CC BY
12О ПРОВЕДЕНИИ ЗАНЯТИЙ НА ТЕМУ «ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ»
Аннотация
С целью повышения уровня математической подготовки студентов необходимо особое внимание уделять базовым вопросам математики. Изучение криволинейных интегралов является важной составляющей математического образования студентов и является обязательной темой в курсе математического анализа для студентов математических и технических специальностей. Успешное освоение этой темы помогает студентам решать теоретические и прикладные задачи физики, механики и смежных инженерных дисциплин. Содержание статьи представляет интерес, как для преподавателей, так и для студентов.
Ключевые слова
вычисление криволинейных интегралов, применение криволинейных интегралов, формула Грина
АВТОРЫ
Хасанов Наиль Алфатович,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва nail_khasanov@mail.ru
Бирюков Олег Николаевич,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва опЫ rvukov@bmstu .ги
Введение
Нахождение массы материальной кривой по её плотности, вычисление работы силового поля вдоль некоторого пути и ряд других задач требуют умения находить интегралы от функций, заданных вдоль кривых, т.е. криволинейных интегралов. Развитию у студентов этого умения, важного как для самого математического анализа, так и для его физических приложений, посвящена эта статья.
Данная статья является логическим продолжением работ [1] и [2], в которых рассмотрен переход к криволинейным системам координат для вычисления двойных и тройных интегралов.
Методология и результаты исследования
Тема «вычисление криволинейных интегралов» обычно идет в курсе математического анализа после темы «вычисление кратных интегралов». На нее выделяется в зависимости от сложности и продолжительности курса от двух до четырёх занятий. При этом предполагается, что студенты уже знают основные способы интегрирования, имеют навыки построения кривых на плоскости и в трехмерном пространстве, а также умеют вычислять двойные интегралы.
Теоретический материал [3,5], примеры решения задач [4-7], задачи для самостоятельного решения преподаватель может разместить на своем сайте, персональной странице официального сайта вуза или использовать облачные технологии, чтобы любой из студентов имел доступ ко всем материалам в любое удобное время. Делать это следует за некоторое время до проведения практических занятий.
Рассмотрение различных задач, связанных с интегрированием функций вдоль линий приводит к необходимости рассмотрению двух типов криволинейных интегралов, называемых обычно криволинейными интегралами первого и второго рода.
Криволинейные интегралы первого рода
При изучении криволинейных интегралов первого рода следует дать основные определения, перечислить основные свойства, а также рассказать о прикладных задачах, которые сводятся к вычислению таких интегралов. После этого необходимо выписать формулы для вычисления криволинейных интегралов первого рода в случае плоских кривых:
Г X = х(г),
1) Если кривая задана параметрическими уравнениями < г е (а, Р) и
I у = у(г X
предполагается, что г = а соответствует точке А, а г = р соответствует точке В, то
| / (х, у^ = р / (х(г), у(г))л/(х'(г))2 + (у'(г))2 йг;
АВ а
2) Если кривая АВ является графиком функции у = у(х), хе[а,Ь] и предполагается, что а и Ь — абсциссы точек А и В этой кривой, то
Ь
|/(х, у)^ = |/(х, у(х))д/1 + (у'(х))2 йх; (1)
АВ а
3) Если кривая АВ является графиком функции х = х(у), у е[с,й] и предполагается, что с и d — ординаты точек А и В этой кривой, то
й
I / (х, у№ = | / (х( у), у)^1 + (х ' (у))2 йу;
АВ с
4) Если кривая АВ задана в полярной системе координат уравнением
г = г(рХ ре , то
% _
I /(х, у№ = I / (г(р)с08р,г (»Ю р)^г 2р) + (г ' (р))2 йр . (2)
АВ р
Также следует разобрать несколько примеров нахождения криволинейных интегралов первого рода в случае плоских кривых.
Пример 1. Вычислим криволинейный интеграл первого рода |, где АВ -
АВ х
дуга параболы у = х2 от точки А(1,1) до точки 5(2,4).
В этом случае ds = ^ 1 + (у' (х))2 йх = 2лД/4 + х2 йх, и по формуле (1) получаем:
I =|2 хлО^+х^йх = + х 2)3/2
АВх 1 3 4
17л/17 - ^л/5
12
Пример 2. Вычислим криволинейный интеграл первого рода |^jx2+y2ds, где Ь
Ь
- правый лепесток лемнискаты Бернулли, которая в полярных координатах описывается уравнением г = А^соэ2р , ре [-ж/4, ж/4].
