CC BY
27УДК 510.64+004.89
ВЕКТОРНЫЕ ФОРМАЛИЗМЫ В ЛОГИКЕ И ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ Аршинский Леонид Вадимович
Д.т.н., доцент, зав. кафедрой «Информационные системы и защита информации», Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074 г. Иркутск, ул. Чернышевского 15, e-mail: larsh@mail.ru
Аннотация. Работа посвящена описанию векторных формализмов, используемых в логике. Рассматриваются три направления исследований в этой области. Первое связано с усложнением формального аппарата классической математической логики и векторизации категорий Истины и Лжи. Здесь представлены векторная логика Е. Мизрахи и матричная логика А. Штерна. Второе основано на векторизации логической семантики, когда истинность рассматривается как многокомпонентный вектор. Это логика К.И. Бахтиярова, нейтрософская логика Ф. Смарандаке, логики с векторной семантикой. Третье направление посвящено векторизации силлогистики Аристотеля. Все три направления находят применение для решения задач в области вычислительной техники, искусственного интеллекта, в других областях знаний.
Ключевые слова: неклассическая логика, векторная логика, нейтрософская логика, логики с векторной семантикой, силлогизм.
Введение. Одним из сравнительно новых направлений в логических исследованиях и прикладной логике стало использование векторов для представления истинности. В работе [8] автором сделан обзор этих направлений. Они включают векторную логику Е. Мизрахи, матричную логику А. Штерна, логику К.И. Бахтиярова, нейтрософскую логику Ф. Смарандаке, логики с векторной семантикой и векторизацию силлогистики Аристотеля. Первые две логики связаны с усложнением формального аппарата при сохранении двух (классических) категорий истинности: Истины и Лжи (в традиционной логике и ряде неклассических логик под Истиной и Ложью понимают значения истинности, однако более общий взгляд на логическую семантику приводит к пониманию того, что это не значения, а именно категории: предельно общие фундаментальные понятия, отражающие наиболее существенные, закономерные связи и отношения реальной действительности и познания [16]; надо только добавить, что это логические категории).
В [8] отмечается, что толчком к формированию векторного представления истинности во многом стало введение в логику пары чисел {0,1}, которые трактовались как значения истинности: «ложь» и «истина» [20, 25, 26] (значения истинности пишем в кавычках). Появление многозначных логик мало что поменяло в этом представлении, разве что ко «лжи» и «истине» добавились «неопределенность», «противоречие» и другие значения [17]. Это представление просуществовало практически до конца XX века, пока в работах Е. Мизрахи и А. Штерна число не было заменено на вектор. Это превратило «истину» в Истину, а «ложь» стала Ложью; числа 0 и 1 были заменены на более общие конструкции - вектора.
Следующим, и независимом от первого, этапом стала векторизация уже самой истинности, а не ее значений. Если логики Мизрахи и Штерна по-прежнему имеют дело со своего рода «двузначной» логикой (только ее значениями выступают уже не числа или их лингвистические представления, а вектора), то векторизация истинности сделала Истину и Ложь именами компонентов вектора истинности, где каждый из компонентов может принимать определенное значение или набор значений из соответствующего множества (например, при интервальном представлении). Это логики Бахтиярова, Смарандаке, логики с векторной семантикой.
Наконец третьим из представленных здесь направлений векторизации стало «иллюстрирование» силлогизмов Аристотеля геометрическими векторами. Слово «иллюстрирование» взято в кавычки потому, что речь идет, конечно, не об иллюстрировании, а о довольно развитом силлогистическом формализме, опирающемся на наглядные геометрические представления. Это направление представлено работой В.И. Межуева.
Рассмотрим все эти направления подробнее.
1. Векторная логика Мизрахи и матричная логика Штерна. Обзор логических формализмов, использующих понятие вектора, начнем с векторной логики Мизрахи (М1гта]1 Е.). В ней с помощью векторов формализуются значения «истина» и «ложь». Появление этой логики связано с исследованиями в области моделирования контекстно-зависимой памяти в нейронных сетях [30, 31]. В основе формализма лежит представление «истины» и «лжи» двумя ^-мерными вектор-столбцами (q > 2) единичной длины: 8 и п. Первый ассоциируется с понятием Истина, второй с Ложью. Истинность в целом представлена парой {8, п}, где вектор-столбцы 8 и п ортонормальны:
т т т т
8 п = п 8 = 0 ; = пп = 1 .
Для определения логических связок применяются «монадные операторы»:
т т
I = + пп ;
Т Т
N = П8т + 8п ;
Т Т
К = 88т + 8пт •
1
М = п8т + ппт .
Матрица I - оператор тождества; для него выполняется свойство: 1р = р, где р -произвольный вектор. Матрица N соответствует отрицанию: N8 = п и Nn = 8.
Конъюнкция и дизъюнкция представляются операторами С и Б соответственно:
С = I ® 8т + М ® пт;
Б = К ® 8т +1 ® пт .
или, что то же самое:
С = 8(8 ® 8)т + п(8 ® п)т + п(п ® 8)т + п(п ® п)Т ;
Б = 8(8 ® 8)т + 8(8 ® п)т + 8(п ® 8)Т + п(п ® п)Т .
Здесь ® - произведение Кронекера: если А = [ау ] и В = [Ьу ] - пара матриц размерностью шхп ирхд, то А ® В = [ауВ].
Понятие нечеткости автор вводит конструкцией: p = ys + (1 — y)n, где у е [0,1] [32]. В частном случае векторов s = ^^j и n = (0j это представление фактически совпадает с традиционным.
Несмотря на определенное обобщение классической и нечеткой логик, в логике Мизрахи используются только известные логические связки: конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и т.д. Принципиально новым тут является переход от логических констант {«истина», «ложь»} к векторам Истины и Лжи. Далее автор развивает это направление, формализуя в нем модальности необходимого и возможного, а также проводя аналогии с вероятностной логикой [32, 33]. Среди российских работ в этой области можно указать [15]. В ней с позиций векторно-матричного представления развита логика нечетких предикатов и дан пример решения экономической задачи. Данная работа опирается на идеи Мизрахи, хотя в ней авторы рассматривают логику Мизрахи с более общих позиций, называя ее тензорной.
Близкой по духу к логике Мизрахи является появившаяся примерно в то же время матричная логика Штерна (Stern A.) [37]. Ее любопытной особенностью является настойчиво проводимая параллель с квантовой механикой, вплоть до использования специфической терминологии. Например, истинность в ней описывается «бра»- и «кет»-векторами - это термины, пришедшие в квантовую механику из работ П. Дирака. Одно из прикладных направлений этой логики - моделирование квантовых процессов.
