекта (конструкторская);

М3 — Итн — технологическая мнформа-ционная модель;

М4 — Ифз — информационная модель экземпляра (фактически изготовленного изделия);

М5 — Иэк — информационная модель изделия в процессе эксплуатации;

М6 — Ирм — информационная модель изделия в процессе технического обслуживания и ремонта.

Эти модели отличаются друг от друга составом информационных объектов, отношениями и свойствами изделия (СИ).

Информация о свойствах изделия передаётся на «верхний», управленческий уровень, где происходит сравнение свойств и их значений, сформированных на последующем этапе ЖЦ, со свойствами и значениями, зафиксированными на предыдущем этапе и являющимися требованиями для текущего этапа. Обнаруженные различия в свойствах, обозначенными на рис. 1, служат своего рода «управляющими сигналами», на основе которых корректируется ход основных процессов.

«Нижний» уровень образуют обеспечивающие процессы, связанные с созданием и использованием ресурсов.

Штриховыми линиями показаны воздействия на процессы проектирования, связан-

ные с отклонением от требований, выявленными на последующих этапах ЖЦ. Это отображает использование накапливаемого в процессе производства и эксплуатации изделия опыта.

Штрихпунктирные линии отображают воздействие проектных (конструкторских и технологических) данных на процессы создания ресурсов.

Представление ЖЦ на всех этапах изделия в виде информационных моделей обеспечивает целостность системы, выпуск качественной продукции и соответствует международными стандартам представления данных, что является определяющим показателем процесса сертификации.

Таким образом сертификация — важный фактор обеспечения доверия при взаимных поставках продукции, а также решения таких крупных социальных задач, как гарантия безопасности потребляемой (используемой) продукции, охрана здоровья и имущества граждан, защита окружающей среды. Развитие сертификации в общем экономическом пространстве различных государств подразумевает взаимное признание результатов сертификации продукции, которое может быть основано на гармонизации законодательной базы, использовании единых стандартов и взаимно признанных механизмов установления соответствия.

Аршинский Л.В.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБРАБОТКИ НЕПОЛНЫХ И ПРОТИВОРЕЧИВЫХ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ ЛОГИК С ВЕКТОРНОЙ СЕМАНТИКОЙ

1. Введение са явлений реального мира, для анализа кото-

Предметной областью математического рых они создаются. Объективность моделиру-

моделирования, как правило, являются техни- емых предметных областей, их независимость

ческие системы, социально-экономические от мнений, суждений, оценок исследователей,

процессы, природные явления. Такие модели статичность и однозначность управляющих

представляют собой выраженные языком ма- ими законов привели к возникновению в об-

тематики приближенные описания того клас- ласти математического моделирования набора

УДК 517.958

концептуальных схем постановки и решения проблем (парадигм), основными из которых являются следующие.

1. Парадигма точности. Приближенность моделей есть результат их несовершенства вследствие неполноты наших знаний. Повышая качество моделирования, учитывая факторы, которыми прежде пренебрегали или о влиянии которых не догадывались, можно бесконечно уточнять модель для адекватного описания действительности.

2. Парадигма непротиворечивости. Моделируемые сущности и отношения между ними не должны противоречить друг другу.

3. Парадигма полноты данных. Все утверждения о сущностях и отношениях предметной области полностью обоснованы соответствующими данными и достоверны в рамках конкретной модели.

Эти парадигмы характерны для любой отрасли знания, связанной с изучением объективной реальности. В 60-70 гг XX века развитие науки привело к её проникновению в такие области, где значимыми являются субъективные факторы, например: мнения экспертов, субъективные оценки надежности и достоверности показаний приборов, полученные в нештатных ситуациях, свидетельства очевидцев и т.д. С проблемой влияния субъективных факторов приходится сталкиваться в искусственном интеллекте, социологии, дидактике, при разработке систем управления организацией, производством, всюду, где значимую роль играет человеческий фактор. В этих областях вышеприведенные парадигмы не работают или применимы с ограничениями. Требуется разработка новых моделей и методов для решения таких классов задач. В настоящее время исследователями предложен ряд подходов к формализации и учету субъективных факторов в различных областях деятельности [1], однако работы в этом направлении далеки от завершения. Исследование и разработка математических моделей обработки неполных и противоречивых данных, позволяющих учесть влияние субъективных факторов в сфере принятия решений, экспертном оценивании и в других областях человеческой деятельности, является актуальной научной и практической задачей.

Одним из основных инструментов моделирования неполноты и противоречивости данных являются многозначные, главным образом нечеткие логики и их аналоги: теория вероятности, теория свидетельств Г. Шафера,

теория нечетких множеств Л. Заде, нашедшие применение в таких областях, как принятие решений, экспертное оценивание, интеллектуальная обработка данных. В основе этих подходов лежит использование показателей, характеризующих степень уверенности субъекта в некотором утверждении, или вероятность того, что суждение может быть истинным. Показатели имеют вид числа, лингвистического значения или числового интервала.