2
В этом случае r2(() + (r'(())2 = A2 (cos 2^ + (—2( )2) = ■ A
Vcos2^ cos2( ' f (x, y) = x2 + y2 = r = Ay¡ cos2(, и, применив формулу (2), получаем
= ^[Ад/ cos2( Ad( = A2 —
ь д/сге^ 2
Также следует разобрать и случай параметрически заданной пространственной
X = X(г),
у = у(г), г е (а,. В этом случае криволинейный интеграл вычисляется
* = ),
кривой АВ по формуле
I/(X, у, = |/(х(г), у(г), 2(г)),/(х(г))2 + (у (г))2 + ())2 Ж. (3)
АВ а
Пример 3. Вычислим криволинейный интеграл первого рода , где АВ
д + 1
- кривая, заданная параметрическими уравнениями
x = t,
У = t2, t e (0,1) z ^ Vet3/3,
Для нашей кривой ds = ^J(x' (t))2 + (y (t))2 + (z ' (t))2 dt = V1 +12 + 2tdt = (1 + t)dt . По
формуле (3) получаем = — f-—(1 + t)dt
> +1 3 f t + 1K ' 27
Вычисление следующих криволинейных интегралов первого рода также следует разобрать или дать студентам для самостоятельного выполнения [6,7]:
г Жя
1) I -, где С - отрезок прямой, соединяющей точки (0;0) и (1;2);
су1х2 + у2 + 4
Л! 2 2
2)fxyds, где С - четверть эллипса + ^ = 1, лежащая в первом квадранте;
a2 *-2
У2
с
3) f y2ds, где С - первая арка циклоиды x = a(t - sin t), y = a(1 - cost);
с
4) f (x + z)ds , где С - дуга кривой x = t, y = 3t2/V2, z = t3, t e [0,1].
(х + г)ая , где С - дуга кривой х
с
Криволинейные интегралы второго рода
При изучении криволинейных интегралов второго рода также следует дать их определение, перечислить основные свойства, и привести пример прикладной задачи, которая сводится к вычислению таких интегралов, например, задачи вычисления работы силы при перемещении материальной точки по криволинейному пути. Следует рассказать об особенности криволинейных интегралов второго рода по замкнутым контурам и о направлении обхода таких контуров.
Также необходимо выписать основные формулы для вычисления криволинейных интегралов второго рода в случае плоских и пространственных кривых:
1) Если плоская кривая задана параметрическими уравнениями
Г x = x(t),
\ t е (а,Р) и предполагается, что t = а соответствует точке А , а t = р соот-
IУ = y(tX
ветствует точке В , то
р
JP(x, y)dx + Q(x, y)dy = J (P(x(t), y(t))x ' (t) + Q(x(t), y(t))y (t))dt;
АВ а
2) Если плоская кривая АВ является графиком функции y = y(x),xе[а,b] и
предполагается, что a и b — абсциссы точек А и В этой кривой, то
b
JP(x, y)dx + Q(x, y)dy = J(P(x, y(x)) + Q(x, y(x))y' (x))dx; (4)
АВ a
3) Если плоская кривая АВ является графиком функции х = x(y), y е[с, d] и
предполагается, что с и d — ординаты точек А и В этой кривой, то
d
J P(x, y)dx + Q(x, y)dy = J (P(x(y), y)x ' (y) + Q(x(y), y))dy;
АВ с
4) Если пространственная кривая АВ задана параметрическими уравнениями
x = x(t),
y = y(t), t е (а, Р), то z = z(t),
J P( x, y, z)dx + Q( x, y, z)dy + R( x, y, z)dz =
АВ
Р
= JP(x(t), y(t), z(t))x ' (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y ' (t) + R(x(t), y(t), z(t))z' (t))dt. (5)
а
Также следует разобрать несколько примеров нахождения криволинейных интегралов второго рода.
Пример 4. Вычислим криволинейный интеграл второго рода J (2x - y)dx + 2x2 ydy
АВ
, где АВ - дуга параболы y = 2y[x от точки А(0,0) до точки £(1,2). В соответствии с формулой (4), получаем:
i
+ 2x22VxT-^)dx = (x2 -4x3,2 + 4x3) = 1.
0
Пример 5. Вычислим криволинейный интеграл второго рода , J(x + y)dx + 2zdy + xydz вдоль пространственной кривой АВ, заданной параметриче-
АВ
x = t,
J (2 x - y)dx + 2 x2 ydy = J(2x - 2y[x + 2x224x-^^~ /"2 4 ~312 '4 -3' АВ J0( 2^x 3 3
скими уравнениями
у = X2, X е (1,2) . г = 3 - X,
В данном случае йх = ёх, ёу = 2хйх, йг = -ёх. Используя соответствующую формулу (5), получаем:
. 2 13 1 2 35
I (х + у)йх + 2гйу + хуйг = I (X + X2 + 2(3 -Х)2Х-X3)ёх = (— X2 -X3 --X4) =—.
