О ПРОВЕДЕНИИ ЗАНЯТИЙ НА ТЕМУ "ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ" Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ПРОВЕДЕНИИ ЗАНЯТИЙ НА ТЕМУ «ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ»

Аннотация

Изучение кратных интегралов является важной составляющей математического образования студентов и является обязательной темой в курсе математического анализа для студентов математических и технических специальностей. Успешное освоение этой темы помогает студентам осваивать также и другие дисциплины. В данной работе рассмотрено применение криволинейных систем координат как эффективный способ вычисления некоторых двойных интегралов. Содержание статьи представляет интерес как для преподавателей, так и для студентов.

Ключевые слова

вычисление двойных интегралов, криволинейные системы координат

АВТОРЫ

Хасанов Наиль Алфатович,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва nail_khasanov@mail.ru

Бирюков Олег Николаевич,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва onbi ryukov@bmstu .ш

Введение

Первое тесное знакомство с полярной системой координат у студентов технических вузов происходит, как правило, при изучении приложений определенного интеграла и вызывает у многих из них некоторое непонимание. Это непонимание связано с тем, что в школе их учат иметь дело только с прямоугольными координатами. При этом криволинейные координаты плотно вошли в нашу жизнь, большинство людей свободно пользуются навигаторами, не подозревая, что долгота и широта, по сути, — углы в сферической системе координат. Поэтому умение грамотно использовать криволинейные координаты очень важно не только в математике, но и во многих разделах физики. Это умение может быть использовано для решения не только теоретических, но и практических задач.

Методология

На тему «вычисление двойных интегралов» выделяется в зависимости от сложности и продолжительности курса математического анализа от двух до пяти занятий. Примерно половину этого времени следует выделять на применение криволинейных координат для вычисления этих интегралов.

При этом предполагается, что студенты уже знают основные способы интегрирования, а также имеют навыки построения кривых на плоскости в декартовых и полярных координатах. Однако, как правило, с момента изучения этих тем проходит уже достаточно много времени, и не лишним будет организовать подготовительную работу

для актуализации ранее изученных материалов.

Теоретический материал [1,2], примеры решения задач [1-4], задачи для самостоятельного решения преподаватель может разместить на своем сайте, персональной странице официального сайта вуза или использовать облачные технологии, чтобы любой из студентов имел доступ ко всем материалам в любое удобное время. Делать это следует за несколько дней до проведения практических занятий.

Также следует отметить, что переходу к криволинейным интегралам следует обучать уже после того, как студенты научились работать с интегралами в декартовых координатах (представлять и изображать области интегрирования, расставлять пределы интегрирования).

Замена переменных в двойном интеграле

При замене переменных в двойных интегралах руководствуются следующей теоремой [1].

Теорема (о замене переменных в двойном интеграле). Пусть отображение

Í х = x(u, V)

1 , Л> (uv) е G.

[ y = y(u,v)

взаимно однозначно, непрерывно дифференцируемо и отображает область G на область D, причем якобиан J(u, v) этого отображения отличен от нуля в каждой точке G. Если f (x,y) непрерывная в области D функция, то верна следующая формула замены переменных в двойном интеграле:

JJ f (x, y)dxdy = JJ f (x(u, v), y(u, v))| J (u, v) |dudv.

D G

Полярная система координат. Основным видом криволинейных координат на плоскости, изучаемых студентами в курсе математического анализа являются полярные координаты (r,p), связанные с декартовыми координатами (x, y) соотношениями

\х = r cosp

1 y = r sin ф

При этом якобиан

J (r,p) =

дх dx

dr д( cosp - r sin p

dy dy sin ( r cosp

dr д(

= r(cos2 p + sin2 p) = r .

обращается в ноль только в точке r = 0, которая соответствует началу координат в декартовой системе координат.

Расстановка пределов интегрирования. Для начала, необходимо отработать со студентами умение правильно расставлять пределы интегрирования в полярных координатах. Поэтому первые задания должны быть связаны с переходом из декартовой системы координат к полярной, при этом непосредственное вычисление интегралов требовать не следует. Можно давать задания с абстрактными функциями.

Перед этим необходимо подробно объяснить, как следует расставлять пределы интегрирования в зависимости от типов областей.