Особенностью существующих логико-математических моделей является достаточно грубое моделирование неполноты и противоречивости данных для конечнозначных логик и необходимость согласовывать вклады подтверждающих и опровергающих данных для моделей, основанных на нечетких логиках или их аналогах (это обусловлено влиянием соотношения ||а|| + ||^а||=1, где ||а|| - истинность суждения а, ^ - символ отрицания). В них затруднительно оценивание информационной подкрепленности и иных полезных характеристик суждений. В связи с эти необходима разработка новых логико-математических подходов к их анализу и обработке, что и обсуждается в данной работе. Рассматриваемый здесь подход, основанный на представлении истинности вектором (Истина; Ложь), позволяет решить эти проблемы.

2. Векторизация истинности.

Понятие вектора истинности возникает из представления о многофакторном характере истинности, когда, истинность суждения определяется комплексом независимых факторов (мнений, свидетельств, экспертных оценок, показаний приборов и т.п.) так, что любой из них неустраним без содержательных потерь для восприятия суждения в целом. При этом одни факторы могут, например, подтверждать, а другие - опровергать суждение. Здесь под истинностью понимается выраженное в числовой, лингвистической или какой-либо иной форме свойство суждения, характеризующее соответствие суждения отраженному в нем вещественному или идеальному миру (мирам). «Истина» и «Ложь» - имена аспектов (сторон, граней) такого соответствия. При этом факторы, подтверждающие суждениеа, увеличивают значение аспекта Истина, а факторы, опровергающие а - значение аспекта Ложь. Такое представление истинности допускает, вообще говоря, возможность существования и иных, кроме Истины и Лжи, аспектов истинности (например, «ВозможноДа» и «Воз-можноНет», если вести речь о будущих слу-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

чайных событиях и т.п.). Поскольку при правдоподобных рассуждениях суждения оцениваются по степени их соответствия реальности, аспекты подразделяем на позитивные и негативные. Считаем, что это соответствие тем лучше, чем больше значения позитивных и меньше значения негативных аспектов. Так, Истина — позитивный, а Ложь — негативный аспект истинности. Упорядочивая сами аспекты определенным образом, в общем случае приходим к формализации истинности суждения a вектором ||а||^чек/1 ;а2 ;...;ап лф1, где ||а|| -

истинность; а1 ,а2,...,ап [01]- значения ее аспектов. Векторное представление оценок истинности суждений — главный пункт отличия обсуждаемого здесь подхода от того, что было сделано другими исследователями. Для логик с аспектами (Истина; Ложь), которым, главным образом, и посвящена эта работа (т.н. УТР-логи-ки) используем специальное обозначение ||а|| = .\е1а+ ;а- лф1. Здесь а+ - число из интервала [0, 1], выражающее степень Истины суждения а, а а - число из интервала [0, 1], выражающее степень его Лжи.

Работа с векторами истинности строится на основе операций композиционного умножения х • у и сложения х Ф у, которые задаются аксиоматически на основе аксиом триангулированной нормы и ко-нормы, введенных К. Менгером [2]:

1)х^у = у^х; х Ф у = у Ф х;

2) х' • у < х'' • у, при х' < х";х' Ф у < х'' Ф у, при х' < х'';

3) х • 1 = х; х Ф 0 = х;

4) х • (у • ^ = (х • у) • z; х Ф (у Ф z) = (х Ф у) Ф z;

5) (1 - х) • (1 - у) = 1 - у Ф х. (1 - х) Ф (1 - у) = = 1 - у • х;

(х, у е [0, 1]; символы «0», «1», «-» ит.д. понимаются обычным образом). Первые четыре пары аксиом - это аксиомы триангулированной нормы и ко-нормы, пятая пара аксиом вводится специально, чтобы обеспечить переход от

т/гр

V -логик к нечетким логикам в случае включения в правила обработки данных соотношения а+ + а- = 1. Примеры операций: х• у = тп(х, у),хФ у = тах(х, у); (1)

х • у = ху, х Ф у = х + у - ху; (2)

х • у = тах(0, х + у - 1),

х Ф у = тп(1, х + у). (3)

Конкретный выбор той или иной пары функций определяется конкретной предмет-

ной областью, для которой разрабатывается модель.

Сравнение суждений в УТР-логиках осуществляется на основе отношения правдоподобия и доминирования (см. рис. 1), а также эквивалентности и нестрогой импликации.

