CC BY
4О ПРОВЕДЕНИИ ЗАНЯТИЙ НА ТЕМУ «ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ»
Аннотация
С целью повышения уровня математической подготовки студентов необходимо особое внимание уделять базовым вопросам математики. Изучение кратных интегралов является важной составляющей математического образования студентов и является обязательной темой в курсе математического анализа для студентов математических и технических специальностей. Успешное освоение этой темы помогает студентам осваивать также и другие дисциплины. В данной работе рассмотрено применение криволинейных систем координат как эффективный способ вычисления некоторых тройных интегралов. Содержание статьи представляет интерес, как для преподавателей, так и для студентов.
Ключевые слова
вычисление тройных интегралов, криволинейные системы координат
АВТОРЫ
Хасанов Наиль Алфатович,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва nail_khasanov@mail.ru
Бирюков Олег Николаевич,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва onbi ryukov@bmstu .ш
Введение
При изучении физики, механики и при решении разнообразных инженерных задач часто возникает необходимость рассматривать интегралы от функций нескольких переменных. Умение находить кратные интегралы очень важно, оно может быть использовано для решения не только теоретических, но и практических задач.
Криволинейные координаты плотно вошли в нашу жизнь, долгота и широта в навигаторе, например, по сути, — углы в общепринятой на нашей планете обобщенной сферической системе координат. Поэтому умение грамотно использовать криволинейные системы координат очень важно. Это умение пригодится студентам и в дальнейшем для решения многих прикладных задач.
Данная статья является логическим продолжением работы [1], в которой рассмотрен переход к некоторым криволинейным системам координат для вычисления двойных интегралов.
Методология и результаты исследования
Тема «вычисление тройных интегралов» идет в курсе математического анализа сразу после темы «вычисление двойных интегралов». На нее выделяется в зависимости от сложности и продолжительности курса от двух до четырех занятий, большая
часть которых должна быть посвящена переходу к криволинейным системам координат.
При этом предполагается, что студенты уже знают основные способы интегрирования, а также имеют навыки построения кривых на плоскости, плоскостей и поверхностей второго порядка в трехмерном пространстве, а также умеет вычислять двойные интегралы в декартовых и полярных системах координат.
Теоретический материал [2,3], примеры решения задач [2-5], задачи для самостоятельного решения преподаватель может разместить на своем сайте, персональной странице официального сайта вуза или использовать облачные технологии, чтобы любой из студентов имел доступ ко всем материалам в любое удобное время. Делать это следует за несколько дней до проведения практических занятий.
По ходу освоения темы «вычисление тройных интегралов» следует объяснять: в каких случаях целесообразно находить интегралы непосредственно в декартовых координатах, а в каких случаях правильнее перейти к тем или иным криволинейным системам координат. Для начала, необходимо отработать со студентами умение правильно расставлять пределы интегрирования в тех или других криволинейных координатах. Поэтому первые задания должны быть связаны с переходом из декартовой системы координат к криволинейным без непосредственного вычисления тройных интегралов.
Замена переменных в тройном интеграле
При замене переменных в тройных интегралах руководствуются следующей теоремой [2].
Теорема (о замене переменных в тройном интеграле). Пусть отображение
X = х(и, V, w) < у = у(и, V, w) , (и, V, w) е О
г = г(и, V, w)
взаимно однозначно, непрерывно дифференцируемо и отображает область О на область О, причем якобиан 3(и, V, w) этого отображения отличен от нуля в каждой точке О. Если /(х,у,г) непрерывная в области О функция, то верна следующая формула замены переменных в тройном интеграле:
Ц[ ^ (х, У, z)dxdydz = ЦУ / (х(и, V, w), у(и, V, w), г(и, V, w))| 3 (и, V, w) dudvdw.
О О
Цилиндрическая система координат. Одним из важных видов криволинейных координат в трехмерном пространстве, изучаемых студентами в курсе математического анализа являются цилиндрические координаты (г,р, г), связанные с декартовыми координатами (х,у,г) соотношениями:
X = г соър у = г Бт р, < г = г
г е [0, да) р е [0,2к) .