Первый тип. Полюс является внутренней точкой области интегрирования D, область ограничена кривой r = r(p).

Тогда пределы интегрирования следует расставлять следующим образом:

2л r(p)

jj f (x, y)dxdy = J dp J f (r cos p, r sin (p)rdr .

D

0

0

Пример 1. Перейдем к полярным координатам и расставим пределы интегрирования в этих координатах в интеграле jjj f (x, y)dxdy.

Область интегрирования изображена на рисунке 1. Зададим окружность (х -1)2 + y2 = 4 в полярных координатах (r cos p -1)2 + r2 sin2 p = 4, после преобразований получаем квадратное уравнение r2 - 2r cosp- 3 = 0, которое имеет единственное неотрицательное решение r = r(p) = cosp + д/cos2 p + 3 . В итоге имеем

2п cos p+^jcos2 p+3

jj f (x, y)dxdy = J dp J f (r cos p, r sin p)rdr .

(x-1)2 +y2 <4 0 0

Второй тип. Полюс находится на границе области интегрирования D, область ограничена кривой r = r(p) и лучами p = a и p = j, проведенными из полюса (а < р).

Тогда пределы интегрирования следует расставлять следующим образом:

Р r (p)

jj f (x, y)dxdy = j dp j f (r cos p, r sin p)rdr .

D а 0

Пример 2. Перейдем к полярным координатам и расставим пределы интегрирования в этих координатах в интегралах

а) jj f (x,y)dxdy; б) jdx j f (x2 + y2)dy

( x-1)2 + y2 <1

0 0

( x-1)2 + y2 <4

1 1-x

Соответствующие области интегрирования изображены на рисунке 2.

а) Окружность (х -1)2 + y2 = 1 в полярных координатах имеет уравнение (r cosp-1)2 + r2 sin2 p = 1 , после преобразований получаем квадратное уравнение

r2 -2rcosp = 0, которое имеет ненулевое решение r = r(p) = 2cosp, pe [-л/2, л/2]. В итоге имеем

л/ 2 2 cosp

jj f (x, y)dxdy = J dp J f (r cos p, r sin p)rdr.

(x-1)2 + y2 <1 -л/2 0

б) Прямая y = 1 - x в полярных координатах имеет уравнение r cosp + r sin p = 1

или r =-1-. В итоге, с учетом того, что ре [0, л/2], а x2 + y2 = r2, имеем

cosp + sin p

1

1 1—x л/2 cosp+sinp

Jdx J f (x2 + y 2)dy =J dp J f(r 2)rdr . 0 0 0 0 Третий тип. Полюс находится вне области интегрирования D, область ограничена кривыми r = r (p), r = r2 (p) и лучами p = a и p = P, проведенными из полюса ( а<Р и r1p) < r2p) Vpe[a, (5]).

Тогда пределы интегрирования следует расставлять следующим образом:

( r¡(p)

JJ f (x, y)dxdy = J dp J f (r cosp, r sin p)rdr .

D a rí(p)

Пример 3. Перейдем к полярным координатам и расставим пределы интегрирования в этих координатах в интеграле

JJf (Х )dxdy •

D у

где область D ограничена линиями х2 + (y -1)2 = 1 , х2 + (y - 2)2 = 4 , у = -х и

У = х •

У

n X.

p ису нок

-1

Область интегрирования изображена на рисунке 3. Зададим окружности х2 + (y -1)2 = 1 и х2 + (y - 2)2 = 4 в полярных координатах. Получим

r2cos2 р + (r sin р-1)2 = 1 и r2cos2 р + (r sin p- 2)2 = 4 , соответственно, или

r = r(p) = 2sinp и r = r2(p) = 4sin(p. Участки прямых, ограничивающих область интегрирования, лежат на лучах р = а = ж/4 и p = fi = 3ж / 4. В итоге, с учетом того, что

х r cosp

у r Sin p

= ctgp, имеем

3п/ 4 4sinp

Ц/(Х= | ¿Р |/{^р)гёг .