Определение 1. Суждение а сильнее суждения Ь, если а+ > Ь+ и а > Ь~. Записывать подобную ситуацию будем как а > Ь. Соответственно Ь слабее а (Ь < а). Это отношение названо отношением доминирования.

Определение 2. Суждение а более правдоподобно (правдоподобнее), чем суждение Ь,

если а+ > Ь+ и а < Ь~. Обозначать это будем как а > Ь.

Соответственно, суждение Ь менее правдоподобно, чем а (Ь < а). Данный тип отношения назван отношением правдоподобия.

Пара отношений правдоподобия-доминирования используется для организации логического вывода, а также позволяет сравнивать суждения между собой, выбирая из них более правдоподобные (отношение правдоподобия) или информационно более подкрепленные (отношение доминирования). С этой целью введен также ряд числовых показателей: определённости цо (а) = а+ Ф а"; противоречия цп(а) = а+ • а"; достоверности цд(а) = а+ - а"; строгости, в форме

Рис. 1. Иллюстрация отношений правдоподобия и доминирования. Здесь И=(1;0) (строгая истина), Л = (0; 1) (строгая ложь), Н = (0; 0) (неопределенность), П = (1; 1) (полное противоречие)].

^с(а) = ^о(а) - Ма) = а+ ® а - а+ * а^ или в форме цс(а) = |цд(а)| = |а+ - а"|; избыточности ци(а) = а+ + а - 1; логического дисбаланса

^ДИс(а) = |а+ + а-1|;

правдоподобия-доминирования, в форме ф(а,Ь) = (а+ - Ь+)(а- - Ь),

или в форме ф(а,b) = 2(а+ - Ь+)(а--Ь) / ((а+ - Ь+)2 + (а"-Ь-)2).

Пары показателей: достоверности-определенности или достоверности-избыточности можно использовать для формирования отношения предпочтения, позволяющего выбирать из нескольких альтернативных гипотез наиболее близкие к строгой истине - (1;0) - и более информационно подкрепленные (рис. 2). Это актуально при моделировании правдоподобного вывода.

Для построения сложных суждений предлагается использовать следующий набор логических связок:

первая форма конъюнкции: а & Ь, где ||а & ьЦ = ( а+ * Ь+; а-® Ь);

первая форма дизъюнкции: а V Ь, где ||а V ьЦ = ( а+ ® Ь+; а * Ь"};

вторая форма конъюнкции: а &2 Ь, где ||а &2 Ь|| = ( а+ * Ь+; а * Ь);

вторая форма дизъюнкции: а v2 Ь, где ||а v2 Ь|| = ( а+ ® Ь+; а'® Ь);

Рис.2. Иллюстрация отношения предпочтения а ^

Ь <с (с предпочтительнее Ь, Ь предпочтительнее) при выборе по показателям достоверности-определенности или достоверности-избыточности.

первая форма отрицания: —a, где ||-a|| = <a- a+);

вторая форма отрицания: ~a, где ||~a|| = <1 - a+; 1 - a").

Первые формы конъюнкции и дизъюнкции, и обе формы отрицания обобщают на векторный случай классические, а также нечеткие связки конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Их целесообразно использовать для моделирования естественно-языковых связок «И», «ИЛИ», «НЕ». Вторые формы следует применять для учета информационно-подкрепленных суждений, исключая недостаточно определенные. Вторые формы конъюнкции и дизъюнкции специфичны именно для векторных логик. В классической и в нечеткой логиках они отсутствуют.

3. Моделирование рассуждений.

Для моделирования рассуждений на осно-

т/TF

ве V -логик используются два типа вывода: содержательный и формальный. Под первым понимается вывод, основанный на знании истинности участвующих в нем суждений, т.е., фактически, на содержании суждений. Под формальным - вывод, основанный только на знании структуры предложений безотносительно к их конкретному содержанию. Он аналогичен выводу в классической символической логике.

Для содержательного вывода используем правила вывода modus ponens (МР) и modus tollens (МТ). При этом введем два сорта импликаций: содержательная, представляющая собой суждение вида «Если a, то b» с экспер-тно-определяемой векторной мерой истинности и нестрогая, представляющая собой отношение правдоподобия a < b или доминирования a < b. Для каждого типа импликации предложены варианты правил МР и МТ.

Содержательный modus ponens (С-МР): a, a ^ b -b: ||b|| = <a+ • i+; a~ ® f). Через двоеточие указана схема расчета истинности заключения. Данное правило может использоваться для содержательного вывода. Оно получено в предположении, что истинность заключения равна ||b|| = ||a & i||, где i есть импликация a ^ b.

Содержательный modus ponens-2(С-МР2): a, a ^ b - b: ||b|| = <[a+ • i+, a-® i+]; [a+ • ia-®

П).