г е (-да, да)
При этом якобиан
3(Г, (р, 2) =
дх дх дх
дг
ду
дг
&
дг
д( ду
д(
д2 д(
д2 ду д2 д2_
д2
соБр Бт р 0
г бш р
Г СОБр 0
= Г(СОБ2 р + Бт2 р) = г
обращается в ноль только при г = 0, что соответствует оси Oz в декартовой системе координат.
Следует объяснить, что цилиндрические координаты являются расширением полярных координат, заданных на плоскости, посредством добавления третьей координаты z, которая задает высоту точки над этой плоскостью. Осуществлять переход к цилиндрическим координатам полезно в следующих случаях:
1. В случаях, когда область интегрирования удобнее и проще задается в цилиндрических координатах, чем в декартовых. Как правило, это области, проекция которых на одну из координатных плоскостей является кривой, удобно задаваемой в полярных координатах.
2. В случаях, когда в цилиндрических координатах подынтегральная функция становится проще. Как правило, это функции вида /(х2 + у2, 2) или /(х/у, 2).
Пример 1. Вычислим интеграл I = |Ц2Л/Хг+у2^Х<у2, где О - область, ограни-
ченная плоскостями у = 0, 2 = 0, 2 = а и поверхностью у = V2х - х2 (рисунок 1).
В прямоугольной системе координат этот интеграл преобразуется в повторный следующим образом:
__2 4 2 х-х2 а _
I = И!2^JХ2+У2dxdyd2 =|dx |dy^2^x2+~y^d2 .
О 0 0 0
Замкнутая область D, являющаяся проекцией трехмерной области О на плоскость хОу, изображена на рисунке 2. Переходя к полярным координатам в плоскости хОу, получаем следующее представление области D:
Б = {(г, р): 0 <р<ж/2,0 < г < 2соБр} .
С помощью этого представления, учитывая, что якобиан 3 (г,р, 2) = г, переходим к цилиндрическим координатам (г, р, 2) в исходном интеграле:
О
136 Modern European Researches No 1 (Т.1) / 2022 Пример 2. Вычислим интеграл I = JJJ ze*1 +y dxdydz, где область интегрирования
Q
Q = {(x,y,z): x2 + y1 < R2,0 < z < A}. Эта область представляет собой цилиндр высоты А и радиуса R .
В прямоугольной системе координат этот интеграл преобразуется в повторный следующим образом:
А R
I = 2вх + у dxdydz = |zdz |ех dx |еу dy.
□ О -Я -Vк2-х2
Вычислять этот интеграл непосредственно в декартовой системе координат не
2
удастся, поскольку функция еу не имеет элементарных первообразных. При переходе к цилиндрической системе координат получим несложный интеграл:
А 2л Я ^
I = |zdz |dрjег Мг = А2л — ег
ООО 2
Вычисление следующих интегралов при помощи перехода к цилиндрическим координатам также следует разобрать или дать студентам для самостоятельного выполнения [4,5]:
4 А 2 0 х2 + у2 +— 1х2 у2 2 44-х2 6-х2-у2
2) |dx |dy | —-dz; 3) |dx |dy |dz;
0 -4 2 х-х2 — "
R =Е A2 (eR 1 -1).
о 1 К
1) J dy J dz J x (y + z )dx;
0 y1 - A
-1 fx2'-2
4-x -¡jx + y
4) J dx J dy J (x2 + y2 )dz;
-1 -41-x2 x2 + y2
5) JJJ z / yj x2 + y2dxdydz.