Б У л/4 2я1пр

Переход к полярным координатам в следующих интегралах также следует разобрать или дать студентам для самостоятельного выполнения [3,4]:

1) JdxJ f (x + y)dy; 2) JdxJ f ^x2 + y2 )dy; 3) Jdx J f (y)dy;

0 0 0 0 -1 x2 x

1 1-x a a

4) JJ f (x,y)dxdy; 5) Jdx Jf (x,y)dy; 6) Jdx J f (x,y)dy;

a2 < x2 + y2 <b2 2

0 0 2 xV3

-a x / a

7) J dx J f (x, y)dy; 8) J dx J f(x2 + y 2)dy.

0 1-x

0 x

Вычисление. При вычислении двойных интегралов следует объяснить студентам, что целесообразно переходить к полярным координатам в двух случаях:

1. В случаях, когда область интегрирования удобнее и проще задается в полярных координатах, нежели в декартовых. Как правило, это области, ограниченные окружностью, частью окружности, кардиоидой, лемнискатой или некоторыми другими кривыми, удобно задаваемыми в полярных координатах.

2. В случаях, когда в полярных координатах подынтегральная функция становится намного проще. Как правило, это функции вида /(Х +у2) или / (X / у) .

Пример 4. Вычислим интеграл Цхуdxdy, где область Б состоит из точек, удо-

Б

влетворяющих неравенствам (х -1)2 + у2 > 1, х2 + у2 < 9, х > 0 и у > 0.

•10 12 3

Рисунок 4

Область интегрирования изображена на рисунке 4. Вычислять этот интеграл непосредственно в декартовой системе координат достаточно тяжело, придется разбить интеграл на два не очень приятных для вычисления интеграла.

[ [ х\-с!хс}\- = [ дбс [ .\>'й|У + ДЬс [ Л>гЛ-'

136 Modern European Researches No 3 (Т.1) / 2021 Однако, перейдя к полярным координатам, получим интеграл проще

xvdxdy

[[ xydx¿fy= \d<p [ i

i<p¡

<prdr = [

. ^sm <p-

2 lCOLa

d<p

ÍCDLi

= — f sin tpdsin <p-4 (cos; <pd(-cos.<p) =— --+4

81 1

eos" ф

4 -

4 2

81 2 227

8 3 24

1 J-.-r

f dx ( sin( -Jx1 + v* )dy Пример 5. Вычислим интеграл s ^

Вычислять этот интеграл непосредственно в декартовой системе координат студентам не удастся, поскольку функция sin(^/ c2 + y2) не имеет элементарных первообразных.

Однако, перейдя к полярным координатам, получим интеграл

(dx ( sin( ^х2 + v* )ф' — jdipjrsin rdr — —(—reosг + sin r)||, = — (sin 1 —cosí)

Вычисление следующих интегралов при помощи перехода к полярным координатам также следует разобрать или дать студентам для самостоятельного выполнения [3,4]:

л/а

1) JJх2 + у2dxdy; 2) Jdx J ^Jx2 + y2dy; 3) JJco^ л!хГ+у2 dxdy;

x2 +y2 <2ax 0 0 л2 <x2 +y2 <4л2

i 42-x2

4) Jdx Jarctg(y/x)dy; 5) JJех2 +у2dxdy.

0 x x2 + y2 <4

Некоторые другие криволинейные системы координат. Если уровень подготовки студентов и время позволяет, то можно разобрать некоторые другие системы координат.

1) Если область интегрирования эллипс а1 Ъ2 , или его часть, то целесообразно использовать обобщенные полярные координаты

\x=ar eosф

[ у = Ьг sin (р

При этом якобиан

дх dx

J, ч dr др a cosP - ar sin р Uí 2 . • 2 \ и J (r,p) = . дГ = = abr(cos р + sin р) = abr.

dy dy bsin р brcosp

dr др

Пример 6. Вычислим интеграл JJ-Jl - (х/3)2 - (у/2)2dxdy.