Это также правило для содержательного вывода. Оно получено в предположении, что «наихудшее» (в смысле отношения правдоподобия) значение истинности заключения b

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

равно ||b|| = ||a & i|| и наихудшее значение истинности отрицания —b равно ||-b|| = ||a & —i||. Искомое значение ||b|| находится внутри прямоугольника, формируемого векторами ||b||1 = ||a & i|| и ||b||2 = ||—a v i|| (для первой формы конъюнкции и дизъюнкции справедливы соотношения де Моргана: —(avb) = — a&—b и —(a&b) = —av—b), то есть истинность заключения имеет интервальный характер. Это уточненный вариант правила С-МР.

По аналогии с правилами С-МР и С-МР2 вводятся правила: содержательный modus tollens (С-МТ) и содержательный modus tollens-2 (С-МТ2). Причем следует учесть, что, поскольку в V^-логиках существуют две формы отрицания, данные правила также существуют в двух формах: С-МТ:

> b |—a: ||—a|| = i+; b+ ® i-); •b-~a:||~a|| = <(1 - b+) • i+;(1- b")(

'D.

i+];

> b |—a: ||—a|| = <[b ^ i+, b+ b+ ® f]);

► b ~a: ||—a|| = <[(1 - b+) • i+, b+ ® i+];

—|Ь, а -~Ь, а — С-МТ2: —Ь, а -[Ь* Г, ~Ь, а -[Ь* Г, (1 - Ь) ® Г]);

Первые формы правил С-МТ и С-МТ2 позволяют рассчитать истинность заключения для отрицания, получаемого заменой аргументов «за» на аргументы «против» и наоборот, а вторые - для отрицания, обусловленного незнанием. Это разные формы отрицания, а значит и значения истинности заключений, полученных на их основе, также различаются.

Еще одно правило вывода использует аналогию между импликацией классической логики и отношениями правдоподобия и доминирования.

Правило нестрогого имплицирования (НИ). Если имеется отношение нестрогой импликации в форме отношения правдоподобия а < Ь, или доминирования а < Ь, и

1) если известна истинность ||а|

а, а < Ь|-Ь ||Ь|| = ([а+, 1]; [0, а"])

a, а < ь|-Ь ||ь|| = ([а+, 1]; [а", 1])

2) если известна истинность ||Ь||,

b, а < Ь|-а: ||а|| = ([0, Ь+]; [Ь- 1]);

Ь, а < ь|-а: ||а|| = ([0, Ь+]; [0; Ь"]).

Первый подпункт соответствует выводу

по МР, второй - выводу по МТ. Примерами являются рассуждения типа: а, а < а V Ь |- а V Ь; а, а < а V,, Ь |- а V,, Ь.

то

то

Особенностью данной модели рассуждений является расчет истинности заключений на каждом шаге вывода (т.н. присоединенный вывод). Это может приводить к получению различных значений истинности для одного и того же суждения по разным цепочкам вывода. В результате возникает задача, называемая в присоединенном выводе задачей объединения свидетельств. В рассматриваемой теории предлагается ее решение на основе правила совмещения, которое для УТР-логик формулируется так:

Правило совмещения (ПС). Если для высказывания а получены векторы истинности ||а||1 = (а+1; а-1) и ||а||2 = (а+2; а-,), то объединенная истинность ||а|| характеризуется вектором

||аУ = (^(аЛ а2+); ^(а1- а2-)).

В качестве функций F1() и F2() рекомендуется брать композиционную сумму

l|a|| = <ai+ ® a2

1 a2-),

т.е. использовать вторую форму дизъюнкции. Она обеспечивает симметричное накопление свидетельств по каждому из аспектов.

Вторая из моделей рассуждений опирается на понятие формального вывода. В этом выводе упор делается на структуру предложения. Показано [3], что в УТР-логиках существуют предложения, истинность которых принадлежит некоторым специально установленным подмножествам множества ЛТР=[0,1]х[0,1] при любых значениях истинности суждений, образующих предложение (т.н. устойчивые предложения). Такими областями являются:

Лт - область правдоподобных суждений,

+ ^ -

для которых а > а ;

ЛР - область неправдоподобных суждений, для которых а+ < а"; пересечение Лт и Лр образует область нейтральных суждений Лм, где

a+ = a

Лс - область противоречивых суждений, для которых а+ + а > 1;

Ли - область неопределенных суждений, для которых а+ + а < 1.

Пересечение Лс и Ли определяет область

" лРг

нечетких суждений Л , для которых справедливо соотношение а+ + а- = 1; в этой области находятся значения истинности различных нечетких логик (см. рис. 3).

Также интересен еще один набор областей (см. рис. 4):

ЛР+- область существенно неправдоподобных суждений;

+

a

Ли+- область существенно неопределенных суждений;

Лс+- область существенно противоречивых суждений;

Лт+- область существенно правдоподобных суждений.