В логике Штерна в терминах бра- и кет-векторов, а также матричных операторов, подобных операторам квантовой механики, описываются все известные в классической математической логике логические связки: конъюнкции, дизъюнкции, исключающего или, отрицания, эквивалентности, импликации, стрелки Пирса и пр., исследуются и обобщаются базовые логические законы вроде законов противоречия, исключенного третьего, Де Моргана. С позиций матричной логики обсуждаются логики Лукасевича, Поста, Рейхенбаха, рассматривается формализация истинности комплексными числами. В частности, известная в нечеткой логике взаимосвязь:
+ — 1 a + a = 1,
где a + =|| a | |е[0,1] - истинность утверждения a, а a— =| | —a ||е[0,1] - истинность его отрицания, формирующая, если можно так выразиться, линейную функцию перехода от
вектора Истина (^j к вектору Ложь ^0j, заменяется функцией перехода «по дуге»
единичного радиуса - см. рис. 1. В связи с этим в [37] говорится о фазовом пространстве значений истинности. Подобную же трактовку истинности допускает и логика Мизрахи. В целом обе эти логики рассматриваются как алгебраические модели элементарной логики, основанные на матричной алгебре. Пионерной работой по приложению линейной алгебры к формальной логике в [31] называется [27].
В заключение следует отметить, что в [37] в качестве базисных векторов берутся 1 j ( 0
только ^^ и ^^. Е. Мизрахи в этом смысле идет дальше, допуская произвольное
количество и произвольные значения компонентов для 8 и п при соблюдении требования их ортономальности. И в том и в другом случае привязка к категориям Истины и Лжи и ортонормальность базисных векторов выглядит как скрытая реализация принципов
противоречия и исключенного третьего, что позволяет рассматривать эти логики как развитие классических представлений.
Обращает на себя внимание и достаточно тяжелый в содержательном плане математический аппарат обеих логик.
l
a
0 а+ 1
Рис. 1. Переход от вектора Истина к вектору Ложь при нечетком и матричном представлении истинности.
2. Логика Бахтиярова. Примером, где понятие вектора истинности связано с развитием неклассических взглядов, являются исследования К.И. Бахтиярова [10-13]. В их основу положена идея о том, что суждение может оцениваться с разных сторон (позиций, аспектов). Причем истинность каждого аспекта принимает одно из трех значений: +1 (Истина), -1 (Ложь), 0 (Неопределенность). Истинность суждения в целом представляет собой вектор, компоненты которого суть аспекты оценивания, значения которых принадлежат множеству {-1, 0, +1}. Истинность сложных суждений рассчитывается на основе покомпонентной обработки векторов. При этом для дизъюнкции результирующее значение аспектов вычисляется по формуле:
||а1 V а2\\г = вй^п^ЦахЦ/ + ||а2||х- + 1);
для конъюнкции - по формуле
jjal & a2||i = sign(||al||i + ||a2||z- - l).
Для импликации используется
для отрицания - формула
jjal ^ a2||i = sign(||a2||¿ - jjal||¿ + l);
jhajji = -jjajji.
Здесь ||a||¿ - i-й аспект истинности суждения a; sign(x) =
1, если x > 0;
[0, если х < 0.
Таким образом, семантика Бахтиярова основана на многоаспектности и векторном описания истинности. Сами аспекты принимают три возможных значения: -1, 0, и 1.
3. Нейтрософская логика Смарандаке. Интересным логическим формализмом, использующим векторное представление истинности, является нейтрософская логика Смарандаке (БтагапёасИв Г.). Она опирается на идею, что истинность любого суждения есть вектор из трех компонентов (Т; I; Г), где Т есть степень Истины, I - Нейтральность, Г -Ложь. Ложь в данной логике связана с понятием контрарных, а Нейтральность -контрадикторных предложений за вычетом контрарных, если следовать классической
терминологии. Однако при этом не исключается совместная реализация трех аспектов сразу [23].
Каждый из компонентов вектора истинности в логике Смарандаке принимает значение из нестандартного интервала ]— 0,1+ [, где — 0 = 0 — е, 1+= 1 + е при е ^ 0 . Никакой
функциональной связи между T; I; F нет, так, что — 0 < T +1 + F < 3+. В прикладных задачах нестандартный интервал можно заменять обычным: [0,1]. Тогда T, I, F е [0,1] и 0 < T +1 + F < 3 [34, 35].
Значения компонентов могут быть представлены как числами (назовем их «точечными»), так и интервалами, а также представлять собой упорядоченное подмножество из ]— 0,1+ [ (или [0,1] в прикладных задачах).
Логические связки конъюнкции, дизъюнкции, отрицания представляются в ней конструкциями [34]
|| a1&a2 ||= (T • T2; Д • 12; F1 • F2>,
||a1 va2 ||=<T + T2 — T1 T; I1 +12 — Д • I2; F1 + F2 — Fx • F2>, || —a ||=<1+— T; 1+ — I; 1+ — F> соответственно. Здесь «•», «+», «—» - операции умножения, сложения и вычитания, обобщенные на нестандартные подмножества интервала ]— 0,1+ [; Tt, It, Ft - значения компонентов векторов истинности: || a ||=<T; h; F > и || a2 ||=<T; I2; F>. При переходе к стандартному интервалу [0,1] и точечным значениям истинности это обычные умножение, сложение и вычитание.
Интересно отметить, что в более поздней работе [35] логические связки формализуются иначе:
||a1 &a2 ||=<min(T1, T^max^, I2);max(F1, F2)>, || a1 v a2 ||= <max(T, T> );min(I1, 12);min(F1, F2 )>, || —a ||=< F; 1+ — I; T >.
Здесь, как и в первом случае, min() и max() - обобщения функций минимума и максимума на подмножества нестандартного интервала ]— 0,1+[. Нужно заметить, что это принципиально разные определения связок. Автор вводит разные типы конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, не комментируя этого.
В прикладных задачах между суждениями важно задавать порядок, позволяющий предпочесть одни другим. В логике Смарандаке для этого пользуются правилом [35]:
ai < a2 (ai менее предпочтительно, чем a2), если и только если T\ < T2, I\ > I2, Fi > F2, для точечных компонентов, и
ai < a2, если и только если inf T1 < inf T2, sup T1 < sup T2, inf I1 > inf I2, sup I1 > sup I2, inf F1 > inf F2, sup F1 > sup F2
для компонентов-подмножеств.
В [23], а также [35, 36] с позиций нейтрософской логики проведен анализ известных логических представлений, а также теории множеств (нейтрософские множества), теории
вероятности (нейтрософская вероятность), статистики, геометрии и т.д. В частности, рассматривая нейтрософию как направление философии, автор затрагивает квантовомеханическую и релятивистскую картины мира. На русском языке основы этой концепции представлены в [21] и [23].