(х/3)2+(y / 2)2<1

{х = 3rcosp

. В этих координа-

y = 2r sin p

тах область интегрирования G = {(p, r): p е [0,2л], r е [0,1]}. Имеем

( x/3)2 +( y / 2)2 <1

0 0

JJ^¡1 - (x/3)2 - (у / 2)2dxdy = JdpJV 1 - r2 6rdr = -6л2(1 - r)3/2Ц) = 4л

2) Для некоторых областей обобщенные полярные координаты можно ввести в более общем виде

Ím

х = ar cos р y = br sin m р

В этом случае якобиан J(r,р) = mabr(sin р- cosp)m_1. Пример 7. Найдем площадь области

D = {(х,y) : (x/a)1/4 + (y /b)1/4 < 1, x e [0,a], y e [0,b]} Для этого целесообразно провести замену

J х = ar cos8 р [ y = br sin8 р

Тогда прообразом D будет область G = {(р,r): ре [0,л/2], r е[0,1]}. Имеем

л/2

л/2

S = 8ab J sin7 pcos7 pdpJrdr = 4ab Jsin7 p(1 - sin 2p)3dsin p = 4abJ17(1 -12)3dt

ab 70

3) Можно привести пример перехода к любым криволинейным координатам.

Ь Рх

Пример 8. Перейдем к переменным и = х , V = у /х в интеграле |¿X |/(х,у)ёу

a ax

(0 < а < Ь), (0 <а<Р).

При этом (х,у) легко выразить через переменные (и,V) х = и, у = XV = иу. Якобиан такого преобразования координат равен

дх дх

3 (и, V) =ди ду ду ду

ди ду

Прямым у = Сх соответствуют прямые иу = Си т. е. у = С. В итоге получаем

Ь Р х Ь р

| ёх | /(х, у )ёу = | ёи| /(и, иу)иёу.

1 0 v u

= u

a ax

Использование полярных координат для нахождения несобственных интегралов. Нахождению двумерных несобственных интегралов или исследованию их на сходимость можно посветить ни одну и ни две работы. В рамках данной статьи предлагаю ограничиться лишь одним примером — нахождением интеграла Пуассона

ад

|е х2ёх , который актуален в очень важном курсе «теория вероятностей и

0

математическая статистика». Итак

''ад Л

2

ад

J еdxJ e-y2 dy = J J e4x2+y2)dxdy.

I J е- x dx

V 0 J 0 0 0 0

Перейдем к полярным координатам

ад ад л/2 ад

J J e x + y ) dxdy = J dp J e ~r rdr = - lim —e"

0 0

0 0

R _ л 0 = 4

0

0

0

0

aa

2

ад

адад

Откуда и получаем Jе х2dx = J— =

Заключение

Вычисление двойных интегралов — тема очень важная и почти необъятная. Данная работа посвящена использованию криволинейных систем координат для нахождения этих интегралов. В статье разобраны примеры, указаны наглядные алгоритмы, даны пояснения по организации учебного процесса и решению задач, что позволяют в сжатые сроки и в полном объёме успешно усвоить учебный материал.

0

ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ

1. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.- 492 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учеб. пособие для втузов. Том 2. - М.: Интеграл-Пресс, 2001, - 544 с.

3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу для втузов: Учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений. - М.: Изд-во Астрель, 2004. - 495 с.

4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие. - М.: Изд-во Московского ун-та, ЧеРо, 1997. - 624 с.

Nail A. Khasanov,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow nail_khasanov@mail. ru Oleg N. Biryukov,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University

named after N.E. Bauman, Moscow

onbiryukov@bmstu.ru

About conducting classes on the topic "replacing variables for calculating double integrals" Abstract. The study of multiple integrals is an important component of students' mathematical education and is a mandatory topic in the course of mathematical analysis for students of mathematical and technical specialties. Successful mastering of this topic helps students to master other disciplines as well. In this paper, we consider the use of curved coordinate systems as an effective way to calculate some double integrals. The content of the article is of interest to both teachers and students. Key words: calculation of double integrals, curved coordinate systems.

О НЕКОТОРЫХ МЕТОДИЧЕСКИХ АСПЕКТАХ ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕМЫ «ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА В ФОРМЕ ПОНТРЯГИНА» В РАМКАХ КУРСА «ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ»

Аннотация

В статье обосновывается целесообразность изучения темы «Задача Лагранжа в форме Понтрягина» в рамках курса (модуля) «Вариационное исчисление». Предложена методика изложения этой темы. Рассмотрен метод решения задачи Лагранжа с фиксированными границами. Приведены примеры решения задач.

Ключевые слова

вариационная задача, оптимальное управление, функционал, задача Лагранжа, оптимальный процесс