Доказан ряд следующих теорем [4].

Теорема 1. Множества Ф(ЛТ), Ф(ЛР), Ф(Ли), Ф(Лс), Ф(ЛТ+), Ф(ЛР+), Ф(Ли+), Ф(Лс+) не пусты

1

г

О + 1

Рис. 4. Области ЛР+, Лт+, ЛU+, Лс+.

(здесь Ф(М) — множество предложений, устойчивых в области М сЛТР).

Теорема 2. Если предложение /(а1, а2.....ап)

устойчиво в некоторой области Л", то предложение f z2 zn), получающееся из f заменой а1 произвольными формулами z¡ такими, что е [0,1] также устойчиво в этой области.

Теорема 3. Если в некоторой УТР-логике предложение а устойчиво в области Лт или Лт+ (т.е. а е Ф(ЛТ) или а е Ф(ЛТ+) ) и между а и Ь существует отношение правдоподобия а < Ь, то Ь также устойчиво в этой области.

Теорема 4. Если в некоторой УТР-логике предложение а устойчиво в области ЛР (или ЛР+) и существует отношение правдоподобия Ь < а, то Ь также устойчиво в этой области.

Теорема 5. Если в некоторой УТР-логике предложение а устойчиво в области Лс (или

4 С+1

Л ) и существует отношение доминирования а < Ь, то Ь также устойчиво в этой области.

Теорема 6. Если в некоторой УТР-логике предложение а устойчиво в области Ли (или Л ) и существует отношение доминирования Ь < а, то Ь также устойчиво в этой области.

Теорема 2 формулирует правило подстановки, подобное классическому, а теоремы 3-6 — аналоги классических правил вывода МР и МТ, где отношения < и < рассматриваются как аналоги материальной импликации.

«Полномасштабная» модель правдоподобных рассуждений должна содержать как эле-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

менты содержательного, так и элементы формального выводов.

Интересным вопросом является обобщение моделей рассуждений, основанных на содержательном выводе, на случай интервальных значений компонентов вектора истинности. В связи с этим доказан ряд теорем [4]. В частности следующая, формулирующая интервальный вариант правила С-МР2.

Теорема 7. Если истинность малой посылки в выводе а, а^Ь -Ь равна ||а|| = ([а+1, а+2]; [а~2, а^]), а истинность большой -

||а^Ь|| = ([.+1, /+2]; [а2, ¿"1]), то истинность заключения

1|ь|| = ([а+1 • ¿+1, а ^ Ф г+2]; [а+1 • Г2, а\ Ф ¿"1]).

Интервальный вариант правила С-МТ2 для обеих форм отрицания при

Ь = ([ ь+1, Ь+2], [Ь"2, Ь-1]) имеет вид:

([Ь 2• г 1, ь 2ф г 2];

—|Ь, а ^ Ь |—.а: ||—а||

[Ь 2 • ¿~2, Ь+2 Ф /^1]);

~Ь, а ^ Ь а: ||~а|| = ([(1- Ь+2) • /+1, (1-Ь+2) Ф /+2];

[(1 ь 2) (1 ь 2) Ф /-1]).

Наконец, интервальный вариант правила совмещения, при совмещении на основе второй формы дизъюнкции при ||а||1 = ([а+11, а+21]; [а 11, а_21]) и ||а||2 = ([а+

12, а 22]; [а 12, а 22]) имеет

вид:

1|а|| = ([а+и<

[а"иФ а l2, а 2

а+12, а+21 Ф а""и]).

а 22];

(4)

Для выбора наиболее предпочтительного заключения из множества получаемых заключений на окончательном этапе предлагается переходить от интервальных к точечным значениям истинности. Например, к серединам интервалов. Далее предпочтение можно строить на основе определенных ранее показателей достоверности и определенности.

Переход к интервальным значениям истинности позволяет рассмотреть процедуру накопления свидетельств при взаимоисключающих гипотезах и проблему вывода по правилу МР на основе импликаций с дизъюнктивной правой частью: а ^ Ь1v Ь2 v...v Ьп. Соответствующий вывод можно осуществлять по следующей схеме:

п

а, а ^ Ь^ Ь2 v...v Ьп |-.'.5а Ьг.: ||Ьг.|| = ([0, а+ • /+]; [а"Ф Г, 1]).

Т.е. истинность дизъюнктов принимает только интервальную форму. Последующее объединение свидетельств согласно (4) уточняет эти интервалы.

Интервальная модель реализована в разработанной автором системе автоматизации

правдоподобных рассуждений ИвгаеШ, предназначенной для работы в противоречивых и информационно-дефицитных предметных областях.