Нейтрософская логика является следующим шагом после нечеткой. В то же время, ее особенностью служит ограничение на число компонентов вектора истинности при их жесткой содержательной интерпретации: Истина, Ложь, Нейтральность. Также используется классический набор логических связок и единственный критерий частичного порядка между суждениями. Достаточно интересным выглядит переход от привычного интервала значений истинности [0,1] к нестандартному ]- 0,1+[, хотя прикладная ценность такого перехода все же сомнительна.
В [14] дан пример решения практической задачи с использованием описанного формализма.
4. Логики с векторной семантикой. Логики с векторной семантикой - класс логик, в которых истинность суждения а формализуется вектором с произвольным (в общем случае) числом компонентов: ||а|| = (а1; а2;...; ап), а е [0, 1]. Значения каждого из компонентов определяются своим комплексом свидетельств. Позиции компонентов в векторе называются аспектами истинности, а их значения - значениями этих аспектов [1].
Содержательная сторона аспектов вторична. Важно, что истинность отражает представление о соответствии суждения реальности. Важен также характер влияния отдельного компонента на это соответствие. В этом смысле, каковы бы не были аспекты истинности, все они делятся на два класса. В первом случае истинность, выраженная вектором (а1; а2;...; а1;...; ап), говорит о большем соответствии, чем (а1; а2;.; а1;...; О1), если а1 > а1. Во втором - если а1 < а1 [7]. Иначе говоря, рост (убывание) аспектов первого и второго типа влияют на истинность взаимно противоположным образом. Аспекты первого типа названы позитивными, а второго - негативными. Чтобы их различать, используются верхние индексы «+» и «-». Например, (а ; а~ "), (0.5+; 0.2+; 0.9-), и так далее. Если порядок следования аспектов в векторе таков, что сначала указываются позитивные компоненты, такая запись называется нормальной формой вектора истинности:
/ 1+ 2+ 1+ (г + 1)- п-
(а ; а ;..., а ; а ( ) ;...;а ").
Количество позитивных и негативных компонентов в общем случае может быть любым. При этом если содержательный смысл аспектов истинности не важен и их число не оговаривается, говорится о многоаспектных векторных логиках (^-логиках), иначе, о двухаспектных, трехаспектных и т.д. Если существенна содержательная сторона аспектов, это может быть отражено в наименовании. Например ^^-логика - это двухаспектная векторная логика с аспектами (Истина; Ложь).
4.1. Сложные суждения. Для построения сложных суждений в логиках с векторной семантикой рассматриваются следующие типы логических связок: 1 -я и 2-я форма конъюнкции, 1-я и 2-я форма дизъюнкции и две формы отрицания [1].
Определение 1. Первой формой конъюнкции двух суждений а и Ь называется суждение c = а&Ь, значения аспектов истинности которого определяются по правилу:
с1 = а • Ь1, если аспект позитивный; в = а Ф Ь1, если аспект негативный.
Определение 2. Второй формой конъюнкции a и b в называется суждение c = a &2 b, значения аспектов истинности которого определяются по правилу:
d = ai • b1.
Определение 3. Первой формой дизъюнкции двух суждений a и b называется суждение с = a v b, значения аспектов истинности которого определяются по правилу:
с1 = d Ф b1, если аспект позитивный; С = a • b1, если аспект негативный.
Определение 4. Второй формой дизъюнкции двух суждений a и b в называется суждение с = a v2 b, значения аспектов истинности которого определяются по правилу:
с1 = ai Ф b1.
Первые формы - это обобщения классических конъюнкции и дизъюнкции на векторный случай. Вторые возможны только в векторной семантике.
Здесь х • у - ¿-норма, х Ф у - ¿-конорма (s-норма) в инфиксной записи при том, что между ними существует взаимосвязь:
(1 - х) • (1 - у) = 1 - х Ф у; (1 - х) Ф (1 - у) = 1 - х • у.
Примерами здесь служат пары функций х • у = тт(х, у), и х Ф у = тах(х, у); х • у = max(0, х + у - 1), и х Ф у = min(1, х + у); х • у = ху, и х Ф у = x + y - ху.
Определение 5. Первой формой отрицания (отрицанием в форме перестановки) называется суждение —a, истинность которого получается из ||a|| путем перестановки местами значений позитивных и негативных компонентов (позитивные компоненты объявляются негативными, а негативные позитивными). Например, для К^-логик это выглядит как
||—a|| = <a"; a+).
Эта форма отрицания привязана к содержательному смыслу аспектов истинности и потому применима не для всех векторов истинности.
Определение 6. Второй формой отрицания является отрицание в форме дополнения:
||—a|| = <1 - a1; 1 - a2;...; 1 - an).
Для этой формы отрицания выполняются законы де Моргана в виде: ||—(a v b)|| = ||—a & —b||; ||—(a & b)|| = ||— a v —b||; ||—(a V2 b)|| = ||—a &2 —b||; ||—(a &2 b)|| = ||—a V2 —b||, -и эта форма отрицания применима в любой логике с векторной семантикой.
4.2. Кванторы всеобщности и существования. Кванторы всеобщности и существования также приобретают две формы. Их первая форма определяется первой формой связок конъюнкции/дизъюнкции по всем значениям предметной переменной, вторая форма - второй формой связок [2].
4.3. Отношения между суждениями. Между суждениями в логиках с векторной семантикой можно устанавливать отношения, аналогичные отношениям импликации и эквивалентности в классической логике [1].
Определение 7. Суждение a сильнее суждения b (a доминирует над b, записывается a >> b),
если a > b1 для всех 1;
т.е., если значения всех аспектов вектора ||a|| не меньше значений соответствующих аспектов вектора ||b||.
Соответственно, суждение а слабее суждения b (b доминирует над а, записывается а << b),
если d < b1 для всех i;
т.е., если значения всех аспектов вектора ||а|| не больше значений соответствующих аспектов вектора ||b||.
Определение 8. Суждение а правдоподобнее суждения b (записывается а > b), если d > b1 для всех позитивных аспектов, а < b1 для всех негативных аспектов, т.е., если все аспекты вектора ||а|| «не хуже» соответствующих аспектов вектора ||b|| в «логическом» смысле.
В свою очередь, суждение а менее правдоподобно, чем суждения b (записывается а < b), если
а1 < b1 для всех позитивных аспектов, а1 > b1 для всех негативных аспектов, т.е., если все аспекты вектора ||а|| «не лучше» соответствующих аспектов вектора ||b|| в «логическом» смысле.
Данные отношения называются отношениями доминирования и правдоподобия.
Определение 9. Суждение а логически эквивалентно суждению b (а = b), если а < b и а > b (а также а << b и а >> b). В любом из этих случаев
а1 = b1 для всех 1.