АВ 1 2 4 1 4
Вычисление следующих криволинейных интегралов второго рода также следует разобрать или дать студентам для самостоятельного выполнения [6,7]:
1) J(x2 -2xy)dx + (2xy + y2)dy, где АВ - дуга параболы y = x2 от точки А(1;1) до
АВ
точки В(2,4);
2) J2xydx + x2dy, где ОАВ - ломанная, соединяющая точки 0(0;0), А(2;0), В(2,1)
3) J y 2dx +x2dy, где С - верхняя половина эллипса x = a cos t, y = b sin t, пробега-
C
емая по ходу часовой стрелки;
x=
4) J (y - z)dx +(z - x)dy + (x - y)dz где С - первый виток винтовой линии x = a cos t,
с
y = a sin t, z = bt.
Формула Грина и её применение
Применение формулы Грина для вычисления криволинейных интегралов второго рода по замкнутому контуру и не только является ещё одной немаловажной и интересной темой этого раздела математического анализа.
Теорема 1. Пусть замкнутая область D ограничена кусочно-гладким контуром L , а функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны в D вместе со своими частными производными. Тогда справедлива формула Грина:
J Pdx + Qdy = (Г (—--)dxdy.
L D dx dy
Формулу Грина можно применять непосредственно для вычисления
криволинейных интегралов по замкнутым контурам.
Пример 6. Вычислим криволинейный интеграл J (3x - y)dx + (x + y 2)dy.
x2 + y2 =1
По формуле Грина имеем:
J(3x-y)dx + (x + y2)dy = JJ(1 -(-1))dxdy = 2S(D) = 4ж, где S(D) - площадь круга
x2 + y2 =1 x2 + y2 <1
x2 + y2 < 1 .
Также формулу Грина можно применять для вычисления криволинейных интегралов второго рода по незамкнутым контурам.
Пример 7. Вычислим криволинейный интеграл J y2 dx + 3xydy, где L - участок
L
параболы y = x2 от точки от точки А(-1,1) до точки 5(1,1).
В этом случае контур можно искусственно замкнуть отрезком BA, обозначим полученный замкнутый контур у. Тогда по формуле Грина имеем:
1 1
J y2 dx + 3xydy + J y2 dx + 3xydy = J y2dx + 3xydy = JJ (3y - 2y)dxdy = J dx J ydy =
f(! - ^ )dx = 1 - x5
J 2 2 10
D
1
4
5
Откуда получаем, что искомый интеграл:
г 4г 4 г 4 1 4 14
I у2dx + 3xydy =--I у2dx + 3xydy = — + I у2dx + 3xydy = — + 1^ — + 2 = — , т.к. для
5 5 5 5 5
Ь ВА АВ -1
прямой АВ имеем у = 1 и dy = 0.
1 x2
L
ВА
у
Также формулу Грина можно использовать для нахождения площади плоских фигур через криволинейные интегралы:
jj dxdy = -j ydx = j xdy = 1 j xdy - ydx
S =
2
L
Пример 8. Вычислим площадь фигуры, ограниченной эллипсом с полуосями a и b .
\x = а cos t,
Зададим этот эллипс параметрически < t е [0,2n], имеем
[ y = b sin t,
S = 1 jxdy - ydx = 1 j(ab cos21 + ab sin21)dt = nab .
2 L 2 0
Задачи на вычисление следующих криволинейных интегралов второго рода и площади плоских фигур при помощи формулы Грина также следует разобрать или дать студентам для самостоятельного выполнения [6,7]:
1) j2(x2 + y2)dx + (x + y)2dy , где C - контур треугольника с вершинами А(1;1),
C
В(2;2), С(1,3);
2) j- x2 ydx + xy2 dy;
x2+y2 =R2
3) Вычислить площадь астроиды x = a cos31, y = а sin31.
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Ещё одной важной и обязательной для изучения является теорема о четырёх эквивалентных условиях независимости интеграла от пути интегрирования.