4. Нестрогие случайные события

Представление о векторном характере истинности дает интересные следствия в других областях, также подверженных влиянию субъективности, но выходящих за рамки моделей рассуждений. В частности, в теории вероятности.

В основе этого направления лежит понятие вероятности нестрогого случайного события [5]. Данная вероятность является векторной величиной и вычисляется как

Р(А)=(ХР + (ш,А)р(ш); XР-(шА)р(ш)), (5)

юл хей шл хей

где Р+ (ю, А) е [0,1] - мера Истины, а Р~ (ю, А) е [0,1] - мера Лжи предиката

Р(ю, А) = «ю е А», где А с О .

Здесь р(ю) — «обычная» вероятность элементарного события, принадлежащего полной группе событий О (ю еО). Подобные ситуации возникают в случаях, когда соответствующие элементарные события трудно оценить (субъективно либо объективно) как однозначно «благоприятные», либо «неблагоприятные» с точки зрения А. Примером являются рисковые события, если оценивать не только возможный ущерб, но и приобретения от них [5].

Следствием двух форм конъюнкции, диз-

тДР

ъюнкции и отрицания в V -логиках являются две формы произведения, суммы и противоположного события для нестрогих случайных событий:

Р(А&В) = Х|| Р (ш, А)& Р (ш, В | р(ш) =

ш€Й

Х(Р + (ш, А) • Р + (ш, В ))р(ш);

= (шей );

Х(Р " (ш, А) Ф Р - (ш, В ))р(ш)

ш€Й

Р(А&2В) = X || Р(ш, А)&2 Р(ш, В)|| р(ш) =

ш€Й

Х(р + (ш, А) • Р + (ш, В ))р(ш);

= (шей ).

Х(Р " (ш, А) • Р - (ш, В ))р(ш)

ш€Й

P(AvB) = X || Р (ш,А) V Р (ш,В )|| р(ш) =

ш€Й

Х(р + (ш, А) Ф Р+(ш, В ))р(ш);

= (шей );

Х(Р" (ш А) •Р-(ш, В ))р(ш)

шей

P(Av2B) = X||Р(ш,А)v2 Р(ш,В)||р(ш) =

Х^ + (ш, Л) Ф F + (ш, В ))р(ш);

= (шеП );

Х^ - (ш, Л) Ф F - (ш, В ))р(ш)

шеП

Х F - (ш, Л )р(ш); Р(—Л) = Х У—тЛ )|| р(ш) = (шеП ).

шеП Х F+(ш, Л )р(ш)

шеП

Р(~Л) = Х || F (ш,Л )|| р(ш)= (

шеП

Х(1 -F+(ш,Л))р(ш); Х(1 -F (ш,Л))р(ш)).

шеП шеП

При этом первые формы произведения и суммы обобщают произведение и сумму классической теории вероятности, а вторые их формы специфичны только для векторной вероятности. Обе формы противоположного события при переходе к обычному пониманию вероятности, когда значения F+ (ю, Л) и _Р(ю, Л) принимают совместно значения 0 и 1 либо 1 и 0, превращаются в одно и то же противоположное событие в классическом смысле. Дополнительно отметим, что если операции * и Ф удовлетворяют свойству х + у = х Ф у + х * у, что справедливо, в частности, для (1)-(3), то выполняются равенства:

Р(Л V В) = Р(Л) + Р(В) - Р(Л& В) и Р(Л V, В) = Р(Л) + Р(В) - Р(Л&2 В).

Несмотря на векторный характер нестрогих вероятностей их можно сравнивать и анализировать на основе скалярных показателей, подобных тем, что введены для суждений:

цо (Л) = Р(Л+) Ф Р(Л") - определенности;

(Л) = Р(Л+) * Р(Л) - противоречия;

(Л) = Р(Л+) Ф Р(Л ) - Р(Л+) * Р(Л ) или (Л) = | Р(Л+) - Р(Л") | - строгости;

цд (Л) = Р(Л+) - Р(Л") - достоверности

и т.п.

Также вводятся отношения правдоподобия и доминирования для нестрогих случайных событий:

Л > В (Л правдоподобнее В), если Р+ (Л) >Р+ (В) и РГ(Л) < Рг(В),атакже:

Л > В (Л доминирует над В), если Р+(Л) > Р+(В) и РГ(Л) > РГ(В).

Если Р+(Л) = Р+(В) и Р(Л) = Г(В), то события Л и В эквивалентны. Для нестрогих случайных событий вводится отношения предпочтения:

Л ^ В (Л предпочтительнее В), если ^д(Л) > ^д(ВЬ а при ^д(Л) = Vд(B), если

Цо(Л) > Цо(В).