4.4. Логический вывод. Аналогия между отношениями правдоподобия и доминирования и классической импликацией позволяет ввести аналоги правила modus ponens [1, 7]:
а, а << b[ b: ||b|| = ||а|| <1;...; 1>;
а, а < b У b: ||b|| = ||а|| <1+;...; 1+; 0",., 0">.
Запись после двоеточия оговаривает область возможных значений вектора истинности заключения b:
||b|| е [а1, 1] х [а2, 1] х...х [ап, 1]
в первом случае и
||b|| е [а1+, 1] х [а2+, 1] х...х [а+, 1] х [0, а(1+1)_] х [0, а( +2)"] х...х [0, ап"] во втором (здесь учитывается наличие позитивных и негативных аспектов).
Еще один вид логического вывода, который отчасти может быть обобщен на вектор
Т TF
произвольной размерности, рассматривается в связи с V -логиками.
TF -
4.5. V -логики. Наиболее изученным классом логик с векторной семантикой являются двухаспектные векторные логики с аспектами <Истина; Ложь> [1, 7]. Они наиболее близки к таким практически востребованным формализмам, как классическая и нечеткая логики (являются их обобщением), а также обобщают некоторые паранепротиворечивые (например, логику Данна [29]) и иные виды логик [3, 19]. Для этого класса логик ||а|| = <а+; а">4 где а+ - мера того, что суждение а есть Истина, а" - мера того, что оно есть Ложь. Меры Истины и Лжи в общем случае устанавливаются независимо друг тот друга, каждая по своему комплексу свидетельств. Истинность суждения в этом случае может быть проиллюстрирована рисунком 2.
Рис. 2. Графическое представление вектора
||a|| = <a+; a")
Здесь Н представляет значение истинности неопределенного суждения с вектором <0; 0); Л - строго ложного суждения <0; 1); П - полностью противоречивого суждения <1; 1); И - строго истинного суждения <1; 0).
Если a и b - два атомарных суждения, то для К^-логик первая и вторая форма дизъюнкции, конъюнкции и отрицания определятся как:
||a v b||=<a+ Ф b+; a~ • b~); ||a v2 b||=<a+ Ф b+; a~ Ф b"); ||a & b||=<a+ • b+; a~ Ф b"); ||a &2 b||=<a+ • b+; a~ • b~); ||—a||=<a"; a+); ||—a||=<1 - a+; 1 - a").
Первые формы конъюнкции и дизъюнкции здесь - это обобщения классических конъюнкции и дизъюнкции на векторный случай. Вторые существуют только в векторной семантике. Первая и вторая формы отрицания при переходе к классической и нечеткой семантике дают одну и ту же форму отрицания: классическую или нечеткую. В VTF-семантике эти отрицания, как легко видеть, различаются. Первое - это отрицание в смысле перестановки свидетельств (позитивные меняются с негативными), второе - отрицание в силу недостатка информации.
Справедливы свойства:
—(a v b) = — a & —b; —(a & b) = — a v —b, а также вышеприведенные законы де Моргана для второй формы отрицания.
Отношения правдоподобия и доминирования иллюстрируются рисунком 3. Выполняются соотношения:
a < a v b; a & b < a; a << a v2 b; a &2 b << a.
TF
Логический вывод в V -логиках, помимо упомянутого выше, может выполняться с использованием следующих двух правил, аналогов классических modus ponens (MP) и modus tollens (MT):
Рис. 3. Иллюстрация отношений правдоподобия и
ттТГ
доминирования для V -логик:
а << Ь, с << Ь, а < с
а, а ^ Ь [■ Ь: ||Ь|| = ||а & /|| = (а+ • т+; а" Ф Г) - (1; 0);
—Ь, а ^ Ь |- —¡а: ||—а|| = ||—¡а & /|| = (а • /+; а+ Ф Г) - (1; 0).
Здесь а ^ Ь - импликация «Если а, то Ь» - характерная единица знаний многих экспертных систем. В них она обычно рассматривается как неделимое целое. Её истинность задается экспертом, что естественно для таких задач: ||а ^ Ь|| = ||/|| = (/+; Г).
Указанные правила вывода обобщаются на интервальное представление истинности (рисунок 4) [5].
Л
a-
a-
Н
П
------------ INI
/ y^^,.....*' / у/,,.*'' ______T
a+
a+
И
Рис. 4. Интервальное представление вектора
jjajj = jjajjl ^ ||a||2 = {[a+l, a+2]; [a~2, a"l])
?
Обобщение МР выглядит следующим образом. Если истинность малой посылки есть
||а|| = ||а|| 1 - ||а||2 = ([а+1, а+2]; [а~2, а~1]),
а истинность большой -
|И| = |И|1 - № = ([Л, 1+2], [1-2, 1-1]),
то истинность заключения ||Ь|| равна
или
Иначе говоря,
||Ъ|| = (а+1 • 1+1; а \ Ф 11) - (а 1 Ф 1+2; а+1 • 12) = = ([а+1 • 1+1, а_1 Ф 1+2]; [а+1 • Г2, а~1 Ф 1 1]),
а, а ^ Ъ[ Ъ: ||Ъ|| = ||а & 1|| = = (а+1 • 1+1; а~1 Ф м) - (а~1 Ф 1+2; а+1 • Г2).
||Ъ|| е [а+1 • 1+1, а 1 Ф 1+2] х [а+1 • 1 2, а 1 Ф 1 1].
В свою очередь МТ для первой формы отрицания обобщается на интервалы как:
—Ъ, а ^ Ъ |- —а: ||—а|| = ||—Ъ & 1|| = (Ъ- • 1+1; Ъ+1 Ф 1"1) - (Ъ+1 Ф 1+2; Ъ"1 • Г2),
или, что то же самое
||а|| = (Ъ- • 1"2; Ъ+1 Ф 1+2) - (Ъ+1 Ф 1-1; Ъ- • 1+1).
Для второй формы отрицания (отрицания в форме дополнения) правило МТ в интервальном случае приобретает вид [5]
~Ъ, а ^ Ъ [ ~а: 11—а|| = ((1 - Ъ+2) • 1+1; (1 - Г2) Ф м) - ((1 - Ъ+2) Ф 1+2; (1 - Г2) • Г2).
ТР
Суждения в V -логиках характеризуются рядом скалярных мер:
мера определённости (определённость) /ио(а) = а+ Ф а ;
мера противоречия (противоречивость) ¡лп(а) = а+ • а"; показатель достоверности (достоверность) /ид(а) = а+ - а";
мера строгости (строгость) /ис(а) = и>(а) - ип(а) = а+ Ф а" - а+ • а" или ис(а) = |^д(а)|;
• показатель избыточности (избыточность) ¡лизб(а) = а+ + а~ - 1.