Теорема 2. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны в односвязной области D вместе со своими частными производными. Тогда следующие четыре условия эквивалентны:
1) Выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy является в области D полным дифференциалом некоторой функции f (x, y);
n dP( x, y) Q x, y)
2) Всюду в D верно равенство —--= —--;
oy ox
3) Для любого замкнутого кусочно-гладкого контура L , целиком лежащего в D , верно равенство j P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0;
L
4) Криволинейный интеграл второго рода от функций P(x, y) и Q(x, y) в области D не зависит от пути интегрирования.
Эта теорема позволяет для функций P(x, y), Q(x, y) и f (x, y), удовлетворяющих условиям теоремы вывести формулу, которую часто называют формулой Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов:
( x2, y2 )
j P(x, y)dx + Q(x, y)dy = F(x2, y2 ) - F(x—, y—) .
(xi. y—)
(2,2)
Пример 9. Вычислим криволинейный интеграл второго рода jydx + xdy.
(i,—)
В этом случае легко непосредственно найти f (x, y) = xy, действительно, в этом
случае dF(x,y) = ydx + xdy. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
(2,2)
j ydx + xdy = xy ^ = 4 -1 = 3 . (i,i) '
(2,2)
Пример 10.
У-1
У X
Вычислим криволинейный интеграл второго рода
2
dx +
^x2 +1
X
X
У
dy •
Нетрудно убедиться, что условие
8P( x, y) 8Q( x, y)
выполнено, а значит,
ду дх
Р(х, y)dx + д(х,у)ф является полным дифференциалом некоторой функции ^(х, у), однако, найти эту функции «с ходу» проблематично. В этом случае целесообразно прибегнуть к непосредственному вычислению этого интеграла по «удобному» пути интегрирования, сначала вдоль прямой х = 2 (у е[2,5]), потом вдоль прямой у = 5 (х е [2,1]). Получаем:
(1,5V 2 1 \
■fi ^ - i
(2,2)
dx +
^x2 +1
x
x
У,
dy = j|
4 +1 2
Л
15_2
"2 У
V 2 У2 y 5 2
9 5 2
dy + j
10 -1 5
5
x
5 x
44 5
Вычисление следующих криволинейных интегралов второго рода от выражений, являющихся полными дифференциалами, также следует разобрать или дать студентам для самостоятельного выполнения [6,7]:
(3,4) (1,1)
1) |хdx + уйу; 2) |(х + у)^х + (х + у)йу;
(0,1)
(2,1)
(0,0)
3) [ ус1х хс1у (по пути, не пересекающему прямую у = о);
(1,2) у'
(х + 2у)^х + у<±у (по пути, не пересекающему прямую у = -х).
Заключение
4) j
(1,1)
(x + y)2
При организации аудиторной и внеаудиторной работы студентов по теме «вычисление криволинейных интегралов» можно руководствоваться изложенным материалом. В работе описаны основные виды криволинейных интегралов и способы их вычисления, разобраны примеры, указаны наглядные алгоритмы, даны пояснения по организации учебного процесса и решению задач, что позволяют в сжатые сроки и в полном объёме успешно усвоить учебный материал.
2
2
1
2
ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ
1. Хасанов Н.А., Бирюков О.Н. О проведении занятий на тему «Замена переменных для вычисления двойных интегралов»// Modern European Researches, 2021. - Т. 1, № 3. - P. 131-138.
2. Хасанов Н.А., Бирюков О.Н. О проведении занятий на тему «Замена переменных для вычисления тройных интегралов»// Modern European Researches, 2022. - Т. 1, № 1. - P. 133-139.
3. Будак Б.М., Фомин С.В. Курс высшей математики и математической физики. Том 2. - М.: Наука, 1965, - 607 с.
4. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.- 492 с.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учеб. пособие для втузов. Том 2. - М.: Интеграл-Пресс, 2001, - 544 с.
6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу для втузов: Учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений. - М.: Изд-во Астрель, 2004. - 495 с.
7. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие. - М.: Изд-во Московского ун-та, ЧеРо, 1997. - 624 с.
Nail A. Khasanov,
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow nail_khasanov@mail. ru Oleg N. Biryukov,
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University
named after N.E. Bauman, Moscow
onbiryukov@bmstu.ru
About conducting classes on the topic "calculation of curvilinear integrals"
Abstract. In order to improve the level of mathematical training of students, it is necessary to pay special attention to the basic issues of mathematics. The study of curvilinear integrals is an important component of the mathematical education of students and is a mandatory topic in the course of mathematical analysis for students of mathematical and technical specialties. Successful mastering of this topic helps students to solve theoretical and applied problems of physics, mechanics and related engineering disciplines. The content of the article is of interest to both teachers and students.
Keyword: calculation of curvilinear integrals, application of curvilinear integrals, Green's equation.