4<x2 + y2 <9, 0<z<2
Сферическая система координат. Другим немаловажным видов криволинейных координат в трехмерном пространстве, обязательным для изучения студентами в курсе математического анализа, являются сферические координаты (г,р,ф), связанные с декартовыми координатами (х,у,£) соотношениями:
При этом якобиан
J (г,^,ф) =
x = r cosрсosф
r е [0, <х>)
y = rsin (рсоъф , \ре [0,2ж)
z = r sin ф
ф е [-ж/2,ж/2]
дх dx dx
dr д( дф
dy dy dy
dr d( дф
dz dz dz
dr d( дф
cosрcosф - r sin рcosф - r cospsin ф sin рcosф r cosрcosф - r sin рsin ф sin ф 0 r cosф
= r2 cosф
Следует объяснить студентам, что сферические координаты являются аналогом общепринятыми координатами на нашей планете (р - долгота, р = 0 - гринвичский нулевой меридиан, ф - широта, ф = 0 - экватор, г - расстояние до центра Земли, г = г - уровень мирового океана). Данные пояснения помогают студентам иметь наглядное представление о том, что собой представляют эти криволинейные координаты.
1
-x2 1
<
Как и в случае цилиндрических координат, осуществлять переход к сферическим координатам полезно в случаях, когда область интегрирования удобнее и проще задается в сферических координатах. Как правило, это области, ограниченные сферой или ее частью.
Пример 3. Вычислим интеграл I = jjJVx 2 + У2 + z 2 dxdydz, где область интегриро-
Q
вания Q = {(x, y, z): x2 + y2 + z2 < 1, x2 + y2 < z2}. Эта область лежит между конусом и сферой. Шар x2 + y2 + z2 < 1 можно задать в сферических координатах неравенством r < 1, конус x2 + y2 - z2 = 0 задается равенствами sin2 ф = cos2 ф или ф = ±л/4. Учитывая эти представления, область интегрирования в сферических координатах имеет вид:
Q = {(r,р, ф): 0 < r < 1,0 <р< 2л,-л/4 <ф< л/4} . Учитывая, что якобиан J (r ,р, z) = r 2cosф, имеем:
2л л/4 1
4
= 2лЛ1 = ЛИ
4 2
I = |^ |dф^гъсо$ф& = —
0 -л/4 0 4 (
Вычисление следующих интегралов при помощи перехода к цилиндрическим координатам также следует разобрать или дать студентам для самостоятельного выполнения [4,5]:
Я 0 X2 -у2
R т/я-x 2 iR-x 2 - y 2
1) Jdx Jdy J(x2 + y2)dz;
v2 0
2) J dx J dy J xzdz;
0 -VR-? -4 R-x2 - y2
2 -2 -2
1 т/1-x2 V1-x2 -y
3) J dx J dy J z2 dz;
jx
4) ill
,2,..2.„ x + y
-dxdydz.
1<x2 + y2<4 ■
Некоторые другие криволинейные системы координат. Если уровень подготовки студентов и время позволяет, то можно разобрать некоторые другие криволинейные системы координат.
2 2 2 х y z
1) Если область интегрирования является эллипсоидом — + + — = 1, или его
а Ь с
частью, или подынтегральная функция имеет вид f
fx2 y2 z2^
a2 b1
c
, то целесообразно
J
использовать обобщенные сферические координаты
х = ar cosфсosф y = brsin (pcosф . z = cr sin ф
При этом якобиан J(r= abсr2 cosф.
Пример 4. Найдем объем тела, ограниченного поверхностью
^2
х y z
--ъ-—ъ
22 a b
2 Y
2 2 _ x y
= 2 ъ 7.2
a2b2
R
z
0
Перейдем к обобщенным сферическим координатам (т,р,ф). В этих координатах область интегрирования описывается неравенством r4 < r2 cos2 ф , или 0 < r < cosф . Имеем:
2л л 12 соъф
V = J dp J dф J abcr2 cosфdф
0 -л/2 0
4л abc 3
л/2
J cos4 фdф =
л 2abc
4
2) В некоторых случаях, когда область интегрирования такова, что проекция этой области на одну из координатных плоскостей есть эллипс, или подынтегральная
функция имеет вид f ские координаты
V / ^
+ ^, z
v a2 b2 j
, следует использовать обобщенные цилиндриче-
х = r cosp y = r sin p . z = z
В этом случае якобиан J (r,p, z) = abr.