В интервальном случае в качестве а+ и а~ можно брать середины интервалов или определенную точку внутри них. Кроме того, в интервальном случае может быть также введена мера точности вектора истинности, которая должна быть максимальной, когда а+1 = а+2 и а~1 = а-2 и минимальной при ||а|| = ([0, 1]; [0, 1]). Такую роль может исполнять, например, показатель
\(а2 - а ^ 2
и = 1 -
Н-тчн -1
Л
(а2 - аГ) +(а2 - а1
2
Механизм интервального вывода для VTF-логик описан в [30]. Особенности работы машины вывода, использующей его для моделирования правдоподобных рассуждений, обсуждаются в [9].
4.6. Проблемы и следствия. Представление истинности вектором ставит ряд вопросов. Первый - содержательная интерпретация аспектов истинности. Здесь возможны как минимум два взгляда.
1) Аспекты истинности - это обычные нечеткие значения истинности, характеризующие объект с разных позиций. Например, истинность суждения «Автомобиль комфортен» можно характеризовать с позиций качества отделки салона, мощности двигателя, шумоизоляции салона и т.п. Соответственно, истинность (0.3; 0.5; 0.8; ...) означает, что качество отделки салона невысоко, мощность двигателя средняя, шумоизоляция хорошая, и т.д. Вектор здесь - обычный нечеткий вектор, компоненты которого принимают значения из отрезка [0, 1]. Этот взгляд достаточно очевиден (на нем основано понятие нечеткого вектора).
2) Аспекты - категории истинности, вроде Истины и Лжи. Значения компонентов здесь - степени выраженности соответствующей категории, определяемые поступившими свидетельствами или по иным соображениям (например, экспертно).
Этот взгляд рассматриваем как основной. При таком взгляде автоматически возникает вопрос о числе и характере аспектов истинности, исчерпывающим образом описывающих реальность. Если становиться на позиции, близкие к классической логике, их всего два: Истина и Ложь. В нейтрософской логике Ф. Смарандаке три: Истина, Ложь и Нейтральность. Однако принципиальной особенностью данного сорта логик является допущение сколь угодного количества аспектов истинности, или, что то же самое, сколь угодно большого количества компонентов вектора (а1;.; ап). Работая, например, в рамках ^Г-логики, не запрещается предполагать наличия еще каких-либо «не учтенных» аспектов истинности (об их существовании можно даже не подозревать). Все неучтенные аспекты проецируются в точку (0; 0), не разрушая исходного формализма. В этом смысле логики с векторной семантикой действительно свободны от принципов противоречия и исключенного третьего.
Любой набор аспектов истинности можно свести к полному, введением «замыкания» - фиктивного компонента ап1 со значением [7]:
ап+1 = 1 - а1 Ф. Ф ап.
В этом случае
а1 Ф...Ф аП Ф ап+1 > 0,
что можно рассматривать как полноту вектора истинности. Однако, вопрос о том, сколько и каких аспектов истинности исчерпывающим образом описывают реальность, остается, хотя и переходит больше в философскую плоскость. Если их выделить, все возможные логические семантики могут быть построены на их основе. Оборотной стороной этой проблемы является построение логик и связанных с ними частных семантик на основе известных аспектов истинности. Так, нечеткая семантика получается введением двух ограничений: рассматриваются только аспекты Истина и Ложь и а+ + а~ = 1, классическая -ограничениями а+, а" е {0, 1} и а+ + а~ = 1. В [1] упоминаются одноаспектные логики, например, с аспектом только Истина или только Ложь. Для завершенности можно ввести и 0-аспектную логику V0, суждения которой вообще лишены какого-либо смысла, и так далее. Проблема полноты - вторая проблема данного типа векторных логик.
Наконец, третьей проблемой логик с векторной семантикой является проблема коммуникации. Если допустить наличие субъектов, мыслящих в «ортогональных логических координатах», не породит ли это проблему взаимопонимания? Так, суждения, осмысленные для нас (обычно мы мыслим в категориях Истины и Лжи) окажутся лишенными смысла для разума, мыслящего в иных категориях истинности: он спроецирует их в точку (0;.; 0). И наоборот. Данная проблема, кажется, лежит вне логики, однако тесно связана с ней.
Двумя очевидными следствиями логик с векторной семантикой является расширенный взгляд на теорию множеств и теорию вероятностей.
Если истинность утверждения о принадлежности объекта х множеству X считать вектором: ||х е Х|| = (х1;...; хп), - это в общем случае приводит к обобщению понятий множества, нечеткого множества, нейтрософского множества.
В теории вероятности все, так или иначе, основано на представлении о возможности благоприятных и неблагоприятных исходов некоторого опыта. Если истинность соответствующего предиката считать векторной, это расширяет понятие вероятности. Аксиоматический взгляд на вероятность ничего не меняет, т.к. векторным становится истинность утверждения о принадлежности элементарного случайного события e е Q случайному событию A £ Q: ||e е A\\ = (e1;...; en).
Вообще, учитывая место теории множеств в современной математике, можно быть уверенным, что этими примерами все не исчерпывается. Соответствующие обобщения для
TF
V -логик представлены в [4, 6].
Достаточно подробное изложение рассмотренного формализма дано в [7]. Его приложение к онтологическому анализу данных и формальным онтологиям представлено в работах С.В. Смирнова и его коллег (см. напр. [22, 24]).
5. Векторизация силлогизмов Аристотеля. Ещё одним направлением использования векторов в логике стала формализация силлогизмов. Это позволило не только автоматизировать их построение, но и визуализировать данный процесс [28, 38]. Хорошим примером визуализации логических конструкций служат круги Эйлера и диаграммы Эйлера-Венна (из последних работ здесь можно указать [28]). Здесь с этой целью применяют векторы, а специалисты, использующие соответствующий формализм, также говорят о нем как о векторной логике.
В основу формализма легло представление силлогистических рассуждений цепочками векторов в n-мерном пространстве. Каждая посылка стандартной формы представляется как вектор, а заключение силлогизма является суммой векторов, представляющих посылки, по правилу треугольника. Вектора размещаются в т.н. логическом пространстве. Размерность пространства соответствует числу терминов, участвующих в рассуждении. Например, для категорического силлогизма (модус Barbara) это выглядит так, как показано на рисунке 5.
SP
Рис. 5. Логическое пространство и векторы модуса Barbara
Здесь S - субъект, M- средний термин, P - предикат. Например:
Все пингвины - птицы Все птицы имеют крылья Все пингвины имеют крылья
На рисунке 5 S - быть пингвином, M - быть птицей, P - иметь крылья. Вектор SM, равный (-1, 1, 0) - посылка «Все пингвины - птицы», вектор MP = (0, -1, 1) - посылка «Все птицы имеют крылья», вектор SP = (-1, 0, 1) - заключение «Все пингвины имеют крылья». Заключение является суммой векторов SM и MP.
