CC BY
22
Гильманова Г.Р. студент 3 курса, очное отделение факультет «Математики и естественных наук»
Елабужский институт Казанский федеральный университет
Россия, г. Елабуга ПРИЛОЖЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Статья посвящена приложению криволинейных интегралов. В статье рассматриваются их геометрические и физические приложения. Представлены формулы для решения криволинейных интегралов с разными способами, а также решены некоторые задачи.
Ключевые слова: Криволинейные интегралы, Геометрические приложения, Физические приложения, Закон Ампера, Закон Фарадея.
Gilmanova G.R., Student Elabuga Institute of Kazan Federal Institute
Russia, Elabuga 3 course, full-time office faculty of Mathematics and natural Sciences THE APPLICATION OF CURVILINEAR INTEGRALS The article is devoted to the application of curvilinear integrals. The article discusses their geometric and physical applications. Presents formulas for the solution of curvilinear integrals with different methods and also solved some tasks.
Key words: Curvilinear integrals, Geometrical applications, Physical applications, of ampere's Law, Faraday's Law.
Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью
вычисляются
• Длина кривой;
• Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
• Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.
Длина кривой
Пусть С является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая
описывается вектором ~ . Длина данной кривой выражается
следующим криволинейным интегралом
СО. у(£)-
где
производная, а
компоненты векторной
функции
'СО
Если кривая С задана в плоскости, то ее длина выражается формулой
Если кривая С представляет собой график заданной явно, непрерывной
и дифференцируемой функции ^ '' в плоскости Оху, то длина такой кривой вычисляется по формуле
Наконец, если кривая С задана в полярных координатах уравнением
г = г(9), а< 9 < ß г{9)
, и функция является непрерывной и
\a>ß\
дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется
выражением
Площадь области, ограниченной замкнутой кривой Пусть С является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости Oxy (рисунок 1). Тогда площадь области Я, ограниченной данной кривой, определяется формулами
Здесь предполагается, что обход кривой С производится против часовой стрелки.
Если замкнутая кривая С задана в параметрическом виде ^ ^ ^, то площадь соответствующей области равна
Рис.1
Рис.2
Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси Ох
Предположим, что область Я расположена в верхней полуплоскости у > 0 и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой С, обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области Я вокруг оси Ох образуется тело О (рисунок 2). Объем данного тела определяется формулами
Физические приложения криволинейных интегралов
С помощью криволинейных интегралов вычисляются
1) Масса кривой;
2) Центр масс и моменты инерции кривой;
3) Работа при перемещении тела в силовом поле;
4) Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);
5) Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).
Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.
Масса кривой
Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой С. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью р (х,у,7). Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода
т
функции
Если кривая С задана в параметрическом виде с помощью векторной
(0 = О(0.Л0.*(0)
, то ее масса описывается формулой
В случае плоской кривой, заданной в плоскости Оху, масса определяется как
т = у)
или в параметрической форме
Центр масс и моменты инерции кривой
Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой С, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности р (х,у,7). Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами
где
М^ = $хр(х,у,г)Ж;, Мш = ¡ур(х,у,г) ¿8, М^ =
так
называемые
моменты первого
порядка.
Моменты инерции относительно осей Ох, Оу и Ог определяются формулами
Работа поля
Работа при перемещении тела в силовом поле Р вдоль кривой С выражается через криволинейный интеграл второго рода
где Р - сила, действующая на тело, ¿г - единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение Р-¿г означает скалярное произведение векторов Р и ¿г .
Заметим, что силовое поле Р не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы Р иногда может оказаться отрицательной.
Если векторное поля задано в координатной форме в виде то работа поля вычисляется по формуле
В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой С в плоскости Оху, справедлива формула IV = ¡Р ■ ¿г = \рйх + да?,
Где
Если траектория движения С определена через параметр X (1 часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид
где 1 изменяется в интервале от а до р. Если векторное поле Р потенциально, то работа по перемещению тела из точки А в точку В выражается формулой
Рис.1 Рис.2
Закон Ампера
Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией Л вдоль замкнутого контура С пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром С (рисунок 2). Это выражается формулой
где - магнитная проницаемость ваккуума, равная Н/м.
Закон Фарадея
Электродвижущая сила е, наведенная в замкнутом контуре С, равна скорости изменения магнитного потока у, проходящего через данный контур (рисунок 3).
х ж
СИапде ¡п Ч*
Пример Определить проволоки, имеющей отрезка от точки В(2,4). Масса
массу форму А(1,1) до
Рис.3
распределена вдоль отрезка с плотностью ^ '''
Решение. Составим сначала параметрическое уравнение прямой
АВ.
где параметр 1 изменяется в интервале [0,1]. Тогда масса проволоки
равна
Использованные источники:
1. Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (II том) - Москва, 2013.
2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления» (I том) -Москва, 2015.
3. Эрмит Ш. «Курс анализа» - Москва, 2014
Горлов А.Н., к.т.н.
доцент Филатов Е.А. аспирант
Юго-Западный государственный университет
Россия, г. Курск СПОСОБЫ НОРМАЛИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ОБСТАНОВКИ НА ОБЪЕКТАХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ
Данная статья посвящена вопросу использования нечеткой логики при выборе мероприятия по нормализации электромагнитной обстановки (ЭМО) на объектах электроэнергетики.
Ключевые слова: нечеткая логика, оптимальное решение, электромагнитная обстановка