Пример 5. Найдем объем тела, ограниченного плоскостью z = 0 и поверхностью
2 2 х V
~ + ^ + z = 2 . Проекцией этой поверхности на плоскость хОу является эллипс
2 2 х2 у 2
— + = 2 . Перейдем к обобщенным цилиндрическим координатам х = Зсоър ,
22 х у
у = 2sln р , z = z . В этих координатах поверхность ~ + ^ + z = 2 имеет уравнение
2 ^ х , у
z = 2-r2, а эллипс — + — = 2 - уравнение r = 42. Имеем:
+
9 4
2
V = JdpJdr J3 • 2 • rdz = \2л J(2r - r3)dr = 12л(2 -1) = \2л
0 0 0 0
3) Можно привести пример перехода к другим криволинейным координатам.
Пример 6. Вычислим интеграл Дирихле xpyqzг (1 - х - у - г)sdxdydz, где □ -
□
область, ограниченная плоскостями х = 0, у = 0, z = 0 и х + у + z = 1. Полагается, что р > 0, q > 0 , г > 0 , 5 > 0.
Перейдем к криволинейным координатам (и, V, м>) , связанным с исходными (х,у,z), равенствами:
х + y + z = u y + z = uv , или < z = uvw
х = u (1 - v)
u = х + y + z
у = uv(1 - w), откуда получаем ( V = (у + ¿)1{х + у + z). z = uvw = z /(у + £)
В новых переменных область интегрирования существенно упрощается:
□ = {(и, V, w):0 < и < 1,0 < V < 1,0 < w < 1}. Подынтегральная функция имеет вид:
/ (и, V, = (и (1 - и)) р (^(1 - q (и^)т (1 - и)5 = и м+г (1 - и)5 vq+г (1 - V) pwг (1 -
0
q
В этом случае якобиан J(u,v,w) = u2v и интеграл Дирихле равен:
i i i jjjxpyqzr (1 - x - y - z)sdxdydz = Jup+q+r+2 (1 - u)sduJvq+r+1 (1 - v)pdvjwr (1 - w)qdw =
Q 0 0 0
B( p + q + r + 3, s +1) ■ B(q + r + 2, p +1) • B(r +1, q +1) = T(P +1) ^ + 1 'Г(г +1) ^ +1) .
Г( p + q + r + s + 4)
Здесь B(x, y) =j tx-1(1 -1)y-1 dt = Гх11ГГ(У1 . Бета-функция, Г(х) = f tx-1e-dt -
j r( x + y) j
Гамма-функция.
Заключение
В работе описано использование криволинейных систем координат для нахождения тройных интегралов. В статье разобраны примеры, указаны наглядные алгоритмы, даны пояснения по организации учебного процесса и решению задач, что позволяет в сжатые сроки и в полном объёме успешно усвоить учебный материал.
ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ
1. Хасанов Н.А., Бирюков О.Н. О проведении занятий на тему «Замена переменных для вычисления двойных интегралов» // Modern European Researches, 2021. - № 3. - P. 131-136.
2. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.- 492 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учеб. пособие для втузов. Том 2. - М.: Интеграл-Пресс, 2001, - 544 с.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу для втузов: Учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений. - М.: Изд-во Астрель, 2004. - 495 с.
5. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие. - М.: Изд-во Московского ун-та, ЧеРо, 1997. - 624 с.
Nail A. Khasanov,
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow nail_khasanov@mail. ru Oleg N. Biryukov,
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University
named after N.E. Bauman, Moscow
onbiryukov@bmstu.ru
About conducting classes on the topic "replacing variables for calculating triple integrals" Abstract. In order to improve the level of students, it is necessary to pay special attention to the basic issues of mathematics. The study of multiple integrals is an important component of students' mathematical education and is a mandatory topic in the course of mathematical analysis for students of mathematical and technical specialties. Successful mastering of this topic helps students to master other disciplines as well. In this paper, we consider the use of curved coordinate systems as an effective way to calculate some triple integrals. The content of the article is of interest to both teachers and students. Keyword: calculation of triple integrals, curved coordinate systems.