Векторы, соединяющие между собой точки S, M, P, —S, —M, —P, а также весь набор точек типа SM, — SM, S—M, —S—M, SP, S—P и им подобным с точкой O, как концом вектора, соответствуют общеутвердительным и общеотрицательным посылкам. Векторы, соединяющие точку O (начало вектора) с этими же точками - частноутвердительным и частноотрицательным. Например, вектор, соединяющий точку O с точкой SP, соответствует посылке «Некоторые S есть P». Векторы общеутвердительных посылок могут переноситься в пределах своей плоскости и называются свободными. Векторы, начинающиеся в точке O, такой возможностью не обладают и называются связанными. Свободные векторы перемещаются с целью формирования цепочек подобных только что рассмотренной. Связанные векторы зафиксированы. Если можно решить задачу (осуществить заключение) посредством свободного переноса векторов и их суммирования, то результат визуализируется в виде вектора, которому может быть дана соответствующая текстовая интерпретация. Если цепочку сформировать не удается, силлогизм является неверным.
Несмотря на известную условность, с помощью данного подхода решаются задачи моделирования некоторых предметных областей [18].
Заключение. Одним из выводов из представленного здесь обзора служит понимание того, что логика, несмотря на свою более чем двухтысячелетнюю историю, не является догматической наукой. Собственно, это стало понятно уже в первой половине XX века, когда появились первые многозначные логики. Однако оказалось, что представление о многозначности - не предел ее развития. Расширение и усложнение предметных областей, стремление описать с ее помощью всё новые стороны действительности приводят к развитию и совершенствованию ее формального аппарата, привнесению в него конструкций, прежде считавшихся далекими от логики. Она превращается из «науки о правильном мышлении», «науки о доказательствах» в особый и, пожалуй, наиболее общий на сегодня способ моделирования действительности. Фактически - в такое же средство моделирования, каковым является «традиционная» математика. При этом, как показывает опыт ее использования, например, в экспертных системах, она способна моделировать не только объективную, но и субъективную реальность.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аршинский Л.В. Методы обработки нестрогих высказываний. Иркутск: Изд-во Восточно-Сибирского института МВД России. 1998. 40 с.
2. Аршинский Л.В. Нестрогая квантификация // Управление в системах: Вестник Иркутского государственного технического университета. Сер. Кибернетика. 1999. Вып. 2. С. 3-9.
3. Аршинский Л.В. О семантиках классической логики // Logical Studies [Электронный ресурс]. 2000. №5. Режим доступа к журн.: http://www.logic.ru/Russian/LogStud/05/ LS5.html
4. Аршинский Л.В. Приложение логик с векторной семантикой к описанию случайных событий (депонир. рук.). Деп. в ВИНИТИ 06.08.04. № 1376-В2004. 35 с.
5. Аршинский Л.В. Интервальное оценивание истинности в системах автоматизированных рассуждений на основе Утр-логик // Труды IV международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». SICPR0'05. Москва 25-28 января 2005 [Электронный ресурс]. М.: ИПУ РАН. 2005. С. 1061-1074.
6. Аршинский Л.В. Моделирование множеств с противоречиями на основе векторного представления истинности // Труды VI международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». SICPR0'07. Москва 29 января-1 февраля 2007 [Электронный ресурс]. М: ИПУ РАН им. В.А. Трапезникова., 2007. 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). С. 716-724.
7. Аршинский Л.В. Векторные логики: основания, концепции, модели. Иркутск: Иркут. гос. ун-т. 2007. 228 с.
8. Аршинский Л.В. Применение векторного формализма в логике и логико-математическом моделировании // Онтология проектирования, 2016. Т. 6. № 4 (22). С. 436-451.
9. Аршинский Л.В. Особенности работы машины вывода системы моделирования правдоподобных рассуждений «Гераклит» // Информационные и математические технологии в науке и управлении. 2016. №2. С. 18-29.
10. Бахтияров К.И. Об одном подходе к формализации парадоксальных ситуаций // Философские науки. 1976. №1. С. 52-62.
11. Бахтияров К.И. Многоаспектный подход в логике: дисс. д.ф.н. 09.00.07 «Логика». М.: МГУ. 1989.
12. Бахтияров К.И. Компьютеризация логики // Философские науки. 1990. №°9. С. 117-122.
13. Бахтияров К.И. Логика с точки зрения информатики: бестселлер в духе Льюиса Кэрролла (12 этюдов). М.: Едиториал УРСС. 2002. 128 с.
14. Бартенев В.В., Яцун С.Ф. Повышение качества функционирования комбинированного нечеткого регулятора системы управления движением на базе применения интервальной нейтрософской логики // Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте. Сборник научных трудов V-й Международной научно-технической конференции (28-30 мая 2009 г., Коломна, Россия). Т. 2. М.: Физматлит. 2009. С. 799-807.
15. Богданов К.В., Марценюк М.А. Матричное представление нечеткой логики // Нечеткие системы и мягкие вычисления. 2007. Том 2. № 3. С. 7-36.
16. Ивин А.А., Никифоров А.Л. Словарь по логике. М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС. 1997. 384 с.
17. Карпенко А.С. Многозначные логики. М.: Наука. 1997. 223 с.
18. Межуев В.И. Использование векторной алгебры для построения инструментов предметно-ориентированного моделирования // Зб1рник наукових праць Харьювського нацюнального ушверситету Повггряних Сил. 2010. № 2(24). С. 79-84.
19. Моросанова Н.А. Методы вычисления оценок уверенности формально построенных выводов: автореф. дис.: канд. физ.-мат. наук: 05.13.11. М. 2013. 14 с.
20. Пирс Ч.С. Начала прагматизма. Т.2. Логические основания теории знаков. М.: Алетейа. 2000. 352 с.
21. Рабунский Д., Смарандаке Ф. , Борисова Л. Нейтрософские методы в общей теории относительности. Пер. с англ. Феникс, Аризона: HEXIS Publishers. 2005. 107 с.
22. Самойлов Д.Е., Семенова В.А. , Смирнов С.В. Анализ неполных данных в задачах построения формальных онтологий // Онтология проектирования. 2016. Т. 6. №3(21). С. 317-339. DOI: 10.18287/2223-9537-2016-6-3-317-339
23. Смарандаке Ф. Сущность нейтрософии. Пер. с англ. Hexis Publishers, Феникс, Аризона. 2006. 33 с.
24. Смирнов С.В. Формальный подход к представлению смысла проблемной ситуации в процессах коллективного принятия решений // XII всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. М.: ИПУ РАН им. В.А. Трапезникова. 2014. С. 6261-6270.