5. Нестрогие множества

Еще одним направлением переноса векторного представления истинности на другие области является формализация множеств с неопределенным и противоречивым контентом (содержимым). Основой получаемого формализма также является векторное представление истинности предиката «хеЛ», АсЦ где Ц - универсальное множество (универсум). Получающиеся при этом множества, названные нестрогими, являются обобщениями нечетких множеств Л.Заде.

Определение 3. Нестрогим подмножеством Л универсального множества Ц называется множество упорядоченных пар {и,||и||Л}, где иеЦ, а ||и||Ле[0,1]п - векторный показатель принадлежности элемента и подмножеству Л.

Вектор ||и||Л будем интерпретировать как истинность утверждения «иеЛ» в некоторой У-логике. Тогда каждый из компонентов щ вектора ||и||Л = (иЛ';...;иЛп) характеризует истинность этого утверждения по тому или иному аспекту. В случае Утр-логик нестрогие множества задаются парами {и, (иЛ+; иЛ)}, где иЛ+ - степень согласия (Истина), а и~ - несогласия (Ложь) с указанным утверждением.

Нестрогое множество Л является пустым, если

V иеЦ (||и||Л = (1ш/;...; 1шГ)).

Обозначим его традиционным символом

0 (логический инфинумом 1Ш есть 0 для позитивных и 1 для негативных аспектов истинности). Нестрогое множество Л совпадает с универсальным, если

V иеЦ (||и||Л = (/вир1;.; 1вирп)), (логический супремумом 1вир есть 1 для позитивных и 0 для негативных аспектов истинности).

Важным понятием теории нечетких множеств является понятие носителя, под которым подразумевается множество (в классическом смысле) всех элементов универсума, для которых ц(и) > 0. Носителем нестрогого множества Л (виррЛ) назовем множество вида

виррЛ = {и | иеЦ, ||и||Л *(1Ш';...; 1шГ)}.

Также обобщением на рассматриваемый случай введены известные в теории нечетких множеств понятия верхней и нижней границы нестрогого множества, нестрогого синглтона, множества уровня, а-сечения и т.п. Легко вводятся отношения между множествами.

Определение 4. Нестрогое множество Л является подмножеством нестрогого множес-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

тва В (В включает А: А с В), если V/ (иАг < иВг), где > — отношение логического порядка, означающее, что иАг > иВ для позитивных и иА'< иВ для негативных аспектов истинности.

Определение 5. Нестрогое множество А является субдоминантой нестрогого множества В (соответственно В доминирует над А: А сс В), если Vl(uA1<uB1).

Определение 6. Нестрогое множество А равно нестрогому множеству В (А = В), если V/ (иА = иВг).

Также вводятся понятия нестрогого отношения и декартова произведения двух нестрогих подмножеств универсумов и1 и Ц2. Так, декартовым произведением АхВ нестрогих подмножеств А с и1 и В с и2 названо нестрогое подмножество декартова произведения универсальных множеств и1хЦ2 с функцией принадлежности

и1,и2)||ахВ =( и1 ли2;и12 ли22;...;иГ ли1 ), где

и'1 •и12,ели аспекты позитивные; и'1 Ф и2 ,если аспекты негативные.

Оно легко обобщается на случай произвольного числа нестрогих подмножеств.

На основе двух форм связок конъюнкции, дизъюнкции и отрицания для нестрогих множеств вводятся две формы пересечения, объединения и дополнения.

Определение 6. Первой формой пересечения двух нестрогих множеств А и В назовем множество С = А п В такое, что

VI

,если г -йаспектпозитивныи

и. Ф ии,если г-й аспектнегативный

А В ' у

Определение 7. Второй формой пересечения двух нестрогих множеств А и В назовем множество С = А п2 В такое, что

VI и

и'в).

Определение 8. Первой формой объединения двух нестрогих множеств А и В назовем множество С = А и В такое, что

V/

ип ,если / -йаспектпозитивньш

I иА • иВ ,если / -й аспектнегативный

Определение 9. Второй формой объединения двух нестрогих множеств А и В назовем множество С = А и2 В такое, что

V1 (и'с = иА Ф и'в).

Для обеих форм пересечения и объединения справедливы свойства: АпВ с А, А с А и В и А п2 В сс А, А сс А и2 В.

Важную роль в теории нечетких множеств играют также операции концентрирования и растяжения множества, которые основаны на степенных функциях: цА(и) ^ (цА(и))к и цА(и) ^ (цА(и))1Л, где ц А(и) — степень принадлежности элемента и множеству А. Однако для нестрогого случая, в первую очередь для сверхнечетких множеств, эти функции не обеспечивают переход от сверхнечетких к нечетким множествам при введении связи иА + иА = 1. В связи с этим для концентрирования и растяжения нестрогих множеств предлагается пользоваться следующими выражениями:

1соп(и1А) =

(иА )•" ,если аспект и1 позитивный;

[(иА ) п ,если аспект и1 негативный, для концентрирования и

т<)=

(иА )Фп ,если аспект и1 позитивный; (иА )^п ,еслиаспект и1 негативный,

- для растяжения.