25. Фреге Г. Логика и логическая семантика. М.: Аспект Пресс. 2000. 512 с.
26. Шрамко Я.В. Истина и ложь: что такое истинностные значения и для чего они нужны // Логос. 2009. № 2(70). С. 96-121.
27. Copilowish I.M. Matrix development of the calculus of relations // The Journal of Symbolic Logic. 1948. V. 13. Pp. 193-203.
28. Cullinane S.H. The Geometry of Logic: Finite Geometry and the 16 Boolean Connectives [Электронный ресурс] 2007. http://finitegeometry.org/sc/16/logic.html.
29. Dunn J.M. Algebra of Intensional Logics. Doctoral Dissertation University of Pittsburg. Ann Arbor. 1966.
30. Mizraji E. Context-dependent associations in linear distributed memories // Bulletin of Mathematical Biology. 1989. V. 51. Pp. 195-205.
31. Mizraji E. Vector logics: The matrix-vector representation of logical calculus // Fuzzy Sets and Systems. 1992. V. 50. Pp. 179-185.
32. Mizraji E. Modalities in Vector Logic // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1994. V. 35. Ко 2. Pp. 272-283.
33. Mizraji E. Vector logic: A natural algebraic representation of the fundamental logical gates // Journal of Logic and Computation. 2008. V. 18. Pp. 97-121.
34. Smarandache F. Neutrosophy: Neutrosophic Probability, Set and Logic. American Research Press, Rehoboth. 1998. 105 p.
35. Smarandache F. An Introduction to Neutrosophy, Neutrosophic Logic, Neutrosophic Set, and Neutrosophic Probability and Statistics // Proc. of the First International Conference on Neutrosophy, Neutrosophic Logic, Neutrosophic Set, Neutrosophic Probability and Statistics. University of New Mexico-Gallup, 1-3 December 2001. Phoenix: Xiquan. 2001. Pp. 5-21.
36. Smarandache F. A Unifying Field in Logics: Neutrosophic Logic. Neutrosophy, Neutrosophic Set, Neutrosophic Probability and Statistics. InfoLearnQuest. 2006. 155 p.
37. Stern A. Matrix Logic. Elsevier Science Publishers B.V.. 1988. 215 p.
38. Westphal J., Hardy J. Logic as a Vector System // Journal of Logic and Computation. 2005. V. 15. Pp. 751-765.
UDK 510.64+004.89
FEATURES OF THE INFERENCE ENGINE OF THE PLAUSIBLE REASONING MODELING SYSTEM, "HERACLITUS" Leonid V. Arshinskiy Dr., Head. Department "Information Systems and Information Security"
Irkutsk State Transport University 15, Chernyshevskiy Str., 664074, Irkutsk, Russia, e-mail: arsh@irgups.ru
Abstract. The work is devoted to the description of the vector formalisms used in the logic. Discusses three areas of research in this theme. The first has to do with the complexity of the formal apparatus of classical mathematical logic and vectorization of the categories of Truth and Falsehood. Here are the vector logic E. Mizrahi and matrix logic of A. Stern. The second is based on the vectorization of logical semantics, when the verity is seen as multycomponent vector. This is the logic of K.I. Bakhtiyarova, neutrosophic logic of F. Smarandache and logics with vector semantics. The third direction is devoted to vectorization syllogistics of Aristotle. All three areas are used for solving problems in computer science, artificial intelligence, other areas of knowledge. Keywords: non-classic logics, vector logics, neutrosophic logics, logic with vector semantics, syllogism.
References
1. Arshinskiy L.V. Metody obrabotki nestrogih vyskazyvanij [Methods of processing of nonstrict propositions]. Irkutsk: East-Siberian Institute of MIA of Russia. 1998. 40 p. (In Russian).
2. Arshinskiy L.V. Nestrogaja kvantifikacija [The nonstrict quantification] // Upravlenie v sistemah: Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. Ser. Kibernetika. 1999. Vyp.2. Pp. 3-9. (In Russian)
3. Arshinskij L.V. O semantikah klassicheskoj logiki [On the semantics of classical logic] // Logical Studies. 2000. №5. - http://www.logic.ru/Russian/LogStud/05/ LS5.html. (In Russian).
4. Arshinskiy, L.V. Prilozhenie logik s vektornoj semantikoj k opisaniju sluchajnyh sobytij (deponir. ruk.) [The application of logic with vector semantics to the description of random events]. Dep. v VINITI 06.08.04. No 1376-V2004. - 35 ps. (In Russian)
5. Arshinskiy L.V. Interval'noe ocenivanie istinnosti v sistemah avtomatizirovannyh rassuzhdenij na osnove VTF-logik [Interval estimation of the truth in the systems of automated reasoning based on the VTF-logics] // Trudy IV mezhdunarodnoj konferencii «Identifikacija sistem i zadachi upravlenija». SICPR0'05. Moskva 25-28 janvarja 2005. Moscow: IPU RAN im. V.A. Trapeznikova. 2005. Pp. 1061-1074. (In Russian)
6. Arshinskiy L.V. Modelirovanie mnozhestv s protivorechijami na osnove vektornogo predstavlenija istinnosti [Modeling of sets with contradictions based on the vector representations of the truth] // Trudy VI mezhdunarodnoj konferencii «Identifikacija sistem i zadachi upravlenija. SICPR0'07. Moscow 29 janvarja - 1 fevralja 2007». - IPU RAN im. V.A. Trapeznikova, 2007. Pp. 716-724. (In Russian)
7. Arshinskiy L.V. Vektornye logiki: osnovanija, koncepcii, modeli [Vector logic: foundations, concepts, models]. Irkutsk: Irkutsk state university. 2007. 228 p. (In Russian)
8. Arshinskiy L.V. Primenenie vektornogo formalizma v logike i logiko-matematicheskom modelirovanii [The application of vector formalism in logic and logical-mathematical modelling] // Ontologija proektirovanija. 2016. V. 6. No 4 (22). Pp. 436-451. (In Russian)
9. Arshinskiy L.V. Osobennosti raboty mashiny vyvoda sistemy modelirovanija pravdopodobnykh rassuzhdenij «Geraklit» [Features of working of the reasoning system of the system of modeling plausible reasoning "Heraclitus"] // Informacionnye i matematicheskie tekhnologii v nauke i upravlenii. 2016. No 2. Pp.18-29. (In Russian)
10. Bakhtiyarov K.I. Ob odnom podhode k formalizacii paradoksal'nykh situacij [About one approach to formalization of the paradoxical situations] // Filosofskie nauki. No 1. 1976. Pp. 52-62. (In Russian)
11. Bakhtiyarov K.I. Mnogoaspektnyj podhod v logike: diss. d.f.n. 09.00.07 «Logika» [A multidimensional approach in logic: Doctoral Dissertation Moscow State University]. Moscow: Moscow State University. 1989. (In Russian)
12. Bakhtiyarov K.I. Komp'juterizaciya logiki [Computerization of logic] // Filosofskie nauki. № 9. 1990. Pp. 117-122. (In Russian)
13. Bakhtiyarov K.I. Logika s tochki zrenija informatiki: bestseller v duhe L'juisa Kjerrolla (12 etjudov) [The logic from the point of view of computer science: a bestseller in the spirit of Lewis Carroll (12 etudes)]. Moscow: Editorial URSS. 2002. 128 p. (In Russian)
14. Bartenev V.V., Jacun S.F. Povyshenie kachestva funkcionirovanija kombinirovannogo nechetkogo reguljatora sistemy upravlenija dvizheniem na baze primenenija interval'noj nejtrosofskoj logiki [Improving the quality of functioning of the combined fuzzy controller of a motion control system using interval neutrosophy logic] // Integrirovannye modeli i mjagkie vychislenija v iskustvennom intellekte. Sbornik nauchnyh trudov V-j Mezhdunarodnoj nauchno-tehnicheskoj konferencii (Kolomna, 28-30 Maja 2009 g.). V 2-h tomah. T.2. M.: Fizmatlit. 2009. Pp. 799-807. (In Russian)
15. Bogdanov R.V., Marcenyuk M.A. Matrichnoye predstavleniye nechetkoy logiki [Matrix representation of fuzzy logic] // Nechetkie systemy i myagkie vichisleniya. 2007. Vol. 2. No 3. Pp. 7-36. (In Russian)
16. Ivin A.A., Nikiforov A.L. Slovar' po logike [Dictionary of logic]. M.: Tumanit. izd. centr VLADOS. 1997. 384 p. (In Russian)
17. Karpenko A.S. Mnogoznachnye logiki [Many-valued logic]. Moskow: Nauka. 1997. 223 p. (In Russian)
18. Mezhuev V.I. Ispol'zovanie vektornoj algebry dlja postroenija instrumentov predmetno-orientirovannogo modelirovanija [The use of vector algebra to build of tools of object-oriented modeling] // Zbirnik naukovih prac' Har'kivs'kogo nacional'nogo universitetu Povitrjanih Sil. 2010. No 2(24). Pp. 79-84. (In Russian)
19. Morosanova N.A. Metody vychislenija ocenok uverennosti formal'no postroennyh vyvodov: avtoref. dis.: kand. fiz.-mat. nauk: 05.13.11 [Methods of calculation of confidence formally derived conclusions: thesis abstract]. Moscow. 2013. 14 p. (In Russian)
20. Pirs Ch.S. Nachala pragmatizma. T. 2. Logicheskiye osnovaniya teorii znakov [The beginning of pragmatism. Vol. 2. Logical foundations of the theory of signs]. Moskow: Aleteya. 2000. 352 p. (In Russian)
21. Rabunskiy D., Smarandake F., Borisova L. Nejtrosofskiye metody v obshey teorii otnositefnosti [Neutrosophic methods in General relativity] Per. s angl. Fenix, Arizona, HEXIS Publishers. 2005. 107 p. (In Russian).
22. Samojlov D.E., Semenova V.A., Smirnov S.V. Analiz nepolnykh dannykh v zadachah postroenija formal'nykh ontologij [Analysis of incomplete data in the task of formal ontologies constructing] // Ontologija proektirovanija. 2016. V.6. No 3(21). Pp. 317-339. DOI: 10.18287/2223-9537-2016-6-3-317-339 (In Russian)
23. Smarandake F. Sushnost nejtrosofii: Per. s angl. [The Essence of Neutrosophy: transl. from Engl.]. Hexis Publishers, Phoenix, Arizona. 2006. 33 p. (In Russian).
24. Smirnov S.V. Formal'nyj podhod k predstavleniju smysla problemnoj situacii v processah kollektivnogo prinjatija reshenij [A formal approach to the representation of the sense of problem situations in the processes of collective decision-making] // XII vserossijskoe soveshhanie po problemam upravlenija VSPU-2014. Institut problem upravlenija im. V.A. Trapeznikova RAN. M.: IPU RAN im. V.A. Trapeznikova. 2014. Pp. 6261-6270. (In Russian)
25. Frege G. Logika i logicheskaya semantica [Logic and Logical semantics]. Moskow: Aspect Press. 2000. 512 p. (In Russian)
26. Shramko Ya.V. Istina I lozh: chto takoe istinnostnye znacheniya I dlya chego oni nuzhny [Truth and lies: what the truth-values and what they need] // Logos. 2009. No 2(70). Pp. 96-121. (In Russian)
27. Copilowish I.M. Matrix development of the calculus of relations // The Journal of Symbolic Logic. 1948. V. 13. Pp. 193-203.
28. Cullinane S.H. The Geometry of Logic: Finite Geometry and the 16 Boolean Connectives . 2007. - http://finitegeometry.org/sc/16/logic.html.
29. Dunn J.M. Algebra of Intensional Logics. Doctoral Dissertation University of Pittsburg, Ann Arbor. 1966.
30. Mizraji E. Context-dependent associations in linear distributed memories // Bulletin of Mathematical Biology. 1989. V. 51. Pp. 195-205.
31. Mizraji E. Vector logics: The matrix-vector representationn of logical calculus / E. Mizraji // Fuzzy Sets and Systems. 1992. V. 50. Pp. 179-185.
32. Mizraji E. Modalities in Vector Logic // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1994. V. 35. No 2. Pp. 272-283.
33. Mizraji E. Vector logic: A natural algebraic representation of the fundamental logical gates // Journal of Logic and Computation. 2008. V.18. Pp. 97-121.
34. Smarandache F. Neutrosophy: Neutrosophic Probability, Set and Logic. American Research Press, Rehoboth. 1998. 105 p.
35. Smarandache F. An Introduction to Neutrosophy, Neutrosophic Logic, Neutrosophic Set, and Neutrosophic Probability and Statistics // Proceedings of the First International Conference on Neutrosophy, Neutrosophic Logic, Neutrosophic Set, Neutrosophic Probability and Statistics. University of New Mexico-Gallup, 1-3 December 2001. Phoenix: Xiquan. 2001. Pp. 5-21.
36. Smarandache F. A Unifying Field in Logics: Neutrosophic Logic. Neutrosophy, Neutrosophic Set, Neutrosophic Probability and Statistics. InfoLearnQuest. 2006. 155 p.
37. Stern A. Matrix Logic. Elsevier Science Publishers B.V.. 1988. 215 p.
38. Westphal J., Hardy J. Logic as a Vector System // Journal of Logic and Computation. 2005. V.15. Pp. 751-765.