Здесь х1 — к-кратное применение операции композиционного умножения, а хФ - операции композиционного сложения со свойствами: х • х < х и х Ф х > х. Это, например, функция (2).

Модели нестрогих случайных событий и нестрогого множества позволяют эффективно учесть субъективные факторы в оценке принадлежности элемента (элементарного события) соответствующему множеству, принимая в внимание не только достоверность соответствующих предикатов, но и их информационную подкрепленность.

Заключение

Кратко суммируем представленные результаты.

1. Векторное представление истинности эффективно при использовании многофакторных суждений, истинность которых определяется совокупностью факторов (показаний приборов, свидетелей, оценок и мнений экспертов и т.п.), которые с различным весом подтверждают или опровергают суждения. В качестве весовых значений могут выступать их значимость, надежность, убедительность и иные субъективные и объективные показатели. Для работы с векторами истинности предложены операции композиционного умножения и сложения. На их основе определены две формы связок конъюнкции и дизъюнкции и предложены схемы расчета истинности заключений, сделанных по правилам

иА •и

и

А

и

modus ponens и modus tollens. Введено правило совмещения для объединения свидетельств. Рассмотрены случаи «точечных» и «интервальных» значений вектора истинности. Во втором случае предложена схема расчета истинности заключений для импликации с дизъюнктивной правой частью.

2. Для моделирования рассуждений введены понятия содержательного и формального выводов. Для формального вывода введено понятие предложения, устойчивого в некотором подмножестве множества допустимых значе-

. TF

ний истинности Л , в качестве которых рассматриваются: Лт - область правдоподобных суждений; ЛР - область неправдоподобных суждений; Лс - область противоречивых суждений и Ли - область неопределенных суждений, а также их подобласти: Лт+с Лт, ЛР+с ЛР, Лс+с Лс и Ли+с Ли. Доказано, что множества предложений, устойчивых в этих областях, не пусты. На основе отношений правдоподобия и доминирования для формального вывода сформулирован соответствующий вариант правила modus ponens. Доказано существование правила подстановки, аналогичного классическому. Отмечено, что «полномасштабный» вывод в данном классе логик включает в себя этапы и содержательного, и формального выводов.

3. Сформулировано понятие нестрогого случайного события и введены основные операции и отношения над ними. Установлено, что для нестрогих случайных событий существуют по две формы произведения и суммы, и две формы противоположного события, а также отношения правдоподобия и доминирования между нестрогими случайными событиями. По аналогии с УТР-логиками введены числовые характеристики нестрогих случайных событий: противоречивости, определенности, строгости, достоверности. Установлено, что рисковые события могут квалифицироваться как нестрогие случайные события. Показано, что классическая теория вероятности может рассматриваться как частный случаи теории нестрогих случайных событий, если предикат принадлежности элементарного события га случайному событию Л всегда строго истинный или строго ложный.

4. Разработана и исследована модель множеств с неопределенным и противоречивым содержанием. Сформулировано понятие нестрогого множества, введены основные понятия, операции и отношения для нестрогих множеств. Определено декартово произведение нестрогих множеств. На основе логичес-

TF

ких операций и отношений V -логик для них определены по две формы объединения и пересечения, а также определены отношения включения, доминирования и равенства. Даны понятия подмножества и субдоминанты нестрогого множества. Введены понятия носителя нестрогого множества, его верхней и нижней границы и т.д. Установлено, что для концентрирования и растяжения нестрогих множеств непригодны степенные функции, используемые в теории нечетких множеств. Для этого предложены степени операций композиционного умножения и сложения соответственно. Показано, что классические нечеткие множества могут рассматриваться как частные случаи нестрогих множеств, если для

компонентов соответствующих векторов ис-

+ . -

тинности выполняется соотношение a + a = = 1.

Примеры практического применения векторных логик даны в [4].

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Человеческий фактор в управлении / Под ред. Н.А. Абрамовой, К.С. Гинсберга, Д.А. Новикова. - М.: КомКнига, 2006. - 496 с.

2. Menger K. Statistical metrics // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1942. - 8.- P.535-537.

3. Аршинский Л.В. Содержательный и формальный вывод в логиках с векторной семантикой // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 1.- С. 153-162.

4. Аршинский Л.В. Векторные логики: основания, концепции, модели. - Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 2007. - 228 с.

5. Аршинский Л.В. Приложение логик с векторной семантикой к описанию случайных событий и оценке риска // Проблемы анализа риска. - 2005. - Т.2. - №3. - С. 231-248.